En física teórica y matemáticas aplicadas , una ecuación de campo es una ecuación diferencial parcial que determina la dinámica de un campo físico , específicamente la evolución temporal y la distribución espacial del campo. Las soluciones de la ecuación son funciones matemáticas que corresponden directamente al campo, como funciones del tiempo y del espacio. Dado que la ecuación de campo es una ecuación diferencial parcial, existen familias de soluciones que representan una variedad de posibilidades físicas. Por lo general, no existe una sola ecuación, sino un conjunto de ecuaciones acopladas que deben resolverse simultáneamente. Las ecuaciones de campo no son ecuaciones diferenciales ordinarias ya que un campo depende del espacio y el tiempo, lo que requiere al menos dos variables.
Mientras que la " ecuación de onda ", la " ecuación de difusión " y la " ecuación de continuidad " tienen todas formas estándar (y varios casos especiales o generalizaciones), no existe una ecuación única y especial denominada "ecuación de campo".
El tema se divide en términos generales en ecuaciones de la teoría de campos clásica y la teoría cuántica de campos . Las ecuaciones de campo clásicas describen muchas propiedades físicas como la temperatura de una sustancia, la velocidad de un fluido, las tensiones en un material elástico, los campos eléctricos y magnéticos de una corriente, etc. [1] También describen las fuerzas fundamentales de la naturaleza, como el electromagnetismo y la gravedad. . [2] [3] En la teoría cuántica de campos, las partículas o sistemas de "partículas" como electrones y fotones están asociados con campos, lo que permite grados infinitos de libertad (a diferencia de los grados finitos de libertad en la mecánica de partículas) y números de partículas variables que pueden ser creado o aniquilado .
Por lo general, las ecuaciones de campo se postulan (como las ecuaciones de campo de Einstein y la ecuación de Schrödinger , que subyace a todas las ecuaciones de campo cuánticas) u se obtienen a partir de los resultados de experimentos (como las ecuaciones de Maxwell ). El alcance de su validez es su capacidad para predecir correctamente y estar de acuerdo con los resultados experimentales.
Desde un punto de vista teórico, las ecuaciones de campo se pueden formular en los marcos de la teoría de campos lagrangiana , la teoría de campos hamiltoniana y las formulaciones teóricas de campos del principio de acción estacionaria . [4] Dada una densidad lagrangiana o hamiltoniana adecuada, función de los campos en un sistema dado, así como de sus derivadas, el principio de acción estacionaria obtendrá la ecuación de campo.
Tanto en la teoría clásica como en la cuántica, las ecuaciones de campo satisfarán la simetría de la teoría física de fondo. La mayoría de las veces, la simetría galileana es suficiente, para velocidades (de campos de propagación) mucho menores que las de la luz. Cuando las partículas y los campos se propagan a velocidades cercanas a la luz, la simetría de Lorentz es una de las configuraciones más comunes porque la ecuación y sus soluciones son consistentes con la relatividad especial.
Otra simetría surge de la libertad de calibre , que es intrínseca a las ecuaciones de campo. Los campos que corresponden a interacciones pueden ser campos de calibre , lo que significa que pueden derivarse de un potencial y ciertos valores de potenciales corresponden al mismo valor del campo.
Las ecuaciones de campo se pueden clasificar de muchas maneras: clásicas o cuánticas, no relativistas o relativistas, según el espín o la masa del campo, y el número de componentes que tiene el campo y cómo cambian bajo transformaciones de coordenadas (por ejemplo, campos escalares , campos vectoriales , campos tensoriales , campos espinores , campos twistores , etc.). También pueden heredar la clasificación de las ecuaciones diferenciales, como lineales o no lineales , el orden de la derivada más alta, o incluso como ecuaciones diferenciales fraccionarias . Los campos de calibre pueden clasificarse en teoría de grupos , como abelianos o nobelianos.
Las ecuaciones de campo subyacen a las ecuaciones de ondas, porque los campos que cambian periódicamente generan ondas. Las ecuaciones de onda pueden considerarse ecuaciones de campo, en el sentido de que a menudo pueden derivarse de ecuaciones de campo. Alternativamente, dadas las densidades lagrangianas o hamiltonianas adecuadas y utilizando el principio de acción estacionaria, también se pueden obtener las ecuaciones de onda.
Por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell se pueden utilizar para derivar ecuaciones de ondas electromagnéticas no homogéneas , y a partir de las ecuaciones de campo de Einstein se pueden derivar ecuaciones para ondas gravitacionales .
No todas las ecuaciones diferenciales parciales (PDE) en física se denominan automáticamente "ecuaciones de campo", incluso si hay campos involucrados. Son ecuaciones adicionales para proporcionar restricciones adicionales para un sistema físico determinado.
Las " ecuaciones de continuidad " y las " ecuaciones de difusión " describen fenómenos de transporte , aunque pueden implicar campos que influyen en los procesos de transporte.
Si una " ecuación constitutiva " toma la forma de una PDE e involucra campos, generalmente no se la llama ecuación de campo porque no gobierna el comportamiento dinámico de los campos. Relacionan un campo con otro, en un material determinado. Las ecuaciones constitutivas se utilizan junto con las ecuaciones de campo cuando es necesario tener en cuenta los efectos de la materia.
Las ecuaciones de campo clásicas surgen en la mecánica continua (incluidas la elastodinámica y la mecánica de fluidos ), la transferencia de calor , el electromagnetismo y la gravitación .
Las ecuaciones de campo clásicas fundamentales incluyen
Las ecuaciones importantes derivadas de leyes fundamentales incluyen:
Como parte de los procesos de modelado matemático de la vida real , las ecuaciones de campo clásicas van acompañadas de otras ecuaciones de movimiento , ecuaciones de estado , ecuaciones constitutivas y ecuaciones de continuidad.
En la teoría cuántica de campos, las partículas se describen mediante campos cuánticos que satisfacen la ecuación de Schrödinger . También son operadores de creación y aniquilación que satisfacen relaciones de conmutación y están sujetos al teorema de la estadística de espín .
Los casos particulares de ecuaciones de campo cuánticas relativistas incluyen [5]
En las ecuaciones de campo cuánticas, es común usar componentes de momento de la partícula en lugar de coordenadas de posición de la ubicación de la partícula, los campos están en el espacio de momento y las transformadas de Fourier los relacionan con la representación de la posición.
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