La terminología de triángulo cónico se utiliza ampliamente en la literatura sin una definición formal; es decir, sin formular con precisión las relaciones que debe tener una cónica con el triángulo de referencia para poder calificarla como triángulo cónico (véase [1] [2] [3] [4] ). Sin embargo, el matemático griego Paris Pamfilos define un triángulo cónico como una "cónica que circunscribe un triángulo △ ABC (es decir, que pasa por sus vértices) o inscrita en un triángulo (es decir, tangente a sus líneas laterales)". [5] [6] La terminología triángulo círculo (respectivamente, elipse , hipérbola , parábola ) se utiliza para denotar un círculo (respectivamente, elipse, hipérbola, parábola) asociado con el triángulo de referencia de alguna manera.
A continuación se analizan algunas cónicas triangulares especiales típicas. En las descripciones se utilizan las notaciones estándar: el triángulo de referencia siempre se denota por △ ABC . Los ángulos en los vértices A, B, C se denotan por A, B, C y las longitudes de los lados opuestos a los vértices A, B, C son respectivamente a, b, c . Las ecuaciones de las cónicas se dan en las coordenadas trilineales x : y : z . Las cónicas se seleccionan como ilustrativas de las distintas formas en que una cónica podría asociarse con un triángulo.
Círculos triangulares
Elipses triangulares
Hipérbolas triangulares
Parábolas triangulares
Familias de cónicas triangulares
Elipses de Hofstadter
Una elipse de Hofstadter [11] es miembro de una familia de elipses de un parámetro en el plano de △ ABC definida por la siguiente ecuación en coordenadas trilineales:
donde t es un parámetro y
Las elipses correspondientes a t y 1 − t son idénticas. Cuando t = 1/2 tenemos la inelipse
y cuando t → 0 tenemos la circunelipse
Cónicas de Thomson y Darboux
La familia de las cónicas de Thomson está formada por aquellas cónicas inscritas en el triángulo de referencia △ ABC que tienen la propiedad de que las normales en los puntos de contacto con las líneas laterales son concurrentes. La familia de las cónicas de Darboux contiene como miembros aquellas cónicas circunscritas al triángulo de referencia △ ABC tales que las normales en los vértices de △ ABC son concurrentes. En ambos casos los puntos de concurrencia se encuentran en la cúbica de Darboux. [12] [13]
Cónicas asociadas con intersecciones paralelas
Dado un punto arbitrario en el plano del triángulo de referencia △ ABC , si se trazan líneas a través de P paralelas a las líneas laterales BC, CA, AB que intersecan los otros lados en X b , X c , Y c , Y a , Z a , Z b entonces estos seis puntos de intersección se encuentran en una cónica. Si se elige P como el punto simediano, la cónica resultante es un círculo llamado círculo de Lemoine. Si las coordenadas trilineales de P son u : v : w la ecuación de la cónica de seis puntos es [14]
Cónicas Yff
Los miembros de la familia de cónicas de un parámetro definidas por la ecuación
donde es un parámetro, son las cónicas Yff asociadas con el triángulo de referencia △ ABC . [15] Un miembro de la familia está asociado con cada punto P ( u : v : w ) en el plano estableciendo
La cónica Yff es una parábola si (por ejemplo). Es una elipse si y y es una hipérbola si . Para , las cónicas son imaginarias.
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