La teoría de la gravitación de Nordström

Predecesor de la teoría de la relatividad

En física teórica , la teoría de la gravitación de Nordström fue predecesora de la relatividad general . Estrictamente hablando, en realidad hubo dos teorías distintas propuestas por el físico teórico finlandés Gunnar Nordström , en 1912 y 1913 respectivamente. La primera fue rápidamente descartada, pero la segunda se convirtió en el primer ejemplo conocido de una teoría métrica de la gravitación , en la que los efectos de la gravitación se tratan completamente en términos de la geometría de un espacio-tiempo curvo .

Ninguna de las teorías de Nordström concuerda con la observación y la experimentación. No obstante, la primera sigue siendo interesante en la medida en que condujo a la segunda. La segunda sigue siendo interesante tanto como un hito importante en el camino hacia la teoría actual de la gravitación, la relatividad general , como un ejemplo simple de una teoría relativista autoconsistente de la gravitación. Como ejemplo, esta teoría es particularmente útil en el contexto de discusiones pedagógicas sobre cómo derivar y probar las predicciones de una teoría métrica de la gravitación.

Desarrollo de las teorías

Las teorías de Nordström surgieron en un momento en que varios físicos destacados, entre ellos Nordström en Helsinki , Max Abraham en Milán , Gustav Mie en Greifswald , Alemania, y Albert Einstein en Praga , estaban tratando de crear teorías relativistas competitivas sobre la gravitación. ^[1]

Todos estos investigadores comenzaron por intentar modificar adecuadamente la teoría existente, la versión de la teoría de campo de la teoría de la gravitación de Newton. En esta teoría, la ecuación de campo es la ecuación de Poisson , donde es el potencial gravitatorio y es la densidad de la materia, aumentada por una ecuación de movimiento para una partícula de prueba en un campo gravitatorio ambiental, que podemos derivar de la ley de fuerza de Newton y que establece que la aceleración de la partícula de prueba está dada por el gradiente del potencial ${\displaystyle \Delta \phi =4\pi \rho }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\frac {d{\vec {u}}}{dt}}=-\nabla \phi }$

Esta teoría no es relativista porque la ecuación de movimiento se refiere al tiempo coordinado en lugar del tiempo propio , y porque, si la materia en algún objeto aislado se redistribuyera repentinamente por una explosión, la ecuación de campo requiere que el potencial en todas partes en el "espacio" se "actualice" instantáneamente , lo que viola el principio de que cualquier "noticia" que tenga un efecto físico (en este caso, un efecto sobre el movimiento de partículas de prueba lejos de la fuente del campo) no puede transmitirse más rápido que la velocidad de la luz . El ex profesor de cálculo de Einstein, Hermann Minkowski, había esbozado una teoría vectorial de la gravitación ya en 1908, pero en 1912, Abraham señaló que ninguna teoría de ese tipo admitiría órbitas planetarias estables. Esta fue una de las razones por las que Nordström recurrió a las teorías escalares de la gravitación (mientras que Einstein exploraba las teorías tensoriales).

El primer intento de Nordström de proponer una ecuación escalar relativista adecuada para la gravitación fue la opción más simple y natural imaginable: simplemente reemplazar el laplaciano en la ecuación de campo newtoniana por el operador de onda o de D'Alembert , que da . Esto tiene el resultado de cambiar la ecuación de campo de vacío de la ecuación de Laplace a la ecuación de onda , lo que significa que cualquier "noticia" relacionada con la redistribución de materia en una ubicación se transmite a la velocidad de la luz a otras ubicaciones. En consecuencia, la suposición más simple para una ecuación de movimiento adecuada para partículas de prueba podría parecer ser donde el punto significa diferenciación con respecto al tiempo propio, los subíndices después de la coma denotan diferenciación parcial con respecto a la coordenada indexada y donde es el cuatrivector de velocidad de la partícula de prueba. Esta ley de fuerza había sido propuesta anteriormente por Abraham, pero no preserva la norma de la cuatrivelocidad como lo requiere la definición de tiempo propio, por lo que Nordström propuso en su lugar . ${\displaystyle \Box \phi =4\pi \,\rho }$ ${\displaystyle {\dot {u}}_{a}=-\phi _{,a}}$ ${\displaystyle u^{a}}$ ${\displaystyle {\dot {u}}_{a}=-\phi _{,a}-{\dot {\phi }}\,u_{a}}$

Sin embargo, esta teoría es inaceptable por diversas razones. Dos objeciones son teóricas. En primer lugar, esta teoría no es derivable de un lagrangiano , a diferencia de la teoría de campo newtoniana (o la mayoría de las teorías métricas de la gravitación). En segundo lugar, la ecuación de campo propuesta es lineal. Pero por analogía con el electromagnetismo , deberíamos esperar que el campo gravitatorio transporte energía, y sobre la base del trabajo de Einstein sobre la teoría de la relatividad , deberíamos esperar que esta energía sea equivalente a la masa y, por lo tanto, que gravite. Esto implica que la ecuación de campo debería ser no lineal . Otra objeción es más práctica: esta teoría está en total desacuerdo con la observación.

Einstein y von Laue propusieron que el problema podría estar en la ecuación de campo, que, sugirieron, debería tener la forma lineal , donde F es alguna función aún desconocida de , y donde T _materia es el rastro del tensor de tensión-energía que describe la densidad, el momento y la tensión de cualquier materia presente. ${\displaystyle FT_{\rm {matter}}=\rho }$ ${\displaystyle \phi }$

En respuesta a estas críticas, Nordström propuso su segunda teoría en 1913. A partir de la proporcionalidad de la masa inercial y gravitatoria, dedujo que la ecuación de campo debería ser , que no es lineal. Nordström ahora tomó la ecuación de movimiento como ${\displaystyle \phi \,\Box \phi =-4\pi \,T_{\rm {matter}}}$

${\displaystyle {\frac {d\left(\phi \,u_{a}\right)}{ds}}=-\phi _{,a}}$

o . ${\displaystyle \phi \,{\dot {u}}_{a}=-\phi _{,a}-{\dot {\phi }}\,u_{a}}$

Einstein aprovechó la primera oportunidad para proclamar su aprobación de la nueva teoría. En un discurso de apertura en la reunión anual de la Sociedad de Científicos y Médicos Alemanes, pronunciado en Viena el 23 de septiembre de 1913, Einstein examinó el estado de la cuestión y declaró que sólo su propio trabajo con Marcel Grossmann y la segunda teoría de Nordström merecían consideración. (Mie, que estaba entre el público, se levantó para protestar, pero Einstein explicó sus criterios y Mie se vio obligado a admitir que su propia teoría no los cumplía.) Einstein consideró el caso especial en el que la única materia presente es una nube de polvo (es decir, un fluido perfecto en el que se supone que la presión es despreciable). Argumentó que la contribución de esta materia al tensor de tensión-energía debería ser:

${\displaystyle \left(T_{\rm {matter}}\right)_{ab}=\phi \,\rho \,u_{a}\,u_{b}}$

Luego derivó una expresión para el tensor de tensión-energía del campo gravitacional en la segunda teoría de Nordström,

${\displaystyle 4\pi \,\left(T_{\rm {grav}}\right)_{ab}=\phi _{,a}\,\phi _{,b}-1/2\,\eta _{ab}\,\phi _{,m}\,\phi ^{,m}}$

que propuso que debería cumplirse en general, y demostró que la suma de las contribuciones al tensor de tensión-energía de la energía del campo gravitacional y de la materia se conservaría , como debería ser el caso. Además, demostró que la ecuación de campo de la segunda teoría de Nordström se sigue de la ecuación de Lagrangian

${\displaystyle L={\frac {1}{8\pi }}\,\eta ^{ab}\,\phi _{,a}\,\phi _{,b}-\rho \,\phi }$

Dado que la ecuación de movimiento de Nordström para partículas de prueba en un campo gravitacional ambiental también se deriva de un lagrangiano, esto demuestra que la segunda teoría de Nordström puede derivarse de un principio de acción y también demuestra que obedece a otras propiedades que debemos exigir a una teoría de campo autoconsistente.

Mientras tanto, un talentoso estudiante holandés, Adriaan Fokker, había escrito una tesis doctoral bajo la dirección de Hendrik Lorentz en la que derivó lo que ahora se llama la ecuación de Fokker-Planck . Lorentz, encantado por el éxito de su antiguo alumno, hizo arreglos para que Fokker realizara estudios posdoctorales con Einstein en Praga. El resultado fue un artículo histórico que apareció en 1914, en el que Einstein y Fokker observaron que el lagrangiano para la ecuación de movimiento de Nordström para partículas de prueba, , es el lagrangiano geodésico para una variedad lorentziana curva con tensor métrico . Si adoptamos coordenadas cartesianas con elemento de línea con el operador de onda correspondiente sobre el fondo plano, o el espacio-tiempo de Minkowski , de modo que el elemento de línea del espacio-tiempo curvo sea , entonces el escalar de Ricci de este espacio-tiempo curvo es simplemente ${\displaystyle L=\phi ^{2}\,\eta _{ab}\,{\dot {u}}^{a}\,{\dot {u}}^{b}}$ ${\displaystyle g_{ab}=\phi ^{2}\,\eta _{ab}}$ ${\displaystyle d\sigma ^{2}=\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle ds^{2}=\phi ^{2}\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$

${\displaystyle R=-{\frac {6\,\Box \phi }{\phi ^{3}}}}$

Por lo tanto, la ecuación de campo de Nordström se vuelve simplemente

${\displaystyle R=24\pi \,T}$

donde en el lado derecho, hemos tomado la traza del tensor de tensión-energía (con contribuciones de la materia más cualquier campo no gravitacional) usando el tensor métrico . Este es un resultado histórico, porque aquí por primera vez tenemos una ecuación de campo en la que en el lado izquierdo se encuentra una cantidad puramente geométrica (el escalar de Ricci es la traza del tensor de Ricci , que es en sí mismo una especie de traza del tensor de curvatura de Riemann de cuarto rango ), y en el lado derecho se encuentra una cantidad puramente física, la traza del tensor de tensión-energía. Einstein señaló alegremente que esta ecuación ahora toma la forma que había propuesto anteriormente con von Laue, y da un ejemplo concreto de una clase de teorías que había estudiado con Grossmann. ${\displaystyle g_{ab}}$

Tiempo después, Hermann Weyl introdujo el tensor de curvatura de Weyl , que mide la desviación de una variedad lorentziana de ser conformemente plana , es decir, con un tensor métrico que tiene la forma del producto de alguna función escalar por el tensor métrico del espacio-tiempo plano. Esta es exactamente la forma especial de la métrica propuesta en la segunda teoría de Nordström, por lo que todo el contenido de esta teoría se puede resumir en las dos ecuaciones siguientes: ${\displaystyle C_{abcd}}$

${\displaystyle R=24\pi \,T,\;\;\;C_{abcd}=0}$

Características de la teoría de Nordström

Einstein se sintió atraído por la segunda teoría de Nordström por su simplicidad. ^{[ cita requerida ]} Las ecuaciones del campo de vacío en la teoría de Nordström son simplemente

${\displaystyle R=0,\;\;\;C_{abcd}=0}$

Podemos escribir inmediatamente la solución de vacío general en la teoría de Nordström:

${\displaystyle ds^{2}=\exp(2\psi )\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b},\;\;\;\Box \psi =0}$

donde y es el elemento de línea para el espacio-tiempo plano en cualquier diagrama de coordenadas conveniente (como coordenadas cilíndricas, esféricas polares o doblemente nulas), y donde es el operador de onda ordinario en el espacio-tiempo plano (expresado en coordenadas cilíndricas, esféricas polares o doblemente nulas, respectivamente). Pero la solución general de la ecuación de onda tridimensional ordinaria es bien conocida, y se puede dar una forma bastante explícita. Específicamente, para ciertos diagramas como los diagramas cilíndricos o esféricos polares en el espacio-tiempo plano (que inducen diagramas correspondientes en nuestra variedad lorentziana curva), podemos escribir la solución general en términos de una serie de potencias, y podemos escribir la solución general de ciertos problemas de Cauchy de la manera familiar a partir de los potenciales de Lienard-Wiechert en electromagnetismo. ${\displaystyle \phi =\exp(\psi )}$ ${\displaystyle d\sigma ^{2}=\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$ ${\displaystyle \Box }$

En cualquier solución a las ecuaciones de campo de Nordström (vacío o de otro tipo), si consideramos como controladora una perturbación conforme del espacio-tiempo plano , entonces, en primer orden, tenemos ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle ds^{2}=\exp(2\,\psi )\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}\approx (1+2\psi )\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$

Por lo tanto, en la aproximación del campo débil, podemos identificarnos con el potencial gravitacional newtoniano y podemos considerarlo como el que controla una pequeña perturbación conforme desde un fondo espaciotemporal plano . ${\displaystyle \psi }$

En cualquier teoría métrica de la gravitación, todos los efectos gravitacionales surgen de la curvatura de la métrica. En un modelo de espacio-tiempo en la teoría de Nordström (pero no en la relatividad general), esto depende solo de la traza del tensor de tensión-energía. Pero la energía de campo de un campo electromagnético contribuye con un término al tensor de tensión-energía que no tiene traza , por lo que en la teoría de Nordström, ¡la energía del campo electromagnético no gravita! De hecho, dado que cada solución a las ecuaciones de campo de esta teoría es un espacio-tiempo que, entre otras cosas, es conformemente equivalente al espacio-tiempo plano, las geodésicas nulas deben coincidir con las geodésicas nulas del fondo plano, por lo que esta teoría no puede exhibir curvatura de la luz .

Por cierto, el hecho de que la traza del tensor de tensión-energía para una solución de electrovacío (una solución en la que no hay materia presente, ni ningún campo no gravitacional excepto un campo electromagnético) se desvanezca muestra que en la solución general de electrovacío en la teoría de Nordström, el tensor métrico tiene la misma forma que en una solución de vacío, por lo que solo necesitamos escribir y resolver las ecuaciones de campo de Maxwell del espacio-tiempo curvo . Pero estas son invariantes conformemente , por lo que también podemos escribir la solución general de electrovacío , digamos en términos de una serie de potencias.

En cualquier variedad lorentziana (con campos tensoriales apropiados que describan cualquier materia y campos físicos) que se presente como una solución a las ecuaciones de campo de Nordström, la parte conforme del tensor de Riemann (es decir, el tensor de Weyl) siempre se anula. El escalar de Ricci también se anula de manera idéntica en cualquier región de vacío (o incluso, en cualquier región libre de materia pero que contenga un campo electromagnético). ¿Existen más restricciones al tensor de Riemann en la teoría de Nordström?

Para averiguarlo, tenga en cuenta que una identidad importante de la teoría de variedades, la descomposición de Ricci , divide el tensor de Riemann en tres partes, que son cada una tensores de cuarto rango, construidos a partir, respectivamente, del escalar de Ricci y el tensor de Ricci sin trazas .

${\displaystyle S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}\,R\,g_{ab}}$

y el tensor de Weyl . De ello se sigue inmediatamente que la teoría de Nordström deja al tensor de Ricci sin trazas completamente libre de restricciones por relaciones algebraicas (excepto la propiedad simétrica, de la que siempre disfruta este tensor de segundo rango). Pero teniendo en cuenta la identidad de Bianchi dos veces contraída y detraída , una identidad diferencial que se cumple para el tensor de Riemann en cualquier variedad (semi)riemanniana , vemos que en la teoría de Nordström, como consecuencia de las ecuaciones de campo, tenemos la ecuación diferencial covariante de primer orden

${\displaystyle {{S_{a}}^{b}}_{;b}=6\,\pi \,T_{;a}}$

que restringe la parte semi-sin trazas del tensor de Riemann (la construida a partir del tensor de Ricci sin trazas).

Por lo tanto, según la teoría de Nordström, en una región de vacío solo la parte semisin traza del tensor de Riemann puede no anularse. Entonces nuestra restricción diferencial covariante en muestra cómo las variaciones en la traza del tensor de tensión-energía en nuestro modelo de espacio-tiempo pueden generar un tensor de Ricci sin traza distinta de cero y, por lo tanto, una curvatura semisin traza distinta de cero, que puede propagarse en una región de vacío. Esto es de importancia crítica, porque de lo contrario la gravitación no sería, según esta teoría, una fuerza de largo alcance capaz de propagarse a través del vacío . ${\displaystyle S_{ab}}$

En la relatividad general, ocurre algo un tanto análogo, pero allí es el tensor de Ricci el que se desvanece en cualquier región de vacío (pero no en una región libre de materia pero que contiene un campo electromagnético), y es la curvatura de Weyl la que se genera (a través de otra ecuación diferencial covariante de primer orden) por variaciones en el tensor de tensión-energía y que luego se propaga a las regiones de vacío, convirtiendo la gravitación en una fuerza de largo alcance capaz de propagarse a través del vacío.

Podemos tabular las diferencias más básicas entre la teoría de Nordström y la relatividad general de la siguiente manera:

Otra característica de la teoría de Nordström es que puede escribirse como la teoría de un cierto campo escalar en el espacio-tiempo de Minkowski , y en esta forma disfruta de la ley de conservación esperada para la masa-energía no gravitatoria junto con la energía del campo gravitatorio, pero sufre de una ley de fuerza no muy memorable. En la formulación del espacio-tiempo curvo se describe el movimiento de partículas de prueba (la línea del universo de una partícula de prueba libre es una geodésica temporal, y por un límite obvio, la línea del universo de un pulso láser es una geodésica nula), pero perdemos la ley de conservación. Entonces, ¿cuál interpretación es correcta? En otras palabras, ¿qué métrica es la que según Nordström puede medirse localmente mediante experimentos físicos? La respuesta es: el espacio-tiempo curvo es el físicamente observable en esta teoría (como en todas las teorías métricas de la gravitación); el fondo plano es una mera ficción matemática que, sin embargo, es de un valor inestimable para fines tales como escribir la solución general del vacío o estudiar el límite del campo débil.

En este punto, podríamos demostrar que en el límite de partículas de prueba que se mueven lentamente y de campos gravitatorios débiles que evolucionan lentamente, la teoría de la gravitación de Nordström se reduce a la teoría de la gravitación de Newton. En lugar de mostrar esto en detalle, procederemos a un estudio detallado de las dos soluciones más importantes de esta teoría:

• Las soluciones de vacío estáticas asintóticamente planas y simétricas esféricas
• La solución general de la onda gravitacional del plano de vacío en esta teoría.

Utilizaremos el primero para obtener las predicciones de la teoría de Nordström para las cuatro pruebas clásicas del sistema solar de las teorías de gravitación relativista (en el campo ambiental de un objeto esférico simétrico aislado), y utilizaremos el segundo para comparar la radiación gravitacional en la teoría de Nordström y en la teoría general de la relatividad de Einstein.

La solución de vacío asintóticamente plana, esférica y simétrica estática

Las soluciones de vacío estático en la teoría de Nordström son las variedades lorentzianas con métricas de la forma

${\displaystyle ds^{2}=\exp(2\psi )\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b},\;\;\Delta \psi =0}$

donde podemos tomar el operador de Laplace del espacio-tiempo plano a la derecha. Para el primer orden en , la métrica se convierte en ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle ds^{2}=(1+2\,\psi )\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$

¿Dónde está la métrica del espacio-tiempo de Minkowski (el fondo plano)? ${\displaystyle \eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$

La métrica

Adoptando coordenadas esféricas polares y utilizando las soluciones conocidas de simetría esférica que desaparecen asintóticamente de la ecuación de Laplace, podemos escribir la solución exacta deseada como

${\displaystyle ds^{2}=(1-m/\rho )\,\left(-dt^{2}+d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2})\right)}$

donde justificamos nuestra elección de constantes de integración por el hecho de que esta es la única opción que da el límite newtoniano correcto. Esto da la solución en términos de coordenadas que muestran directamente el hecho de que este espacio-tiempo es conformemente equivalente al espacio-tiempo de Minkowski, pero la coordenada radial en este diagrama no admite fácilmente una interpretación geométrica directa. Por lo tanto, adoptamos en su lugar las coordenadas de Schwarzschild, utilizando la transformación , que lleva la métrica a la forma ${\displaystyle r=\rho \,(1-m/\rho )}$

${\displaystyle ds^{2}=(1+m/r)^{-2}\,(-dt^{2}+dr^{2})+r^{2}\,(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2})}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\;0<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Aquí ahora tenemos la interpretación geométrica simple de que el área de superficie de la esfera de coordenadas es simplemente . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=r_{0}}$ ${\displaystyle 4\pi \,r_{0}^{2}}$

Tal como sucede en la solución correspondiente, estática, esféricamente simétrica y asintóticamente plana de la relatividad general, esta solución admite un grupo de Lie de isometrías de cuatro dimensiones o, equivalentemente, un álgebra de Lie (real) de cuatro dimensiones de campos vectoriales de Killing . Se determina fácilmente que estos son

${\displaystyle \partial _{t}}$(traducción en el tiempo)

${\displaystyle \partial _{\phi }}$(rotación sobre un eje que pasa por el origen)

${\displaystyle -\cos(\phi )\,\partial _{\theta }+\cot(\theta )\,\sin(\phi )\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle \sin(\phi )\,\partial _{\theta }+\cot(\theta )\,\cos(\phi )\,\partial _{\phi }}$

Éstos son exactamente los mismos campos vectoriales que surgen en el diagrama de coordenadas de Schwarzschild para la solución de vacío de Schwarzschild de la relatividad general, y simplemente expresan el hecho de que este espacio-tiempo es estático y esféricamente simétrico.

Geodésicas

Las ecuaciones geodésicas se obtienen fácilmente a partir de la lagrangiana geodésica. Como siempre, se trata de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de segundo orden.

Si establecemos, encontramos que el movimiento de partículas de prueba confinado al plano ecuatorial es posible y, en este caso, se obtienen fácilmente las primeras integrales (ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden). Primero, tenemos ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

${\displaystyle {\dot {t}}=E\,\left(1+m/r\right)^{2}\approx E\,\left(1+2m/r\right)}$

donde en primer orden en m tenemos el mismo resultado que para el vacío de Schwarzschild. Esto también demuestra que la teoría de Nordström concuerda con el resultado del experimento de Pound-Rebka . En segundo lugar, tenemos

${\displaystyle {\dot {\phi }}=L/r^{2}}$

que es el mismo resultado que para el vacío de Schwarzschild. Esto expresa la conservación del momento angular orbital de las partículas de prueba que se mueven en el plano ecuatorial y muestra que el período de una órbita casi circular (como la observa un observador distante) será el mismo que para el vacío de Schwarzschild. En tercer lugar, para geodésicas temporales, nulas y espaciales, encontramos ${\displaystyle \epsilon =-1,0,1}$

${\displaystyle {\frac {{\dot {r}}^{2}}{\left(1+m/r\right)^{4}}}=E^{2}-V}$

dónde

${\displaystyle V={\frac {L^{2}/r^{2}-\epsilon }{\left(1+m/r\right)^{2}}}}$

es un tipo de potencial efectivo . En el caso temporal, vemos que existen órbitas circulares estables en , lo que concuerda perfectamente con la teoría newtoniana (si ignoramos el hecho de que ahora la interpretación de la distancia angular pero no la radial de r concuerda con las nociones de espacio plano). En contraste, en el vacío de Schwarzschild tenemos que ordenar en primer lugar en m la expresión . En cierto sentido, el término adicional aquí resulta de la no linealidad de la ecuación de campo de Einstein del vacío. ${\displaystyle r_{c}=L^{2}/m}$ ${\displaystyle r_{c}\approx L^{2}/m-3m}$

Observadores estáticos

Tiene sentido preguntar cuánta fuerza se requiere para mantener una partícula de prueba con una masa dada sobre el objeto masivo que suponemos que es la fuente de este campo gravitatorio estático esféricamente simétrico. Para averiguarlo, sólo necesitamos adoptar el campo de referencia simple

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\left(1+m/r\right)\,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}=\left(1+m/r\right)\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

Entonces, la aceleración de la línea del mundo de nuestra partícula de prueba es simplemente

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}={\frac {m}{r^{2}}}\,{\vec {e}}_{1}}$

Por lo tanto, la partícula debe mantenerse radialmente hacia afuera para mantener su posición, con una magnitud dada por la familiar expresión newtoniana (pero nuevamente debemos tener en cuenta que la coordenada radial aquí no puede identificarse exactamente con una coordenada radial del espacio plano). Dicho en otras palabras, esta es la "aceleración gravitacional" medida por un observador estático que utiliza un motor de cohete para mantener su posición. En contraste, a segundo orden en m, en el vacío de Schwarzschild la magnitud de la aceleración radial hacia afuera de un observador estático es mr ⁻² + m^2 r ⁻³ ; aquí también, el segundo término expresa el hecho de que la gravedad de Einstein es ligeramente más fuerte "en los puntos correspondientes" que la gravedad de Nordström.

El tensor de marea medido por un observador estático es

${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}={\frac {m}{r^{3}}}\,{\rm {diag}}(-2,1,1)+{\frac {m^{2}}{r^{4}}}\,{\rm {diag}}(-1,1,1)}$

donde tomamos . El primer término concuerda con la solución correspondiente en la teoría de la gravitación de Newton y la de la relatividad general. El segundo término muestra que las fuerzas de marea son un poco más fuertes en la gravedad de Nordström que en la gravedad de Einstein. ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}}$

Precesión extra-newtoniana del periastrio

En nuestra discusión de las ecuaciones geodésicas, demostramos que en el plano de coordenadas ecuatoriales tenemos ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

${\displaystyle {\dot {r}}^{2}=(E^{2}-V)\;(1+m/r)^{4}}$

donde para una geodésica temporal. Diferenciando con respecto al tiempo propio s, obtenemos ${\displaystyle V=(1+L^{2}/r^{2})/(1+m/r)^{2}}$

${\displaystyle 2{\dot {r}}{\ddot {r}}={\frac {d}{dr}}\left((E^{2}-V)\,(1+m/r)^{4}\right)\;{\dot {r}}}$

Dividiendo ambos lados por obtenemos ${\displaystyle {\dot {r}}}$

${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {1}{2}}\,{\frac {d}{dr}}\left((E^{2}-V)\,(1+m/r)^{4}\right)}$

Descubrimos anteriormente que el mínimo de V ocurre en donde . Evaluando la derivada, utilizando nuestros resultados anteriores y estableciendo , encontramos ${\displaystyle r_{c}=L^{2}/m}$ ${\displaystyle E_{c}=L^{2}/(L^{2}+m^{2})}$ ${\displaystyle \varepsilon =r-L^{2}/m^{2}}$

${\displaystyle {\ddot {\varepsilon }}=-{\frac {m^{4}}{L^{8}}}\,(m^{2}+L^{2})\,\varepsilon +O(\varepsilon ^{2})}$

que es (de primer orden) la ecuación del movimiento armónico simple .

En otras palabras, las órbitas casi circulares exhibirán una oscilación radial. Sin embargo, a diferencia de lo que sucede en la gravitación newtoniana, el período de esta oscilación no coincidirá exactamente con el período orbital. Esto dará como resultado una precesión lenta de los periastrios (puntos de aproximación más cercana) de nuestra órbita casi circular, o más claramente, una rotación lenta del eje largo de una órbita casi elíptica cuasi-kepleriana. En concreto,

${\displaystyle \omega _{\rm {shm}}\approx {\frac {m^{2}}{L^{4}}}\,{\sqrt {m^{2}+L^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}\,{\sqrt {m^{2}+mr}}}$

(donde usamos y eliminamos el subíndice de ), mientras que ${\displaystyle L={\sqrt {mr}}}$ ${\displaystyle r_{c}}$

${\displaystyle \omega _{\rm {orb}}={\frac {L}{r^{2}}}={\sqrt {m/r^{3}}}}$

La discrepancia es

${\displaystyle \Delta \omega =\omega _{\rm {orb}}-\omega _{\rm {shm}}={\sqrt {\frac {m}{r^{3}}}}-{\sqrt {{\frac {m^{2}}{r^{4}}}+{\frac {m}{r^{3}}}}}\approx -{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {m^{3}}{r^{5}}}}}$

Entonces el retraso del periastrio por órbita es

${\displaystyle \Delta \phi =2\pi \,\Delta \omega \approx -\pi \,{\sqrt {\frac {m^{3}}{r^{5}}}}}$

y hasta el primer orden en m, el eje largo de la órbita casi elíptica gira con la velocidad

${\displaystyle {\frac {\Delta \phi }{\omega _{\rm {orb}}}}\approx -{\frac {\pi m}{r}}}$

Esto se puede comparar con la expresión correspondiente para la solución de vacío de Schwarzschild en la relatividad general, que es (de primer orden en m)

${\displaystyle {\frac {\Delta \phi }{\omega _{\rm {orb}}}}\approx {\frac {6\pi m}{r}}}$

Así, en la teoría de Nordström, si la órbita casi elíptica se recorre en sentido antihorario, el eje largo gira lentamente en el sentido de las agujas del reloj , mientras que en la relatividad general, gira en sentido antihorario seis veces más rápido. En el primer caso podemos hablar de un retraso del periastrio y en el segundo caso, de un avance del periastrio . En cualquiera de las dos teorías, con más trabajo, podemos derivar expresiones más generales, pero aquí nos conformaremos con tratar el caso especial de las órbitas casi circulares.

Por ejemplo, según la teoría de Nordström, el perihelio de Mercurio debería retrasarse a un ritmo de unos 7 segundos de arco por siglo, mientras que, según la relatividad general, el perihelio debería avanzar a un ritmo de unos 43 segundos de arco por siglo.

Retraso de luz

Las geodésicas nulas en el plano ecuatorial de nuestra solución satisfacen

${\displaystyle 0={\frac {-dt^{2}+dr^{2}}{(1+m/r)^{2}}}+r^{2}\,d\phi ^{2}}$

Consideremos dos eventos en una geodésica nula, antes y después de su punto de aproximación más cercano al origen. Sean estas distancias con . Deseamos eliminar , por lo que ponemos (la ecuación de una línea recta en coordenadas polares) y derivamos para obtener ${\displaystyle R_{1},\,R,\,R_{2}}$ ${\displaystyle R_{1},\,R_{2}\gg R}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle R=r\,\cos \phi }$

${\displaystyle 0=-r\sin \phi \,d\phi +\cos \phi \,dr}$

De este modo

${\displaystyle r^{2}\,d\phi ^{2}=\cot(\phi )^{2}\,dr^{2}={\frac {R^{2}}{r^{2}-R^{2}}}\,dr^{2}}$

Conectando esto al elemento de línea y resolviendo para dt, obtenemos

${\displaystyle dt\approx {\frac {1}{\sqrt {r^{2}-R^{2}}}}\;\left(r+m\,{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\;dr}$

Por lo tanto, el tiempo de coordenadas desde el primer evento hasta el evento de aproximación más cercana es

${\displaystyle (\Delta t)_{1}=\int _{R}^{R_{1}}dt\approx {\frac {m+R_{1}}{R_{1}}}\,{\sqrt {R_{1}^{2}-R^{2}}}={\sqrt {R_{1}^{2}-R^{2}}}+m\,{\sqrt {1-(R/R_{1})^{2}}}}$

y de igual manera

${\displaystyle (\Delta t)_{2}=\int _{R}^{R_{2}}dt\approx {\frac {m+R_{2}}{R_{2}}}\,{\sqrt {R_{2}^{2}-R^{2}}}={\sqrt {R_{2}^{2}-R^{2}}}+m\,{\sqrt {1-(R/R_{2})^{2}}}}$

Aquí el tiempo de coordenadas transcurrido esperado según la teoría newtoniana es, por supuesto,

${\displaystyle {\sqrt {R_{1}^{2}-R^{2}}}+{\sqrt {R_{2}^{2}-R^{2}}}}$

Así que el retraso temporal relativista, según la teoría de Nordström, es

${\displaystyle \Delta t=m\,\left({\sqrt {1-(R/R_{1})^{2}}}+{\sqrt {1-(R/R_{2})^{2}}}\right)}$

Para primer orden en las proporciones pequeñas esto es solo . ${\displaystyle R/R_{1},\;R/R_{2}}$ ${\displaystyle \Delta t=2m}$

El resultado correspondiente en relatividad general es

${\displaystyle \Delta t=2m+2m\,\log \left({\frac {4\,R_{1}\,R_{2}}{R^{2}}}\right)}$

que depende logarítmicamente de las pequeñas razones . Por ejemplo, en el experimento clásico en el que, en un momento en el que, visto desde la Tierra, Venus está a punto de pasar detrás del Sol, una señal de radar emitida desde la Tierra que roza el borde del Sol, rebota en Venus y regresa a la Tierra (rozando nuevamente el borde del Sol), el retardo temporal relativista es de unos 20 microsegundos según la teoría de Nordström y de unos 240 microsegundos según la relatividad general. ${\displaystyle R/R_{1},\;R/R_{2}}$

Resumen de resultados

Podemos resumir los resultados que encontramos arriba en la siguiente tabla, en la que las expresiones dadas representan aproximaciones apropiadas:

Las últimas cuatro líneas de esta tabla enumeran las denominadas cuatro pruebas clásicas del sistema solar de las teorías relativistas de la gravitación. De las tres teorías que aparecen en la tabla, sólo la relatividad general concuerda con los resultados de los experimentos y las observaciones en el sistema solar. La teoría de Nordström da el resultado correcto sólo para el experimento de Pound-Rebka ; no es sorprendente que la teoría de Newton no supere las cuatro pruebas relativistas.

Onda plana gravitacional de vacío

En el gráfico doble nulo del espacio-tiempo de Minkowski,

${\displaystyle ds^{2}=-2\,du\,dv+dx^{2}+dy^{2},\;\;\;-\infty <u,\,v,\,x,\,y<\infty }$

Una solución simple de la ecuación de onda.

${\displaystyle -2\,\psi _{uv}+\psi _{xx}+\psi _{yy}=0}$

es , donde f es una función suave arbitraria . Esto representa una onda plana que viaja en la dirección z. Por lo tanto, la teoría de Nordström admite la solución de vacío exacta ${\displaystyle \psi =f(u)}$

${\displaystyle ds^{2}=\exp(2f(u))\;\left(-2\,du\,dv+dx^{2}+dy^{2}\right),\;\;\;-\infty <u,\,v,\,x,\,y<\infty }$

que podemos interpretar en términos de la propagación de una onda plana gravitacional.

Esta variedad lorentziana admite un grupo de Lie de isometrías de seis dimensiones o, equivalentemente, un álgebra de Lie de seis dimensiones de campos vectoriales de Killing:

${\displaystyle \partial _{v}}$(una traducción nula, "opuesta" al campo vectorial de onda ) ${\displaystyle \partial _{u}}$

${\displaystyle \partial _{x},\;\;\partial _{y}}$(traducción espacial ortogonal a los frentes de onda)

${\displaystyle -y\,\partial _{x}+x\,\partial _{y}}$(rotación sobre un eje paralelo a la dirección de propagación)

${\displaystyle x\,\partial _{v}+u\,\partial _{x},\;\;y\,\partial _{v}+u\,\partial _{y}}$

Por ejemplo, el campo vectorial de Killing se integra para dar la familia de isometrías de un parámetro. ${\displaystyle x\,\partial _{v}+u\,\partial _{x}}$

${\displaystyle (u,v,x,y)\longrightarrow (u,\;v+x\,\lambda +{\frac {u}{2}}\,\lambda ^{2},\;x+u\,\lambda ,\;y)}$

Al igual que en la relatividad especial (y la relatividad general), siempre es posible cambiar las coordenadas, sin alterar la forma de la solución, de modo que la onda se propague en cualquier dirección transversal a . Nótese que nuestro grupo de isometría es transitivo en las hipersuperficies . ${\displaystyle \partial _{z}}$ ${\displaystyle u=u_{0}}$

En cambio, la onda gravitacional plana genérica de la relatividad general tiene solo un grupo de isometrías de Lie de cinco dimensiones . (En ambas teorías, las ondas planas especiales pueden tener simetrías adicionales). En un momento explicaremos un poco más por qué es así.

Adopción del campo marco

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\left(\partial _{v}+\exp(-2f)\,\partial _{u}\right)}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\left(\partial _{v}-\exp(-2f)\,\partial _{u}\right)}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{2}=\partial _{x}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}=\partial _{y}}$

Encontramos que la familia correspondiente de partículas de prueba son inerciales (en caída libre), ya que el vector de aceleración se desvanece.

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}=0}$

Nótese que si f se desvanece, esta familia se convierte en una familia de partículas de prueba mutuamente estacionarias en el espacio-tiempo plano (de Minkowski). Con respecto a la congruencia geodésica temporal de las líneas del mundo obtenidas al integrar el campo vectorial unitario temporal , el tensor de expansión ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle \theta [{\vec {X}}]_{{\hat {p}}{\hat {q}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,f'(u)\,\exp(-2\,f(u))\,{\rm {diag}}(0,1,1)}$

muestra que nuestras partículas de prueba se expanden o contraen isótropamente y transversalmente a la dirección de propagación . Esto es exactamente lo que esperaríamos para una onda transversal de espín 0 ; el comportamiento de familias análogas de partículas de prueba que se encuentran con una onda plana gravitacional en la relatividad general es bastante diferente, porque se trata de ondas de espín 2. Esto se debe al hecho de que la teoría de la gravitación de Nordström es una teoría escalar , mientras que la teoría de la gravitación de Einstein (relatividad general) es una teoría tensorial . Por otro lado, las ondas gravitacionales en ambas teorías son ondas transversales . Las ondas planas electromagnéticas son, por supuesto, también transversales . El tensor de marea

${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{{\hat {p}}{\hat {q}}}={\frac {1}{2}}\,\exp(-4\,f(u))\;\left(f'(u)^{2}-f''(u)\right)\,{\rm {diag}}(0,1,1)}$

Además, se muestra el carácter de espín 0 de la onda plana gravitacional en la teoría de Nordström. (El tensor de marea y el tensor de expansión son tensores tridimensionales que "viven" en los elementos del hiperplano ortogonales a , que en este caso resulta ser irrotacional , por lo que podemos considerar estos tensores como definidos en hipersecciones ortogonales). ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

La solución exacta que estamos discutiendo aquí, que interpretamos como una onda gravitacional plana que se propaga, proporciona una idea básica de la propagación de la radiación gravitacional en la teoría de Nordström, pero no proporciona ninguna idea de la generación de radiación gravitacional en esta teoría. En este punto, sería natural discutir el análogo para la teoría de la gravitación de Nordström de la teoría de ondas gravitacionales linealizada estándar en la relatividad general, pero no profundizaremos en esto.

Véase también

• Teorías clásicas de la gravitación
• Congruencia (relatividad general)
• Gunnar Nordström
• Teorías físicas obsoletas
• Teoría general de la relatividad

Referencias

1. Smeenk, Christopher; Martín, Christopher (2007). "Las teorías de la materia y la gravitación de Mie". En Janssen, M.; Norton, JD; Renn, J.; Sauer, T.; Stachel, J. (eds.). La Génesis de la Relatividad General . Springer, Dordrecht. doi :10.1007/978-1-4020-4000-9_35. ISBN 978-1-4020-4000-9.

• Ravndal, Finn (2004). "Gravitación escalar y dimensiones extra". arXiv : gr-qc/0405030 .
• Pais, Abraham (1982). "13". Sutil es el Señor: La ciencia y la vida de Albert Einstein . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-280672-6.
• Lightman, Alan P.; Press, William H.; Price, Richard H. y Teukolsky, Saul A. (1975). Libro de problemas sobre relatividad y gravitación . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-08162-X.Véase el problema 13.2 .