Historia de la teoría gravitacional

Pioneros de la teoría gravitacional

En física , las teorías de la gravitación postulan mecanismos de interacción que rigen los movimientos de los cuerpos con masa. Ha habido numerosas teorías de la gravitación desde la antigüedad. Las primeras fuentes existentes que analizan dichas teorías se encuentran en la filosofía griega antigua . Este trabajo fue promovido durante la Edad Media por científicos indios , islámicos y europeos , antes de lograr grandes avances durante el Renacimiento y la Revolución científica , que culminaron en la formulación de la ley de la gravedad de Newton . Esta fue reemplazada por la teoría de la relatividad de Albert Einstein a principios del siglo XX.

El filósofo griego Aristóteles ( siglo  IV  a. C. ) descubrió que los objetos sumergidos en un medio tienden a caer a velocidades proporcionales a su peso. Vitruvio (  siglo I a. C. ) entendió que los objetos caen en función de su gravedad específica . En el siglo VI d. C., el erudito alejandrino bizantino Juan Filopono modificó el concepto aristotélico de gravedad con la teoría del ímpetu . En el siglo VII, el astrónomo indio Brahmagupta habló de la gravedad como una fuerza atractiva. En el siglo XIV, los filósofos europeos Jean Buridan y Alberto de Sajonia —que fueron influenciados por ciertos eruditos islámicos ^[a] — desarrollaron la teoría del ímpetu y la relacionaron con la aceleración y la masa de los objetos. Alberto también desarrolló una ley de proporción respecto a la relación entre la velocidad de un objeto en caída libre y el tiempo transcurrido.

Los italianos del siglo XVI descubrieron que los objetos en caída libre tienden a acelerarse de manera uniforme. En 1632, Galileo Galilei propuso el principio básico de la relatividad . La existencia de la constante gravitacional fue explorada por varios investigadores desde mediados del siglo XVII, lo que ayudó a Isaac Newton a formular su ley de gravitación universal. La mecánica clásica de Newton fue reemplazada a principios del siglo XX, cuando Einstein desarrolló las teorías especial y general de la relatividad. Se plantea la hipótesis de un portador de fuerza elemental de la gravedad en los enfoques de la gravedad cuántica , como la teoría de cuerdas , en una teoría potencialmente unificada del todo .

Antigüedad

Antigüedad clásica

Heráclito, Anaxágoras, Empédocles y Leucipo

Heráclito

Leucipo

El filósofo griego jónico presocrático Heráclito ( c.  535  – c.  475 a. C. ) utilizó la palabra logos ('palabra') para describir un tipo de ley que mantiene el cosmos en armonía, moviendo todos los objetos, incluidas las estrellas, los vientos y las olas. ^[3] Anaxágoras ( c. 500 – c. 428 a. C.), otro filósofo jónico, introdujo el concepto de nous ( mente cósmica ) como fuerza ordenadora. ^[4]

En las obras cosmogónicas del filósofo griego Empédocles ( c.  494 – c. 434/443 a. C.) se distinguían dos fuerzas cósmicas fundamentales opuestas , la “atracción” y la “repulsión”; que Empédocles personificó como “ Amor ” y “Lucha” ( Filotes y Neikos ). ^{[5] [6]}

El antiguo atomista Leucipo (siglo V a. C.) propuso que el cosmos se creó cuando un gran grupo de átomos se unió y giró en un vórtice . Los átomos más pequeños se convirtieron en los cuerpos celestes del cosmos. Los átomos más grandes del centro se unieron para formar una membrana a partir de la cual se formó la Tierra . ^{[7] [8]}

Aristóteles

Aristóteles

Aristóteles descubrió que los objetos sumergidos en un medio tienden a caer a velocidades proporcionales a su peso e inversamente proporcionales a la densidad del medio. ^{[9] [10] [11]}

En el siglo IV a. C., el filósofo griego Aristóteles enseñó que no hay efecto ni movimiento sin una causa . La causa del movimiento natural descendente de los cuerpos pesados, como los elementos tierra y agua , estaba relacionada con su naturaleza ( gravedad ), que los hacía moverse hacia abajo, hacia el centro del universo ( geocéntrico ). Por esta razón, Aristóteles defendía una Tierra esférica , ya que "cada porción de la tierra tiene peso hasta que alcanza el centro, y el empuje de las partes mayores y menores produciría no una superficie ondulada, sino más bien compresión y convergencia de parte y parte hasta que se alcanza el centro". ^[12] Por otro lado, los cuerpos ligeros, como el elemento fuego y aire , se movían por su naturaleza ( levedad ) hacia arriba, hacia la esfera celeste de la Luna (véase esfera sublunar ). Los objetos astronómicos cercanos a las estrellas fijas están compuestos de éter , cuyo movimiento natural es circular. Más allá de ellos se encuentra el motor primario , la causa final de todo movimiento en el cosmos. ^{[13] [14]} En su Física , Aristóteles afirmó correctamente que los objetos sumergidos en un medio tienden a caer a velocidades proporcionales a su peso e inversamente proporcionales a la densidad del medio. ^{[9] [11]}

Estratón de Lámpsaco, Epicuro y Aristarco de Samos

El filósofo griego Estratón de Lámpsaco (c. 335 – c. 269 a. C.) rechazó la creencia aristotélica de los "lugares naturales" a cambio de una visión mecanicista en la que los objetos no ganan peso al caer, argumentando en cambio que el mayor impacto se debía a un aumento de la velocidad. ^{[15] [16]}

Epicuro (c. 341–270 a. C.) consideraba que el peso era una propiedad inherente de los átomos que influye en su movimiento. ^[17] Estos átomos se mueven hacia abajo en caída libre constante dentro de un vacío infinito sin resistencia a la misma velocidad, independientemente de su masa. Por otro lado, el movimiento hacia arriba se debe a las colisiones atómicas . ^[18] Los epicúreos se desviaron de las teorías atomistas más antiguas , como la de Demócrito (c. 460–c. 370 a. C.) al proponer la idea de que los átomos pueden desviarse aleatoriamente de su curso esperado. ^[19]

El astrónomo griego Aristarco de Samos (c. 310 – c. 230 a. C.) teorizó la rotación de la Tierra sobre su propio eje y la órbita de la Tierra alrededor del Sol en una cosmología heliocéntrica . ^[20] Seleuco de Seleucia (c. 190 – c. 150 a. C.) apoyó su cosmología ^[20] y también describió los efectos gravitacionales de la Luna en el rango de mareas . ^[21]

Arquímedes

El físico griego del siglo III a. C. Arquímedes ( c.  287 – c. 212 a. C.) descubrió el centro de masa de un triángulo. ^[22] También postuló que si los centros de gravedad de dos pesos iguales no fueran los mismos, estarían ubicados en el medio de la línea que los une. ^[23] En Sobre los cuerpos flotantes , Arquímedes afirmó que para cualquier objeto sumergido en un fluido existe una fuerza de flotación ascendente equivalente al peso del fluido desplazado por el volumen del objeto. ^[24] Los fluidos descritos por Arquímedes no son autogravitantes, ya que asume que "cualquier fluido en reposo es la superficie de una esfera cuyo centro es el mismo que el de la Tierra". ^{[25] [26]}

Hiparco de Nicea, Lucrecio y Vitruvio

El astrónomo griego Hiparco de Nicea (c. 190 – c. 120 a. C.) también rechazó la física aristotélica y siguió a Estratón al adoptar alguna forma de teoría del impulso para explicar el movimiento. ^{[27] [28]} El poema De rerum natura de Lucrecio (c. 99 – c. 55 a. C.) afirma que los cuerpos más masivos caen más rápido en un medio porque este último resiste menos, pero en el vacío caen con la misma velocidad. ^[29] El ingeniero y arquitecto romano Vitruvio (c. 85 – c. 15 a. C.) sostiene en su De architectura que la gravedad no depende del peso de una sustancia sino más bien de su "naturaleza" ( cf. gravedad específica ):

Si se vierte mercurio en un recipiente y se coloca sobre él una piedra de cien libras de peso, la piedra flota en la superficie y no puede hundir el líquido, ni romperlo, ni separarlo. Si quitamos la pesa de cien libras y le ponemos un escrúpulo de oro, no flotará, sino que se hundirá hasta el fondo por sí sola. Por lo tanto, es innegable que la gravedad de una sustancia no depende de la cantidad de su peso, sino de su naturaleza. ^{[30] [31]}

Plutarco, Plinio el Viejo y Claudio Ptolomeo

Plinio el Viejo

El filósofo griego Plutarco ( c.  46 – 120 d. C. ) atestiguó la existencia de astrónomos romanos que rechazaban la física aristotélica, "incluso contemplando teorías de inercia y gravitación universal ", ^{[32] [33]} y sugirió que la atracción gravitatoria no era exclusiva de la Tierra. ^[34] Los efectos gravitacionales de la Luna sobre las mareas fueron notados por Plinio el Viejo (23–79 d. C.) en su Naturalis Historia ^[35] y Claudio Ptolomeo (100 – c. 170 d. C.) en su Tetrabiblos . ^[36]

Época bizantina

Juan Filópono

En el siglo VI d. C., el erudito alejandrino bizantino Juan Filópono propuso la teoría del ímpetu, que modifica la teoría de Aristóteles de que «la continuación del movimiento depende de la acción continua de una fuerza» incorporando una fuerza causal que disminuye con el tiempo. En su comentario a la Física de Aristóteles afirma que «si uno deja caer simultáneamente desde la misma altura dos cuerpos que difieren mucho en peso, se encontrará que la relación de los tiempos de su movimiento no corresponde a la relación de sus pesos, sino que la diferencia en el tiempo es muy pequeña». ^[37]

Subcontinente indio

Brahmagupta

Ujjain, Ram Ghat, hogar de Brahmagupta y Bhaskaracharya

Brahmagupta (c. 598 – c. 668 d. C.) fue el primero entre los matemáticos / astrónomos indios en describir la gravedad como una fuerza atractiva utilizando el término "gurutvākarṣaṇam (गुरुत्वाकर्षणम्)": ^{[38] [39] [ verificación fallida ] [40] [41] [ verificación fallida ]}

La tierra es la misma por todos sus lados; todos los seres humanos que la habitan se mantienen erguidos y todas las cosas pesadas caen al suelo por una ley de la naturaleza, pues la naturaleza de la tierra es atraer y retener las cosas, como la naturaleza del agua es fluir... Si algo quiere llegar más profundo que la tierra, que lo intente. La tierra es lo único bajo y las semillas siempre vuelven a ella, sin importar en qué dirección las arrojes, y nunca suben desde la tierra. ^{[42] [43] [b]}

Bhaskaracharya

Otro famoso matemático y astrónomo indio , Bhāskarā II (Bhāskarāchārya, "Bhāskara, el maestro", c. 1114 - c. 1185), describe la gravedad como una propiedad atractiva inherente de la Tierra en la sección Golādhyāyah (Sobre las esféricas) de su tratado Siddhānta Shiromani :

La propiedad de atracción es inherente a la Tierra. Por esta propiedad la Tierra atrae hacia sí cualquier cosa pesada que no esté sostenida: la cosa parece caer pero está en un estado de ser atraída hacia la Tierra. ... De esto se desprende que ... las personas situadas a distancias de una cuarta parte de la circunferencia [de la Tierra] de nosotros o en el hemisferio opuesto, no pueden de ninguna manera caer hacia abajo [en el espacio]. ^{[44] [45]}

Mundo islámico

Ibn Sina

Ibn Sina

En el siglo XI d. C., el erudito persa Ibn Sina (Avicena) estuvo de acuerdo con la teoría de Filópono de que "el objeto en movimiento adquiere una inclinación del motor" como explicación del movimiento de proyectiles . ^[46] Ibn Sina luego publicó su propia teoría del ímpetu en El libro de la curación (c. 1020). A diferencia de Filópono, que creía que era una virtud temporal que declinaría incluso en el vacío, Ibn Sina lo veía como algo persistente, que requiere fuerzas externas como la resistencia del aire para disiparlo. ^{[47] [48] [1]} Ibn Sina hizo una distinción entre 'fuerza' e 'inclinación' ( mayl ), y argumentó que un objeto gana mayl cuando el objeto está en oposición a su movimiento natural. Concluyó que la continuación del movimiento se atribuye a la inclinación que se transfiere al objeto, y que el objeto estará en movimiento hasta que se agote el mayl . ^[49] El erudito iraquí Ibn al-Haytham describe la gravedad como una fuerza que hace que los cuerpos más pesados ​​se muevan hacia el centro de la Tierra. También describe que la fuerza de la gravedad sólo se moverá hacia la dirección del centro de la Tierra, no en direcciones diferentes. ^[50]

Al-Biruni

Al-Biruni

Otro erudito persa del siglo XI, Al-Biruni , propuso que los cuerpos celestes tienen masa , peso y gravedad, al igual que la Tierra. Criticó tanto a Aristóteles como a Ibn Sina por sostener la opinión de que solo la Tierra tiene estas propiedades. ^[51] El erudito del siglo XII Al-Khazini sugirió que la gravedad que contiene un objeto varía dependiendo de su distancia al centro del universo (refiriéndose al centro de la Tierra). Al-Biruni y Al-Khazini estudiaron la teoría del centro de gravedad y la generalizaron y aplicaron a los cuerpos tridimensionales. También se desarrollaron métodos experimentales finos para determinar la gravedad específica o el peso específico de los objetos, basados ​​en la teoría de las balanzas y el pesaje . ^[52]

Abu'l-Barakāt al-Baghdādī

En el siglo XII, Abu'l-Barakāt al-Baghdādī adoptó y modificó la teoría de Ibn Sina sobre el movimiento de proyectiles . En su Kitab al-Mu'tabar , Abu'l-Barakat afirmó que el motor imparte una inclinación violenta ( mayl qasri ) sobre el objeto movido y que esta disminuye a medida que el objeto en movimiento se distancia del motor. ^[2] Según Shlomo Pines , la teoría del movimiento de al-Baghdādī era "la negación más antigua de la ley dinámica fundamental de Aristóteles [a saber, que una fuerza constante produce un movimiento uniforme], [y es por lo tanto una] anticipación de manera vaga de la ley fundamental de la mecánica clásica [a saber, que una fuerza aplicada continuamente produce aceleración ]". ^[53]

Renacimiento europeo

Siglo XIV

Una ilustración del siglo XIV de L'Image du monde de Gautier de Metz que muestra la atracción gravitatoria de la Tierra en sus antípodas .

Jean Buridan, los Calculadores de Oxford, Alberto de Sajonia

En el siglo XIV, tanto el filósofo francés Jean Buridan como los Calculadores de Oxford (la Escuela Merton) del Merton College de Oxford rechazaron el concepto aristotélico de gravedad . ^{[54] [c]} Atribuyeron el movimiento de los objetos a un ímpetu (similar al momento ), que varía según la velocidad y la masa; ^{[54] Buridan fue influenciado en esto por} el Libro de la curación de Ibn Sina . ^[1] Buridan y el filósofo Alberto de Sajonia (c. 1320-1390) adoptaron la teoría de Abu'l-Barakat de que la aceleración de un cuerpo que cae es el resultado de su ímpetu creciente. ^[2] Influenciado por Buridan, Alberto desarrolló una ley de proporción con respecto a la relación entre la velocidad de un objeto en caída libre y el tiempo transcurrido. ^[55] También teorizó que las montañas y los valles son causados ​​por la erosión ^[d] —desplazando el centro de gravedad de la Tierra. ^{[56] [e]}

Movimiento uniforme y difuso

La expresión de Domingo de Soto movimiento uniformemente acelerado tiene su origen en los términos movimiento "uniforme" y movimiento "difforme" de los Calculadores de Oxford. [ ^58] El movimiento "uniforme" se utilizaba de forma diferente en aquel entonces que en la actualidad. El movimiento "uniforme" podía referirse tanto a la velocidad constante como al movimiento en el que todas las partes de un cuerpo se mueven a la misma velocidad. Aparentemente, los Calculadores no ilustraron los diferentes tipos de movimiento con ejemplos del mundo real. ^[58] John of Holland, de la Universidad de Praga, ilustró el movimiento uniforme con lo que más tarde se llamaría velocidad uniforme, pero también con una piedra que cae (todas las partes se mueven a la misma velocidad) y con una esfera en rotación uniforme. Sin embargo, sí hizo distinciones entre diferentes tipos de movimiento "uniforme". El movimiento difforme se ejemplificaba caminando a una velocidad creciente. ^[58]

Teorema de velocidad media

Nicole Oresme

También en el siglo XIV, la Escuela de Merton desarrolló el teorema de la velocidad media ; un cuerpo uniformemente acelerado que parte del reposo recorre la misma distancia que un cuerpo con velocidad uniforme cuya velocidad es la mitad de la velocidad final del cuerpo acelerado. El teorema de la velocidad media fue demostrado por Nicole Oresme (c. 1323-1382) y sería influyente en ecuaciones gravitacionales posteriores . ^[54] Escrito como una ecuación moderna:

${\displaystyle \ s={\frac {1}{2}}v_{f}t}$

Sin embargo, como no se podían medir intervalos de tiempo pequeños, la relación entre el tiempo y la distancia no era tan evidente como sugiere la ecuación. En términos más generales, las ecuaciones, que no se usaron ampliamente hasta después de la época de Galileo, implican una claridad que no existía.

Siglo XV-XVII

Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci (1452-1519) hizo dibujos que registraban la aceleración de los objetos que caían. ^[59] Escribió que la "madre y origen de la gravedad" es la energía . Describe dos pares de poderes físicos que se derivan de un origen metafísico y tienen un efecto sobre todo: abundancia de fuerza y ​​movimiento, y gravedad y resistencia. Asocia la gravedad con los elementos clásicos "fríos" , agua y tierra, y llama a su energía infinita. ^{[60] [f]} En el Codex Arundel , Leonardo registró que si un jarrón que vierte agua se mueve transversalmente (de lado), simulando la trayectoria de un objeto que cae verticalmente, produce un triángulo rectángulo con la misma longitud de cateto, compuesto por material que cae que forma la hipotenusa y la trayectoria del jarrón que forma uno de los catetos. ^[62] En la hipotenusa, Leonardo notó la equivalencia de los dos movimientos ortogonales, uno efectuado por la gravedad y el otro propuesto por el experimentador. ^[62]

Nicolás Copérnico, Petrus Apianus

Nicolás Copérnico

En 1514, Nicolás Copérnico había escrito un bosquejo de su modelo heliocéntrico , en el que afirmaba que el centro de la Tierra es el centro tanto de su rotación como de la órbita de la Luna . ^{[63] [g]} En 1533, el humanista alemán Petrus Apianus describió el ejercicio de la gravedad: ^[h]

Como es evidente que en el descenso se adquiere más impedimento, es evidente que por ello disminuye la gravedad. Pero como esto se produce por la posición de los cuerpos pesados, llamémosla gravedad posicional [es decir, gravitas secundum situm ] ^[66]

Francesco Beato y Luca Ghini

Luca Ghini

En 1544, según Benedetto Varchi , los experimentos de al menos dos italianos, Francesco Beato, un filósofo dominico de Pisa, y Luca Ghini , un médico y botánico de Bolonia, habían disipado la afirmación aristotélica de que los objetos caen a velocidades proporcionales a su peso. ^[67]

Domingo de Soto

Domingo de Soto

En 1551, Domingo de Soto teorizó que los objetos en caída libre se aceleran uniformemente en su libro Physicorum Aristotelis quaestiones . ^[68] Esta idea fue posteriormente explorada con más detalle por Galileo Galilei, quien derivó su cinemática del Merton College del siglo XIV y de Jean Buridan, ^[54] y posiblemente también de De Soto. ^[68]

Simón Stevin

Simón Stevin

En 1585, el erudito flamenco Simon Stevin realizó una demostración para Jan Cornets de Groot , un político local de la ciudad holandesa de Delft . ^[69] Stevin dejó caer dos bolas de plomo desde la Nieuwe Kerk de esa ciudad. A partir del sonido de los impactos, Stevin dedujo que las bolas habían caído a la misma velocidad. El resultado se publicó en 1586. ^{[70] [71]}

Tomemos (como lo hemos hecho Jan Cornets de Groot y yo) dos bolas de plomo, una diez veces más grande y pesada que la otra, y dejémoslas caer juntas desde una altura de treinta pies sobre una tabla o algo sobre lo que produzcan un sonido perceptible. Entonces se verá que la más ligera no tardará diez veces más en llegar que la más pesada, sino que caerán juntas sobre la tabla tan simultáneamente que sus dos sonidos parecerán ser uno y el mismo. ... Por lo tanto, Aristóteles ... está equivocado.

—  Simon Stevin, De Beghinselen der Weeghconst

Galileo Galilei

Comparación de la visión antigua y el resultado del experimento (el tamaño de las esferas representa sus masas, no sus volúmenes)

Entre 1589 y 1592, ^[72] se dice que el científico italiano Galileo Galilei (entonces profesor de matemáticas en la Universidad de Pisa ) dejó caer "pesos desiguales del mismo material" desde la Torre Inclinada de Pisa para demostrar que su tiempo de descenso era independiente de su masa, según una biografía del alumno de Galileo Vincenzo Viviani , compuesta en 1654 y publicada en 1717. ^{[73] [74] : 19–21  [75] [76]} La premisa básica ya había sido demostrada por experimentadores italianos unas décadas antes.

Según la historia, Galileo descubrió a través de este experimento que los objetos caían con la misma aceleración, lo que demostró que su predicción era cierta, al mismo tiempo que refutaba la teoría de la gravedad de Aristóteles (que afirma que los objetos caen a una velocidad proporcional a su masa). La mayoría de los historiadores consideran que fue un experimento mental más que una prueba física. ^[77]

Galileo aplicó con éxito las matemáticas a la aceleración de objetos en caída, ^[78] planteando correctamente en una carta de 1604 a Paolo Sarpi la hipótesis de que la distancia de un objeto en caída es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido. ^{[79] [i]}

He llegado a una proposición, ... a saber, que los espacios recorridos en el movimiento natural están en la proporción cuadrada de los tiempos.

—  Galileo Galilei, Carta a Paolo Sarpi

Escrito con símbolos modernos: s ∝ t ²

El resultado fue publicado en Dos nuevas ciencias en 1638. En el mismo libro, Galileo sugirió que la ligera variación de la velocidad de caída de objetos de diferente masa se debía a la resistencia del aire, y que los objetos caerían de manera completamente uniforme en el vacío. ^[80] La relación entre la distancia de los objetos en caída libre y el cuadrado del tiempo empleado fue confirmada por los jesuitas italianos Grimaldi y Riccioli entre 1640 y 1650. También hicieron un cálculo de la gravedad de la Tierra registrando las oscilaciones de un péndulo. ^[81]

Johannes Kepler

Johannes Kepler

En su Astronomia nova (1609), Johannes Kepler propuso una fuerza de atracción de radio limitado entre cuerpos "afines":

La gravedad es una disposición corporal mutua entre cuerpos afines para unirse o juntarse; así, la tierra atrae a una piedra mucho más de lo que la piedra busca la tierra. (La facultad magnética es otro ejemplo de este tipo)... Si dos piedras se colocaran cerca una de otra en algún lugar del mundo fuera de la esfera de influencia de un tercer cuerpo afín, estas piedras, como dos cuerpos magnéticos, se unirían en un lugar intermedio, aproximándose cada una a la otra por un espacio proporcional al volumen [ moles ] de la otra.... ^[82]

Evangelista Torricelli

Evangelista Torricelli , discípulo de Galileo, reiteró el modelo de Aristóteles que implica un centro gravitacional y añadió su opinión de que un sistema sólo puede estar en equilibrio cuando el propio centro común es incapaz de caer. ^[65]

Ilustración europea

La relación entre la distancia de los objetos en caída libre y el cuadrado del tiempo empleado fue confirmada por Francesco Maria Grimaldi y Giovanni Battista Riccioli entre 1640 y 1650. También realizaron un cálculo de la gravedad de la Tierra constante registrando las oscilaciones de un péndulo. ^[83]

Explicaciones mecánicas

En 1644, René Descartes propuso que no puede existir ningún espacio vacío y que un continuo de materia hace que todo movimiento sea curvilíneo . Por lo tanto, la fuerza centrífuga empuja la materia relativamente ligera lejos de los vórtices centrales de los cuerpos celestes, reduciendo la densidad localmente y creando así presión centrípeta . ^{[84] [85]} Utilizando aspectos de esta teoría, entre 1669 y 1690, Christiaan Huygens diseñó un modelo matemático de vórtice. En una de sus pruebas, muestra que la distancia transcurrida por un objeto dejado caer desde una rueda giratoria aumentará proporcionalmente al cuadrado del tiempo de rotación de la rueda. ^[86] En 1671, Robert Hooke especuló que la gravitación es el resultado de los cuerpos que emiten ondas en el éter . ^{[87] [j]} Nicolas Fatio de Duillier (1690) y Georges-Louis Le Sage (1748) propusieron un modelo corpuscular que utilizaba algún tipo de mecanismo de protección o sombreado. En 1784, Le Sage postuló que la gravedad podría ser el resultado de la colisión de átomos y, a principios del siglo XIX, amplió la teoría de la presión corpuscular de Daniel Bernoulli al universo en su conjunto. ^[88] Un modelo similar fue creado más tarde por Hendrik Lorentz  (1853-1928), que utilizó radiación electromagnética en lugar de corpúsculos.

El matemático inglés Isaac Newton utilizó el argumento de Descartes de que el movimiento curvilíneo restringe la inercia, ^[89] y en 1675, argumentó que las corrientes de éter atraen a todos los cuerpos entre sí. ^[k] Newton (1717) y Leonhard Euler  (1760) propusieron un modelo en el que el éter pierde densidad cerca de la masa, lo que lleva a una fuerza neta que actúa sobre los cuerpos. ^{[ cita requerida ]} Entre 1650 y 1900 se crearon más explicaciones mecánicas de la gravitación (incluida la teoría de Le Sage ) para explicar la teoría de Newton, pero los modelos mecanicistas finalmente cayeron en desgracia porque la mayoría de ellos conducen a una cantidad inaceptable de arrastre (resistencia del aire), que no se observó. Otros violan la ley de conservación de la energía y son incompatibles con la termodinámica moderna . ^[90]

El 'peso' antes de Newton

Antes de Newton, «peso» tenía el doble significado de «cantidad» y «pesadez». ^[91]

Lo que hoy conocemos como masa se llamaba hasta la época de Newton “peso”… Un orfebre creía que una onza de oro era una cantidad de oro… Pero los antiguos creían que una balanza de brazos también medía la “pesadez”, que reconocían a través de sus sentidos musculares… Se creía que la masa y su fuerza descendente asociada eran la misma cosa. Kepler formuló un concepto [distinto] de masa (“cantidad de materia” ( copia materiae )), pero lo llamó “peso”, como lo hacía todo el mundo en esa época.

—  KM Browne, El significado prenewtoniano de la palabra “peso”

Masa a diferencia del peso

Retrato de Isaac Newton (1642-1727) por Godfrey Kneller (1689)

En 1686, Newton dio su nombre al concepto de masa. En el primer párrafo de Principia , Newton definió la cantidad de materia como “densidad y volumen conjuntamente”, y la masa como cantidad de materia. ^[92]

La cantidad de materia es la medida de la misma, que surge de su densidad y volumen conjuntamente. ... Es esta cantidad a la que me refiero en adelante en todas partes bajo el nombre de cuerpo o masa. Y lo mismo se conoce por el peso de cada cuerpo, porque es proporcional al peso.

—  Isaac Newton, Principios matemáticos de la filosofía natural, Definición I.

Ley de gravitación universal de Newton

En 1679, Robert Hooke le escribió a Isaac Newton sobre su hipótesis acerca del movimiento orbital, que depende en parte de una fuerza del cuadrado inverso . ^{[93] [l]} En 1684, tanto Hooke como Newton le dijeron a Edmond Halley que habían demostrado la ley del cuadrado inverso del movimiento planetario, en enero y agosto, respectivamente. ^[95] Aunque Hooke se negó a presentar sus pruebas, Newton se vio impulsado a componer De motu corporum in gyrum ('Sobre el movimiento de los cuerpos en una órbita'), en el que deriva matemáticamente las leyes de Kepler del movimiento planetario . ^[95] En 1687, con el apoyo de Halley (y para consternación de Hooke ), Newton publicó Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ( Principios matemáticos de la filosofía natural ), que plantea la hipótesis de la ley del cuadrado inverso de la gravitación universal . ^[95] En sus propias palabras:

Deduje que las fuerzas que mantienen a los planetas en sus órbitas deben ser recíprocamente iguales a los cuadrados de sus distancias desde los centros alrededor de los cuales giran; y de ese modo comparé la fuerza necesaria para mantener a la Luna en su órbita con la fuerza de gravedad en la superficie de la Tierra; y encontré que coincidían bastante bien.

La fórmula original de Newton era:

${\displaystyle {\rm {Force\,of\,gravity}}\propto {\frac {\rm {mass\,of\,object\,1\,\times \,mass\,of\,object\,2}}{\rm {distance\,from\,centers^{2}}}}}$

donde el símbolo significa "es proporcional a". Para convertir esto en una fórmula o ecuación de lados iguales, era necesario que existiera un factor o constante multiplicador que diera la fuerza de gravedad correcta sin importar el valor de las masas o la distancia entre ellas: la constante gravitacional . Newton necesitaría una medida precisa de esta constante para demostrar su ley del cuadrado inverso. No se disponía de mediciones razonablemente precisas hasta el experimento de Cavendish realizado por Henry Cavendish en 1797. ^[96] ${\displaystyle \propto }$

En la teoría de Newton ^[97] (reescrita usando matemáticas más modernas) la densidad de masa genera un campo escalar, el potencial gravitacional en julios por kilogramo, por ${\displaystyle \rho \,}$ ${\displaystyle \varphi \,}$

${\displaystyle {\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{j}\,\partial x^{j}}=4\pi G\rho \,.}$

Usando el operador Nabla para el gradiente y la divergencia (derivadas parciales), esto se puede escribir convenientemente como: ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =4\pi G\rho \,.}$

Este campo escalar gobierna el movimiento de una partícula en caída libre mediante:

${\displaystyle {d^{2}x^{j} \over dt^{2}}=-{\partial \varphi \over \partial x^{j}\,}.}$

A una distancia r de una masa aislada M , el campo escalar es

${\displaystyle \varphi =-{\frac {GM}{r}}\,.}$

Los Principia se agotaron rápidamente, lo que inspiró a Newton a publicar una segunda edición en 1713. ^{[98] [99]} Sin embargo, la teoría de la gravedad en sí no fue aceptada rápidamente.

La teoría de la gravedad se enfrentó a dos barreras. Primero, científicos como Gottfried Wilhelm Leibniz se quejaron de que dependía de la acción a distancia , de que el mecanismo de la gravedad era "invisible, intangible y no mecánico". ^{[100] : 339  [101] : 144} El filósofo francés Voltaire contrarrestó estas preocupaciones, escribiendo finalmente su propio libro para explicar aspectos de la teoría a los lectores franceses en 1738, lo que ayudó a popularizar la teoría de Newton. ^[102]

En segundo lugar, las comparaciones detalladas con los datos astronómicos no fueron inicialmente favorables. Entre los problemas más evidentes estaba la llamada gran desigualdad de Júpiter y Saturno . Las comparaciones de las observaciones astronómicas antiguas con las de principios del siglo XVIII implicaban que la órbita de Saturno aumentaba en diámetro mientras que la de Júpiter disminuía. En última instancia, esto significaba que Saturno saldría del Sistema Solar y Júpiter colisionaría con otros planetas o el Sol. El problema fue abordado primero por Leonhard Euler en 1748, luego por Joseph-Louis Lagrange en 1763, y por Pierre-Simon Laplace en 1773. Cada esfuerzo mejoró el tratamiento matemático hasta que Laplace resolvió el problema en 1784 aproximadamente 100 años después de la primera publicación de Newton sobre la gravedad. Laplace demostró que los cambios eran periódicos pero con períodos inmensamente largos más allá de cualquier medición existente. ^{[103] : 144}

Éxitos como la solución al gran misterio de la desigualdad de Júpiter y Saturno se acumularon. En 1755, el filósofo prusiano Immanuel Kant publicó un manuscrito cosmológico basado en los principios newtonianos, en el que desarrolla una versión temprana de la hipótesis nebular . ^[104] Edmond Halley propuso que los objetos de aspecto similar que aparecen cada 76 años eran de hecho un solo cometa. La aparición del cometa en 1759, ahora llamado así en su honor, dentro de un mes de las predicciones basadas en la gravedad de Newton, mejoró enormemente la opinión científica de la teoría. ^[105] La teoría de Newton disfrutó de su mayor éxito cuando se utilizó para predecir la existencia de Neptuno basándose en los movimientos de Urano que no podían explicarse por las acciones de los otros planetas. Los cálculos de John Couch Adams y Urbain Le Verrier predijeron la posición general del planeta. En 1846, Le Verrier envió su posición a Johann Gottfried Galle , pidiéndole que la verificara. Esa misma noche, Galle avistó a Neptuno cerca de la posición que Le Verrier había predicho. ^[106]

No todas las comparaciones resultaron satisfactorias. A finales del siglo XIX, Le Verrier demostró que la órbita de Mercurio no podía explicarse en su totalidad bajo la gravedad newtoniana, y todas las búsquedas de otro cuerpo perturbador (como un planeta que orbitara el Sol aún más cerca que Mercurio) resultaron infructuosas. ^[107] Aun así, se cree que la teoría de Newton es excepcionalmente precisa en el límite de los campos gravitatorios débiles y las velocidades bajas.

A finales del siglo XIX, muchos intentaron combinar la ley de fuerza de Newton con las leyes establecidas de la electrodinámica (como las de Wilhelm Eduard Weber , Carl Friedrich Gauss y Bernhard Riemann ) para explicar la precesión anómala del perihelio de Mercurio . En 1890, Maurice Lévy lo logró combinando las leyes de Weber y Riemann, por las cuales la velocidad de la gravedad es igual a la velocidad de la luz. En otro intento, Paul Gerber (1898) logró derivar la fórmula correcta para el desplazamiento del perihelio (que era idéntica a la fórmula utilizada más tarde por Albert Einstein). Estas hipótesis fueron rechazadas debido a las leyes obsoletas en las que se basaban, siendo reemplazadas por las de James Clerk Maxwell . ^[90]

Era moderna

En 1900, Hendrik Lorentz intentó explicar la gravedad basándose en su teoría del éter y las ecuaciones de Maxwell . Supuso, como Ottaviano Fabrizio Mossotti y Johann Karl Friedrich Zöllner , que la atracción de partículas con cargas opuestas es más fuerte que la repulsión de partículas con cargas iguales. La fuerza neta resultante es exactamente lo que se conoce como gravitación universal, en la que la velocidad de la gravedad es la de la luz. Lorentz calculó que el valor del avance del perihelio de Mercurio era demasiado bajo. ^[108]

A finales del siglo XIX, Lord Kelvin consideró la posibilidad de una teoría del todo . ^[109] Propuso que todos los cuerpos pulsan, lo que podría ser una explicación de la gravitación y las cargas eléctricas . Sus ideas eran en gran medida mecanicistas y requerían la existencia del éter, que el experimento de Michelson-Morley no logró detectar en 1887. Esto, combinado con el principio de Mach , condujo a modelos gravitacionales que presentan acción a distancia .

Albert Einstein desarrolló su revolucionaria teoría de la relatividad en artículos publicados en 1905 y 1915; estos explican la precesión del perihelio de Mercurio. ^[107] En 1914, Gunnar Nordström intentó unificar la gravedad y el electromagnetismo en su teoría de la gravitación de cinco dimensiones . ^[m] La relatividad general se demostró en 1919, cuando Arthur Eddington observó lentes gravitacionales alrededor de un eclipse solar, que coincidían con las ecuaciones de Einstein. Esto dio como resultado que la teoría de Einstein reemplazara a la física newtoniana. ^[110] Posteriormente, el matemático alemán Theodor Kaluza promovió la idea de la relatividad general con una quinta dimensión, que en 1921 el físico sueco Oskar Klein dio una interpretación física en una teoría de cuerdas prototípica , un posible modelo de gravedad cuántica y teoría potencial de todo.

Albert Einstein en 1921

Las ecuaciones de campo de Einstein incluyen una constante cosmológica para explicar la supuesta estaticidad del universo . Sin embargo, Edwin Hubble observó en 1929 que el universo parece estar expandiéndose. En la década de 1930, Paul Dirac desarrolló la hipótesis de que la gravitación debería disminuir lenta y constantemente a lo largo de la historia del universo. ^[111] Alan Guth y Alexei Starobinsky propusieron en 1980 que la inflación cósmica en el universo primitivo podría haber sido impulsada por un campo de presión negativa , un concepto acuñado posteriormente como " energía oscura ", que en 2013 se descubrió que constituía alrededor del 68,3% del universo primitivo. ^[112]

En 1922, Jacobus Kapteyn propuso la existencia de materia oscura , una fuerza invisible que mueve las estrellas en las galaxias a velocidades más altas que las que la gravedad por sí sola puede explicar. En 2013 se descubrió que constituía el 26,8 % del universo primitivo. ^[112] Junto con la energía oscura, la materia oscura es un caso atípico en la relatividad de Einstein, y una explicación de sus efectos aparentes es un requisito para una teoría del todo exitosa.

En 1957, Hermann Bondi propuso que la masa gravitacional negativa (combinada con la masa inercial negativa) cumpliría con el principio de equivalencia fuerte de la relatividad general y las leyes del movimiento de Newton . La prueba de Bondi arrojó soluciones libres de singularidades para las ecuaciones de relatividad. ^[113]

Las primeras teorías de la gravedad intentaron explicar las órbitas planetarias (Newton) y órbitas más complicadas (p. ej., Lagrange). Luego vinieron los intentos infructuosos de combinar la gravedad con las teorías ondulatorias o corpusculares de la gravedad. Todo el panorama de la física cambió con el descubrimiento de las transformaciones de Lorentz , y esto condujo a intentos de reconciliarla con la gravedad. Al mismo tiempo, los físicos experimentales comenzaron a probar los fundamentos de la gravedad y la relatividad: la invariancia de Lorentz , la desviación gravitacional de la luz , el experimento de Eötvös . Estas consideraciones condujeron al desarrollo de la relatividad general .

Einstein (1905, 1908, 1912)

En 1905, Albert Einstein publicó una serie de artículos en los que estableció la teoría especial de la relatividad y el hecho de que la masa y la energía son equivalentes . En 1907, en lo que describió como "el pensamiento más feliz de mi vida", Einstein se dio cuenta de que alguien que está en caída libre no experimenta ningún campo gravitatorio. En otras palabras, la gravitación es exactamente equivalente a la aceleración.

La publicación en dos partes de Einstein en 1912 ^{[114] [115]} (y antes en 1908) es realmente importante sólo por razones históricas. Para entonces ya conocía el corrimiento al rojo gravitacional y la desviación de la luz. Se había dado cuenta de que las transformaciones de Lorentz no son de aplicación general, pero las mantuvo. La teoría establece que la velocidad de la luz es constante en el espacio libre pero varía en presencia de materia. Se esperaba que la teoría sólo fuera válida cuando la fuente del campo gravitacional es estacionaria. Incluye el principio de mínima acción :

${\displaystyle \delta \int d\tau =0\,}$

${\displaystyle {d\tau }^{2}=-\eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

donde es la métrica de Minkowski , y hay una suma de 1 a 4 sobre los índices y . ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle \mu \,}$ ${\displaystyle \nu \,}$

Einstein y Grossmann ^[116] incluyen la geometría de Riemann y el cálculo tensorial .

${\displaystyle \delta \int d\tau =0\,}$

${\displaystyle {d\tau }^{2}=-g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

Las ecuaciones de la electrodinámica coinciden exactamente con las de la relatividad general. La ecuación

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\rho {dx^{\mu } \over d\tau }{dx^{\nu } \over d\tau }\,}$

No se encuentra en la relatividad general. Expresa el tensor de tensión-energía como función de la densidad de materia.

Modelos invariantes de Lorentz (1905-1910)

Basándose en el principio de relatividad , Henri Poincaré (1905, 1906), Hermann Minkowski (1908) y Arnold Sommerfeld (1910) intentaron modificar la teoría de Newton y establecer una ley gravitacional invariante de Lorentz , en la que la velocidad de la gravedad es la de la luz. Como en el modelo de Lorentz, el valor del avance del perihelio de Mercurio era demasiado bajo. ^[117]

Abraham (1912)

Mientras tanto, Max Abraham desarrolló un modelo alternativo de la gravedad en el que la velocidad de la luz depende de la intensidad del campo gravitatorio y, por lo tanto, es variable en casi todas partes. Se dice que la revisión de los modelos gravitacionales que realizó Abraham en 1914 es excelente, pero su propio modelo era deficiente.

Nordström (1912)

El primer enfoque de Nordström (1912) ^[118] fue conservar la métrica de Minkowski y un valor constante de pero dejar que la masa dependa de la intensidad del campo gravitatorio . Permitir que esta intensidad de campo satisfaga ${\displaystyle c\,}$ ${\displaystyle \varphi \,}$

${\displaystyle \Box \varphi =\rho \,}$

¿Dónde está la energía de la masa en reposo y es el d'Alembertiano ? ${\displaystyle \rho \,}$ ${\displaystyle \Box \,}$

${\displaystyle m=m_{0}\exp \left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)\,}$

¿Dónde está la masa cuando el potencial gravitacional se desvanece y, ${\displaystyle m_{0}}$

${\displaystyle -{\partial \varphi \over \partial x^{\mu }}={\dot {u}}_{\mu }+{u_{\mu } \over c^{2}{\dot {\varphi }}}\,}$

donde es la cuadrivelocidad y el punto es un diferencial con respecto al tiempo. ${\displaystyle u\,}$

El segundo enfoque de Nordström (1913) ^[119] se recuerda como la primera teoría relativista de campo de la gravitación lógicamente consistente jamás formulada (notación de Pais ^[120], no de Nordström):

${\displaystyle \delta \int \psi \,d\tau =0\,}$

${\displaystyle {d\tau }^{2}=-\eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

¿Dónde está un campo escalar? ${\displaystyle \psi \,}$

${\displaystyle -{\partial T^{\mu \nu } \over \partial x^{\nu }}=T{1 \over \psi }{\partial \psi \over \partial x_{\mu }}\,}$

Esta teoría es invariante de Lorentz, satisface las leyes de conservación, se reduce correctamente al límite newtoniano y satisface el principio de equivalencia débil .

Einstein y Fokker (1914)

Esta teoría ^[121] es el primer tratamiento de Einstein de la gravitación en el que se respeta estrictamente la covarianza general.

${\displaystyle \delta \int ds=0\,}$

${\displaystyle {ds}^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\psi ^{2}\eta _{\mu \nu }\,}$

Relacionan a Einstein-Grossmann ^[116] con Nordström. ^[119] También afirman:

${\displaystyle T\,\propto \,R\,.}$

Es decir, la traza del tensor de energía de tensión es proporcional a la curvatura del espacio.

Entre 1911 y 1915, Einstein desarrolló la idea de que la gravitación es equivalente a la aceleración, inicialmente enunciada como el principio de equivalencia , en su teoría general de la relatividad, que fusiona las tres dimensiones del espacio y la única dimensión del tiempo en el tejido cuatridimensional del espacio-tiempo . Sin embargo, no unifica la gravedad con los cuantos —partículas individuales de energía— cuya existencia el propio Einstein había postulado en 1905.

Relatividad general

Ilustración que explica la relevancia del eclipse solar total del 29 de mayo de 1919 , de la edición del 22 de noviembre de 1919 de The Illustrated London News

En la relatividad general, los efectos de la gravitación se atribuyen a la curvatura del espacio-tiempo en lugar de a una fuerza. El punto de partida de la relatividad general es el principio de equivalencia, que equipara la caída libre con el movimiento inercial. El problema que esto crea es que los objetos en caída libre pueden acelerarse unos con respecto a otros. Para lidiar con esta dificultad, Einstein propuso que el espacio-tiempo está curvado por la materia, y que los objetos en caída libre se mueven a lo largo de trayectorias localmente rectas en el espacio-tiempo curvado . Más específicamente, Einstein y David Hilbert descubrieron las ecuaciones de campo de la relatividad general, que relacionan la presencia de materia y la curvatura del espacio-tiempo. Estas ecuaciones de campo son un conjunto de 10 ecuaciones diferenciales simultáneas , no lineales . Las soluciones de las ecuaciones de campo son los componentes del tensor métrico del espacio - tiempo, que describe su geometría. Las trayectorias geodésicas del espacio-tiempo se calculan a partir del tensor métrico.

Las soluciones notables de las ecuaciones de campo de Einstein incluyen:

• La solución de Schwarzschild , que describe el espacio-tiempo que rodea a un objeto masivo no cargado, no rotatorio y simétrico de forma esférica . Para objetos con radios menores que el radio de Schwarzschild , esta solución genera un agujero negro con una singularidad central.
• Solución de Reissner-Nordström , en la que el objeto central tiene una carga eléctrica. Para cargas con una longitud geometrizada menor que la longitud geometrizada de la masa del objeto, esta solución produce agujeros negros con un horizonte de sucesos que rodea a un horizonte de Cauchy .
• La solución de Kerr para objetos masivos en rotación. Esta solución también produce agujeros negros con múltiples horizontes.
• La solución cosmológica de Robertson-Walker (de 1922 y 1924), que predice la expansión del universo. ^{[ cita requerida ]}

La relatividad general ha tenido mucho éxito porque sus predicciones (que no exigían las teorías de la gravedad anteriores) se han confirmado periódicamente. Por ejemplo:

• La relatividad general explica la precesión anómala del perihelio de Mercurio. ^[107]
• El efecto de lente gravitacional se confirmó por primera vez en 1919, y más recientemente se confirmó firmemente mediante el uso de un cuásar que pasa detrás del Sol visto desde la Tierra.
• La expansión del universo (predicha por la métrica de Robertson-Walker ) fue confirmada por Edwin Hubble en 1929.
• La predicción de que el tiempo corre más lento a potenciales más bajos ha sido confirmada por el experimento de Pound-Rebka , el experimento de Hafele-Keating y el GPS .
• El retraso temporal de la luz al pasar cerca de un objeto masivo fue identificado por primera vez por Irwin Shapiro en 1964 en señales de naves espaciales interplanetarias.
• La radiación gravitacional se ha confirmado indirectamente a través de estudios de púlsares binarios como PSR 1913+16 .
  • En 2015, los experimentos LIGO detectaron directamente la radiación gravitacional de dos agujeros negros en colisión , lo que convirtió esta en la primera observación directa tanto de ondas gravitacionales como de agujeros negros. ^[122]

Se cree que las fusiones de estrellas de neutrones (detectadas en 2017) ^[123] y la formación de agujeros negros también pueden crear cantidades detectables de radiación gravitacional.

Gravedad cuántica

Varias décadas después del descubrimiento de la relatividad general, se comprendió que no puede ser la teoría completa de la gravedad porque es incompatible con la mecánica cuántica . ^[124] Más tarde se entendió que es posible describir la gravedad en el marco de la teoría cuántica de campos como las otras fuerzas fundamentales . En este marco, la fuerza atractiva de la gravedad surge debido al intercambio de gravitones virtuales , de la misma manera que la fuerza electromagnética surge del intercambio de fotones virtuales . ^{[125] [126]} Esto reproduce la relatividad general en el límite clásico , pero solo en el nivel linealizado y postulando que se cumplen las condiciones para la aplicabilidad del teorema de Ehrenfest , lo que no siempre es el caso. Además, este enfoque falla a distancias cortas del orden de la longitud de Planck . ^[124]

Véase también

• Antigravedad
• Historia de la física

Referencias

Notas al pie

1. Ibn Sina y Abu'l-Barakat , respectivamente ^{[1] [2]}
2. La fuente de esta cita es India de Al-Biruni (c. 1030). ^[42]
3. Esto se interpretó como que el peso de los objetos se derivaba de la presión del aire debajo de ellos. ^[54]
4. Leonardo da Vinci probó esta teoría observando fósiles traza , ^[56] que utilizó para argumentar contra el mito de un diluvio universal . ^[57]
5. Además, planteó la hipótesis de que el planeta está en equilibrio cuando su centro de gravedad coincide con el de su masa. ^[56]
6. Leonardo no publicó sus manuscritos y éstos no tuvieron influencia directa en la ciencia posterior. ^[61]
7. Explicó estos movimientos diciendo: "La rotación es natural en una esfera, y por ese mismo acto se expresa su forma". ^[64]
8. El físico Pierre Duhem atribuye erróneamente esto a Jordanus Nemorarius , a quien llama el "precursor de Leonardo". Leonardo alude a Jordanus en sus cuadernos, pero no a ninguna de sus teorías. ^[65]
9. La distancia recorrida en sucesivos intervalos iguales de tiempo se calcula con un modelo triangular cuyo ancho (que representa la velocidad máxima) aumenta en dos por cada sección igual de altura (que representa el tiempo transcurrido). Esto está previsto en parte por la regla de Merton . ^[79]
10. James Challis repitió esta suposición en 1869.
11. Bernhard Riemann formuló un argumento similar en 1853.
12. Newton casi con certeza fue influenciado por esta correspondencia para realizar su trabajo posterior sobre la gravitación, ^[93] aunque negó que Hooke le hubiera hablado de la fuerza del cuadrado inverso. ^[94]
13. En la teoría de cuerdas , las dimensiones superiores a cuatro permiten la existencia de realidades paralelas , que junto con el principio antrópico , ayudan a explicar la casi imposibilidad estadística de nuestro universo finamente ajustado .

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