Coordenadas de Eddington-Finkelstein

En relatividad general , las coordenadas de Eddington-Finkelstein son un par de sistemas de coordenadas para una geometría de Schwarzschild (por ejemplo, un agujero negro esféricamente simétrico ) que están adaptados a geodésicas nulas radiales . Las geodésicas nulas son las líneas de mundo de los fotones ; las radiales son las que se mueven directamente hacia o desde la masa central. Reciben su nombre de Arthur Stanley Eddington ^[1] y David Finkelstein ^[2] . Aunque parecen haber inspirado la idea, ninguno de ellos escribió nunca estas coordenadas ni la métrica en estas coordenadas. Roger Penrose ^[3] parece haber sido el primero en escribir la forma nula, pero lo atribuye al artículo mencionado anteriormente de Finkelstein y, en su ensayo del Premio Adams más tarde ese año, a Eddington y Finkelstein. Los más influyentes son Misner, Thorne y Wheeler, en su libro Gravitación , que se refieren a las coordenadas nulas con ese nombre.

En estos sistemas de coordenadas, los rayos de luz radiales que viajan hacia afuera (hacia adentro) (cada uno de los cuales sigue una geodésica nula) definen las superficies de "tiempo" constante, mientras que la coordenada radial es la coordenada de área habitual, de modo que las superficies de simetría de rotación tienen un área de $4 π r 2$ . Una ventaja de este sistema de coordenadas es que muestra que la singularidad aparente en el radio de Schwarzschild es solo una singularidad de coordenadas y no una singularidad física verdadera. Si bien este hecho fue reconocido por Finkelstein, no fue reconocido (o al menos no comentó) por Eddington, cuyo propósito principal era comparar y contrastar las soluciones esféricamente simétricas en la teoría de la gravitación de Whitehead y la versión de Einstein de la teoría de la relatividad.

Métrica de Schwarzschild

Solución de Schwarzschild en coordenadas de Schwarzschild, con dos dimensiones espaciales suprimidas, dejando solo el tiempo t y la distancia desde el centro r . En rojo, las geodésicas nulas entrantes. En azul, las geodésicas nulas salientes. En verde, los conos de luz nula en los que se mueve la luz en los bordes, mientras que los objetos masivos se mueven dentro de los conos.

Las coordenadas de Schwarzschild son , y en estas coordenadas es bien conocida la métrica de Schwarzschild: $(t,r,\theta ,\varphi )$

ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)\,dt^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}

dónde

d\Omega ^{2}\equiv d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.

es la métrica riemanniana estándar de la unidad 2-esfera.

Tenga en cuenta que las convenciones que se utilizan aquí son la firma métrica de ( + − − − ) y las unidades naturales donde c = 1 es la velocidad adimensional de la luz, G la constante gravitacional y M es la masa característica de la geometría de Schwarzschild.

Coordenadas de la tortuga

Las coordenadas de Eddington-Finkelstein se basan en la coordenada de la tortuga, un nombre que proviene de una de las paradojas de Zenón de Elea sobre una carrera imaginaria entre Aquiles, el "de pies rápidos", y una tortuga .

La coordenada de la tortuga se define: ${\estilo de visualización r^{*}}$

r^{*}=r+2GM\ln \izquierda|r-2GM\derecha|.

para satisfacer:

{\frac {dr^{*}}{dr}}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}.

La coordenada de la tortuga se aproxima a medida que se aproxima al radio de Schwarzschild . ${\estilo de visualización r^{*}}$ ${\estilo de visualización -\infty}$ ${\estilo de visualización r}$ ${\estilo de visualización 2GM}$

Cuando una sonda (como un rayo de luz o un observador) se acerca al horizonte de sucesos de un agujero negro, su coordenada temporal de Schwarzschild se hace infinita. Los rayos nulos salientes en este sistema de coordenadas tienen un cambio infinito en t al salir del horizonte. La coordenada de la tortuga está destinada a hacerse infinita a la velocidad adecuada para cancelar este comportamiento singular en los sistemas de coordenadas construidos a partir de ella.

El aumento de la coordenada temporal hasta el infinito a medida que uno se acerca al horizonte de sucesos es la razón por la que nunca se podría recibir información de ninguna sonda enviada a través de dicho horizonte de sucesos, a pesar del hecho de que la sonda misma puede viajar más allá del horizonte. También es la razón por la que la métrica espacio-temporal del agujero negro, cuando se expresa en coordenadas de Schwarzschild, se vuelve singular en el horizonte y, por lo tanto, no puede trazar completamente la trayectoria de una sonda que se acerca.

Métrico

Las coordenadas de Eddington-Finkelstein entrantes se obtienen reemplazando la coordenada t por la nueva coordenada . En estas coordenadas, la métrica de Schwarzschild se puede escribir como $v=t+r^{*}$

ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv^{2}-2\,dv\,dr-r^{2}d\Omega ^{2}.

donde nuevamente es la métrica riemanniana estándar en la unidad de radio de 2 esferas. $d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}$

De la misma manera, las coordenadas de salida de Eddington-Finkelstein se obtienen reemplazando t por la coordenada nula . La métrica se obtiene entonces por $u=tr^{*}$

ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)du^{2}+2\,du\,dr-r^{2}d\Omega ^{2}.

En ambos sistemas de coordenadas, la métrica es explícitamente no singular en el radio de Schwarzschild (aunque un componente se desvanece en este radio, el determinante de la métrica sigue siendo no nulo y la métrica inversa no tiene términos que diverjan allí).

Nótese que para rayos nulos radiales, v=const o =const o equivalentemente =const o u=const tenemos que dv/dr y du/dr se acercan a 0 y ±2 en r grande , no ±1 como uno podría esperar si uno considerara u o v como "tiempo". Al trazar diagramas de Eddington-Finkelstein, las superficies de u o v constantes se dibujan generalmente como conos, con líneas constantes u o v dibujadas como inclinadas a 45 grados en lugar de como planos (ver por ejemplo el Cuadro 31.2 de MTW ). Algunas fuentes en cambio toman , correspondiente a superficies planares en tales diagramas. En términos de esto, la métrica se convierte en $v-2r^{*}$ $u+2r^{*}$ $t'=t\pm (r^{*}-r)\,$ ${\estilo de visualización t'}$

ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dt'^{2}\pm {\frac {4GM}{r}}\,dt'\,dr-\left(1+{\frac {2GM}{r}}\right)\,dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}=(dt'^{2}-dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2})+{\frac {2GM}{r}}(dt'\pm dr)^{2}

que es minkowskiano en general r . (Este fue el tiempo de coordenadas y la métrica que tanto Eddington como Finkelstein presentaron en sus artículos).

Este es un gráfico de los conos de luz de las coordenadas *vr donde el eje* r es una línea recta oblicua inclinada hacia la izquierda. La línea azul es un ejemplo de una de las líneas constantes v . Se trazan los conos de luz en varios valores de r . Las líneas verdes son varias líneas constantes u . Nótese que se aproximan *a r=2GM* asintóticamente. En estas coordenadas, el horizonte es el horizonte del agujero negro (nada puede salir). El diagrama para las coordenadas ur es el mismo diagrama al revés y con u y v intercambiados en el diagrama. En ese caso, el horizonte es el horizonte del agujero blanco , del que la materia y la luz pueden salir, pero nada puede entrar.

Las coordenadas de Eddington-Finkelstein aún están incompletas y pueden ampliarse. Por ejemplo, las geodésicas temporales que viajan hacia afuera definidas por (siendo τ el tiempo propio)

r(\tau )={\sqrt {2GM\tau }}

{\begin{aligned}v(\tau )&=\int {\frac {r(\tau )}{r(\tau )-2GM}}\,d\tau \\&=C+\tau +2{\sqrt {2GM\tau }}+4GM\ln \left({\sqrt {\frac {\tau }{2GM}}}-1\right)\end{aligned}}

tiene v ( τ ) → −∞ cuando τ → 2 GM . Es decir, esta geodésica temporal tiene una longitud propia finita en el pasado donde sale del horizonte ( r = 2 GM ) cuando v se convierte en menos infinito. Las regiones para v finito y r < 2 GM son una región diferente de u finito y r < 2 GM . El horizonte r = 2 GM y v finito (el horizonte del agujero negro) es diferente de aquel con r = 2 GM y u finito (el horizonte del agujero blanco ).

La métrica en coordenadas de Kruskal-Szekeres cubre todo el espacio-tiempo de Schwarzschild en un único sistema de coordenadas. Su principal desventaja es que en esas coordenadas la métrica depende tanto de las coordenadas temporales como de las espaciales. En las coordenadas de Eddington-Finkelstein, al igual que en las de Schwarzschild, la métrica es independiente del "tiempo" (ya sea t en Schwarzschild, o u o v en las distintas coordenadas de Eddington-Finkelstein), pero ninguna de ellas cubre el espacio-tiempo completo.

Las coordenadas de Eddington-Finkelstein tienen cierta similitud con las coordenadas de Gullstrand-Painlevé en que ambas son independientes del tiempo y penetran (son regulares a través de) el horizonte futuro (agujero negro) o el horizonte pasado (agujero blanco). Ninguna de las dos es diagonal (las hipersuperficies de "tiempo" constante no son ortogonales a las hipersuperficies de r constante ). Las últimas tienen una métrica espacial plana, mientras que las hipersuperficies espaciales (constante de "tiempo") de las primeras son nulas y tienen la misma métrica que la de un cono nulo en el espacio de Minkowski ( en el espacio-tiempo plano). $t=\pm r$

Véase también

Referencias

^ Eddington, AS (febrero de 1924). "Una comparación de las fórmulas de Whitehead y Einstein" (PDF) . Nature . 113 (2832): 192. Bibcode :1924Natur.113..192E. doi :10.1038/113192a0. S2CID 36114166.
^ Finkelstein, David (1958). "Asimetría pasado-futuro del campo gravitatorio de una partícula puntual". Phys. Rev . 110 (4): 965–967. Código Bibliográfico :1958PhRv..110..965F. doi :10.1103/PhysRev.110.965.
^ Penrose, Roger (1965). "Colapso gravitacional y singularidades espacio-temporales". Physical Review Letters . 14 (3): 57–59. Código Bibliográfico :1965PhRvL..14...57P. doi : 10.1103/PhysRevLett.14.57 .