De motu corporum in gyrum [a](dellatín: "Sobre el movimiento de los cuerpos en una órbita"; abreviado De Motu [b]) es el presunto título de un manuscrito deIsaac Newtonenviado aEdmond Halleyen noviembre de 1684. El manuscrito Fue motivado por una visita de Halley a principios de ese año, cuando había interrogado a Newton sobre los problemas que entonces ocupaban las mentes de Halley y su círculo científico en Londres, incluidos SirChristopher WrenyRobert Hooke.
Este manuscrito proporcionó importantes derivaciones matemáticas relacionadas con las tres relaciones ahora conocidas como " leyes del movimiento planetario de Kepler " (antes del trabajo de Newton, estas no se habían considerado generalmente como leyes científicas ). [2] Halley informó la comunicación de Newton a la Royal Society el 10 de diciembre de 1684 ( estilo antiguo ). [3] Después de un mayor estímulo por parte de Halley, Newton desarrolló y escribió su libro Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (comúnmente conocido como Principia ) a partir de un núcleo que se puede ver en De Motu , cuyo contenido casi todo también reaparece en los Principios .
Una de las copias supervivientes de De Motu se hizo inscribiéndola en el libro de registro de la Royal Society y su texto (en latín) está disponible en línea. [4]
Para facilitar la referencia cruzada al contenido de De Motu que apareció nuevamente en los Principia , hay fuentes en línea para los Principia en traducción al inglés, [5] así como en latín. [6]
De motu corporum in gyrum es lo suficientemente breve como para exponer aquí el contenido de sus diferentes apartados. Contiene 11 proposiciones, etiquetadas como "teoremas" y "problemas", algunas con corolarios. Antes de llegar a este tema central, Newton comienza con algunos preliminares:
(La primera ley del movimiento posterior de Newton tiene un efecto similar, la Ley 1 de los Principia ).
Luego siguen dos puntos preliminares más:
Luego sigue el tema principal de Newton, etiquetado como teoremas, problemas, corolarios y escolios :
El teorema 1 demuestra que cuando un cuerpo en órbita está sujeto sólo a una fuerza centrípeta, se deduce que un radio vector, trazado desde el cuerpo hasta el centro de atracción, barre áreas iguales en tiempos iguales (sin importar cómo varía la fuerza centrípeta con la distancia). . (Newton utiliza para esta derivación – como lo hace en demostraciones posteriores en este De Motu , así como en muchas partes de los Principia posteriores – un argumento límite del cálculo infinitesimal en forma geométrica, [7] en el que el área barrida por el El vector de radio se divide en sectores triangulares. Son de tamaño pequeño y decreciente y se considera que tienden a cero individualmente, mientras que su número aumenta sin límite). Este teorema aparece nuevamente, con una explicación ampliada, como Proposición 1, Teorema 1, de los Principia . .
El teorema 2 considera un cuerpo que se mueve uniformemente en una órbita circular y muestra que para cualquier segmento de tiempo dado, la fuerza centrípeta (dirigida hacia el centro del círculo, tratado aquí como un centro de atracción) es proporcional al cuadrado del arco. -longitud recorrida, e inversamente proporcional al radio. (Este tema reaparece como Proposición 4, Teorema 4 en los Principia , y aquí también reaparecen los corolarios.)
El corolario 1 señala entonces que la fuerza centrípeta es proporcional a V 2 /R, donde V es la velocidad orbital y R el radio circular.
El corolario 2 muestra que, dicho de otra manera, la fuerza centrípeta es proporcional a (1/P 2 ) * R donde P es el período orbital.
El corolario 3 muestra que si P 2 es proporcional a R, entonces la fuerza centrípeta sería independiente de R.
El corolario 4 muestra que si P 2 es proporcional a R 2 , entonces la fuerza centrípeta sería proporcional a 1/R.
El corolario 5 muestra que si P 2 es proporcional a R 3 , entonces la fuerza centrípeta sería proporcional a 1/(R 2 ).
Luego, un escolio señala que se observa que la relación del Corolario 5 (el cuadrado del período orbital proporcional al cubo del tamaño orbital) se aplica a los planetas en sus órbitas alrededor del Sol y a los satélites galileanos que orbitan alrededor de Júpiter.
El teorema 3 ahora evalúa la fuerza centrípeta en una órbita no circular, utilizando otro argumento de límite geométrico, que involucra proporciones de segmentos de línea cada vez más pequeños. La demostración se reduce a evaluar la curvatura de la órbita como si estuviera hecha de arcos infinitesimales, y la fuerza centrípeta en cualquier punto se evalúa a partir de la velocidad y la curvatura del arco infinitesimal local. Este tema reaparece en los Principia como Proposición 6 del Libro 1.
Un corolario señala entonces cómo es posible de esta manera determinar la fuerza centrípeta para cualquier forma de órbita y centro dados.
Luego, el problema 1 explora el caso de una órbita circular, suponiendo que el centro de atracción está en la circunferencia del círculo. Un escolio señala que si el cuerpo en órbita llegara a tal centro, se alejaría por la tangente . (Proposición 7 de los Principia .)
El problema 2 explora el caso de una elipse, donde el centro de atracción está en su centro, y encuentra que la fuerza centrípeta para producir movimiento en esa configuración sería directamente proporcional al radio vector. (Este material se convierte en la Proposición 10, Problema 5 de los Principia ).
El problema 3 explora nuevamente la elipse, pero ahora trata el caso adicional donde el centro de atracción está en uno de sus focos . "Un cuerpo orbita en una elipse : se requiere la ley de la fuerza centrípeta que tiende a un foco de la elipse." Aquí Newton encuentra que la fuerza centrípeta para producir movimiento en esta configuración sería inversamente proporcional al cuadrado del radio vector. (Traducción: 'Por lo tanto, la fuerza centrípeta es recíprocamente como LX SP², es decir, (recíprocamente) en la proporción duplicada [es decir, al cuadrado] de la distancia...') Esto se convierte en la Proposición 11 de los Principia .
Luego, un escolio señala que este problema 3 demuestra que las órbitas planetarias son elipses con el Sol en un foco. (Traducción: 'Los planetas principales orbitan, por lo tanto, en elipses que tienen un foco en el centro del Sol, y con sus radios ( vectores ) atraídos hacia el Sol describen áreas proporcionales a los tiempos, en conjunto (latín: 'omnino') como Kepler supuso.') (Esta conclusión se llega después de tomar como hecho inicial la proporcionalidad observada entre el cuadrado del período orbital y el cubo del tamaño orbital , considerada en el corolario 5 del Teorema 1.) (A continuación se describe una controversia sobre la contundencia de la conclusión. .) El tema del Problema 3 se convierte en la Proposición 11, Problema 6, en los Principia .
El teorema 4 muestra que con una fuerza centrípeta inversamente proporcional al cuadrado del radio vector, el tiempo de revolución de un cuerpo en una órbita elíptica con un eje mayor dado es el mismo que sería para el cuerpo en una órbita circular con el mismo diámetro que ese eje mayor. (Proposición 15 de los Principia .)
Un escolio señala cómo esto permite determinar las elipses planetarias y la ubicación de sus focos mediante mediciones indirectas.
Luego, el problema 4 explora, para el caso de una ley del cuadrado inverso de la fuerza centrípeta, cómo determinar la elipse orbital para una posición inicial, velocidad y dirección dadas del cuerpo en órbita. Newton señala aquí que si la velocidad es lo suficientemente alta, la órbita ya no es una elipse, sino una parábola o una hipérbola . También identifica un criterio geométrico para distinguir entre el caso elíptico y los demás, basado en el tamaño calculado del latus rectum , como proporción a la distancia del cuerpo en órbita más cercano al centro. (Proposición 17 de los Principia .)
Un escolio señala luego que una ventaja de esta demostración es que permite definir las órbitas de los cometas y estimar sus períodos y retornos cuando las órbitas son elípticas. También se discuten algunas dificultades prácticas para implementar esto.
Finalmente, en la serie de proposiciones basadas en la resistencia cero de cualquier medio, el problema 5 analiza el caso de una órbita elíptica degenerada, que equivale a una caída en línea recta hacia o una eyección desde el centro de atracción. (Proposición 32 de los Principia .)
Un escolio señala cómo los problemas 4 y 5 se aplicarían a los proyectiles en la atmósfera y a la caída de cuerpos pesados, si se pudiera suponer que la resistencia atmosférica es nula.
Por último, Newton intenta extender los resultados al caso donde existe resistencia atmosférica , considerando primero ( Problema 6 ) los efectos de la resistencia sobre el movimiento inercial en línea recta, y luego ( Problema 7 ) los efectos combinados de la resistencia y un movimiento centrípeto uniforme. fuerza sobre el movimiento hacia/alejándose del centro en un medio homogéneo. Ambos problemas se abordan geométricamente mediante construcciones hiperbólicas. Estos dos últimos 'Problemas' reaparecen en el Libro 2 de los Principia como Proposiciones 2 y 3.
Luego, un escolio final señala cómo se aplican los problemas 6 y 7 a las componentes horizontal y vertical del movimiento de los proyectiles en la atmósfera (en este caso sin tener en cuenta la curvatura de la Tierra).
En algunos puntos de 'De Motu', Newton depende de cuestiones probadas que se utilizan en la práctica como base para considerar sus conversas como también probadas. Esto se ha visto especialmente en lo que respecta al "Problema 3". El estilo de demostración de Newton en todos sus escritos fue bastante breve en algunos lugares; parecía suponer que ciertas medidas se considerarían evidentes u obvias. En 'De Motu', como en la primera edición de los Principia , Newton no estableció específicamente una base para extender las pruebas a lo contrario. La prueba de lo contrario aquí depende de que sea evidente que existe una relación única, es decir, que en cualquier configuración dada, sólo una órbita corresponde a un conjunto dado y especificado de fuerza/velocidad/posición inicial. Newton añadió una mención de este tipo en la segunda edición de los Principia , como Corolario de las Proposiciones 11-13, en respuesta a críticas de este tipo hechas durante su vida. [8]
Ha existido una importante controversia académica sobre la cuestión de si, y en qué medida, estas extensiones de lo contrario, y las declaraciones de unicidad asociadas, son autoevidentes y obvias o no. (No hay ninguna sugerencia de que lo contrario no sea cierto, o que no fueron establecidos por Newton; la discusión ha girado en torno a si las pruebas de Newton fueron satisfactorias o no.) [9] [10] [11]
Los detalles de la visita de Edmund Halley a Newton en 1684 sólo los conocemos gracias a reminiscencias de treinta o cuarenta años después. Según una de estas reminiscencias, Halley preguntó a Newton: "cuál pensaba que sería la curva que describirían los planetas suponiendo que la fuerza de atracción hacia el Sol fuera recíproca al cuadrado de su distancia a él". [12]
Otra versión de la pregunta la dio el propio Newton, pero también unos treinta años después del suceso: escribió que Halley, preguntándole "si sabía qué figura describían los Planetas en sus Orbes alrededor del Sol, estaba muy deseoso de tener mi Demostración". [13] A la luz de estos diferentes informes, ambos producidos a partir de viejos recuerdos, es difícil saber exactamente qué palabras usó Halley.
Newton reconoció en 1686 que un estímulo inicial para él en 1679/80 para ampliar sus investigaciones sobre los movimientos de los cuerpos celestes había surgido de la correspondencia con Robert Hooke en 1679/80. [14]
Hooke había iniciado un intercambio de correspondencia en noviembre de 1679 escribiendo a Newton para decirle que Hooke había sido designado para gestionar la correspondencia de la Royal Society. [15] Por lo tanto, Hooke quería escuchar a los miembros sobre sus investigaciones o sus opiniones sobre las investigaciones de otros; y como para despertar el interés de Newton, le preguntó qué pensaba Newton sobre varios asuntos, y luego dio una lista completa, mencionando "componer los movimientos celestes de los planetas de un movimiento directo por la tangente y un movimiento atractivo hacia el cuerpo central", y "mi hipótesis sobre las leyes o causas de la elasticidad", y luego una nueva hipótesis de París sobre los movimientos planetarios (que Hooke describió detalladamente), y luego los esfuerzos por realizar o mejorar estudios nacionales, la diferencia de latitud entre Londres y Cambridge y otros artículos. Newton respondió con "un fany propio" sobre la determinación del movimiento de la Tierra mediante la caída de un cuerpo. Hooke no estaba de acuerdo con la idea de Newton sobre cómo se movería el cuerpo al caer, y se desarrolló una breve correspondencia.
Más tarde, en 1686, cuando los Principia de Newton fueron presentados a la Royal Society, Hooke reclamó a partir de esta correspondencia el crédito por parte del contenido de Newton en los Principia , y dijo que Newton le debía la idea de una ley de atracción del cuadrado inverso, aunque al mismo tiempo, Hooke negó cualquier crédito por las curvas y trayectorias que Newton había demostrado sobre la base de la ley del cuadrado inverso. [dieciséis]
Newton, que se enteró de esto por Halley, refutó la afirmación de Hooke en cartas a Halley, reconociendo sólo una ocasión en que se volvió a despertar el interés. [16] Newton reconoció algunos trabajos anteriores de otros, incluido Ismaël Bullialdus , quien sugirió (pero sin demostración) que había una fuerza de atracción del Sol en proporción al cuadrado inverso de la distancia, y Giovanni Alfonso Borelli , quien sugirió (nuevamente sin demostración) que había una tendencia hacia el Sol como la gravedad o el magnetismo que haría que los planetas se movieran en elipses; pero que los elementos que Hooke afirmó se debían al propio Newton o a otros predecesores de ambos, como Bullialdus y Borelli, pero no a Hooke. Wren y Halley se mostraron escépticos ante las afirmaciones de Hooke, recordando una ocasión en la que Hooke había afirmado tener una derivación de los movimientos planetarios bajo una ley del cuadrado inverso, pero no había logrado producirla ni siquiera bajo el incentivo de un premio. [dieciséis]
Ha habido controversia entre los académicos sobre exactamente qué obtuvo realmente Newton de Hooke, si es que obtuvo algo, aparte del estímulo que Newton reconoció. [17]
Unos treinta años después de la muerte de Newton en 1727, Alexis Clairaut , uno de los primeros y eminentes sucesores de Newton en el campo de los estudios gravitacionales, escribió después de revisar el trabajo de Hooke que mostraba "qué distancia hay entre una verdad que se vislumbra y una verdad que se vislumbra". esta demostrado". [18]