El problema de Apolonio

Construir círculos que sean tangentes a tres círculos dados en un plano.

Figura 1: Una solución (en violeta) al problema de Apolonio. Los círculos dados se muestran en negro.

Figura 2: Cuatro pares complementarios de soluciones al problema de Apolonio; los círculos dados son negros.

En la geometría plana euclidiana , el problema de Apolonio es construir círculos que sean tangentes a tres círculos dados en un plano (Figura 1). Apolonio de Perga (c. 262 a. C. – c. 190 a. C.) planteó y resolvió este famoso problema en su obra Ἐπαφαί ( Epaphaí , "Tangencias"); Este trabajo se ha perdido , pero ha sobrevivido un informe del siglo IV d.C. sobre sus resultados realizado por Pappus de Alejandría . Tres círculos dados tienen genéricamente ocho círculos diferentes que son tangentes a ellos (Figura 2), un par de soluciones para cada forma de dividir los tres círculos dados en dos subconjuntos (hay 4 formas de dividir un conjunto de cardinalidad 3 en 2 partes) .

En el siglo XVI, Adriaan van Roomen resolvió el problema utilizando hipérbolas que se cruzan , pero esta solución no utiliza únicamente construcciones con regla y compás . François Viète encontró esta solución explotando los casos límite : cualquiera de los tres círculos dados puede reducirse a un radio cero (un punto) o expandirse a un radio infinito (una línea). El enfoque de Viète, que utiliza casos límite más simples para resolver los más complicados, se considera una reconstrucción plausible del método de Apolonio. El método de van Roomen fue simplificado por Isaac Newton , quien demostró que el problema de Apolonio equivale a encontrar una posición a partir de las diferencias de sus distancias a tres puntos conocidos. Esto tiene aplicaciones en sistemas de navegación y posicionamiento como LORAN .

Los matemáticos posteriores introdujeron métodos algebraicos, que transforman un problema geométrico en ecuaciones algebraicas . Estos métodos se simplificaron explotando las simetrías inherentes al problema de Apolonio: por ejemplo, los círculos de solución generalmente ocurren en pares, y una solución encierra los círculos dados que la otra excluye (Figura 2). Joseph Diaz Gergonne utilizó esta simetría para proporcionar una elegante solución con regla y compás, mientras que otros matemáticos utilizaron transformaciones geométricas, como la reflexión en un círculo, para simplificar la configuración de los círculos dados. Estos desarrollos proporcionan un marco geométrico para los métodos algebraicos (utilizando la geometría de la esfera de Lie ) y una clasificación de soluciones según 33 configuraciones esencialmente diferentes de los círculos dados.

El problema de Apolonio ha estimulado muchos más trabajos. Se han estudiado generalizaciones a tres dimensiones (construcción de una esfera tangente a cuatro esferas dadas) y más allá . Se ha prestado especial atención a la configuración de tres círculos tangentes entre sí. René Descartes dio una fórmula que relaciona los radios de los círculos solución y los círculos dados, ahora conocida como teorema de Descartes . Resolver el problema de Apolonio de forma iterativa en este caso conduce a la junta apolínea , que es uno de los primeros fractales descritos en forma impresa, y es importante en la teoría de números a través de los círculos de Ford y el método del círculo de Hardy-Littlewood .

Planteamiento del problema

El planteamiento general del problema de Apolonio es construir uno o más círculos que sean tangentes a tres objetos dados en un plano, donde un objeto puede ser una línea, un punto o un círculo de cualquier tamaño. ^{[1] [2] [3] [4]} Estos objetos pueden estar dispuestos de cualquier forma y cruzarse entre sí; sin embargo, normalmente se consideran distintos, lo que significa que no coinciden. Las soluciones al problema de Apolonio a veces se denominan círculos de Apolonio , aunque el término también se utiliza para otros tipos de círculos asociados con Apolonio.

La propiedad de la tangencia se define de la siguiente manera. Primero, se supone que un punto, línea o círculo es tangente a sí mismo; por lo tanto, si un círculo dado ya es tangente a los otros dos objetos dados, se cuenta como una solución al problema de Apolonio. Se dice que dos objetos geométricos distintos se cortan si tienen un punto en común. Por definición, un punto es tangente a un círculo o a una recta si los interseca, es decir, si se encuentra sobre ellos; por tanto, dos puntos distintos no pueden ser tangentes. Si el ángulo entre rectas o circunferencias en un punto de intersección es cero, se dice que son tangentes ; el punto de intersección se llama punto tangente o punto de tangencia . (La palabra "tangente" deriva del participio presente latino , tangens , que significa "tocar".) En la práctica, dos círculos distintos son tangentes si se cruzan en un solo punto; si se cruzan en cero o dos puntos, no son tangentes. Lo mismo ocurre con una línea y un círculo. Dos líneas distintas no pueden ser tangentes en el plano, aunque dos líneas paralelas pueden considerarse tangentes en un punto en el infinito en geometría inversiva (ver más abajo). ^{[5] [6]}

El círculo solución puede ser tangente interna o externamente a cada uno de los círculos dados. Una tangencia externa es aquella en la que los dos círculos se alejan uno del otro en su punto de contacto; se encuentran en lados opuestos de la línea tangente en ese punto y se excluyen entre sí. La distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios. Por el contrario, una tangencia interna es aquella en la que los dos círculos se curvan de la misma manera en su punto de contacto; los dos círculos se encuentran en el mismo lado de la recta tangente y un círculo encierra al otro. En este caso, la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios. A modo de ilustración, en la Figura 1, el círculo de solución rosa es internamente tangente al círculo negro de tamaño mediano dado a la derecha, mientras que es externamente tangente a los círculos más pequeños y más grandes dados a la izquierda.

El problema de Apolonio también puede formularse como el problema de localizar uno o más puntos tales que las diferencias de sus distancias a tres puntos dados sean iguales a tres valores conocidos. Considere un círculo solución de radio r _s y tres círculos dados de radios r ₁ , r ₂ y r ₃ . Si el círculo solución es tangente externamente a los tres círculos dados, las distancias entre el centro del círculo solución y los centros de los círculos dados son iguales a d ₁ = r ₁ + r _s , d ₂ = r ₂ + r _s y d ₃ = r ₃ + r _s , respectivamente. Por lo tanto, las diferencias en estas distancias son constantes, como d ₁ − d ₂ = r ₁ − r ₂ ; dependen sólo de los radios conocidos de los círculos dados y no del radio r _s del círculo solución, que se cancela. Esta segunda formulación del problema de Apolonio se puede generalizar a círculos de solución internamente tangentes (para los cuales la distancia centro-centro es igual a la diferencia de radios), cambiando las diferencias de distancias correspondientes a sumas de distancias, de modo que el radio del círculo de solución r _s nuevamente se cancela. La reformulación en términos de distancias centro-centro es útil en las siguientes soluciones de Adriaan van Roomen e Isaac Newton , y también en el posicionamiento hiperbólico o trilateración, que es la tarea de localizar una posición a partir de diferencias de distancias hasta tres puntos conocidos. Por ejemplo, los sistemas de navegación como LORAN identifican la posición de un receptor a partir de las diferencias en los tiempos de llegada de señales desde tres posiciones fijas, que corresponden a las diferencias en las distancias a esos transmisores. ^{[7] [8]}

Historia

Se ha desarrollado un rico repertorio de métodos geométricos y algebraicos para resolver el problema de Apolonio, ^{[9] [10]} que ha sido llamado "el más famoso de todos" los problemas de geometría. ^[3] El enfoque original de Apolonio de Perga se ha perdido, pero François Viète y otros han ofrecido reconstrucciones , basadas en las pistas de la descripción de Pappus de Alejandría . ^{[11] [12]} El primer método de solución nuevo fue publicado en 1596 por Adriaan van Roomen , quien identificó los centros de los círculos de solución como los puntos de intersección de dos hipérbolas . ^{[13] [14]} El método de Van Roomen fue refinado en 1687 por Isaac Newton en sus Principia , ^{[15] [16]} y por John Casey en 1881. ^[17]

Aunque logró resolver el problema de Apolonio, el método de van Roomen tiene un inconveniente. Una propiedad muy apreciada en la geometría euclidiana clásica es la capacidad de resolver problemas utilizando sólo un compás y una regla . ^[18] Muchas construcciones son imposibles utilizando sólo estas herramientas, como por ejemplo dividir un ángulo en tres partes iguales . Sin embargo, muchos de estos problemas "imposibles" se pueden resolver cruzando curvas como hipérbolas, elipses y parábolas ( secciones cónicas ). Por ejemplo, duplicar el cubo (el problema de construir un cubo del doble del volumen de un cubo dado) no se puede hacer usando solo una regla y un compás, pero Menecmo demostró que el problema se puede resolver usando las intersecciones de dos parábolas . ^[19] Por lo tanto, la solución de van Roomen, que utiliza la intersección de dos hipérbolas, no determinó si el problema cumplía la propiedad de la regla y el compás.

El amigo de Van Roomen, François Viète , que había instado a Van Roomen a trabajar en el problema de Apolonio en primer lugar, desarrolló un método que utilizaba sólo compás y regla. ^[20] Antes de la solución de Viète, Regiomontano dudaba de que el problema de Apolonio pudiera resolverse con regla y compás. ^[21] Viète resolvió por primera vez algunos casos especiales simples del problema de Apolonio, como encontrar un círculo que pasa por tres puntos dados y que tiene sólo una solución si los puntos son distintos; Luego empezó a resolver casos especiales más complicados, en algunos casos reduciendo o agrandando los círculos dados. ^[1] Según el informe de Pappus del siglo IV, el propio libro de Apolonio sobre este problema, titulado Ἐπαφαί ( Epaphaí , "Tangencias"; en latín: De tactionibus , De contactibus ), siguió un enfoque progresista similar. ^[11] Por lo tanto, la solución de Viète se considera una reconstrucción plausible de la solución de Apolonio, aunque tres autores diferentes han publicado otras reconstrucciones de forma independiente. ^[22]

En el siglo XIX se desarrollaron varias otras soluciones geométricas al problema de Apolonio. Las soluciones más notables son las de Jean-Victor Poncelet (1811) ^[23] y de Joseph Diaz Gergonne (1814). ^[24] Mientras que la prueba de Poncelet se basa en centros homotéticos de círculos y el poder de un teorema puntual , el método de Gergonne explota la relación conjugada entre líneas y sus polos en un círculo. Julius Petersen fue pionero en los métodos que utilizan la inversión de círculos en 1879; ^[25] un ejemplo es el método de solución anular de HSM Coxeter . ^[2] Otro enfoque utiliza la geometría de esfera de Lie , ^[26] que fue desarrollada por Sophus Lie .

Las soluciones algebraicas al problema de Apolonio fueron iniciadas en el siglo XVII por René Descartes y la princesa Isabel de Bohemia , aunque sus soluciones eran bastante complejas. ^[9] Los métodos algebraicos prácticos fueron desarrollados a finales del siglo XVIII y XIX por varios matemáticos, entre ellos Leonhard Euler , ^[27] Nicolas Fuss , ^[9] Carl Friedrich Gauss , ^[28] Lazare Carnot , ^[29] y Augustin Louis Cauchy . ^[30]

Métodos de solución

Hipérbolas que se cruzan

Figura 3: Dos círculos dados (negro) y un círculo tangente a ambos (rosa). Las distancias de centro a centro d ₁ y d ₂ son iguales a r ₁ + r _s y r ₂ + r _s , respectivamente, por lo que su diferencia es independiente de r _s .

La solución de Adriaan van Roomen (1596) se basa en la intersección de dos hipérbolas . ^{[13] [14]} Denotemos los círculos dados como C ₁ , C ₂ y C ₃ . Van Roomen resolvió el problema general resolviendo un problema más simple, el de encontrar los círculos que son tangentes a dos círculos dados, como C ₁ y C ₂ . Observó que el centro de un círculo tangente a ambos círculos dados debe estar en una hipérbola cuyos focos son los centros de los círculos dados. Para entender esto, denotemos los radios del círculo solución y de los dos círculos dados como r _s , r ₁ y r ₂ , respectivamente (Figura 3). La distancia d ₁ entre los centros del círculo solución y C ₁ es r _s + r ₁ o r _s − r ₁ , dependiendo de si estos círculos se eligen para que sean tangentes externa o internamente, respectivamente. De manera similar, la distancia d ₂ entre los centros del círculo solución y C ₂ es r _s + r ₂ o r _s − r ₂ , nuevamente dependiendo de la tangencia elegida. Por tanto, la diferencia d ₁ − d ₂ entre estas distancias es siempre una constante independiente de r _s . Esta propiedad, de tener una diferencia fija entre las distancias a los focos , caracteriza a las hipérbolas, por lo que los posibles centros del círculo solución se encuentran en una hipérbola. Se puede dibujar una segunda hipérbola para el par de círculos C ₂ y C ₃ dados , donde la tangencia interna o externa de la solución y C ₂ debe elegirse de manera consistente con la de la primera hipérbola. Una intersección de estas dos hipérbolas (si las hay) da el centro de un círculo solución que tiene las tangencias internas y externas elegidas a los tres círculos dados. El conjunto completo de soluciones al problema de Apolonio se puede encontrar considerando todas las combinaciones posibles de tangencia interna y externa del círculo solución a los tres círculos dados.

Isaac Newton (1687) perfeccionó la solución de van Roomen, de modo que los centros de los círculos de solución estuvieran ubicados en las intersecciones de una línea con un círculo. ^[15] Newton formula el problema de Apolonio como un problema de trilateración : localizar un punto Z a partir de tres puntos dados A , B y C , de manera que las diferencias en distancias desde Z a los tres puntos dados tengan valores conocidos. ^[31] Estos cuatro puntos corresponden al centro del círculo solución ( Z ) y a los centros de los tres círculos dados ( A , B y C ).

El conjunto de puntos con una relación constante de distancias d ₁ / d ₂ a dos puntos fijos es un círculo.

En lugar de resolver las dos hipérbolas, Newton construye sus líneas directrices . Para cualquier hipérbola, la relación de distancias desde un punto Z a un foco A y a la directriz es una constante fija llamada excentricidad . Las dos directrices se cortan en un punto T y, a partir de sus dos relaciones de distancia conocidas, Newton construye una línea que pasa por T en la que debe estar Z. Sin embargo, también se conoce la relación de distancias TZ/TA; por lo tanto, Z también se encuentra en un círculo conocido, ya que Apolonio había demostrado que un círculo puede definirse como el conjunto de puntos que tienen una relación dada de distancias a dos puntos fijos. (Dicho sea de paso, esta definición es la base de las coordenadas bipolares ). Por lo tanto, las soluciones al problema de Apolonio son las intersecciones de una línea con un círculo.

La reconstrucción de Viète

Como se describe a continuación, el problema de Apolonio tiene diez casos especiales, dependiendo de la naturaleza de los tres objetos dados, que pueden ser un círculo ( C ), una línea ( L ) o un punto ( P ). Por costumbre, estos diez casos se distinguen mediante códigos de tres letras como CCP . ^[32] Viète resolvió los diez casos utilizando únicamente construcciones con compás y regla, y utilizó las soluciones de casos más simples para resolver los casos más complejos. ^{[1] [20]}

Figura 4: La tangencia entre círculos se conserva si sus radios se cambian en cantidades iguales. Un círculo de solución rosa debe encogerse o hincharse con un círculo internamente tangente (círculo negro a la derecha), mientras que los círculos externamente tangentes (dos círculos negros a la izquierda) hacen lo contrario.

Viète comenzó resolviendo el caso PPP (tres puntos) siguiendo el método de Euclides en sus Elementos . De esto, derivó un lema correspondiente a la potencia de un teorema del punto, que utilizó para resolver el caso LPP (una recta y dos puntos). Siguiendo a Euclides por segunda vez, Viète resolvió el caso LLL (tres líneas) utilizando las bisectrices de los ángulos . Luego derivó un lema para construir la recta perpendicular a una bisectriz de un ángulo que pasa por un punto, que utilizó para resolver el problema LLP (dos rectas y un punto). Esto explica los primeros cuatro casos del problema de Apolonio, aquellos que no involucran círculos.

Para resolver los problemas restantes, Viète aprovechó el hecho de que los círculos dados y el círculo solución pueden redimensionarse en conjunto preservando sus tangencias (Figura 4). Si el radio del círculo de solución se cambia en una cantidad Δ r , el radio de sus círculos dados internamente tangentes también debe cambiarse en Δ r , mientras que el radio de sus círculos dados tangentes externamente debe cambiarse en −Δ r . Por lo tanto, a medida que el círculo solución crece, los círculos dados internamente tangentes deben crecer en tándem, mientras que los círculos dados externamente tangentes deben contraerse para mantener sus tangencias.

Viète utilizó este enfoque para reducir uno de los círculos dados a un punto, reduciendo así el problema a un caso más simple y ya resuelto. Primero resolvió el caso de CLL (un círculo y dos líneas) reduciendo el círculo a un punto, convirtiéndolo en un caso de LLP . Luego resolvió el caso CLP (un círculo, una línea y un punto) usando tres lemas. Volviendo a reducir un círculo a un punto, Viète transformó el caso CCL en un caso CLP . Luego resolvió el caso CPP (un círculo y dos puntos) y el caso CCP (dos círculos y un punto), este último caso mediante dos lemas. Finalmente, Viète resolvió el caso general del CCC (tres círculos) reduciendo un círculo a un punto, convirtiéndolo en un caso del PCC .

Soluciones algebraicas

El problema de Apolonio puede plantearse como un sistema de tres ecuaciones para el centro y el radio del círculo solución. ^[33] Dado que los tres círculos dados y cualquier círculo solución deben estar en el mismo plano, sus posiciones se pueden especificar en términos de las coordenadas ( x , y ) de sus centros. Por ejemplo, las posiciones centrales de los tres círculos dados se pueden escribir como ( x ₁ , y ₁ ), ( x ₂ , y ₂ ) y ( x ₃ , y ₃ ), mientras que la de un círculo solución se puede escribir como ( xs , ys ₎ ._​ De manera similar, los radios de los círculos dados y un círculo solución se pueden escribir como r ₁ , r ₂ , r ₃ y r _s , respectivamente. El requisito de que un círculo solución debe tocar exactamente cada uno de los tres círculos dados se puede expresar como tres ecuaciones cuadráticas acopladas para x _s , y _s y r _s :

${\displaystyle \left(x_{s}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{1}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{1}r_{1}\right)^{2}}$

${\displaystyle \left(x_{s}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{2}r_{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle \left(x_{s}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{3}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{3}r_{3}\right)^{2}.}$

Los tres números s ₁ , s ₂ y s ₃ en el lado derecho , llamados signos, pueden ser iguales a ±1 y especificar si el círculo de solución deseado debe tocar el círculo dado correspondiente internamente ( s = 1) o externamente ( s = −1). Por ejemplo, en las Figuras 1 y 4, la solución rosa es internamente tangente al círculo de tamaño mediano dado a la derecha y externamente tangente a los círculos más pequeño y más grande dado a la izquierda; Si los círculos dados están ordenados por radio, los signos de esta solución son "− + −" . Dado que los tres signos se pueden elegir de forma independiente, hay ocho posibles conjuntos de ecuaciones (2 × 2 × 2 = 8) , cada uno de los cuales corresponde a uno de los ocho tipos de círculos de solución.

El sistema general de tres ecuaciones se puede resolver mediante el método de las resultantes . Cuando se multiplican, las tres ecuaciones tienen x _s ² + y _s ² en el lado izquierdo y r _s ² en el lado derecho. Restar una ecuación de otra elimina estos términos cuadráticos; los términos lineales restantes se pueden reorganizar para obtener fórmulas para las coordenadas x _s e y _s

${\displaystyle x_{s}=M+Nr_{s}}$

${\displaystyle y_{s}=P+Qr_{s}}$

donde M , N , P y Q son funciones conocidas de los círculos dados y la elección de los signos. La sustitución de estas fórmulas en una de las tres ecuaciones iniciales da una ecuación cuadrática para r _s , que puede resolverse mediante la fórmula cuadrática . La sustitución del valor numérico de r _s en las fórmulas lineales produce los valores correspondientes de x _s e y _s .

Los signos s ₁ , s ₂ y s ₃ en los lados derechos de las ecuaciones se pueden elegir de ocho maneras posibles, y cada elección de signos da hasta dos soluciones, ya que la ecuación para r _s es cuadrática . Esto podría sugerir (incorrectamente) que existen hasta dieciséis soluciones al problema de Apolonio. Sin embargo, debido a una simetría de las ecuaciones, si ( r _s , x _s , y _s ) es una solución, con signos s _i , entonces también lo es (− r _s , x _s , y _s ), con signos opuestos − s _i , que representa el mismo círculo solución. Por tanto, el problema de Apolonio tiene como máximo ocho soluciones independientes (Figura 2). Una forma de evitar este doble conteo es considerar solo círculos solución con radio no negativo.

Las dos raíces de cualquier ecuación cuadrática pueden ser de tres tipos posibles: dos números reales diferentes , dos números reales idénticos (es decir, una raíz doble degenerada) o un par de raíces conjugadas complejas . El primer caso corresponde a la situación habitual; cada par de raíces corresponde a un par de soluciones que están relacionadas por inversión de círculo , como se describe a continuación (Figura 6). En el segundo caso, ambas raíces son idénticas, correspondiendo a un círculo solución que se transforma en sí mismo bajo inversión. En este caso, uno de los círculos dados es en sí mismo una solución al problema de Apolonio y el número de soluciones distintas se reduce en uno. El tercer caso de radios conjugados complejos no corresponde a una solución geométricamente posible para el problema de Apolonio, ya que un círculo solución no puede tener un radio imaginario; por lo tanto, el número de soluciones se reduce a dos. El problema de Apolonio no puede tener siete soluciones, aunque puede tener cualquier otro número de soluciones del cero al ocho. ^{[12] [34]}

Geometría de esfera de mentira

Las mismas ecuaciones algebraicas se pueden derivar en el contexto de la geometría de la esfera de Lie . ^[26] Que la geometría representa círculos, líneas y puntos de forma unificada, como un vector de cinco dimensiones X = ( v , c _x , c _y , w , sr ), donde c = ( c _x , c _y ) es el centro del círculo, y r es su radio (no negativo). Si r no es cero, el signo s puede ser positivo o negativo; para visualización, s representa la orientación del círculo, donde los círculos en sentido antihorario tienen una s positiva y los círculos en el sentido de las agujas del reloj tienen una s negativa . El parámetro w es cero para una línea recta y uno en caso contrario.

En este mundo de cinco dimensiones, existe un producto bilineal similar al producto escalar :

${\displaystyle \left(X_{1}\mid X_{2}\right):=v_{1}w_{2}+v_{2}w_{1}+\mathbf {c} _{1}\cdot \mathbf {c} _{2}-s_{1}s_{2}r_{1}r_{2}.}$

La cuadrica de Lie se define como aquellos vectores cuyo producto consigo mismos (su norma cuadrática ) es cero, ( X | X ) = 0. Sean X ₁ y X ₂ dos vectores pertenecientes a esta cuadrica; la norma de su diferencia es igual

${\displaystyle \left(X_{1}-X_{2}\mid X_{1}-X_{2}\right)=2\left(v_{1}-v_{2}\right)\left(w_{1}-w_{2}\right)+\left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)\cdot \left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.}$

El producto se distribuye entre sumas y restas (más precisamente, es bilineal ):

${\displaystyle \left(X_{1}-X_{2}\mid X_{1}-X_{2}\right)=\left(X_{1}\mid X_{1}\right)-2\left(X_{1}\mid X_{2}\right)+\left(X_{2}\mid X_{2}\right).}$

Dado que ( X ₁ | X ₁ ) = ( X ₂ | X ₂ ) = 0 (ambos pertenecen a la cuádrica de Lie) y dado que w ₁ = w ₂ = 1 para círculos, el producto de dos vectores cualesquiera en la cuádrica es igual

${\displaystyle -2\left(X_{1}\mid X_{2}\right)=\left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.}$

donde las barras verticales que intercalan c ₁ − c ₂ representan la longitud de ese vector diferencia, es decir, la norma euclidiana . Esta fórmula muestra que si dos vectores cuádricos X ₁ y X ₂ son ortogonales (perpendiculares) entre sí, es decir, si ( X ₁ | X ₂ )  =  0, entonces sus círculos correspondientes son tangentes. Porque si los dos signos s ₁ y s ₂ son iguales (es decir, los círculos tienen la misma "orientación"), los círculos son internamente tangentes; la distancia entre sus centros es igual a la diferencia en los radios

${\displaystyle \left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.}$

A la inversa, si los dos signos s ₁ y s ₂ son diferentes (es decir, los círculos tienen "orientaciones" opuestas), los círculos son externamente tangentes; la distancia entre sus centros es igual a la suma de los radios

${\displaystyle \left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.}$

Por lo tanto, el problema de Apolonio puede reformularse en geometría de Lie como un problema de encontrar vectores perpendiculares en la cuádrica de Lie; específicamente, el objetivo es identificar los vectores solución X _sol que pertenecen a la cuádrica de Lie y que también son ortogonales (perpendiculares) a los vectores X ₁ , X ₂ y X ₃ correspondientes a los círculos dados.

${\displaystyle \left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{\mathrm {sol} }\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{1}\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{2}\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{3}\right)=0}$

La ventaja de esta reformulación es que se pueden explotar teoremas del álgebra lineal en el número máximo de vectores linealmente independientes y simultáneamente perpendiculares. Esto proporciona otra forma de calcular el número máximo de soluciones y extender el teorema a espacios de dimensiones superiores. ^{[26] [35]}

Métodos inversivos

Figura 5: Inversión en círculo. El punto P ' es el inverso del punto P respecto de la circunferencia.

Un escenario natural para el problema de Apolonio es la geometría inversa . ^{[4] [12]} La estrategia básica de los métodos inversivos es transformar un problema de Apolonio dado en otro problema de Apolonio que sea más sencillo de resolver; las soluciones al problema original se encuentran a partir de las soluciones del problema transformado deshaciendo la transformación. Las transformaciones candidatas deben transformar un problema de Apolonio en otro; por lo tanto, deben transformar los puntos, círculos y líneas dados en otros puntos, círculos y líneas, y no en otras formas. La inversión del círculo tiene esta propiedad y permite elegir con criterio el centro y el radio del círculo de inversión. Otros candidatos incluyen las isometrías del plano euclidiano ; sin embargo, no simplifican el problema, ya que simplemente desplazan , rotan y reflejan el problema original.

La inversión en un círculo con centro O y radio R consiste en la siguiente operación (Figura 5): cada punto P se transforma en un nuevo punto P' tal que O , P y P' son colineales, y el producto de las distancias de P y P' con centro en O son iguales al radio R al cuadrado

${\displaystyle {\overline {\mathbf {OP} }}\cdot {\overline {\mathbf {OP^{\prime }} }}=R^{2}.}$

Por tanto, si P está fuera del círculo, entonces P' está dentro y viceversa. Cuando P es igual a O , se dice que la inversión envía P al infinito. (En el análisis complejo , el "infinito" se define en términos de la esfera de Riemann ). La inversión tiene la útil propiedad de que las líneas y los círculos siempre se transforman en líneas y círculos, y los puntos siempre se transforman en puntos. Los círculos generalmente se transforman en otros círculos mediante inversión; sin embargo, si un círculo pasa por el centro del círculo de inversión, se transforma en una línea recta y viceversa. Es importante destacar que si un círculo cruza el círculo de inversión en ángulo recto (se cruza perpendicularmente), la inversión no lo modifica; se transforma en sí mismo.

Las inversiones de círculos corresponden a un subconjunto de transformaciones de Möbius en la esfera de Riemann . El problema plano de Apolonio puede trasladarse a la esfera mediante una proyección estereográfica inversa ; por tanto, las soluciones del problema plano de Apolonio también pertenecen a su contraparte en la esfera. Son posibles otras soluciones inversas al problema plano además de las comunes que se describen a continuación. ^[36]

Pares de soluciones por inversión.

Figura 6: Un par conjugado de soluciones al problema de Apolonio (círculos rosas), con círculos en negro.

Las soluciones al problema de Apolonio generalmente ocurren en pares; para cada círculo de solución, hay un círculo de solución conjugado (Figura 6). ^[1] Un círculo solución excluye los círculos dados que están encerrados por su solución conjugada, y viceversa. Por ejemplo, en la Figura 6, un círculo de solución (rosa, arriba a la izquierda) encierra dos círculos dados (negro), pero excluye un tercero; por el contrario, su solución conjugada (también rosa, abajo a la derecha) encierra ese tercer círculo dado, pero excluye los otros dos. Los dos círculos solución conjugados están relacionados por inversión , mediante el siguiente argumento.

En general, tres círculos distintos tienen un círculo único, el círculo radical , que los corta a todos perpendicularmente; el centro de ese círculo es el centro radical de los tres círculos. ^[4] A modo de ilustración, el círculo naranja en la Figura 6 cruza los círculos negros dados en ángulo recto. La inversión en el círculo radical deja los círculos dados sin cambios, pero transforma los dos círculos solución rosa conjugados entre sí. En la misma inversión, los puntos de tangencia correspondientes de los dos círculos solución se transforman entre sí; A modo de ilustración, en la Figura 6, los dos puntos azules que se encuentran en cada línea verde se transforman entre sí. Por tanto, las rectas que conectan estos puntos tangentes conjugados son invariantes bajo la inversión; por lo tanto, deben pasar por el centro de inversión, que es el centro radical (líneas verdes que se cruzan en el punto naranja en la Figura 6).

Inversión a un anillo

Si dos de los tres círculos dados no se cruzan, se puede elegir un centro de inversión para que esos dos círculos dados se vuelvan concéntricos . ^{[2] [12]} Bajo esta inversión, los círculos de solución deben caer dentro del anillo entre los dos círculos concéntricos. Por tanto, pertenecen a dos familias de un solo parámetro. En la primera familia (Figura 7), las soluciones no encierran el círculo concéntrico interior, sino que giran como rodamientos de bolas en el anillo. En la segunda familia (Figura 8), los círculos solución encierran el círculo concéntrico interior. Generalmente hay cuatro soluciones para cada familia, lo que da ocho soluciones posibles, consistentes con la solución algebraica.

Figura 7: Un círculo de solución (rosa) en la primera familia se encuentra entre círculos concéntricos dados (negro). El doble del radio de la solución r _{s es} igual a la diferencia r _exterior - r _interior de los radios interior y exterior, mientras que el doble de su distancia al centro d _s es igual a su suma.

Figura 8: Un círculo de solución (rosa) en la segunda familia encierra el círculo interior dado (negro). El doble del radio de la solución r _{s es} igual a la suma r _exterior + r _interior de los radios interior y exterior, mientras que el doble de su distancia al centro d _s es igual a su diferencia.

Cuando dos de los círculos dados son concéntricos, el problema de Apolonio se puede resolver fácilmente utilizando el método de Gauss . ^[28] Los radios de los tres círculos dados son conocidos, al igual que la distancia d _non desde el centro concéntrico común hasta el círculo no concéntrico (Figura 7). El círculo solución se puede determinar a partir de su radio r _s , el ángulo θ y las distancias d _s y d _T desde su centro hasta el centro concéntrico común y el centro del círculo no concéntrico, respectivamente. El radio y la distancia d _s son conocidos (Figura 7), y la distancia d _T = r _s ± r _non , dependiendo de si el círculo solución es tangente interna o externamente al círculo no concéntrico. Por lo tanto, por la ley de los cosenos ,

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {d_{\mathrm {s} }^{2}+d_{\mathrm {non} }^{2}-d_{\mathrm {T} }^{2}}{2d_{\mathrm {s} }d_{\mathrm {non} }}}\equiv C_{\pm }.}$

Aquí, por razones de brevedad, se ha definido una nueva constante C , cuyo subíndice indica si la solución es tangente externa o internamente. Un simple reordenamiento trigonométrico produce las cuatro soluciones.

${\displaystyle \theta =\pm 2\arctan \left({\sqrt {\frac {1-C}{1+C}}}\right).}$

Esta fórmula representa cuatro soluciones, correspondientes a las dos elecciones del signo de θ y las dos elecciones de C. Las cuatro soluciones restantes se pueden obtener mediante el mismo método, utilizando las sustituciones de r _s y d _s indicadas en la Figura 8. Por lo tanto, las ocho soluciones del problema general de Apolonio se pueden encontrar mediante este método.

Cualquiera de los dos círculos iniciales separados y dados se puede convertir en concéntricos de la siguiente manera. Se construye el eje radical de los dos círculos dados; Eligiendo dos puntos arbitrarios P ​​y Q en este eje radical, se pueden construir dos círculos que estén centrados en P y Q y que intersequen ortogonalmente a los dos círculos dados. Estos dos círculos construidos se cruzan en dos puntos. La inversión en uno de esos puntos de intersección F convierte los círculos construidos en líneas rectas que emanan de F y los dos círculos dados en círculos concéntricos, y el tercer círculo dado se convierte en otro círculo (en general). Esto se debe a que el sistema de círculos equivale a un conjunto de círculos apolíneos , formando un sistema de coordenadas bipolar .

Cambio de tamaño e inversión

La utilidad de la inversión se puede aumentar significativamente cambiando el tamaño. ^{[37] [38]} Como se señaló en la reconstrucción de Viète, los tres círculos dados y el círculo de la solución se pueden cambiar de tamaño en conjunto preservando sus tangencias. Así, el problema inicial de Apolonio se transforma en otro problema que puede ser más fácil de resolver. Por ejemplo, se puede cambiar el tamaño de los cuatro círculos para que un círculo determinado se reduzca a un punto; alternativamente, a menudo se puede cambiar el tamaño de dos círculos dados para que sean tangentes entre sí. En tercer lugar, se puede cambiar el tamaño de los círculos dados que se cruzan para que no se crucen, después de lo cual se puede aplicar el método de inversión a un anillo. En todos estos casos, la solución del problema de Apolonio original se obtiene a partir de la solución del problema transformado deshaciendo el cambio de tamaño y la inversión.

Reducir un círculo dado a un punto

En el primer enfoque, los círculos dados se contraen o se agrandan (de manera apropiada a su tangencia) hasta que un círculo dado se contrae a un punto P. ^[37] En ese caso, el problema de Apolonio degenera al caso límite CCP , que es el problema de encontrar un círculo solución tangente a los dos círculos restantes dados que pasa por el punto P. La inversión en un círculo centrado en P transforma los dos círculos dados en nuevos círculos y el círculo solución en una línea. Por lo tanto, la solución transformada es una recta tangente a los dos círculos dados transformados. Hay cuatro líneas de solución de este tipo, que pueden construirse a partir de los centros homotéticos externo e interno de los dos círculos. La reinversión en P y deshacer el cambio de tamaño transforma dicha línea de solución en el círculo de solución deseado del problema de Apolonio original. Las ocho soluciones generales se pueden obtener reduciendo e hinchando los círculos según las diferentes tangencias internas y externas de cada solución; sin embargo, diferentes círculos dados pueden reducirse a un punto para diferentes soluciones.

Cambiar el tamaño de dos círculos dados a tangencia

En el segundo enfoque, los radios de los círculos dados se modifican adecuadamente en una cantidad Δ r de modo que dos de ellos sean tangenciales (se toquen). ^[38] Su punto de tangencia se elige como el centro de inversión en un círculo que cruza cada uno de los dos círculos en contacto en dos lugares. Tras la inversión, los círculos que se tocan se convierten en dos líneas paralelas: su único punto de intersección se envía al infinito en la inversión, por lo que no pueden encontrarse. La misma inversión transforma el tercer círculo en otro círculo. La solución del problema invertido debe ser (1) una línea recta paralela a las dos líneas paralelas dadas y tangente al tercer círculo dado transformado; o (2) un círculo de radio constante que es tangente a las dos rectas paralelas dadas y al círculo dado transformado. Reinvertir y ajustar los radios de todos los círculos mediante Δ r produce un círculo solución tangente a los tres círculos originales.

La solución de Gergonne

Figura 9: Las dos líneas tangentes de los dos puntos tangentes de un círculo dado se cruzan en el eje radical R (línea roja) de los dos círculos solución (rosa). Los tres puntos de intersección en R son los polos de las líneas que conectan los puntos tangentes azules en cada círculo dado (negro).

El enfoque de Gergonne consiste en considerar los círculos solución en pares. ^[1] Denotemos un par de círculos solución como C _A y C _B (los círculos rosados ​​en la Figura 6), y sus puntos tangentes con los tres círculos dados sean A ₁ , A ₂ , A ₃ y B ₁ , B2 _, B3 , _{respectivamente} . La solución de Gergonne tiene como objetivo localizar estos seis puntos y así resolver los dos círculos de solución.

La idea de Gergonne fue que si se pudiera construir una línea L _{1 de manera que se garantizara que} A ₁ y B ₁ cayeran sobre ella, esos dos puntos podrían identificarse como los puntos de intersección de L ₁ con el círculo dado C ₁ (Figura 6). Los cuatro puntos tangentes restantes se ubicarían de manera similar, encontrando las líneas L ₂ y L ₃ que contenían A ₂ y B ₂ , y A ₃ y B ₃ , respectivamente. Para construir una recta como L ₁ , se deben identificar dos puntos que se encuentran sobre ella; pero estos puntos no tienen por qué ser los puntos tangentes. Gergonne pudo identificar otros dos puntos para cada una de las tres líneas. Uno de los dos puntos ya ha sido identificado: el centro radical G se encuentra en las tres líneas (Figura 6).

Para localizar un segundo punto en las líneas L ₁ , L ₂ y L ₃ , Gergonne notó una relación recíproca entre esas líneas y el eje radical R de los círculos solución , C _A y C _B. Para entender esta relación recíproca, considere las dos rectas tangentes al círculo C ₁ dibujadas en sus puntos tangentes A ₁ y B ₁ con los círculos solución; la intersección de estas rectas tangentes es el punto polar de L ₁ en C ₁ . Dado que las distancias desde ese punto polar a los puntos tangentes A ₁ y B ₁ son iguales, este punto polar también debe estar en el eje radical R de los círculos solución, por definición (Figura 9). La relación entre los puntos polares y sus líneas polares es recíproca; si el polo de L ₁ en C ₁ está en R , el polo de R en C ₁ debe estar a la inversa en L ₁ . Por lo tanto, si podemos construir R , podemos encontrar su polo _{P1 en} C1 , dando el segundo punto necesario en L1 (Figura ₁₀ ).

Figura 10: Los polos (puntos rojos) del eje radical R en los tres círculos dados (negro) se encuentran en las líneas verdes que conectan los puntos tangentes. Estas líneas pueden construirse a partir de los polos y el centro radical (naranja).

Gergonne encontró el eje radical R de los círculos solución desconocidos de la siguiente manera. Cualquier par de círculos tiene dos centros de similitud ; estos dos puntos son las dos posibles intersecciones de dos rectas tangentes a los dos círculos. Por tanto, los tres círculos dados tienen seis centros de similitud, dos por cada par distinto de círculos dados. Sorprendentemente, estos seis puntos se encuentran en cuatro líneas, tres puntos en cada línea; además, cada línea corresponde al eje radical de un par potencial de círculos solución. Para mostrar esto, Gergonne consideró líneas que pasan por puntos de tangencia correspondientes en dos de los círculos dados, por ejemplo, la línea definida por A ₁ / A ₂ y la línea definida por B ₁ / B ₂ . Sea X ₃ un centro de similitud para los dos círculos C ₁ y C ₂ ; entonces, A ₁ / A ₂ y B ₁ / B ₂ son pares de puntos antihomólogos y sus líneas se cruzan en X ₃ . Se deduce, por tanto, que los productos de distancias son iguales

${\displaystyle {\overline {X_{3}A_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}A_{2}}}={\overline {X_{3}B_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}B_{2}}}}$

lo que implica que X ₃ se encuentra en el eje radical de los dos círculos solución. El mismo argumento se puede aplicar a los otros pares de círculos, de modo que tres centros de similitud para los tres círculos dados deben estar en los ejes radicales de los pares de círculos solución.

En resumen, la recta deseada L ₁ está definida por dos puntos: el centro radical G de los tres círculos dados y el polo en C ₁ de una de las cuatro rectas que conectan los centros homotéticos. Encontrar el mismo polo en C ₂ y C ₃ da L ₂ y L ₃ , respectivamente; por lo tanto, se pueden ubicar los seis puntos, a partir de los cuales se puede encontrar un par de círculos solución. Repitiendo este procedimiento para las tres rectas centrales homotéticas restantes se obtienen seis soluciones más, lo que da ocho soluciones en total. Sin embargo, si una línea L _k no intersecta su círculo C _k para algún k , no hay un par de soluciones para esa línea central homotética.

Teoría de la intersección

Las técnicas de la geometría algebraica moderna , y en particular la teoría de las intersecciones , pueden utilizarse para resolver el problema de Apolonio. En este enfoque, el problema se reinterpreta como una afirmación sobre círculos en el plano proyectivo complejo . Se permiten soluciones que involucran números complejos y situaciones degeneradas se cuentan con multiplicidad. Cuando se hace esto, siempre hay ocho soluciones al problema. ^[39]

Cada ecuación cuadrática en X , Y y Z determina una cónica única, su lugar geométrico de fuga. Por el contrario, cada cónica en el plano proyectivo complejo tiene una ecuación, y esa ecuación es única hasta un factor de escala general (porque cambiar la escala de una ecuación no cambia su lugar de desaparición). Por lo tanto, el conjunto de todas las cónicas puede parametrizarse mediante el espacio proyectivo de cinco dimensiones P ⁵ , donde la correspondencia es

${\displaystyle \{[X:Y:Z]\in \mathbf {P} ^{2}\colon AX^{2}+BXY+CY^{2}+DXZ+EYZ+FZ^{2}=0\}\leftrightarrow [A:B:C:D:E:F]\in \mathbf {P} ^{5}.}$

Un círculo en el plano proyectivo complejo se define como una cónica que pasa por los dos puntos O ₊ = [1: i  : 0] y O ₋ = [1: − i  : 0] , donde i denota una raíz cuadrada de − 1 . Los puntos O ₊ y O− _se llaman puntos circulares . La variedad proyectiva de todos los círculos es la subvariedad de P ⁵ que consta de aquellos puntos que corresponden a cónicas que pasan por los puntos circulares. Sustituyendo los puntos circulares en la ecuación por una cónica genérica se obtienen las dos ecuaciones.

${\displaystyle A+Bi-C=0,}$

${\displaystyle A-Bi-C=0.}$

Tomando la suma y diferencia de estas ecuaciones se muestra que equivale a imponer las condiciones

${\displaystyle A=C}$y . ${\displaystyle B=0}$

Por tanto, la variedad de todos los círculos es un subespacio lineal tridimensional de P ⁵ . Después de reescalar y completar el cuadrado , estas ecuaciones también demuestran que cada cónica que pasa por los puntos circulares tiene una ecuación de la forma

${\displaystyle (X-aZ)^{2}+(Y-bZ)^{2}=r^{2}Z^{2},}$

que es la homogeneización de la ecuación habitual de un círculo en el plano afín. Por lo tanto, estudiar círculos en el sentido anterior es casi equivalente a estudiar círculos en el sentido convencional. La única diferencia es que el sentido anterior permite círculos degenerados que son la unión de dos líneas. Los círculos no degenerados se denominan círculos lisos , mientras que los degenerados se denominan círculos singulares . Hay dos tipos de círculos singulares. Una es la unión de la línea en el infinito Z = 0 con otra línea en el plano proyectivo (posiblemente la línea en el infinito nuevamente), y la otra es la unión de dos líneas en el plano proyectivo, una que pasa por cada uno de los dos puntos circulares. Estos son los límites de los círculos suaves cuando el radio r tiende a +∞ y 0 , respectivamente. En el último caso, ningún punto en cualquiera de las dos rectas tiene coordenadas reales excepto el origen [0: 0: 1] .

Sea D un círculo liso fijo. Si C es cualquier otro círculo, entonces, según la definición de círculo, C y D se cruzan en los puntos circulares O ₊ y O ₋ . Debido a que C y D son cónicas, el teorema de Bézout implica que C y D se cruzan en cuatro puntos en total, cuando esos puntos se cuentan con la multiplicidad de intersección adecuada . Es decir, hay cuatro puntos de intersección O ₊ , O ₋ , P y Q , pero algunos de estos puntos pueden colisionar. El problema de Apolonio se refiere a la situación en la que P = Q , lo que significa que la multiplicidad de intersección en ese punto es 2 ; Si P también es igual a un punto circular, esto debe interpretarse como que la multiplicidad de intersección es 3 .

Sea Z _D la variedad de circunferencias tangentes a D . Esta variedad es un cono cuádrico en el P ³ de todos los círculos. Para ver esto, considere la correspondencia de incidencia.

${\displaystyle \Phi =\{(r,C)\in D\times \mathbf {P} ^{3}\colon C{\text{ is tangent to }}D{\text{ at }}r\}.}$

Para una curva que es el lugar geométrico de fuga de una sola ecuación f = 0 , la condición de que la curva encuentre D en r con multiplicidad m significa que la expansión en serie de Taylor de f | _D desaparece para ordenar m at r ; por lo tanto, son m condiciones lineales sobre los coeficientes de f . Esto muestra que, para cada r , la fibra de Φ sobre r es una P ¹ cortada por dos ecuaciones lineales en el espacio de círculos. En consecuencia, Φ es irreducible de dimensión 2 . Dado que es posible exhibir un círculo que sea tangente a D en un solo punto, un elemento genérico de Z _D debe ser tangente en un solo punto. Por tanto, la proyección Φ → P ² enviando ( r , C ) a C es un morfismo biracional . De ello se deduce que la imagen de Φ , que es ZD , también es irreducible y bidimensional _.

Para determinar la forma de Z _D , fije dos círculos distintos C ₀ y C _∞ , no necesariamente tangentes a D . Estos dos círculos determinan un lápiz , es decir, una línea L en el P ³ de los círculos. Si las ecuaciones de C ₀ y C _∞ son f y g , respectivamente, entonces los puntos en L corresponden a los círculos cuyas ecuaciones son Sf + Tg , donde [ S  : T ] es un punto de P ¹ . Los puntos donde L se encuentra con Z _D son precisamente los círculos del lápiz que son tangentes a D.

Hay dos posibilidades para el número de puntos de intersección. Una es que f o g , digamos f , es la ecuación para D. En este caso, L es una recta que pasa por D. Si C _∞ es tangente a D , entonces también lo es cada círculo del lápiz y, por lo tanto, L está contenido en Z _D . La otra posibilidad es que ni f ni g sean la ecuación para D. En este caso, la función ( f / g )| _D es un cociente de cuadráticas, ninguna de las cuales desaparece de manera idéntica. Por lo tanto, desaparece en dos puntos y tiene polos en dos puntos. Estos son los puntos en C ₀ ∩ D y C _∞ ∩ D , respectivamente, contados con multiplicidad y con los puntos circulares deducidos. La función racional determina un morfismo D → P ¹ de grado dos. La fibra sobre [ S  : T ] ∈ P ¹ es el conjunto de puntos P para los cuales f ( P ) T = g ( P ) S . Estos son precisamente los puntos en los que la circunferencia cuya ecuación es Tf − Sg se encuentra con D . Los puntos de ramificación de este morfismo son los círculos tangentes a D. Según la fórmula de Riemann-Hurwitz , hay precisamente dos puntos de bifurcación y, por lo tanto, L se encuentra con Z _D en dos puntos. Juntas, estas dos posibilidades para la intersección de L y Z _D demuestran que Z _D es un cono cuádrico. Todos estos conos en P ³ son iguales hasta un cambio de coordenadas, por lo que esto determina completamente la forma de Z _D .

Para concluir el argumento, sean D ₁ , D ₂ y D ₃ tres círculos. Si la intersección Z _{D 1} ∩ Z _{D 2} ∩ Z _{D 3} es finita, entonces tiene grado 2 ³ = 8 , y por tanto existen ocho soluciones al problema de Apolonio, contadas con multiplicidad. Para demostrar que la intersección es genéricamente finita, considere la correspondencia de incidencia

${\displaystyle \Psi =\{(D_{1},D_{2},D_{3},C)\in (\mathbf {P} ^{3})^{4}\colon C{\text{ is tangent to all }}D_{i}\}.}$

Hay un morfismo que proyecta Ψ sobre su factor final de P ³ . La fibra sobre C es Z _C ³ . Esto tiene dimensión 6 , por lo que Ψ tiene dimensión 9 . Debido a que ( P ³ ) ³ también tiene dimensión 9 , la fibra genérica de la proyección de Ψ a los primeros tres factores no puede tener dimensión positiva. Esto prueba que genéricamente existen ocho soluciones contadas con multiplicidad. Dado que es posible exhibir una configuración en la que las ocho soluciones sean distintas, la configuración genérica debe tener las ocho soluciones distintas.

Radios

En el problema genérico con ocho círculos solución, los recíprocos de los radios de cuatro de los círculos solución suman el mismo valor que los recíprocos de los radios de los otros cuatro círculos solución ^[40]

Casos especiales

Diez combinaciones de puntos, círculos y líneas.

El problema de Apolonio consiste en construir una o más circunferencias tangentes a tres objetos dados en un plano, que pueden ser circunferencias, puntos o rectas. Esto da lugar a diez tipos de problemas de Apolonio, uno correspondiente a cada combinación de círculos, líneas y puntos, que pueden etiquetarse con tres letras, ya sea C , L o P , para indicar si los elementos dados son un círculo, una línea o una línea. o punto, respectivamente (Tabla 1). ^[32] Como ejemplo, el tipo de problema de Apolonio con un círculo, una línea y un punto dados se denota como CLP .

Algunos de estos casos especiales son mucho más fáciles de resolver que el caso general de tres círculos dados. Los dos casos más simples son los problemas de trazar un círculo que pasa por tres puntos dados ( PPP ) o tangente a tres rectas ( LLL ), que fueron resueltos por primera vez por Euclides en sus Elementos . Por ejemplo, el problema de las APP se puede resolver de la siguiente manera. El centro del círculo solución está igualmente distante de los tres puntos y, por lo tanto, debe estar en la bisectriz perpendicular de dos cualesquiera. Por tanto, el centro es el punto de intersección de dos bisectrices perpendiculares cualesquiera. De manera similar, en el caso LLL , el centro debe estar en una línea que biseca el ángulo en los tres puntos de intersección entre las tres líneas dadas; por lo tanto, el centro se encuentra en el punto de intersección de dos de esas bisectrices. Dado que hay dos bisectrices en cada punto de intersección de las tres rectas dadas, hay cuatro soluciones al problema general LLL (la circunferencia interior y la circunferencia exterior del triángulo formado por las tres rectas).

Los puntos y las líneas pueden considerarse casos especiales de círculos; un punto puede considerarse como un círculo de radio infinitamente pequeño, y una línea puede considerarse como un círculo infinitamente grande cuyo centro también está en el infinito. Desde esta perspectiva, el problema general de Apolonio es el de construir círculos tangentes a tres círculos dados. Los otros nueve casos que involucran puntos y líneas pueden verse como casos limitantes del problema general. ^{[32] [12]} Estos casos limitantes a menudo tienen menos soluciones que el problema general; por ejemplo, la sustitución de un círculo dado por un punto dado reduce a la mitad el número de soluciones, ya que un punto puede construirse como un círculo infinitesimal que es tangente interna o externamente.

Número de soluciones

Figura 11: Un problema de Apolonio sin solución. Un círculo de solución (rosa) debe cruzar el círculo discontinuo dado (negro) para tocar los otros dos círculos dados (también negros).

El problema de contar el número de soluciones a distintos tipos del problema de Apolonio pertenece al campo de la geometría enumerativa . ^{[12] [41]} El número general de soluciones para cada uno de los diez tipos de problemas de Apolonio se da en la Tabla 1 anterior. Sin embargo, disposiciones especiales de los elementos dados pueden cambiar el número de soluciones. Por ejemplo, el problema de Apolonio no tiene solución si un círculo separa a los dos (Figura 11); para tocar ambos círculos sólidos dados, el círculo solución tendría que cruzar el círculo discontinuo dado; pero eso no puede hacerlo si toca tangencialmente el círculo discontinuo. Por el contrario, si tres círculos dados son todos tangentes en el mismo punto, entonces cualquier círculo tangente en el mismo punto es una solución; Estos problemas de Apolonio tienen un número infinito de soluciones. Si alguno de los círculos dados es idéntico, también hay infinidad de soluciones. Si sólo dos círculos dados son idénticos, sólo hay dos círculos dados distintos; los centros de los círculos de solución forman una hipérbola , como se usa en una solución al problema de Apolonio.

Muirhead realizó por primera vez una enumeración exhaustiva del número de soluciones para todas las configuraciones posibles de tres círculos, puntos o líneas dados en 1896, ^{[42] aunque Stoll [43]} y Study habían realizado trabajos anteriores . ^[44] Sin embargo, el trabajo de Muirhead estaba incompleto; se amplió en 1974 ^[45] y en 1983 se publicó una enumeración definitiva, con 33 casos distintos. ^[12] Aunque las soluciones al problema de Apolonio generalmente ocurren en pares relacionados por inversión, en algunos casos es posible un número impar de soluciones. , por ejemplo, la solución única para PPP , o cuando uno o tres de los círculos dados son en sí mismos soluciones. (En la sección sobre el teorema de Descartes se da un ejemplo de este último ). Sin embargo, no hay problemas de Apolonio con siete soluciones. ^{[34] [43]} Se han desarrollado y utilizado soluciones alternativas basadas en la geometría de círculos y esferas en dimensiones superiores. ^{[26] [35]}

Círculos dados mutuamente tangentes: círculos de Soddy y teorema de Descartes

Si los tres círculos dados son mutuamente tangentes, el problema de Apolonio tiene cinco soluciones. Tres soluciones son los propios círculos dados, ya que cada una es tangente a sí misma y a los otros dos círculos dados. Las dos soluciones restantes (mostradas en rojo en la Figura 12) corresponden a los círculos inscritos y circunscritos , y se denominan círculos de Soddy . ^[46] Este caso especial del problema de Apolonio también se conoce como el problema de las cuatro monedas . ^[47] Los tres círculos dados de este problema de Apolonio forman una cadena de Steiner tangente a los dos círculos de Soddy.

Figura 12: Las dos soluciones (rojo) al problema de Apolonio con círculos dados mutuamente tangentes (negro), etiquetados por sus curvaturas.

Cualquiera de los círculos de Soddy, tomados junto con los tres círculos dados, produce un conjunto de cuatro círculos que son mutuamente tangentes en seis puntos. Los radios de estos cuatro círculos están relacionados por una ecuación conocida como teorema de Descartes . En una carta de 1643 a la princesa Isabel de Bohemia , ^[48] René Descartes demostró que

${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{s})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{s}^{2})}$

donde k _s = 1/ r _s y r _s son la curvatura y el radio del círculo solución, respectivamente, y de manera similar para las curvaturas k ₁ , k ₂ y k ₃ y los radios r ₁ , r ₂ y r ₃ de los tres dados círculos. Por cada conjunto de cuatro círculos mutuamente tangentes, hay un segundo conjunto de cuatro círculos mutuamente tangentes que son tangentes en los mismos seis puntos. ^{[2] [49]}

El teorema de Descartes fue redescubierto de forma independiente en 1826 por Jakob Steiner , ^[50] en 1842 por Philip Beecroft, ^{[2] [49]} y nuevamente en 1936 por Frederick Soddy . ^[51] Soddy publicó sus hallazgos en la revista científica Nature como un poema, The Kiss Precise , cuyas dos primeras estrofas se reproducen a continuación. La primera estrofa describe los círculos de Soddy, mientras que la segunda estrofa presenta el teorema de Descartes. En el poema de Soddy, se dice que dos círculos se "besan" si son tangentes, mientras que el término "doblar" se refiere a la curvatura k del círculo.

Que un par de labios se besen tal vez
no implique trigonometría.
No es así cuando cuatro círculos se besan
entre sí.
Para lograr esto, los cuatro deben ser
como tres en uno o uno entre tres.
Si uno de cada tres, sin lugar a dudas.
Cada uno recibe tres besos del exterior.
Si son tres en uno, entonces es ese
tres veces besado internamente.

Vienen cuatro círculos hasta el beso.
Cuanto más pequeños son, más doblados.
La curvatura es justo la inversa de
la distancia desde el centro.
Aunque su intriga dejó mudo a Euclides.
Ahora no hay necesidad de una regla general.
Dado que la curva cero es una línea recta
y las curvas cóncavas tienen signo menos,
la suma de los cuadrados de las cuatro curvas
es la mitad del cuadrado de su suma.

Daniel Pedoe ha derivado diversas extensiones del teorema de Descartes . ^[52]

Generalizaciones

El problema de Apolonio se puede ampliar para construir todos los círculos que intersecan tres círculos dados en un ángulo preciso θ, o en tres ángulos de cruce específicos θ ₁ , θ ₂ y θ ₃ ; ^[50] el problema ordinario de Apolonio corresponde a un caso especial en el que el ángulo de cruce es cero para los tres círculos dados. Otra generalización es el dual de la primera extensión, es decir, construir círculos con tres distancias tangenciales especificadas desde los tres círculos dados. ^[26]

Figura 13: Una junta apolínea simétrica, también llamada empaquetadura de Leibniz, en honor a su inventor Gottfried Leibniz .

El problema de Apolonio se puede extender desde el plano a la esfera y otras superficies cuadráticas . Para la esfera, el problema es construir todos los círculos (los límites de los casquetes esféricos ) que son tangentes a tres círculos dados en la esfera. ^{[24] [53] [54]} Este problema esférico se puede convertir en un problema plano correspondiente mediante proyección estereográfica . Una vez construidas las soluciones al problema plano, se pueden determinar las soluciones correspondientes al problema esférico invirtiendo la proyección estereográfica. De manera aún más general, se puede considerar el problema de cuatro curvas tangentes que resultan de las intersecciones de una superficie cuadrática arbitraria y cuatro planos, un problema considerado por primera vez por Charles Dupin . ^[9]

Al resolver repetidamente el problema de Apolonio para encontrar el círculo inscrito, los intersticios entre círculos mutuamente tangenciales se pueden llenar de forma arbitrariamente fina, formando una junta apolínea , también conocida como empaquetadura de Leibniz o empaquetadura apolínea . ^[55] Esta junta es un fractal , es autosimilar y tiene una dimensión d que no se conoce exactamente pero es aproximadamente 1,3, ^[56] que es más alta que la de una curva regular (o rectificable ) ( d = 1) pero menor que el de un avión ( d = 2). La junta apolínea fue descrita por primera vez por Gottfried Leibniz en el siglo XVII y es un precursor curvo del triángulo de Sierpiński del siglo XX . ^[57] La ​​junta apolínea también tiene conexiones profundas con otros campos de las matemáticas; por ejemplo, es el conjunto límite de grupos kleinianos . ^[58]

La configuración de un círculo tangente a cuatro círculos en el plano tiene propiedades especiales, que han sido aclaradas por Larmor (1891) ^[59] y Lachlan (1893). ^[60] Tal configuración es también la base del teorema de Casey , ^[17] en sí misma una generalización del teorema de Ptolomeo . ^[37]

La extensión del problema de Apolonio a tres dimensiones, es decir, el problema de encontrar una quinta esfera que sea tangente a cuatro esferas dadas, puede resolverse mediante métodos análogos. ^[9] Por ejemplo, se puede cambiar el tamaño de las esferas dada y de la solución para que una esfera dada se reduzca a un punto mientras se mantiene la tangencia. ^[38] La inversión en este punto reduce el problema de Apolonio a encontrar un plano que sea tangente a tres esferas dadas. En general, existen ocho planos de este tipo, que se convierten en soluciones al problema original al invertir la inversión y el cambio de tamaño. Este problema fue considerado por primera vez por Pierre de Fermat , ^[61] y a lo largo de los siglos se han desarrollado muchos métodos de solución alternativos. ^[62]

El problema de Apolonio puede incluso extenderse a d dimensiones, para construir las hiperesferas tangentes a un conjunto dado de d + 1 hiperesferas. ^[41] Tras la publicación de la nueva derivación del teorema de Descartes por parte de Frederick Soddy en 1936, varias personas resolvieron (de forma independiente) el caso mutuamente tangente correspondiente a los círculos de Soddy en d dimensiones. ^[63]

Aplicaciones

La principal aplicación del problema de Apolonio, tal como lo formuló Isaac Newton, es la trilateración hiperbólica , que busca determinar una posición a partir de las diferencias de distancias hasta al menos tres puntos. ^[8] Por ejemplo, un barco puede intentar determinar su posición a partir de las diferencias en los tiempos de llegada de señales de tres transmisores sincronizados. Las soluciones al problema de Apolonio se utilizaron en la Primera Guerra Mundial para determinar la ubicación de una pieza de artillería desde el momento en que se escuchó un disparo en tres posiciones diferentes, ^[9] y la trilateración hiperbólica es el principio utilizado por el sistema Decca Navigator y LORAN . ^[7] De manera similar, la ubicación de una aeronave puede determinarse a partir de la diferencia en los tiempos de llegada de su señal de transpondedor a cuatro estaciones receptoras. Este problema de multilateración es equivalente a la generalización tridimensional del problema de Apolonio y se aplica a los sistemas globales de navegación por satélite (ver GPS#Interpretación geométrica ). ^[31] También se utiliza para determinar la posición de los animales que llaman (como pájaros y ballenas), aunque el problema de Apolonio no se aplica si la velocidad del sonido varía con la dirección (es decir, el medio de transmisión no es isotrópico ). ^[64]

El problema de Apolonio tiene otras aplicaciones. En el Libro 1, Proposición 21 de sus Principia , Isaac Newton utilizó su solución del problema de Apolonio para construir una órbita en mecánica celeste desde el centro de atracción y observaciones de líneas tangentes a la órbita correspondiente a la velocidad instantánea . ^[9] El caso especial del problema de Apolonio cuando los tres círculos son tangentes se utiliza en el método del círculo de Hardy-Littlewood de la teoría analítica de números para construir el contorno de Hans Rademacher para la integración compleja, dado por los límites de un conjunto infinito de Ford rodea cada uno de los cuales toca a varios otros. ^[65] Finalmente, el problema de Apolonio se ha aplicado a algunos tipos de problemas de embalaje , que surgen en campos dispares, como los códigos de corrección de errores utilizados en los DVD y el diseño de productos farmacéuticos que se unen a una enzima particular de una bacteria patógena . ^[66]

Ver también

• punto de apolonio
• Teorema de Apolonio
• Punto isodinámico de un triángulo.

Referencias

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