Maxwell lograría unificar todas estas leyes en una descripción coherente del campo electromagnético.En 1884, Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrupó estas ecuaciones y las reformuló en la notación vectorial actual.) a la cantidad de fluido eléctrico que atraviesa una superficie dada.) que pasa por una superficie S.[3] Matemáticamente se expresa como: La ley dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la permitividad eléctrica en el vacío (Intuitivamente significa que el campo E diverge o sale desde una cargaPara casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo eléctrico () y nuestra expresión obtiene la forma: Experimentalmente se llegó al resultado de que los campos magnéticos, a diferencia de los eléctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes.Esta ley primordialmente indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas.En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea esta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la inexistencia del monopolo magnético.La ley de Faraday nos habla sobre la inducción electromagnética, la que origina una fuerza electromotriz en un campo magnético.Se interpreta como sigue: si existe una variación de campo magnético B entonces este provoca un campo eléctrico E o bien la existencia de un campo magnético no estacionario en el espacio libre provoca circulaciones del vector E a lo largo de líneas cerradas.André-Marie Ampère formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no varía en el tiempo.[9] Maxwell corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente por Heinrich Rudolf Hertz.Si un medio es isótropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y consecuentemente es equivalente a una función; si en esta diagonal uno de los elementos es diferente del otro se dice que es un medio anisótropo.Por otro lado, la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas están en medios homogéneos e isótropos.En la siguiente tabla encontramos las ecuaciones como se las formula en el vacío y en la materia.Estos potenciales son importantes porque poseen una simetría gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos.Sin embargo, estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada elección del gauge.El principio afirma que la carga eléctrica no se crea ni se destruye, ni global ni localmente, sino que únicamente se transfiere; y que si en una superficie cerrada está disminuyendo la carga contenida en su interior, debe haber un flujo de corriente neto hacia el exterior del sistema.Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma vectorial así: donde:Estas ecuaciones están escritas en términos de cuadrivectores y tensores contravariantes, que son objetos geométricos definidos en M4.Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda: Para poner en correspondencia objetos del mismo rango, se utiliza el operador de Laplace-Beltrami o laplaciana definida como: Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial, que lleva la información del potencial eléctrico y el potencial vector magnético.La 1-forma A lleva la información sobre los potenciales de los observadores inerciales siendo sus componentes: Para obtener el objeto geométrico que contiene los campos, tenemos que subir el rango de A mediante el operador diferencial exteriorLas siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes, relacionamos la cuadricorriente con el tensor campo electromagnético mediante la forma geométrica: o bien en coordenadas Lorentz: Para un observable en S partiendo de expresión en coordenadas Lorentz podemos obtener: Por tanto: Corresponden a las ecuaciones homogéneas.La primera columna son las relaciones geométricas, independientes de cualquier observador; la segunda columna son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz; y la tercera es la descripción de la relación y la ley que cumple.(*) Existe una confusión habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge.Las primeras ecuaciones en las que aparece tal condición (1867) se deben a Ludvig V. Lorenz, no al mucho más conocido Hendrik A. Lorentz.En la práctica, la resolución de dichas ecuaciones pueden contener una solución armónica (sinusoidal).En lugar de la derivación parcial en el tiempo se tiene la multiplicación del factor imaginario
