Hélice

Curva espacial que gira alrededor de una línea.

La hélice derecha (cos t , sin t , t ) para 0 ≤ t ≤ 4 π con puntas de flecha que muestran la dirección de aumento de t

Una hélice ( / ˈh iː l ɪ k s / ; pl.  hélices ) tiene una forma parecida a un sacacorchos . Es un tipo de curva espacial suave con líneas tangentes en un ángulo constante a un eje fijo. Las hélices son importantes en biología , ya que la molécula de ADN se forma como dos hélices entrelazadas , y muchas proteínas tienen subestructuras helicoidales, conocidas como hélices alfa . La palabra hélice proviene del vocablo griego ἕλιξ , "retorcido, curvado". ^[1] Una hélice "rellena", por ejemplo, una rampa "espiral" (helicoidal), es una superficie llamada helicoide . ^[2]

Propiedades y tipos

El paso de una hélice es la altura de una vuelta completa de la hélice , medida paralela al eje de la hélice.

Una doble hélice consta de dos hélices (normalmente congruentes ) con el mismo eje, que se diferencian por una traslación a lo largo del eje. ^[3]

Una hélice circular (es decir, una con radio constante) tiene una curvatura de banda constante y una torsión constante .

Una hélice cónica , también conocida como espiral cónica , se puede definir como una espiral sobre una superficie cónica, donde la distancia al vértice es una función exponencial del ángulo que indica la dirección desde el eje.

Una curva se llama hélice general o hélice cilíndrica ^[4] si su tangente forma un ángulo constante con una línea fija en el espacio. Una curva es una hélice general si y sólo si la relación entre curvatura y torsión es constante. ^[5]

Una curva se llama hélice inclinada si su normal principal forma un ángulo constante con una línea fija en el espacio. ^[6] Puede construirse aplicando una transformación al marco móvil de una hélice general. ^[7]

Para conocer curvas espaciales más generales en forma de hélice, consulte espiral espacial ; por ejemplo, espiral esférica .

lateralidad

Las hélices pueden ser diestras o zurdas. Con la línea de visión a lo largo del eje de la hélice, si un movimiento de giro en el sentido de las agujas del reloj aleja la hélice del observador, entonces se llama hélice derecha; si está hacia el observador, entonces es una hélice hacia la izquierda. La lateralidad (o quiralidad ) es una propiedad de la hélice, no de la perspectiva: una hélice diestra no puede girarse para que parezca una zurda a menos que se mire en un espejo, y viceversa.

Se muestran dos tipos de hélice en comparación . Esto muestra las dos quiralidades de las hélices. Uno es zurdo y el otro diestro. Cada fila compara las dos hélices desde una perspectiva diferente. La quiralidad es una propiedad del objeto, no de la perspectiva (ángulo de visión)

Descripción matemática

Una hélice compuesta de componentes sinusoidales x e y.

En matemáticas , una hélice es una curva en un espacio tridimensional . La siguiente parametrización en coordenadas cartesianas define una hélice particular; ^[8] quizás la ecuación más simple para una sea

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\cos(t),\\y(t)&=\sin(t),\\z(t)&=t.\end{aligned}}}$

A medida que aumenta el parámetro t , el punto ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) traza una hélice derecha de paso 2 π (o pendiente 1) y radio 1 alrededor del eje z , en un sistema de coordenadas diestro.

En coordenadas cilíndricas ( r , θ , h ) , la misma hélice está parametrizada por:

${\displaystyle {\begin{aligned}r(t)&=1,\\\theta (t)&=t,\\h(t)&=t.\end{aligned}}}$

Una hélice circular de radio a y pendiente.a/b(o tono 2 πb ) se describe mediante la siguiente parametrización:

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=a\cos(t),\\y(t)&=a\sin(t),\\z(t)&=bt.\end{aligned}}}$

Otra forma de construir matemáticamente una hélice es trazar la función de valores complejos e ^xi como función del número real x (ver fórmula de Euler ). El valor de x y las partes real e imaginaria del valor de la función le dan a esta gráfica tres dimensiones reales.

Excepto por rotaciones , traslaciones y cambios de escala, todas las hélices diestras son equivalentes a la hélice definida anteriormente. La hélice izquierda equivalente se puede construir de varias maneras, siendo la más sencilla negar cualquiera de los componentes x , y o z .

Longitud de arco, curvatura y torsión.

Una hélice circular de radio a y pendiente.a/b(o tono 2 πb ) expresado en coordenadas cartesianas como

${\displaystyle t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in [0,T]}$

tiene una longitud de arco de

${\displaystyle A=T\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}$

una curvatura de

${\displaystyle {\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}},}$

y una torsión de

${\displaystyle {\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.}$

Una hélice tiene curvatura y torsión constantes distintas de cero.

Una hélice es la función con valores vectoriales.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=a\cos t\mathbf {i} +a\sin t\mathbf {j} +bt\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {v} &=-a\sin t\mathbf {i} +a\cos t\mathbf {j} +b\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {a} &=-a\cos t\mathbf {i} -a\sin t\mathbf {j} +0\mathbf {k} \\[6px]|\mathbf {v} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\[6px]|\mathbf {a} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}}}=a\\[6px]s(t)&=\int _{0}^{t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}d\tau ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}t\end{aligned}}}$$

Entonces, una hélice se puede reparametrizar en función de s , que debe ser una unidad de velocidad:

$${\displaystyle \mathbf {r} (s)=a\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +a\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {bs}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k} }$$

El vector unitario tangente es

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {T} ={\frac {-a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k} }$$

El vector normal es

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}=\kappa \mathbf {N} ={\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }$$

Su curvatura es

$${\displaystyle \kappa =\left|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right|={\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}}$$

El vector normal unitario es

$${\displaystyle \mathbf {N} =-\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }$$

El vector binormal es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} &={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\left(b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +a\mathbf {k} \right)\\[12px]{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} \right)\end{aligned}}}$$

Su torsión es

$${\displaystyle \tau =\left|{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}\right|={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.}$$

Ejemplos

Un ejemplo de doble hélice en biología molecular es la doble hélice del ácido nucleico .

Un ejemplo de hélice cónica es la montaña rusa Corkscrew del parque de atracciones Cedar Point .

Algunas curvas que se encuentran en la naturaleza consisten en múltiples hélices de diferentes direcciones unidas por transiciones conocidas como perversiones de zarcillo .

La mayoría de las roscas de los tornillos de hardware son hélices derechas. La hélice alfa en biología, así como las formas A y B del ADN, también son hélices derechas. La forma Z del ADN es zurda.

En música , el espacio tonal suele modelarse con hélices o dobles hélices, que con mayor frecuencia se extienden fuera de un círculo como el círculo de quintas , para representar la equivalencia de octava .

En aviación, el paso geométrico es la distancia que avanzaría un elemento de la hélice de un avión en una revolución si se moviera a lo largo de una hélice que tuviera un ángulo igual al entre la cuerda del elemento y un plano perpendicular al eje de la hélice; ver también: ángulo de cabeceo (aviación) .

• 
  Estructura cristalina de una hélice molecular plegada informada por Lehn et al. ^[9]
• 
  Una hélice zurda natural, creada por una planta trepadora .
• 
  Una partícula cargada en un campo magnético uniforme que sigue una trayectoria helicoidal.
• 
  Un resorte helicoidal

Ver también

• Hélice alfa
• resorte de arco
• Hélice de Boerdijk-Coxeter
• polarización circular
• hélice de colágeno
• simetría helicoidal
• helicidad
• ángulo de hélice
• Eje helicoidal
• hemihélice
• Superficie de concha
• Solenoide
• Superhélice
• Triple hélice

Referencias

1. ἕλιξ Archivado el 16 de octubre de 2012 en Wayback Machine , Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon , sobre Perseo
2. Weisstein, Eric W. "Helicoidal". MundoMatemático .
3. «Double Helix Archivado el 30 de abril de 2008 en Wayback Machine » por Sándor Kabai, Wolfram Demonstrations Project .
4. O'Neill, B. Geometría diferencial elemental, 1961 pág.72
5. O'Neill, B. Geometría diferencial elemental, 1961 pág.74
6. Izumiya, S. y Takeuchi, N. (2004) Nuevas curvas especiales y superficies desarrollables. Turk J Math Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine , 28:153–163.
7. Menninger, T. (2013), Una parametrización explícita del aparato Frenet de la hélice inclinada . arXiv:1302.3175 Archivado el 5 de febrero de 2018 en Wayback Machine .
8. Weisstein, Eric W. "Hélice". MundoMatemático .
9. Schmitt, J.-L.; Stadler, A.-M.; Kyritsakas, N.; Lehn, J.-M. (2003). "Hebras moleculares codificadas por helicidad: acceso eficiente por la ruta de la hidrazona y características estructurales". Helvetica Chimica Acta . 86 : 1598-1624. doi :10.1002/hlca.200390137.