linea mundial

Unique path of an object as it travels through spacetime

La línea del mundo (o worldline ) de un objeto es el camino que un objeto traza en el espacio-tiempo de 4 dimensiones . Es un concepto importante de la física moderna , y particularmente de la física teórica .

El concepto de "línea mundial" se distingue de conceptos tales como " órbita " o " trayectoria " (por ejemplo, la órbita de un planeta en el espacio o la trayectoria de un automóvil en una carretera) por la inclusión de la dimensión tiempo , y típicamente Abarca una gran área del espacio-tiempo en la que las trayectorias que perceptivamente son rectas se representan como curvas en el espacio-tiempo para mostrar sus estados de posición ( relativamente ) más absolutos, para revelar la naturaleza de la relatividad especial o las interacciones gravitacionales .

La idea de las líneas del mundo fue originada por los físicos y fue iniciada por Hermann Minkowski . El término se utiliza ahora con mayor frecuencia en el contexto de las teorías de la relatividad (es decir, la relatividad especial y la relatividad general ).

Uso en física

Una línea mundial de un objeto (generalmente aproximada como un punto en el espacio, por ejemplo, una partícula o un observador) es la secuencia de eventos espacio-temporales correspondientes a la historia del objeto. Una línea mundial es un tipo especial de curva en el espacio-tiempo. A continuación se explicará una definición equivalente: Una línea mundial es una curva temporal o nula en el espacio-tiempo. Cada punto de una línea mundial es un evento que puede etiquetarse con el tiempo y la posición espacial del objeto en ese momento.

Por ejemplo, la órbita de la Tierra en el espacio es aproximadamente un círculo, una curva tridimensional (cerrada) en el espacio: la Tierra regresa cada año al mismo punto en el espacio con respecto al sol. Sin embargo, llega allí en un momento diferente (más tarde). Por tanto, la línea universal de la Tierra es helicoidal en el espacio-tiempo (una curva en un espacio de cuatro dimensiones) y no regresa al mismo punto.

El espacio-tiempo es la colección de eventos , junto con un sistema de coordenadas continuo y fluido que identifica los eventos. Cada evento puede etiquetarse con cuatro números: una coordenada temporal y tres coordenadas espaciales; por tanto, el espaciotiempo es un espacio de cuatro dimensiones. El término matemático para el espacio-tiempo es una variedad de cuatro dimensiones (un espacio topológico que localmente se parece al espacio euclidiano cerca de cada punto). El concepto también puede aplicarse a un espacio de dimensiones superiores. Para visualizar fácilmente cuatro dimensiones, a menudo se suprimen dos coordenadas espaciales. Entonces, un evento se representa mediante un punto en un diagrama de Minkowski , que es un plano generalmente trazado con la coordenada temporal, por ejemplo , verticalmente, y la coordenada espacial, por ejemplo , horizontalmente. Según lo expresado por FR Harvey ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$

Una curva M en [espacio-tiempo] se llama línea mundial de una partícula si su tangente es temporal futura en cada punto. El parámetro de longitud de arco se llama tiempo propio y generalmente se denota por τ. La longitud de M se llama tiempo propio de la partícula. Si la línea mundial M es un segmento de recta, entonces se dice que la partícula está en caída libre . ^{[1] : 62–63}

Una línea mundial traza el camino de un único punto en el espacio-tiempo. Una hoja de mundo es la superficie bidimensional análoga trazada por una línea unidimensional (como una cuerda) que viaja a través del espacio-tiempo. La hoja del mundo de una cuerda abierta (con cabos sueltos) es una tira; el de una cuerda cerrada (un bucle) se asemeja a un tubo.

Una vez que el objeto no se aproxima a un mero punto sino que tiene un volumen ampliado, no traza una línea mundial sino un tubo mundial.

Líneas del mundo como método para describir eventos.

Línea mundial, hoja mundial y volumen mundial, tal como se derivan de partículas , cuerdas y branas .

Una línea o curva unidimensional se puede representar mediante coordenadas en función de un parámetro. Cada valor del parámetro corresponde a un punto en el espacio-tiempo y al variar el parámetro se traza una línea. Entonces, en términos matemáticos, una curva está definida por cuatro funciones de coordenadas (donde generalmente denota la coordenada de tiempo) dependiendo de un parámetro . Una cuadrícula de coordenadas en el espacio-tiempo es el conjunto de curvas que se obtienen si tres de cuatro funciones de coordenadas se establecen como constantes. ${\displaystyle x^{a}(\tau ),\;a=0,1,2,3}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle \tau }$

A veces, el término línea mundial se utiliza informalmente para cualquier curva en el espacio-tiempo. Esta terminología causa confusiones. Más propiamente, una línea mundial es una curva en el espacio-tiempo que traza la historia (temporal) de una partícula, un observador o un objeto pequeño. Generalmente se utiliza el tiempo adecuado de un objeto o de un observador como parámetro de curva a lo largo de la línea del mundo. ${\displaystyle \tau }$

Ejemplos triviales de curvas espacio-temporales.

Tres líneas mundiales diferentes que representan viajes a cuatro velocidades constantes diferentes. t es el tiempo y x la distancia.

Una curva que consta de un segmento de línea horizontal (una línea en tiempo de coordenadas constantes) puede representar una barra en el espacio-tiempo y no sería una línea mundial en el sentido correcto. El parámetro simplemente rastrea la longitud de la varilla.

Una línea en coordenadas espaciales constantes (una línea vertical usando la convención adoptada anteriormente) puede representar una partícula en reposo (o un observador estacionario). Una línea inclinada representa una partícula con una velocidad coordinada constante (cambio constante en las coordenadas espaciales al aumentar las coordenadas temporales). Cuanto más inclinada la línea respecto de la vertical, mayor será la velocidad.

Dos líneas del mundo que comienzan por separado y luego se cruzan, significan una colisión o "encuentro". Dos líneas de mundo que comienzan en el mismo evento en el espacio-tiempo, cada una siguiendo su propio camino después, pueden representar, por ejemplo, la desintegración de una partícula en otras dos o la emisión de una partícula por otra.

Las líneas mundiales de una partícula y un observador pueden interconectarse con la línea mundial de un fotón (el camino de la luz) y formar un diagrama que representa la emisión de un fotón por una partícula que posteriormente es observada por el observador (o absorbida por otra partícula). ).

Vector tangente a una recta mundial: cuatro velocidades

Las cuatro funciones de coordenadas que definen una línea mundial son funciones de números reales de una variable real y pueden diferenciarse simplemente mediante el cálculo habitual. Sin la existencia de una métrica (es importante darse cuenta de esto), uno puede imaginar la diferencia entre un punto de la curva en el valor del parámetro y un punto de la curva un poco (parámetro ) más alejado. En el límite , esta diferencia dividida por define un vector, el vector tangente de la línea mundial en el punto . Es un vector de cuatro dimensiones, definido en el punto . Está asociada con la velocidad tridimensional normal del objeto (pero no es lo mismo) y por lo tanto se denomina cuatro velocidades , o en componentes: ${\displaystyle x^{a}(\tau ),\;a=0,1,2,3}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \tau _{0}}$ ${\displaystyle \tau _{0}+\Delta \tau }$ ${\displaystyle \Delta \tau \to 0}$ ${\displaystyle \Delta \tau }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$

$${\displaystyle {\vec {v}}=\left(v^{0},v^{1},v^{2},v^{3}\right)=\left({\frac {dx^{0}}{d\tau }}\;,{\frac {dx^{1}}{d\tau }}\;,{\frac {dx^{2}}{d\tau }}\;,{\frac {dx^{3}}{d\tau }}\right)}$$

tal que las derivadas se toman en el punto , entonces en . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \tau =\tau _{0}}$

Todas las curvas que pasan por el punto p tienen un vector tangente, no sólo las rectas universales. La suma de dos vectores es nuevamente un vector tangente a alguna otra curva y lo mismo se aplica a la multiplicación por un escalar. Por lo tanto, todos los vectores tangentes para un punto p abarcan un espacio lineal , denominado espacio tangente en el punto p. Por ejemplo, tomando un espacio bidimensional, como la superficie (curva) de la Tierra, su espacio tangente en un punto específico sería la aproximación plana del espacio curvo.

Líneas del mundo en relatividad especial

Hasta ahora se ha descrito una línea mundial (y el concepto de vectores tangentes) sin medios para cuantificar el intervalo entre eventos. Las matemáticas básicas son las siguientes: La teoría de la relatividad especial impone algunas restricciones a las posibles líneas del mundo. En la relatividad especial, la descripción del espacio-tiempo se limita a sistemas de coordenadas especiales que no aceleran (y por lo tanto tampoco giran), denominados sistemas de coordenadas inerciales . En tales sistemas de coordenadas, la velocidad de la luz es constante. La estructura del espacio-tiempo está determinada por una forma bilineal η, que da un número real para cada par de eventos. La forma bilineal a veces se denomina métrica del espacio-tiempo , pero dado que eventos distintos a veces dan como resultado un valor cero, a diferencia de las métricas en los espacios métricos de las matemáticas, la forma bilineal no es una métrica matemática en el espacio-tiempo.

Las líneas mundiales de partículas/objetos que caen libremente se llaman geodésicas . En la relatividad especial se trata de líneas rectas en el espacio de Minkowski .

A menudo, las unidades de tiempo se eligen de manera que la velocidad de la luz esté representada por líneas en un ángulo fijo, generalmente de 45 grados, formando un cono con el eje vertical (tiempo). En general, las curvas útiles en el espacio-tiempo pueden ser de tres tipos (los otros tipos serían en parte uno y en parte otro tipo):

• curvas parecidas a la luz , teniendo en cada punto la velocidad de la luz. Forman un cono en el espacio-tiempo, dividiéndolo en dos partes. El cono es tridimensional en el espacio-tiempo, aparece como una línea en dibujos con dos dimensiones suprimidas y como un cono en dibujos con una dimensión espacial suprimida.

Un ejemplo de cono de luz , la superficie tridimensional de todos los posibles rayos de luz que llegan y salen de un punto en el espacio-tiempo. Aquí se representa con una dimensión espacial suprimida.

Los marcos inerciales que se mueven momentáneamente a lo largo de la trayectoria ("línea del mundo") de un observador que acelera rápidamente (centro). La dirección vertical indica el tiempo, mientras que la horizontal indica la distancia, la línea discontinua es el espaciotiempo del observador. Los pequeños puntos son eventos específicos en el espacio-tiempo. Observe cómo el marco inercial que se mueve momentáneamente cambia cuando el observador acelera.

• curvas similares al tiempo , con una velocidad menor que la velocidad de la luz. Estas curvas deben caer dentro de un cono definido por curvas parecidas a la luz. En nuestra definición anterior: las líneas del mundo son curvas similares al tiempo en el espacio-tiempo .
• curvas espaciales que caen fuera del cono de luz. Estas curvas pueden describir, por ejemplo, la longitud de un objeto físico. La circunferencia de un cilindro y la longitud de una varilla son curvas espaciales.

En un evento dado en una línea mundial, el espacio-tiempo ( espacio de Minkowski ) se divide en tres partes.

• El futuro del evento dado está formado por todos los eventos a los que se puede llegar a través de curvas temporales que se encuentran dentro del cono de luz futuro.
• El pasado del evento dado está formado por todos los eventos que pueden influir en el evento (es decir, que pueden estar conectados por líneas mundiales dentro del cono de luz del pasado con el evento dado).
  • El cono de luz en el evento dado está formado por todos los eventos que pueden conectarse a través de rayos de luz con el evento. Cuando observamos el cielo por la noche, básicamente vemos sólo el cono de luz pasado dentro de todo el espacio-tiempo.
• En otra parte está la región entre los dos conos de luz. Los puntos en el exterior de un observador le resultan inaccesibles; sólo los puntos del pasado pueden enviar señales al observador. En la experiencia ordinaria de laboratorio, utilizando unidades y métodos de medición comunes, puede parecer que miramos el presente, pero en realidad siempre hay un retraso en la propagación de la luz. Por ejemplo, vemos el Sol como era hace unos 8 minutos, no como es "ahora mismo". A diferencia del presente en la teoría galileana/newtoniana, el otro lado es denso; no es un volumen tridimensional sino una región espacio-temporal de 4 dimensiones.
  • Incluido en "en otro lugar" está el hiperplano simultáneo , que se define para un observador dado por un espacio que es hiperbólico-ortogonal a su línea mundial. En realidad es tridimensional, aunque en el diagrama sería un plano doble porque tuvimos que descartar una dimensión para hacer una imagen inteligible. Aunque los conos de luz son los mismos para todos los observadores en un evento espacio-temporal determinado, diferentes observadores, con velocidades diferentes pero coincidentes en el evento (punto) en el espacio-tiempo, tienen líneas mundiales que se cruzan entre sí en un ángulo determinado por sus velocidades relativas. y por tanto tienen diferentes hiperplanos simultáneos.
  • El presente a menudo significa el único evento espacio-temporal que se está considerando.

Hiperplano simultáneo

Dado que una línea mundial determina un 4-vector de velocidad que es similar al tiempo, la forma de Minkowski determina una función lineal por Sea N el espacio nulo de este funcional lineal. Entonces N se llama hiperplano simultáneo con respecto a v . La relatividad de la simultaneidad es una afirmación de que N depende de v . De hecho, N es el complemento ortogonal de v con respecto a η. Cuando dos líneas mundiales u y w están relacionadas, comparten el mismo hiperplano simultáneo. Este hiperplano existe matemáticamente, pero las relaciones físicas en la relatividad implican el movimiento de información por la luz. Por ejemplo, la fuerza electrostática tradicional descrita por la ley de Coulomb puede representarse en un hiperplano simultáneo, pero las relaciones relativistas de carga y fuerza implican potenciales retardados . ${\displaystyle w(\tau )\in R^{4}}$ ${\displaystyle v={\frac {dw}{d\tau }}}$ ${\displaystyle \eta (v,x)}$ ${\displaystyle R^{4}\rightarrow R}$ ${\displaystyle x\mapsto \eta (v,x).}$ ${\displaystyle {\frac {du}{d\tau }}={\frac {dw}{d\tau }},}$

Líneas del mundo en la relatividad general.

El uso de líneas mundiales en la relatividad general es básicamente el mismo que en la relatividad especial , con la diferencia de que el espacio-tiempo puede curvarse . Existe una métrica y su dinámica está determinada por las ecuaciones de campo de Einstein y dependen de la distribución masa-energía en el espacio-tiempo. Nuevamente, la métrica define curvas tipo luz (nula), tipo espacio y tiempo . Además, en la relatividad general, las líneas del mundo incluyen curvas temporales y curvas nulas en el espacio-tiempo, donde las curvas temporales caen dentro del cono de luz. Sin embargo, un cono de luz no está necesariamente inclinado a 45 grados con respecto al eje del tiempo. Sin embargo, esto es un artefacto del sistema de coordenadas elegido y refleja la libertad de coordenadas ( invariancia del difeomorfismo ) de la relatividad general. Cualquier curva temporal admite un observador en movimiento cuyo "eje de tiempo" corresponde a esa curva y, dado que ningún observador tiene privilegios, siempre podemos encontrar un sistema de coordenadas local en el que los conos de luz estén inclinados 45 grados con respecto al eje de tiempo. Véanse también, por ejemplo, las coordenadas de Eddington-Finkelstein .

Las líneas mundiales de partículas u objetos en caída libre (como los planetas alrededor del Sol o un astronauta en el espacio) se denominan geodésicas .

Líneas del mundo en la teoría cuántica de campos.

La teoría cuántica de campos, el marco en el que se describe toda la física de partículas moderna, suele describirse como una teoría de campos cuantificados. Sin embargo, aunque no se aprecia ampliamente, se sabe desde Feynman ^[2] que muchas teorías cuánticas de campos pueden describirse de manera equivalente en términos de líneas mundiales. La formulación de líneas mundiales de la teoría cuántica de campos ha resultado particularmente fructífera para diversos cálculos en teorías de calibre ^{[3] [4] [5]} y para describir los efectos no lineales de los campos electromagnéticos. ^{[6] [7]}

Líneas del mundo en la literatura.

En 1884 CH Hinton escribió un ensayo "¿Qué es la cuarta dimensión?", que publicó como una novela científica . El escribio

¿Por qué, entonces, los seres cuatridimensionales no deberían ser nosotros mismos, y nuestros estados sucesivos el paso de ellos a través del espacio tridimensional al que está confinada nuestra conciencia? ^{[8] : 18-19}

JC Fields , de la Universidad de Toronto, dio una descripción popular de las líneas del mundo humano en los primeros días de la relatividad. Como lo describe el abogado de Toronto Norman Robertson:

Recuerdo que [Fields] dio una conferencia en una de las conferencias del sábado por la tarde en el Real Instituto Canadiense . Se anunció que era una "fantasía matemática", ¡y lo era! El contenido del ejercicio fue el siguiente: postuló que, desde su nacimiento, cada ser humano tenía algún tipo de aura espiritual con un largo filamento o hilo adherido, que viajaba detrás de él a lo largo de su vida. Luego procedió en su imaginación a describir los complicados enredos en los que cada individuo estaba involucrado en su relación con otros individuos, comparando los simples enredos de la juventud con esos complicados nudos que se desarrollan en la vejez. ^[9]

Kurt Vonnegut, en su novela Slaughterhouse-Five , describe las líneas mundanas de las estrellas y las personas:

“Billy Pilgrim dice que a las criaturas de Tralfamadore el Universo no les parece un montón de puntitos brillantes. Las criaturas pueden ver dónde ha estado cada estrella y hacia dónde se dirige, de modo que los cielos se llenan de espaguetis luminosos y enrarecidos. Y los tralfamadorianos tampoco ven a los seres humanos como criaturas de dos piernas. Los ven como grandes milpiés, "con piernas de bebés en un extremo y piernas de ancianos en el otro", dice Billy Pilgrim.

Casi todas las historias de ciencia ficción que utilizan este concepto activamente, como para permitir el viaje en el tiempo , simplifican demasiado este concepto a una línea de tiempo unidimensional para ajustarse a una estructura lineal, que no se ajusta a los modelos de la realidad. Estas máquinas del tiempo a menudo se presentan como instantáneas, con su contenido partiendo en un momento y llegando en otro, pero literalmente en el mismo punto geográfico del espacio. Esto a menudo se lleva a cabo sin tomar en cuenta un marco de referencia, o con el supuesto implícito de que el marco de referencia es local; como tal, esto requeriría una teletransportación precisa, ya que un planeta en rotación, al estar bajo aceleración, no es un sistema inercial, o que la máquina del tiempo permanezca en el mismo lugar, con su contenido "congelado".

El autor Oliver Franklin publicó una obra de ciencia ficción en 2008 titulada World Lines en la que relataba una explicación simplificada de la hipótesis para los profanos. ^[10]

En el cuento Life-Line , el autor Robert A. Heinlein describe la línea mundial de una persona: ^[11]

Se acercó a uno de los periodistas. "Supongamos que lo tomamos como ejemplo. Su nombre es Rogers, ¿no es así? Muy bien, Rogers, usted es un evento espacio-temporal que tiene una duración de cuatro maneras. No mide exactamente seis pies de alto, mide aproximadamente veinte pulgadas de ancho y tal vez diez pulgadas de espesor. Con el tiempo, se extiende detrás de ustedes más de este evento espacio-temporal, llegando quizás hasta 19-16, del cual vemos una sección transversal aquí en ángulo recto con el eje del tiempo, y tan gruesa como el presente. En el otro extremo hay un bebé que huele a leche agria y babea su desayuno en el babero, en el otro extremo yace, tal vez, un anciano de los años ochenta.

"Imagínese este evento espacio-temporal que llamamos Rogers como un largo gusano rosado, continuo a través de los años, un extremo en el útero de su madre y el otro en la tumba..."

Methuselah's Children de Heinlein utiliza el término, al igual que The Quincunx of Time de James Blish (ampliado de "Beep").

Una novela visual llamada Steins;Gate , producida por 5pb. , cuenta una historia basada en el cambio de líneas del mundo. Steins;Gate es parte de la serie " Science Adventure ". A lo largo de la serie también se utilizan líneas del mundo y otros conceptos físicos como el mar de Dirac .

La novela Anathem de Neal Stephenson implica una larga discusión sobre las líneas del mundo durante una cena en medio de un debate filosófico entre el realismo platónico y el nominalismo .

Absolute Choice representa diferentes líneas del mundo como una trama secundaria y un dispositivo de escenario.

Una armada espacial que intenta completar un camino temporal (casi) cerrado como una maniobra estratégica forma el telón de fondo y el argumento principal de "Singularity Sky" de Charles Stross .

Ver también

• Tipos específicos de líneas mundiales.
  • Geodésicas
  • Curvas temporales cerradas
  • Estructura causal , curvas que representan una variedad de diferentes tipos de línea mundial.
  • línea isotrópica
• diagrama de feynman
• Geografía del tiempo

Referencias

1. Harvey, F.Reese (1990). Sección "Relatividad Especial" del capítulo "Espacios vectoriales euclidianos/lorentzianos". Spinores y Calibraciones . Prensa académica . págs. 62–67. ISBN 9780080918631.
2. Feynman, Richard P. (1951). "Un cálculo de operadores con aplicaciones en electrodinámica cuántica" (PDF) . Revisión física . 84 (1): 108-128. Código bibliográfico : 1951PhRv...84..108F. doi : 10.1103/PhysRev.84.108.
3. Berna, Zvi ; Kosower, David A. (1991). "Cálculo eficiente de amplitudes QCD de un bucle". Cartas de revisión física . 66 (13): 1669-1672. Código bibliográfico : 1991PhRvL..66.1669B. doi : 10.1103/PhysRevLett.66.1669. PMID  10043277.
4. Berna, Zvi ; Dixon, lanza ; Kosower, David A. (1996). "Progreso en los cálculos QCD de un bucle" (PDF) . Revisión anual de la ciencia nuclear y de partículas . 46 : 109-148. arXiv : hep-ph/9602280 . Código Bib : 1996ARNPS..46..109B. doi : 10.1146/annurev.nucl.46.1.109 .
5. Schubert, cristiano (2001). "Teoría de campos cuánticos perturbativos en el formalismo inspirado en cuerdas". Informes de Física . 355 (2–3): 73–234. arXiv : hep-th/0101036 . Código bibliográfico : 2001PhR...355...73S. doi :10.1016/S0370-1573(01)00013-8. S2CID  118891361.
6. Affleck, Ian K .; Álvarez, Orlando; Manton, Nicolás S. (1982). "Producción de pares con fuerte acoplamiento en campos externos débiles". Física Nuclear B. 197 (3): 509–519. Código bibliográfico : 1982NuPhB.197..509A. doi :10.1016/0550-3213(82)90455-2.
7. Dunne, Gerald V.; Schubert, cristiano (2005). "Instantones de línea mundial y producción de pares en campos no homogéneos" (PDF) . Revisión física D. 72 (10): 105004. arXiv : hep-th/0507174 . Código Bib : 2005PhRvD..72j5004D. doi : 10.1103/PhysRevD.72.105004. S2CID  119357180.
8. Hinton, CH (1884). "¿Qué es la cuarta dimensión?". Romances científicos: Primera serie . S. Sonnenschein . págs. 1–32.
9. Robinson, Gilbert de Beauregard (1979). El Departamento de Matemáticas de la Universidad de Toronto, 1827-1978 . Prensa de la Universidad de Toronto . pag. 19.ISBN _ 0-7727-1600-5.
10. Óliver Franklin (2008). Líneas del mundo . Prensa épica. ISBN 978-1-906557-00-3.
11. "Tecnología: Cronovitámetro" . Consultado el 8 de septiembre de 2010 .

• Minkowski, Hermann (1909), "Raum und Zeit"  , Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88

• Varias traducciones al inglés en Wikisource: Espacio y tiempo

• Ludwik Silberstein (1914) Teoría de la Relatividad , p. 130, Macmillan and Company .

enlaces externos

• Artículo de líneas mundiales sobre h2g2 .

• Texto detallado sobre líneas mundiales y relatividad especial.