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Potencia de un punto

Significado geométrico

En geometría plana elemental , la potencia de un punto es un número real que refleja la distancia relativa de un punto dado a un círculo dado. Fue introducida por Jakob Steiner en 1826. [1]

En concreto, la potencia de un punto con respecto a un círculo con centro y radio se define por

Si está fuera del círculo, entonces , si está en el círculo, entonces y si está dentro del círculo, entonces .

Debido al teorema de Pitágoras, el número tiene los significados geométricos simples que se muestran en el diagrama: Para un punto fuera del círculo es el cuadrado de la distancia tangencial del punto al círculo .

Los puntos con igual potencia, isolíneas de , son círculos concéntricos al círculo .

Steiner utilizó la potencia de un punto para demostrar varias afirmaciones sobre círculos, por ejemplo:

Las herramientas esenciales para las investigaciones sobre círculos son el eje radical de dos círculos y el centro radical de tres círculos.

El diagrama de potencia de un conjunto de círculos divide el plano en regiones dentro de las cuales el círculo que minimiza la potencia es constante.

De manera más general, el matemático francés Edmond Laguerre definió la potencia de un punto con respecto a cualquier curva algebraica de manera similar.

Propiedades geométricas

Además de las propiedades mencionadas en el prólogo, existen otras propiedades:

Círculo ortogonal

Círculo ortogonal (verde)

Para cualquier punto fuera del círculo hay dos puntos tangentes en el círculo , que tienen la misma distancia a . Por lo tanto, el círculo con centro en , también pasa y se corta ortogonalmente:

Angulo entre dos circulos

Si el radio del círculo centrado en es diferente de uno se obtiene el ángulo de intersección entre los dos círculos aplicando la Ley de los cosenos (ver diagrama):

( y son normales a las tangentes del círculo.)

Si se encuentra dentro del círculo azul, entonces y siempre es diferente de .

Si se da el ángulo , entonces se obtiene el radio resolviendo la ecuación cuadrática.

.

Teorema de las secantes intersecantes, teorema de las cuerdas intersecantes

Teorema de la secante y de la cuerda

Para el teorema de las secantes intersecantes y el teorema de las cuerdas, la potencia de un punto juega el papel de un invariante :

Eje radical

Sea un punto y dos círculos no concéntricos con centros y radios . El punto tiene la potencia con respecto al círculo . El conjunto de todos los puntos con es una línea llamada eje radical . Contiene posibles puntos comunes de los círculos y es perpendicular a la línea .

Teorema de las secantes, teorema de las cuerdas: demostración común

Teorema de la secante/de la cuerda: demostración

Ambos teoremas, incluido el teorema de la tangente-secante , pueden demostrarse uniformemente:

Sea un punto, un círculo con el origen como centro y un vector unitario arbitrario . Los parámetros de los posibles puntos comunes de la línea (que pasa por ) y el círculo se pueden determinar insertando la ecuación paramétrica en la ecuación del círculo:

Del teorema de Vieta se obtiene:

. (independiente de )

es la potencia de con respecto al círculo .

Por lo tanto se obtiene la siguiente afirmación para los puntos :

, si está fuera del círculo,
, si está dentro del círculo (¡ tienen signos diferentes!).

En el caso de que la línea sea tangente y el cuadrado de la distancia tangencial del punto al círculo .

Puntos de similitud, potencia común de dos círculos

Puntos de similitud

Los puntos de similitud son una herramienta esencial para las investigaciones de Steiner sobre los círculos. [5]

Dados dos círculos

Una homotecia ( similitud ) que se proyecta sobre estiramientos (sacudidas) de radio a y tiene su centro en la línea , porque . Si el centro está entre , el factor de escala es . En el otro caso . En cualquier caso:

.

Insertando y resolviendo los rendimientos:

.
Puntos de semejanza de dos círculos: varios casos

El punto se llama punto de similitud exterior y el punto de similitud interior .

En el caso de que se obtenga . En el caso de : es el punto en el infinito de la línea y es el centro de . En el caso de que los círculos se toquen entre sí en el punto interior (ambos círculos en el mismo lado de la línea tangente común). En el caso de que los círculos se toquen entre sí en el punto exterior (ambos círculos en lados diferentes de la línea tangente común).


Además:

El teorema de Monge establece: Los puntos de similitud externos de tres círculos disjuntos se encuentran en una línea.

Potencia común de dos círculos

Puntos de semejanza de dos círculos y su potencia común

Sean dos círculos, su punto de semejanza exterior y una línea que pasa por , que corta a los dos círculos en cuatro puntos . De la propiedad definitoria del punto se obtiene

y del teorema de la secante (ver arriba) las dos ecuaciones

Combinando estas tres ecuaciones obtenemos: Por lo tanto: (¡independiente de la línea  !). La afirmación análoga para el punto de similitud interno también es cierta.

Las invariantes son llamadas por Steiner potencia común de los dos círculos ( gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte ). [6]

Los pares y de puntos son puntos antihomólogos . Los pares y son homólogos . [7] [8]

Determinación de un círculo que es tangente a dos círculos

Poder común de dos círculos: aplicación
Círculos tangentes a dos círculos

Para una segunda secante a través de :

Del teorema de la secante se obtiene:

Los cuatro puntos se encuentran en un círculo.

Y análogamente:

Los cuatro puntos también se encuentran en un círculo.

Como las líneas radicales de tres círculos se encuentran en la radical (ver: artículo línea radical), se obtiene:

Las secantes se encuentran en el eje radical de los dos círculos dados.

Al desplazar la secante inferior (ver diagrama) hacia la superior, el círculo rojo se convierte en un círculo, que es tangente a ambos círculos dados. El centro del círculo tangente es la intersección de las líneas . Las secantes se convierten en tangentes en los puntos . Las tangentes se interceptan en la línea radical (en el diagrama, amarilla).

Consideraciones similares generan el segundo círculo tangente, que corta los círculos dados en los puntos (ver diagrama).

Todos los círculos tangentes a los círculos dados se pueden encontrar variando la línea .

Posiciones de los centros
Círculos tangentes a dos círculos

Si es el centro y el radio del círculo, que es tangente a los círculos dados en los puntos , entonces:

Por lo tanto: los centros se encuentran en una hipérbola con

focos ,
distancia de los vértices [ aclaración necesaria ] ,
el centro es el centro de ,
excentricidad lineal y
[ aclaración necesaria ] .

Las consideraciones sobre los círculos tangentes externos conducen al resultado análogo:

Si es el centro y el radio del círculo, que es tangente a los círculos dados en los puntos , entonces:

Los centros se encuentran en la misma hipérbola, pero en la rama derecha.

Véase también Problema de Apolonio .

Potencia de un punto con respecto a una esfera

Potencia con respecto a una esfera

La idea de la potencia de un punto con respecto a un círculo se puede extender a una esfera. [9] Los teoremas de las secantes y las cuerdas también son válidos para una esfera y se pueden demostrar literalmente como en el caso del círculo.

Producto Darboux

La potencia de un punto es un caso especial del producto Darboux entre dos círculos, que viene dado por [10]

donde A 1 y A 2 son los centros de los dos círculos y r 1 y r 2 son sus radios. La potencia de un punto surge en el caso especial de que uno de los radios sea cero.

Si los dos círculos son ortogonales, el producto Darboux se desvanece.

Si los dos círculos se intersecan, entonces su producto Darboux es

donde φ es el ángulo de intersección (ver sección círculo ortogonal ).

Teorema de Laguerre

Laguerre definió la potencia de un punto P con respecto a una curva algebraica de grado n como la suma de las distancias desde el punto hasta las intersecciones de un círculo a través del punto con la curva, dividida por la n- ésima potencia del diámetro d . Laguerre demostró que este número es independiente del diámetro (Laguerre 1905). En el caso en que la curva algebraica sea un círculo, esto no es exactamente lo mismo que la potencia de un punto con respecto a un círculo definida en el resto de este artículo, sino que difiere de ella por un factor de d 2 .

Referencias

  1. ^ Jakob Steiner: Einige geometrische Betrachtungen , 1826, pág.164
  2. ^ Steiner, pág. 163
  3. ^ Steiner, pág. 178
  4. ^ Steiner, pág. 182
  5. ^ Steiner: pág. 170,171
  6. ^ Steiner: pág. 175
  7. ^ Michel Chasles, CH Schnuse: Die Grundlehren der neuern Geometrie, erster Theil , Verlag Leibrock, Braunschweig, 1856, p. 312
  8. ^ William J. M'Clelland: Tratado sobre la geometría del círculo y algunas extensiones a las secciones cónicas por el método de reciprocidad , 1891, Verlag: Creative Media Partners, LLC, ISBN  978-0-344-90374-8 , pág. 121,220
  9. ^ KP Grothemeyer: Analytische Geometrie , Sammlung Göschen 65/65A, Berlín 1962, pág. 54
  10. ^ Pierre Larochelle, J. Michael McCarthy: Actas del Simposio USCToMM de 2020 sobre sistemas mecánicos y robótica , 2020, Springer-Verlag, ISBN 978-3-030-43929-3 , pág. 97 

Lectura adicional

Enlaces externos