Tensor de campo electromagnético

En electrodinámica clásica y teoría de la relatividad, el tensor de Faraday o tensor de campo electromagnético es un tensor 2-contravariante y antisimétrico, cuyas componentes son las componentes de lo que en cada sistema de referencia se reflejan como parte eléctrica y parte magnética del campo:μ νccμ νccc{\displaystyle \mathbf {F} =F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-{\cfrac {E_{x}}{c}}&-{\cfrac {E_{y}}{c}}&-{\cfrac {E_{z}}{c}}\\{\cfrac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\cfrac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\cfrac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}\qquad {\mbox{o bien}}\qquad \mathbf {F} =F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&{\cfrac {E_{x}}{c}}&{\cfrac {E_{y}}{c}}&{\cfrac {E_{z}}{c}}\\-{\cfrac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\cfrac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\cfrac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}El cuadripotencial A lleva en sus componentes la información de los potenciales.Sus coordenadas son en un sistema coordenado Lorentz:{\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {\Phi }{c}},\mathbf {A} \right)}y A son el potencial eléctrico y el potencial vector magnético respectivamente.El cuadripotencial es una 1-forma, para ponerlo en correspondencia con un objeto de rango 2 debemos hacer actuar la derivada exterior.Entonces podemos escribir la relación geométrica que relaciona el cuadripotencial con el tensor de campo electromagnético:Si utilizamos un sistema coordenado de Lorentz podemos escribirlo en componentes de la siguiente forma: Si recordamos cómo se relacionan los potenciales con los campos E y B, podremos encontrar las componentes del tensor campo electromagnético:{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\cfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }Por tanto, las componentes del tensor se obtendrán de la siguiente forma:{\displaystyle F^{01}=\partial ^{0}A^{1}-\partial ^{1}A^{0}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}-\left(-{\frac {\partial (\phi /c)}{\partial x}}\right)={\frac {1}{c}}\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right]=-{\cfrac {E_{x}}{c}}}z{\displaystyle F^{02}=-{\frac {E_{y}}{c}},\qquad F^{03}=-{\frac {E_{z}}{c}}}Para los índices espacial-espacial, tenemos que:z{\displaystyle F^{12}=\partial ^{1}A^{2}-\partial ^{2}A^{1}=-{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}=-B_{z},\quad F^{13}=B_{y},\quad F^{23}=-B_{x}}Mediante el tensor métricoμ νpodemos subir o bajar índices.Por tanto el tensor campo electromagnético también se puede escribir mediante índices abajo (intercambiando así entre coordenadas covariantes y contravariantes): Por tanto Existe otra forma de agrupar los campos eléctrico y magnético en un tensor antisimétrico, reemplazando E/c → B y B → −E/c, se obtiene el tensor dualμ ν: O, bajando índices: