Trigonometría

Deriva de los términos griegos τριγωνοϛ (trigōnos) 'triángulo' y μετρον (metron) 'medida'.En la medición de ángulos y, por tanto, en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemáticas es el radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.Con este propósito se definieron una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin original para convertirse en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos., correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.En el esquema su representación geométrica es: En el esquema su representación geométrica es: En el esquema su representación geométrica es: Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse Además de las funciones anteriores, existen otras funciones trigonométricas.Veamos: El seno cardinal o función sinc (x) definida: El verseno, es la distancia que hay entre la cuerda y el arco en una circunferencia, también se denomina sagita o flecha, se define: El semiverseno, se utiliza en navegación al intervenir en el cálculo esférico: El coverseno, El semicoverseno La exsecante: En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones recíprocas se denominan con el prefijo arco, cada razón trigonométrica posee su propia función recíproca:Para que se cumpla la definición de función, definimos un dominio y un codominio restringidos.La recta r, que pasa por O y forma un ángulosobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D. Por semejanza de triángulos: Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia, tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto: Si aumentamos progresivamente el valor deVale recordar que el punto B pertenece a la circunferencia y cuando el ángulo aumenta se desplaza sobre ella.están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, peroDos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distanciasupera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmentorad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera losrad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangenteLa tangente conserva la relación: incluyendo el signo de estos valores.Para un ángulo llano tenemos que el punto D esta en E, y B y C coinciden en el eje de las x en el lado opuesto de E, con lo que tenemos: En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulorad, se produce un cambio de los valores del seno, el coseno y la tangente, desde los que toman para, el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmentorad pasando al primer cuadrante, completando una rotación: como puede verse a medida que el ánguloDado el carácter rotativo de las funciones trigonométricas, se puede afirmar en todos los casos: Que cualquier función trigonométrica toma el mismo valor si se incrementa el ángulo un número n entero de rotaciones completas.Dada una recta r, que pasa por el centro de la circunferencia y forma un ángulo α con OA, eje x, y corta a la circunferencia en F, tenemos que la vertical que pasa por F corta al eje x en E, la vertical que pasa por A corta a la recta r en G. Con todo esto definimos, como ya se vio anteriormente, las funciones trigonométricas: para el seno: dado que: Para el coseno: dado que: Para la tangente: dado que: partiendo de estas definiciones, podemos ver algunos caso importantes: Si a partir del eje vertical OB trazamos la recta r a un ángulo α en el sentido horario, la recta r forma con el eje x un ángulo 90-α.Así, el valor de las funciones trigonométricas de este ángulo,conocidas las de α,serán: El triángulo OEF,rectángulo en E, siendo el ángulo en F α, por lo tanto: en el mismo triángulo OEF, tenemos que: viendo el triángulo OAG, rectángulo en A, siendo el ángulo en G igual a α, podemos ver: Si a partir de eje vertical OB trazamos la recta r a un ángulo α, medido en sentido trigonométrico, el ángulo formado por el eje horizontal OA y la recta r será 90+α.La prolongación de la recta r corta a la circunferencia en F y a la vertical que pasa por A en G. El triángulo OEF es rectángulo en E y su ángulo en F es α, por lo tanto tenemos que: En el mismo triángulo OEF podemos ver: En el triángulos OAG rectángulo A y siendo α el ángulo en G, tenemos: Si sobre el eje horizontal OC, trazamos la recta r a un ángulo α, el ángulo entre el eje OA y la recta r es de 180-α, dado el triángulo OEF rectángulo en E y cuyo ángulo en O es α, tenemos: en el mismo triángulo OEF: En el triángulo OAG, rectángulo en A y con ángulo en O igual a α, tenemos: Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OC con un ángulo α trazados la recta r, el ángulo del eje OA y la recta r es de 180+α, como se ve en la figura.En el triángulo OEF rectángulo en E se puede deducir: en el mismo triángulo OEF tenemos: en el triángulo OAG, rectángulo en A, vemos que: Sobre el eje OD y con un ángulo α medido en sentido horario trazamos la recta r. El ángulo entre el eje OA y la recta r es de 270-α.En el triángulo OEF, rectángulo en E, tenemos: por otra parte en el mismo triángulo OEF, tenemos: en el triángulo OAG rectángulo en A, y siendo α el ángulo en G, tenemos; Sobre el eje OD y con un ángulo α medido en sentido trigonométrico, trazamos la recta r. El ángulo entre el eje OA y la recta r es de 270+α.En el triángulo OEF, rectángulo en E, tenemos: por otra parte en el mismo triángulo OEF, tenemos: en el triángulo OAG rectángulo en A, y siendo α el ángulo en G, tenemos; Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OA con un ángulo α medido en sentido horario trazados la recta r, el ángulo del eje OA y la recta r es de -α, o lo que es lo mismo 360-α como se ve en la figura.por tanto: entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica: que también puede expresarse: El seno y coseno se definen en matemática compleja, gracias a la fórmula de Euler como: