Teorema de Casey

Sobre cuatro círculos no intersecantes que se encuentran dentro de un círculo más grande y son tangentes a él

En matemáticas , el teorema de Casey , también conocido como teorema de Ptolomeo generalizado , es un teorema de la geometría euclidiana que lleva el nombre del matemático irlandés John Casey .

Formulación del teorema

${\displaystyle t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0}$

Sea un círculo de radio . Sean (en ese orden) cuatro círculos no intersecantes que se encuentran dentro de él y son tangentes a él. Denotemos por la longitud de la bitangente común exterior de los círculos . Entonces: ^[1] ${\displaystyle \,O}$ ${\displaystyle \,R}$ ${\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}$ ${\displaystyle \,O}$ ${\displaystyle \,t_{ij}}$ ${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$

${\displaystyle \,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.}$

Nótese que en el caso degenerado, donde los cuatro círculos se reducen a puntos, este es exactamente el teorema de Ptolomeo .

Prueba

La siguiente demostración es atribuible ^[2] a Zacharias. ^[3] Denotemos el radio del círculo por y su punto de tangencia con el círculo por . Usaremos la notación para los centros de los círculos. Nótese que del teorema de Pitágoras , ${\displaystyle \,O_{i}}$ ${\displaystyle \,R_{i}}$ ${\displaystyle \,O}$ ${\displaystyle \,K_{i}}$ ${\displaystyle \,O,O_{i}}$

${\displaystyle \,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}.}$

Intentaremos expresar esta longitud en función de los puntos . Por la ley de los cosenos en el triángulo , ${\displaystyle \,K_{i},K_{j}}$ ${\displaystyle \,O_{i}OO_{j}}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}}$

Dado que los círculos son tangentes entre sí: ${\displaystyle \,O,O_{i}}$

${\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}}$

Sea un punto de la circunferencia . Según la ley de senos en un triángulo : ${\displaystyle \,C}$ ${\displaystyle \,O}$ ${\displaystyle \,K_{i}CK_{j}}$

${\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}$

y sustituyendo estos en la fórmula anterior:

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

Y finalmente, la longitud que buscamos es

${\displaystyle t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}}$

Ahora podemos evaluar el lado izquierdo, con la ayuda del teorema de Ptolomeo original aplicado al cuadrilátero inscrito : ${\displaystyle \,K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)\\[4pt]={}&t_{13}t_{24}\end{aligned}}}$

Otras generalizaciones

Se puede observar que los cuatro círculos no tienen por qué estar dentro del círculo grande. De hecho, también pueden ser tangentes a él desde el exterior. En ese caso, se debe realizar el siguiente cambio: ^[4]

Si ambas son tangentes del mismo lado (ambas hacia adentro o ambas hacia afuera), es la longitud de la tangente común exterior. ${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$ ${\displaystyle \,O}$ ${\displaystyle \,t_{ij}}$

Si son tangentes de diferentes lados (uno de entrada y otro de salida), es la longitud de la tangente común interior. ${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$ ${\displaystyle \,O}$ ${\displaystyle \,t_{ij}}$

El recíproco del teorema de Casey también es cierto. ^[4] Es decir, si se cumple la igualdad, los círculos son tangentes a un círculo común.

Aplicaciones

El teorema de Casey y su inverso se pueden utilizar para demostrar una variedad de afirmaciones en geometría euclidiana . Por ejemplo, la prueba más corta conocida ^{[1] : 411} del teorema de Feuerbach utiliza el teorema inverso.

Referencias

1. Casey, J. (1866). "Sobre las ecuaciones y propiedades: (1) del sistema de círculos que tocan tres círculos en un plano; (2) del sistema de esferas que tocan cuatro esferas en el espacio; (3) del sistema de círculos que tocan tres círculos en una esfera; (4) del sistema de cónicas inscritas en una cónica y que tocan tres cónicas inscritas en un plano". Actas de la Real Academia Irlandesa . 9 : 396–423. JSTOR  20488927.
2. Bottema, O. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde . (traducción de Reinie Erné como Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, de la segunda edición ampliada publicada por Epsilon-Uitgaven 1987).
3. Zacarías, M. (1942). "Der Caseysche Satz". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 52 : 79–89.
4. Johnson, Roger A. (1929). Modern Geometry . Houghton Mifflin, Boston (facsímil republicado por Dover 1960, 2007 como Advanced Euclidean Geometry).

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Casey". MathWorld .
• Shailesh Shirali: "'Sobre un teorema de Ptolomeo generalizado'". En: Crux Mathematicorum , vol. 22, núm. 2, págs. 49-53