Número complejo

Número con parte real y parte imaginaria

Un número complejo se puede representar visualmente como un par de números ( a ,  b ) que forman un vector en un diagrama llamado diagrama de Argand , que representa el plano complejo . Re es el eje real, Im es el eje imaginario e i es la " unidad imaginaria ", que satisface i ² = −1 .

En matemáticas , un número complejo es un elemento de un sistema numérico que extiende los números reales con un elemento específico denotado i , llamado unidad imaginaria y que satisface la ecuación ; Todo número complejo se puede expresar en la forma , donde a y b son números reales. Debido a que ningún número real satisface la ecuación anterior, René Descartes llamó a i un número imaginario . Para el número complejo , a se llama ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle a+bi}$ parte real ybse llama parte realparte imaginaria . El conjunto de números complejos se denota con cualquiera de lossímboloso C. A pesar de la nomenclatura histórica, los números complejos "imaginarios" tienen unamatemáticatan firme como la de los números reales, y son herramientas fundamentales en la descripción científica del mundo natural.^[1][2] ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Los números complejos permiten soluciones a todas las ecuaciones polinómicas , incluso aquellas que no tienen soluciones en números reales. Más precisamente, el teorema fundamental del álgebra afirma que toda ecuación polinómica no constante con coeficientes reales o complejos tiene una solución que es un número complejo. Por ejemplo, la ecuación no tiene solución real, porque el cuadrado de un número real no puede ser negativo, pero tiene dos soluciones complejas no reales y . ${\displaystyle (x+1)^{2}=-9}$ ${\displaystyle -1+3i}$ ${\displaystyle -1-3i}$

La suma, resta y multiplicación de números complejos se pueden definir de forma natural utilizando la regla junto con las leyes asociativa , conmutativa y distributiva . Todo número complejo distinto de cero tiene un inverso multiplicativo . Esto convierte los números complejos en un campo con los números reales como subcampo. ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Los números complejos también forman un espacio vectorial real de dimensión dos , con base estándar . Esta base estándar convierte los números complejos en un plano cartesiano , llamado plano complejo . Esto permite una interpretación geométrica de los números complejos y sus operaciones y, a la inversa, algunos objetos y operaciones geométricos se pueden expresar en términos de números complejos. Por ejemplo, los números reales forman la línea real , que se representa como el eje horizontal del plano complejo, mientras que los múltiplos reales de son el eje vertical. Un número complejo también se puede definir por sus coordenadas polares geométricas : el radio se llama valor absoluto del número complejo, mientras que el ángulo desde el eje real positivo se llama argumento del número complejo. Los números complejos de valor absoluto forman el círculo unitario . Sumar un número complejo fijo a todos los números complejos define una traslación en el plano complejo, y multiplicar por un número complejo fijo es una similitud centrada en el origen (dilatar por el valor absoluto y rotar por el argumento). La operación de conjugación compleja es la simetría de reflexión respecto del eje real. ${\displaystyle \{1,i\}}$ ${\displaystyle i}$

Los números complejos forman una rica estructura que es simultáneamente un campo algebraicamente cerrado , un álgebra conmutativa sobre los reales y un espacio vectorial euclidiano de dimensión dos.

Definición y operaciones básicas.

Varios números complejos representados en el plano complejo.

Un número complejo es una expresión de la forma a + bi , donde a y b son números reales , e i es un símbolo abstracto, la llamada unidad imaginaria , cuyo significado se explicará más adelante. Por ejemplo, 2 + 3 i es un número complejo. ^[3]

Para un número complejo a + bi , el número real a se llama su parte real , y el número real b (no el número complejo bi ) es su parte imaginaria . ^{[4] [5]} La parte real de un número complejo z se denota Re( z ) , o ; la parte imaginaria es Im( z ) , o : por ejemplo ,. ${\displaystyle {\mathcal {Re}}(z)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Im}}(z)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}(z)}$ ${\textstyle \operatorname {Re} (2+3i)=2}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (2+3i)=3}$

Un número complejo z puede identificarse con el par ordenado de números reales , que pueden interpretarse como coordenadas de un punto en un plano euclidiano con coordenadas estándar, que luego se denomina plano complejo o diagrama de Argand , ^{[6] [a]} . ^[7] Generalmente se utiliza el eje horizontal para visualizar la parte real, con valores crecientes hacia la derecha, y la parte imaginaria marca el eje vertical, con valores crecientes hacia arriba. ${\displaystyle (\Re (z),\Im (z))}$

Un número complejo z , como punto (negro) y su vector de posición (azul).

Un número real a puede considerarse como un número complejo a + 0 i , cuya parte imaginaria es 0. Un número puramente imaginario bi es un número complejo 0 + bi , cuya parte real es cero. Al igual que con los polinomios, es común escribir a + 0 i = a , 0 + bi = bi y a + (− b ) i = a − bi ; por ejemplo, 3 + (−4) yo = 3 − 4 yo .

El conjunto de todos los números complejos se indica con ( pizarra en negrita ) o C (en negrita vertical). ${\displaystyle \mathbb {C} }$

En algunas disciplinas como el electromagnetismo y la ingeniería eléctrica , se usa j en lugar de i , ya que i representa frecuentemente la corriente eléctrica , ^{[8] [9]} y los números complejos se escriben como a + bj o a + jb .

Adición y sustracción

La suma de dos números complejos se puede realizar geométricamente construyendo un paralelogramo.

Dos números complejos y se suman sumando por separado sus partes reales e imaginarias. Es decir: ${\displaystyle a=x+yi}$ ${\displaystyle b=u+vi}$

$${\displaystyle a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.}$$

la resta

$${\displaystyle a-b=(x+yi)-(u+vi)=(x-u)+(y-v)i.}$$

La suma se puede visualizar geométricamente de la siguiente manera: la suma de dos números complejos a y b , interpretados como puntos en el plano complejo, es el punto que se obtiene al construir un paralelogramo a partir de los tres vértices O y los puntos de las flechas denominadas a y b (siempre que no estén en una línea). De manera equivalente, llamando a estos puntos A , B , respectivamente y al cuarto punto del paralelogramo X los triángulos OAB y XBA son congruentes .

Multiplicación

El producto de dos números complejos se calcula de la siguiente manera:

${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.}$

Por ejemplo, . En particular, esto incluye como caso especial la fórmula fundamental ${\displaystyle (3+2i)(4-i)=3\cdot 4-(2\cdot (-1))+(3\cdot (-1)+2\cdot 4)i=14+5i}$

${\displaystyle i^{2}=i\cdot i=-1.}$

Esta fórmula distingue el número complejo i de cualquier número real, ya que el cuadrado de cualquier número real (negativo o positivo) x siempre satisface . ${\displaystyle x^{2}\geq 0}$

Con esta definición de multiplicación y suma, las reglas familiares para la aritmética de números racionales o reales siguen siendo válidas para los números complejos. Más precisamente, se mantienen la propiedad distributiva , las propiedades conmutativas (de suma y multiplicación). Por tanto, los números complejos forman una estructura algebraica conocida como campo , al igual que lo hacen los números racionales o reales. ^[10]

Conjugado complejo, valor absoluto y argumento.

Representación geométrica de z y su conjugado z en el plano complejo.

El conjugado complejo del número complejo z = x + yi se define como . ^[11] Algunos autores también lo indican como . Geométricamente, z es la "reflexión" de z alrededor del eje real. Al conjugar dos veces se obtiene el número complejo original: un número complejo es real si y sólo si es igual a su propio conjugado. La operación unaria de tomar el conjugado complejo de un número complejo no se puede expresar aplicando únicamente sus operaciones básicas suma, resta, multiplicación y división. ${\displaystyle {\overline {z}}=x-yi.}$ ${\displaystyle z^{*}}$ ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$

El argumento φ y el módulo r ubican un punto en el plano complejo.

Para cualquier número complejo z = x + yi , el producto

${\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}}$

es un número real no negativo . Esto permite definir el valor absoluto (o módulo o magnitud ) de z como la raíz cuadrada ^[12]

$${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

el teorema de Pitágoraszun círculo de radio unoz ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle z=x=x+0i}$ ${\displaystyle |z|=|x|}$

Usando el conjugado, el recíproco de un número complejo distinto de cero se puede calcular como ${\displaystyle z=x+yi}$

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}={\frac {x-yi}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$

${\displaystyle w=u+vi}$ ${\displaystyle z=x+yi}$

$${\displaystyle {\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{|z|^{2}}}={\frac {(u+vi)(x-iy)}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {ux+vy}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {vx-uy}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$

racionalización^{[ cita necesaria ]}

El argumento de z (a veces llamado "fase" φ ) ^[7] es el ángulo del radio Oz con el eje real positivo, y se escribe como arg z , expresado en radianes en este artículo. El ángulo se define solo hasta la suma de múltiplos enteros de , ya que una rotación de (o 360°) alrededor del origen deja todos los puntos en el plano complejo sin cambios. Una posible opción para especificar de forma única el argumento es exigir que esté dentro del intervalo , al que se hace referencia como valor principal . ^[13] El argumento se puede calcular a partir de la forma rectangular x + yi mediante la función arctan (tangente inversa). ^[14] ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

Forma polar

Multiplicación de 2 + i (triángulo azul) y 3 + i (triángulo rojo). El triángulo rojo se gira para que coincida con el vértice del azul (la suma de ambos ángulos en los términos φ ₁ + φ ₂ en la ecuación) y se estira por la longitud de la hipotenusa del triángulo azul (la multiplicación de ambos radios, según el término r ₁ r ₂ en la ecuación).

Para cualquier número complejo z , con valor absoluto y argumento , la ecuación ${\displaystyle r=|z|}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

sostiene. Esta identidad se conoce como la forma polar de z . A veces se abrevia como . En electrónica , se representa un fasor con amplitud r y fase φ en notación angular : ^[15] ${\textstyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi }$

$${\displaystyle z=r\angle \varphi .}$$

Si dos números complejos se dan en forma polar, es decir, z ₁ = r ₁ (cos  φ ₁ + i  sen  φ ₁ ) y z ₂ = r ₂ (cos  φ ₂ + i  sen  φ ₂ ) , el producto y la división pueden ser calculado como

$${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).}$$

$${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right),{\text{if }}z_{2}\neq 0.}$$

identidades trigonométricasmultiplicansuman

$${\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.}$$

5 + 5 iπ /4radianesarctan

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)}$$

arctanfórmulas tipo Machinπ^{[ cita necesaria ]}

Poderes y raíces

La n -ésima potencia de un número complejo se puede calcular usando la fórmula de De Moivre , que se obtiene aplicando repetidamente la fórmula anterior para el producto:

$${\displaystyle z^{n}=\underbrace {z\cdot \dots \cdot z} _{n{\text{ factors}}}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}$$

i ${\displaystyle i,i^{2}=-1,i^{3}=-i,i^{4}=1,i^{5}=i,\dots }$

Representación geométrica de las raíces 2.ª a 6.ª de un número complejo z , en forma polar re ^iφ  donde r = | z  | y φ = arg z . Si z es real, φ = 0 o π . Las raíces principales se muestran en negro.

Las n n ésimas raíces de un número complejo z están dadas por

$${\displaystyle z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)}$$

0 ≤ k ≤ norte − 1n-rkn raíces ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$ ${\displaystyle z\neq 0}$

${\displaystyle z_{1}=1,z_{2}=i,z_{3}=-1,z_{4}=-i.}$

En general, no existe una forma natural de distinguir una raíz n- ésima compleja particular de un número complejo. (Esto contrasta con las raíces de un número real positivo x , que tiene una única raíz n -ésima real positiva , que por lo tanto se conoce comúnmente como la raíz n -ésima de x ). Uno se refiere a esta situación diciendo que la n- ésima raíz es una función de valor n de z .

Teorema fundamental del álgebra

El teorema fundamental del álgebra , de Carl Friedrich Gauss y Jean le Rond d'Alembert , establece que para cualquier número complejo (llamado coeficientes ) a ₀ ,...,  an _, la ecuación

$${\displaystyle a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0}$$

za ₁ , ...,  an _sea^[16]cuerpo de los números racionalesx ² − 2√2x ² + 4xx ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Por este hecho, se le llama campo algebraicamente cerrado . Es la piedra angular de diversas aplicaciones de números complejos, como se detalla más adelante. Hay varias pruebas de este teorema, ya sea mediante métodos analíticos como el teorema de Liouville , o topológicos como el número de devanado , o una prueba que combina la teoría de Galois y el hecho de que cualquier polinomio real de grado impar tiene al menos una raíz real. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Historia

La solución en radicales (sin funciones trigonométricas ) de una ecuación cúbica general , cuando sus tres raíces son números reales, contiene las raíces cuadradas de números negativos , situación que no puede rectificarse mediante la factorización asistida por la prueba de la raíz racional , si la cúbico es irreducible ; este es el llamado casus irreducibilis ("caso irreductible"). Este enigma llevó al matemático italiano Gerolamo Cardano a concebir los números complejos alrededor de 1545 en su Ars Magna , ^[17] aunque su comprensión era rudimentaria; además, más tarde describió los números complejos como "tan sutiles como inútiles". ^[18] Cardano usó números imaginarios, pero describió su uso como "tortura mental". ^[19] Esto fue antes del uso del plano gráfico complejo. Cardano y otros matemáticos italianos, en particular Scipione del Ferro , crearon en el siglo XVI un algoritmo para resolver ecuaciones cúbicas que generalmente tenía una solución real y dos soluciones que contenían un número imaginario. Debido a que ignoraron las respuestas con números imaginarios, Cardano las encontró inútiles. ^[20]

El trabajo en el problema de los polinomios generales condujo finalmente al teorema fundamental del álgebra , que muestra que, con números complejos, existe una solución para cada ecuación polinómica de grado uno o superior. Los números complejos forman así un campo algebraicamente cerrado , donde cualquier ecuación polinómica tiene una raíz .

Muchos matemáticos contribuyeron al desarrollo de los números complejos. Las reglas para la suma, resta, multiplicación y extracción de raíces de números complejos fueron desarrolladas por el matemático italiano Rafael Bombelli . ^{[21] El matemático irlandés} William Rowan Hamilton desarrolló aún más un formalismo más abstracto para los números complejos , quien extendió esta abstracción a la teoría de los cuaterniones . ^[22]

Quizás pueda decirse que la primera referencia fugaz a las raíces cuadradas de números negativos se produjo en la obra del matemático griego Héroe de Alejandría en el siglo I d. C. , donde en su Stereometrica consideró, aparentemente por error, el volumen de un tronco imposible de una pirámide para llegar al término en sus cálculos, que hoy se simplificaría a . ^[b] Las cantidades negativas no fueron concebidas en las matemáticas helenísticas y Hero simplemente las reemplazó por sus positivas ^[24] ${\displaystyle {\sqrt {81-144}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-63}}=3i{\sqrt {7}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {144-81}}=3{\sqrt {7}}.}$

El ímpetu para estudiar los números complejos como un tema en sí mismo surgió por primera vez en el siglo XVI cuando los matemáticos italianos ( Niccolò Fontana Tartaglia y Gerolamo Cardano ) descubrieron soluciones algebraicas para las raíces de polinomios cúbicos y cuárticos . Pronto se comprendió (pero se demostró mucho más tarde) ^[25] que estas fórmulas, incluso si uno estuviera interesado sólo en soluciones reales, a veces requerían la manipulación de raíces cuadradas de números negativos. De hecho, más tarde se demostró que el uso de números complejos es inevitable cuando las tres raíces son reales y distintas. ^[c] Sin embargo, la fórmula general aún se puede utilizar en este caso, con cierto cuidado para abordar la ambigüedad resultante de la existencia de tres raíces cúbicas para números complejos distintos de cero. Rafael Bombelli fue el primero en abordar explícitamente estas soluciones aparentemente paradójicas de ecuaciones cúbicas y desarrolló las reglas para la aritmética compleja, tratando de resolver estas cuestiones.

El término "imaginario" para estas cantidades fue acuñado por René Descartes en 1637, quien se esforzó por enfatizar su naturaleza irreal: ^[26]

... a veces sólo imaginaria, es decir uno puede imaginar tantas como dije en cada ecuación, pero a veces no existe ninguna cantidad que coincida con la que imaginamos.
[ ... quelquefois solo imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en cada ecuación, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imaginar. ]

Otra fuente de confusión fue que la ecuación parecía ser caprichosamente inconsistente con la identidad algebraica , que es válida para números reales no negativos a y b , y que también se usaba en cálculos de números complejos con uno de a , b positivo y el otros negativos. El uso incorrecto de esta identidad en el caso en que a y b son negativos, y la identidad relacionada , atormentaba incluso a Leonhard Euler . Esta dificultad finalmente llevó a la convención de utilizar el símbolo especial i en lugar de para evitar este error. ^{[ cita necesaria ]} Aun así, Euler consideró natural presentar a los estudiantes los números complejos mucho antes de lo que lo hacemos hoy. En su libro de texto de álgebra elemental, Elementos de álgebra , introduce estos números casi de inmediato y luego los utiliza de forma natural en todo momento. ${\displaystyle {\sqrt {-1}}^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

En el siglo XVIII, los números complejos ganaron un uso más amplio, ya que se observó que la manipulación formal de expresiones complejas podía usarse para simplificar cálculos que involucraban funciones trigonométricas. Por ejemplo, en 1730 Abraham de Moivre señaló que las identidades que relacionan funciones trigonométricas de un múltiplo entero de un ángulo con potencias de funciones trigonométricas de ese ángulo podrían reexpresarse mediante la siguiente fórmula de Moivre :

$${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta .}$$

Una ilustración de la fórmula de Euler: para varios valores de , la mitad inferior ilustra el número complejo , cuya parte real se muestra arriba. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \exp(i\theta )}$ ${\displaystyle \cos \theta }$

En 1748, Euler fue más allá y obtuvo la fórmula de análisis complejo de Euler : ^[27]

$${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}$$

manipulando formalmente series de potencias complejas y observó que esta fórmula podría usarse para reducir cualquier identidad trigonométrica a identidades exponenciales mucho más simples.

La idea de un número complejo como un punto en el plano complejo (arriba) fue descrita por primera vez por el matemático danés - noruego Caspar Wessel en 1799, ^[28] aunque ya se había anticipado en 1685 en el Tratado de álgebra de Wallis . ^[29]

Las memorias de Wessel aparecieron en las Actas de la Academia de Copenhague , pero pasaron desapercibidas. En 1806, Jean-Robert Argand publicó de forma independiente un folleto sobre números complejos y proporcionó una prueba rigurosa del teorema fundamental del álgebra . ^[30] Carl Friedrich Gauss había publicado anteriormente una prueba esencialmente topológica del teorema en 1797, pero expresó sus dudas en ese momento sobre "la verdadera metafísica de la raíz cuadrada de −1". ^[31] No fue hasta 1831 que superó estas dudas y publicó su tratado sobre números complejos como puntos en el plano, ^[32] estableciendo en gran medida la notación y la terminología modernas: ^[33]

Si antes se contemplaba este tema desde un punto de vista falso y se encontraba una oscuridad misteriosa, esto se debe en gran parte a una terminología torpe. Si no se hubieran llamado unidades +1, −1, positivas, negativas o imaginarias (o incluso imposibles), sino, digamos, unidades directas, inversas o laterales, difícilmente se habría podido hablar de tal oscuridad. ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

A principios del siglo XIX, otros matemáticos descubrieron de forma independiente la representación geométrica de los números complejos: Buée, ^{[34] [35]} Mourey , ^[36] Warren, ^{[37] [38] [39]} Français y su hermano Bellavitis . . ^{[40] [41]}

El matemático inglés GH Hardy comentó que Gauss fue el primer matemático en utilizar números complejos de "una manera realmente segura y científica", aunque matemáticos como el noruego Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacob Jacobi los utilizaban necesariamente de forma rutinaria antes de que Gauss publicara su tratado de 1831. ^[42]

Augustin-Louis Cauchy y Bernhard Riemann juntos llevaron las ideas fundamentales del análisis complejo a un alto estado de finalización, comenzando alrededor de 1825 en el caso de Cauchy.

Los términos comunes utilizados en la teoría se deben principalmente a los fundadores. Argand llamó cos φ + i sin φ al factor de dirección y al módulo ; ^{[d] [43]} Cauchy (1821) llamó cos φ + i sin φ la forma reducida (l'expression réduite) ^[44] y aparentemente introdujo el término argumento ; Gauss usó i para , ^[e] introdujo el término número complejo para a + bi , ^[f] y llamó a ² + b ² la norma . ^[g] La expresión coeficiente de dirección , frecuentemente utilizada para cos φ + i sen φ , se debe a Hankel (1867), ^[48] y el valor absoluto, para módulo, se debe a Weierstrass. ${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

Los escritores clásicos posteriores sobre la teoría general incluyen a Richard Dedekind , Otto Hölder , Felix Klein , Henri Poincaré , Hermann Schwarz , Karl Weierstrass y muchos otros. A principios del siglo XX se iniciaron trabajos importantes (incluida una sistematización) en el cálculo multivariado complejo. Wilhelm Wirtinger logró resultados importantes en 1927.

Aspectos algebraicos abstractos

Si bien las definiciones de bajo nivel anteriores, incluidas la suma y la multiplicación, describen con precisión los números complejos, existen otros enfoques equivalentes que revelan la estructura algebraica abstracta de los números complejos de manera más inmediata.

Construcción como campo cociente.

Una forma de hacerlo es mediante polinomios , es decir, expresiones de la forma ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle p(X)=a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},}$$

coeficientes a ₀ , ...,  an _sonanillo conmutativoanillo polinomialp ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle p(i)=a_{n}i^{n}+\dotsb +a_{1}i+a_{0}}$ ${\displaystyle X=i}$

${\displaystyle \mathbb {R} [X]\to \mathbb {C} }$

Esta función es sobreyectiva ya que todo número complejo se puede obtener de tal forma: la evaluación de un polinomio lineal en es . Sin embargo, la evaluación del polinomio en i es 0, ya que este polinomio es irreducible , es decir, no puede escribirse como producto de dos polinomios lineales. Los hechos básicos del álgebra abstracta implican entonces que el núcleo del mapa anterior es un ideal generado por este polinomio, y que el cociente de este ideal es un campo, y que existe un isomorfismo. ${\displaystyle a+bX}$ ${\displaystyle X=i}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle i^{2}+1=0.}$

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1){\stackrel {\cong }{\to }}\mathbb {C} }$

entre el anillo cociente y . Algunos autores toman esto como la definición de . ^[49] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Aceptar que es algebraicamente cerrado, porque es una extensión algebraica de en este enfoque, es por lo tanto el cierre algebraico de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Representación matricial de números complejos.

Los números complejos a + bi también se pueden representar mediante matrices de 2 × 2 que tienen la forma

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}.}$$

absubanillo2 × 2

Un cálculo simple muestra que el mapa

$${\displaystyle a+ib\mapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}$$

isomorfismo de anillodeterminantetranspuesta

La descripción geométrica de la multiplicación de números complejos también se puede expresar en términos de matrices de rotación utilizando esta correspondencia entre números complejos y dichas matrices. La acción de la matriz sobre un vector ( x , y ) corresponde a la multiplicación de x + iy por a + ib . En particular, si el determinante es 1 , existe un número real t tal que la matriz tiene la forma

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\;\;\cos t\end{pmatrix}}.}$$

rotaciónt ${\displaystyle \cos t+i\sin t}$

Análisis complejo

El estudio de funciones de una variable compleja se conoce como análisis complejo y tiene un enorme uso práctico en matemáticas aplicadas, así como en otras ramas de las matemáticas. A menudo, las pruebas más naturales de enunciados en análisis real o incluso en teoría de números emplean técnicas de análisis complejo (consulte el teorema de los números primos para ver un ejemplo).

Un gráfico de coloreado de dominio de la función.( z ² − 1)( z − 2 − yo ) ²/z ² + 2 + 2 yo. Los puntos más oscuros marcan módulos cercanos a cero, los puntos más brillantes están más lejos del origen. El color codifica el argumento. La función tiene ceros para ±1, (2 + i ) y polos en ${\displaystyle \pm {\sqrt {-2-2i}}.}$

A diferencia de las funciones reales, que comúnmente se representan como gráficos bidimensionales, las funciones complejas tienen gráficos de cuatro dimensiones y pueden ilustrarse útilmente codificando con colores un gráfico tridimensional para sugerir cuatro dimensiones, o animando la transformación dinámica de la función compleja de la plano complejo.

Convergencia

Ilustración del comportamiento de la secuencia para tres valores diferentes de z (todos con el mismo argumento): para la secuencia converge a 0 (espiral interior), mientras que diverge para (espiral exterior). ${\displaystyle z^{n}}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle |z|>1}$

Las nociones de series convergentes y funciones continuas en el análisis (real) tienen análogos naturales en el análisis complejo. Se dice que una secuencia de números complejos converge si y sólo si sus partes real e imaginaria lo hacen. Esto es equivalente a la definición de límites (ε, δ) , donde el valor absoluto de los números reales se reemplaza por el de los números complejos. Desde un punto de vista más abstracto, dotado de la métrica ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|}$$

espacio métricodesigualdad del triángulo

$${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}$$

z ₁z ₂

Exponencial complejo

Ilustración de la función exponencial compleja que representa el plano complejo, w = exp ⁡( z ). El plano izquierdo muestra una malla cuadrada con un tamaño de malla 1, con los tres números complejos 0, 1 e i resaltados. Los dos rectángulos (en magenta y verde) se asignan a segmentos circulares, mientras que las líneas paralelas al eje x se asignan a rayos que emanan del origen, pero que no lo contienen. Las líneas paralelas al eje y se asignan a círculos.

Como en el análisis real, esta noción de convergencia se utiliza para construir una serie de funciones elementales : la función exponencial exp z , también escrita e ^z , se define como la serie infinita , que se puede demostrar que converge para cualquier z :

$${\displaystyle \exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$

la constante de EulerLa fórmula de Euler ${\displaystyle \exp(1)}$ ${\displaystyle e\approx 2.718}$

$${\displaystyle \exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$

φla identidad de Euler.

$${\displaystyle \exp(i\pi )=-1.}$$

logaritmo complejo

La función exponencial asigna números complejos z que difieren en un múltiplo de al mismo número complejo w . ${\displaystyle 2\pi i}$

Para cualquier número real positivo t , existe un número real único x tal que . Esto lleva a la definición del logaritmo natural como la inversa de la función exponencial. La situación es diferente para los números complejos, ya que ${\displaystyle \exp(x)=t}$ ${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x}$

${\displaystyle \exp(z+2\pi i)=\exp z\exp(2\pi i)=\exp z}$

por la ecuación funcional y la identidad de Euler. Por ejemplo, e ^iπ = e ^{3 iπ} = −1 , por lo que tanto iπ como 3 iπ son valores posibles para el logaritmo complejo de −1 .

En general, dado cualquier número complejo distinto de cero w , cualquier número z resolviendo la ecuación

${\displaystyle \exp z=w}$

se llama logaritmo complejo de w , denotado . Se puede demostrar que estos números satisfacen ${\displaystyle \log w}$

$${\displaystyle z=\log w=\ln |w|+i\arg w,}$$

argumentologaritmo naturalfunción multivalor2 πvalor principalintervalo (− π , π ]biyectiva ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right]}$ ${\displaystyle S_{0}}$

$${\displaystyle \ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right].}$$

Si no es un número real no positivo (un número positivo o no real), el valor principal resultante del logaritmo complejo se obtiene con − π < φ < π . Es una función analítica fuera de los números reales negativos, pero no puede prolongarse a una función que sea continua en cualquier número real negativo , donde el valor principal es ln z = ln(− z ) + iπ . ^[h] ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \left(-\mathbb {R} _{\geq 0}\right)}$ ${\displaystyle z\in -\mathbb {R} ^{+}}$

La exponenciación compleja z ^ω se define como

$${\displaystyle z^{\omega }=\exp(\omega \ln z),}$$

ωω = 1 / nnlas nz > 0ω es ${\displaystyle \ln x}$

Los números complejos, a diferencia de los números reales, en general no satisfacen las identidades de potencia y logaritmo no modificadas, particularmente cuando se tratan ingenuamente como funciones de un solo valor; ver falla de potencia e identidades de logaritmos . Por ejemplo, no satisfacen

$${\displaystyle a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.}$$

Seno y coseno complejos

La serie que define las funciones trigonométricas reales seno y coseno , así como las funciones hiperbólicas senh y cosh, también se trasladan a argumentos complejos sin cambios. Para las otras funciones trigonométricas e hiperbólicas, como la tangente , las cosas son un poco más complicadas, ya que las series que las definen no convergen para todos los valores complejos. Por lo tanto, hay que definirlos en términos de seno, coseno y exponencial o, de manera equivalente, utilizando el método de continuación analítica .

Funciones holomorfas

Gráfico de rueda de colores de la función sin(1/ z ) que es holomorfa excepto en z = 0, que es una singularidad esencial de esta función. Las partes blancas del interior se refieren a números que tienen valores absolutos grandes.

Una función → se llama holomorfa o diferenciable compleja en un punto si el límite ${\displaystyle f:\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}$

existe (en cuyo caso se denota por ). Esto imita la definición de funciones diferenciables reales, excepto que todas las cantidades son números complejos. En términos generales, la libertad de abordar en diferentes direcciones impone una condición mucho más fuerte que ser (real) diferenciable. Por ejemplo, la función ${\displaystyle f'(z_{0})}$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f(z)={\overline {z}}}$

es diferenciable como función , pero no es diferenciable compleja. Una función diferenciable real es diferenciable compleja si y sólo si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann , que a veces se abrevian como ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0.}$

El análisis complejo muestra algunas características que no son evidentes en el análisis real. Por ejemplo, el teorema de identidad afirma que dos funciones holomorfas f y g concuerdan si concuerdan en un subconjunto abierto arbitrariamente pequeño de . Las funciones meromorfas , funciones que pueden escribirse localmente como f ( z )/( z − z ₀ ) ⁿ con una función holomorfa f , todavía comparten algunas de las características de las funciones holomorfas. Otras funciones tienen singularidades esenciales , como sin(1/ z ) en z = 0 . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Aplicaciones

Los números complejos tienen aplicaciones en muchas áreas científicas, incluido el procesamiento de señales , la teoría de control , el electromagnetismo , la dinámica de fluidos , la mecánica cuántica , la cartografía y el análisis de vibraciones . Algunas de estas aplicaciones se describen a continuación.

La conjugación compleja también se emplea en geometría inversiva , una rama de la geometría que estudia reflexiones más generales que las relativas a una línea. En el análisis de redes de circuitos eléctricos , el conjugado complejo se utiliza para encontrar la impedancia equivalente cuando se busca el teorema de transferencia de potencia máxima .

Geometría

formas

Tres puntos no colineales en el plano determinan la forma del triángulo . Ubicando los puntos en el plano complejo, esta forma de triángulo se puede expresar mediante aritmética compleja como ${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle \{u,v,w\}}$

$${\displaystyle S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}.}$$

transformación afínla similitudclase de similitud^[50] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{u,v,w\}}$

geometría fractal

El conjunto de Mandelbrot con los ejes real e imaginario etiquetados.

El conjunto de Mandelbrot es un ejemplo popular de fractal formado en el plano complejo. Se define trazando cada ubicación donde la iteración de la secuencia no diverge cuando se itera infinitamente. De manera similar, los conjuntos de Julia tienen las mismas reglas, excepto que permanecen constantes. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c}$

triangulos

Cada triángulo tiene una inelipse de Steiner única : una elipse dentro del triángulo y tangente a los puntos medios de los tres lados del triángulo. Los focos de la inelipse de Steiner de un triángulo se pueden encontrar de la siguiente manera, según el teorema de Marden : ^{[51] [52]} Denotemos los vértices del triángulo en el plano complejo como a = x _A + y _A i , b = x _B + y _B i , y c = x _C + y _C i . Escribe la ecuación cúbica , toma su derivada y equipara la derivada (cuadrática) a cero. El teorema de Marden dice que las soluciones de esta ecuación son los números complejos que denotan las ubicaciones de los dos focos de la inelipse de Steiner. ${\displaystyle (x-a)(x-b)(x-c)=0}$

Teoría algebraica de números

Construcción de un pentágono regular usando regla y compás .

Como se mencionó anteriormente, cualquier ecuación polinómica no constante (en coeficientes complejos) tiene solución en . A fortiori , lo mismo ocurre si la ecuación tiene coeficientes racionales. Las raíces de tales ecuaciones se denominan números algebraicos y son un objeto principal de estudio en la teoría algebraica de números . En comparación con , la clausura algebraica de , que también contiene todos los números algebraicos, tiene la ventaja de ser fácilmente comprensible en términos geométricos. De esta forma, se pueden utilizar métodos algebraicos para estudiar cuestiones geométricas y viceversa. Con métodos algebraicos, aplicando más específicamente la maquinaria de la teoría de campos al campo numérico que contiene raíces de unidad , se puede demostrar que no es posible construir un nonágono regular usando sólo un compás y una regla , un problema puramente geométrico. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Otro ejemplo son los enteros gaussianos ; es decir, números de la forma x + iy , donde x e y son números enteros, que pueden usarse para clasificar sumas de cuadrados .

Teoría analítica de números

La teoría analítica de números estudia los números, a menudo enteros o racionales, aprovechando el hecho de que pueden considerarse números complejos, en los que se pueden utilizar métodos analíticos. Esto se hace codificando información de teoría de números en funciones de valores complejos. Por ejemplo, la función zeta de Riemann ζ( s ) está relacionada con la distribución de números primos .

Integrales impropias

En los campos aplicados, los números complejos se utilizan a menudo para calcular ciertas integrales impropias de valores reales , mediante funciones de valores complejos. Existen varios métodos para hacer esto; ver métodos de integración de contornos .

Ecuaciones dinámicas

En las ecuaciones diferenciales , es común encontrar primero todas las raíces complejas r de la ecuación característica de una ecuación diferencial lineal o un sistema de ecuaciones y luego intentar resolver el sistema en términos de funciones base de la forma f ( t ) = e ^rt . Asimismo, en las ecuaciones en diferencias , se utilizan las raíces complejas r de la ecuación característica del sistema de ecuaciones en diferencias, para intentar resolver el sistema en términos de funciones base de la forma ^f ( t ) = rt .

Álgebra lineal

Dado que es algebraicamente cerrada, cualquier matriz cuadrada compleja no vacía tiene al menos un valor propio (complejo) . En comparación, las matrices reales no siempre tienen valores propios reales; por ejemplo, las matrices de rotación (para rotaciones del plano para ángulos distintos de 0° o 180°) no dejan ninguna dirección fija y, por lo tanto, no tienen ningún valor propio real . La existencia de valores propios (complejos) y la consiguiente existencia de descomposición propia es una herramienta útil para calcular potencias matriciales y exponenciales matriciales . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Los números complejos suelen generalizar conceptos originalmente concebidos en los números reales. Por ejemplo, la transpuesta conjugada generaliza la transpuesta , las matrices hermitianas generalizan matrices simétricas y las matrices unitarias generalizan matrices ortogonales .

En matemáticas aplicadas

Teoría del control

En la teoría del control , los sistemas a menudo se transforman del dominio del tiempo al dominio de frecuencia complejo utilizando la transformada de Laplace . A continuación se analizan los ceros y los polos del sistema en el plano complejo . Las técnicas del lugar de las raíces , el diagrama de Nyquist y el diagrama de Nichols utilizan el plano complejo.

En el método del lugar de las raíces, es importante si los ceros y los polos están en los semiplanos izquierdo o derecho, es decir, si tienen una parte real mayor o menor que cero. Si un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) tiene polos que son

• en el semiplano derecho, será inestable ,
• todo en el semiplano izquierdo, será estable ,
• en el eje imaginario, tendrá estabilidad marginal .

Si un sistema tiene ceros en el semiplano derecho, es un sistema de fase no mínima .

Análisis de señal

Los números complejos se utilizan en el análisis de señales y otros campos para una descripción conveniente de señales que varían periódicamente. Para funciones reales dadas que representan cantidades físicas reales, a menudo en términos de senos y cosenos, se consideran funciones complejas correspondientes cuyas partes reales son las cantidades originales. Para una onda sinusoidal de una frecuencia determinada , el valor absoluto | z | del correspondiente z es la amplitud y el argumento arg z es la fase .

Si se emplea el análisis de Fourier para escribir una señal de valor real dada como una suma de funciones periódicas, estas funciones periódicas a menudo se escriben como funciones de valores complejos de la forma

$${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \{X(t)\}}$$

y

$${\displaystyle X(t)=Ae^{i\omega t}=ae^{i\phi }e^{i\omega t}=ae^{i(\omega t+\phi )}}$$

donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo A codifica la fase y la amplitud como se explicó anteriormente.

Este uso también se extiende al procesamiento de señales digitales y al procesamiento de imágenes digitales , que utilizan versiones digitales del análisis de Fourier (y análisis de ondas ) para transmitir, comprimir , restaurar y procesar señales de audio digitales , imágenes fijas y señales de video .

Otro ejemplo, relevante para las dos bandas laterales de modulación de amplitud de la radio AM, es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos((\omega +\alpha )t)+\cos \left((\omega -\alpha )t\right)&=\operatorname {Re} \left(e^{i(\omega +\alpha )t}+e^{i(\omega -\alpha )t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(\left(e^{i\alpha t}+e^{-i\alpha t}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(2\cos(\alpha t)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \operatorname {Re} \left(e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \cos \left(\omega t\right).\end{aligned}}}$$

En física

Electromagnetismo e ingeniería eléctrica.

En ingeniería eléctrica , la transformada de Fourier se utiliza para analizar voltajes y corrientes variables . El tratamiento de resistencias , condensadores e inductores se puede unificar introduciendo resistencias imaginarias dependientes de la frecuencia para los dos últimos y combinando los tres en un único número complejo llamado impedancia . Este enfoque se llama cálculo fasorial .

En ingeniería eléctrica, la unidad imaginaria se denota por j , para evitar confusión con I , que generalmente se usa para denotar corriente eléctrica , o, más particularmente, i , que generalmente se usa para denotar corriente eléctrica instantánea.

Debido a que el voltaje en un circuito de CA oscila, se puede representar como

$${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{j\omega t}=V_{0}\left(\cos \omega t+j\sin \omega t\right),}$$

Para obtener la cantidad mensurable se toma la parte real:

$${\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} (V)=\operatorname {Re} \left[V_{0}e^{j\omega t}\right]=V_{0}\cos \omega t.}$$

La señal de valor complejo V ( t ) se denomina representación analítica de la señal medible de valor real v ( t ) . ^[53]

Dinámica de fluidos

En dinámica de fluidos , se utilizan funciones complejas para describir el flujo potencial en dos dimensiones .

Mecánica cuántica

El campo de números complejos es intrínseco a las formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica , donde los espacios complejos de Hilbert proporcionan el contexto para una de esas formulaciones que es conveniente y quizás la más estándar. Las fórmulas fundamentales originales de la mecánica cuántica (la ecuación de Schrödinger y la mecánica matricial de Heisenberg ) utilizan números complejos.

Relatividad

En la relatividad especial y general , algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo se vuelven más simples si se toma el componente tiempo del continuo espacio-tiempo como imaginario. (Este enfoque ya no es estándar en la relatividad clásica, pero se utiliza de manera esencial en la teoría cuántica de campos ). Los números complejos son esenciales para los espinores , que son una generalización de los tensores utilizados en la relatividad.

Caracterizaciones, generalizaciones y nociones relacionadas.

Caracterización algebraica

El campo tiene las siguientes tres propiedades: ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Primero, tiene la característica 0. Esto significa que 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 para cualquier número de sumandos (todos los cuales son iguales a uno).
• En segundo lugar, su grado de trascendencia sobre el campo principal de es la cardinalidad del continuo . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$
• En tercer lugar, es algebraicamente cerrado (ver arriba).

Se puede demostrar que cualquier campo que tenga estas propiedades es isomorfo (como campo) a. Por ejemplo, la clausura algebraica del campo del número p -ádico también satisface estas tres propiedades, por lo que estos dos campos son isomorfos (como campos, pero no como campos topológicos). ^[54] Además, es isomorfo al campo de series complejas de Puiseux . Sin embargo, especificar un isomorfismo requiere el axioma de elección . Otra consecuencia de esta caracterización algebraica es que contiene muchos subcampos propios que son isomorfos a . ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Caracterización como campo topológico.

La caracterización anterior de describe sólo los aspectos algebraicos de Es decir, no se tratan las propiedades de cercanía y continuidad , que son importantes en áreas como el análisis y la topología . La siguiente descripción de un campo topológico (es decir, un campo que está equipado con una topología que permite la noción de convergencia) sí tiene en cuenta las propiedades topológicas. contiene un subconjunto P (es decir, el conjunto de números reales positivos) de elementos distintos de cero que satisfacen las tres condiciones siguientes: ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• P es cerrado bajo suma, multiplicación y toma de inversas.
• Si x e y son elementos distintos de P , entonces x − y o y − x están en P.
• Si S es cualquier subconjunto no vacío de P , entonces S + P = x + P para algún x en ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Además, tiene un automorfismo involutivo no trivial x ↦ x * (es decir, la conjugación compleja), tal que x x * está en P para cualquier x distinto de cero en ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Cualquier campo F con estas propiedades puede dotarse de una topología tomando los conjuntos B ( x ,  p ) = {  y | p − ( y − x )( y − x )* ∈ P  }  como base , donde x se extiende sobre el campo y p se extiende sobre P. Con esta topología F es isomorfo como campo topológico a ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Los únicos campos topológicos localmente compactos conectados son y Esto da otra caracterización de como campo topológico, porque se puede distinguir porque los números complejos distintos de cero están conectados , mientras que los números reales distintos de cero no lo son. ^[55] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Otros sistemas numéricos

El proceso de ampliación del campo de reales es un ejemplo de la construcción de Cayley-Dickson . Aplicando esta construcción iterativamente se obtienen los cuaterniones , los octoniones y los sedeniones . ^[56] Esta construcción resulta disminuir las propiedades estructurales de los sistemas numéricos involucrados. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

A diferencia de los reales, no es un campo ordenado , es decir, no es posible definir una relación z ₁ < z ₂ que sea compatible con la suma y la multiplicación. De hecho, en cualquier campo ordenado, el cuadrado de cualquier elemento es necesariamente positivo, por lo que i ² = −1 excluye la existencia de un ordenamiento en ^[57] Pasar de a los cuaterniones pierde conmutatividad, mientras que las occiones (además de no ser conmutativas) ) no son asociativos. Los números reales, complejos, cuaterniones y octoniones son álgebras de división normadas sobre . Según el teorema de Hurwitz , son los únicos; los sedeniones , el siguiente paso en la construcción de Cayley-Dickson, no tienen esta estructura. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La construcción de Cayley-Dickson está estrechamente relacionada con la representación regular del pensamiento como un -álgebra (un espacio vectorial con una multiplicación), con respecto a la base (1,  i ) . Esto significa lo siguiente: el mapa lineal ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}}$$

wde 2 × 2(1,  i )

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\operatorname {Re} (w)\end{pmatrix}},}$$

representación lineal ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0}$$

J ² = − I

$${\displaystyle \{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}}$$

estructura compleja lineal ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Los números hipercomplejos también se generalizan y, por ejemplo, esta noción contiene los números complejos divididos , que son elementos del anillo (a diferencia de los números complejos). En este anillo, la ecuación a ² = 1 tiene cuatro soluciones. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {O} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$

El campo es la compleción del campo de los números racionales , con respecto a la métrica habitual de valor absoluto . Otras opciones de métricas conducen a los campos de p -números ádicos (para cualquier número primo p ), que son, por tanto, análogos a . No hay otras formas no triviales de completar que y según el teorema de Ostrowski . Las clausuras algebraicas de todavía llevan una norma, pero (a diferencia de ) no están completas con respecto a ella. La terminación de resulta ser algebraicamente cerrada. Por analogía, el campo se llama p -números complejos ádicos. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$

Los campos y sus extensiones de campos finitos, incluidos, se denominan campos locales . ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Ver también

• Movimiento circular usando números complejos.
• Continuación analítica
• Sistema de base compleja
• Geometría compleja
• Geometria de numeros
• Número dual complejo
• Entero de Eisenstein
• Álgebra geométrica (que incluye el plano complejo como el subespacio de espinor bidimensional ) ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}^{+}}$
• Número complejo unitario

Notas

1. Solomentsev 2001: "El plano cuyos puntos se identifican con los elementos de se llama plano complejo... La interpretación geométrica completa de los números complejos y las operaciones sobre ellos apareció por primera vez en el trabajo de C. Wessel (1799). La representación geométrica de números complejos, a veces llamado 'diagrama de Argand', entró en uso después de la publicación en 1806 y 1814 de artículos de JR Argand, quien redescubrió, en gran medida de forma independiente, los hallazgos de Wessel". ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
2. En la literatura, la unidad imaginaria suele preceder al signo radical, incluso cuando está precedida por un número entero. ^[23]
3. Se ha demostrado que los números imaginarios aparecen necesariamente en la fórmula cúbica cuando la ecuación tiene tres raíces reales diferentes por Pierre Laurent Wantzel en 1843, Vincenzo Mollame en 1890, Otto Hölder en 1891 y Adolf Kneser en 1892. Paolo Ruffini también proporcionó una prueba incompleta en 1799.——S. Confalonieri (2015) ^[25]
4. Argand 1814, pag. 204 define el módulo de un número complejo pero no lo nombra:
   "Dans ce qui suit, les accens, indifféremment placecés, seront emplés pour indicar la grandeur absolue des quantités qu'ils afectont; ainsi, si , et étant réels, on devra entender que ou ." ${\displaystyle a=m+n{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{'}}$ ${\displaystyle a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$
   [En lo que sigue, los acentos, dondequiera que se coloquen, se utilizarán para indicar el tamaño absoluto de las cantidades a las que están asignados; así si , y siendo real, se debe entender que o .] Argand 1814, p. 208 define y nombra el módulo y el factor de dirección de un número complejo: "...  pourrait être appelé le module de , et représenterait la grandeur absolue de la ligne , tandis que l'autre facteur, dont le module est l'unité, en représenterait la dirección." [...  podría llamarse el módulo de y representaría el tamaño absoluto de la línea (Argand representó números complejos como vectores), mientras que el otro factor [es decir, ], cuyo módulo es la unidad [1], representaría su dirección. ] ${\displaystyle a=m+n{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{'}}$ ${\displaystyle a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$
   ${\displaystyle a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$
   ${\displaystyle a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}\,,}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\tfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\sqrt {-1}}}$
5. Gauss escribe: ^[45] "Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior in quaestionibus hactenus pertractatis inter solos numeros integros reales versatur, ita theoremata circa residua biquadratica tunc tantum in summa simplicitate ac genuina venustate resplendent, quando campus arithmeticae ad quantitates imaginarias extenditur, ita ut absque restricte ipsius obiectum constituant numeri formae a + bi , denotantibus i , pro more quantitatem imaginariam , atque ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ a, b indefinite omnes numeros reales integros inter - et + . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ [Por supuesto, así como la aritmética superior se ha investigado hasta ahora en problemas sólo entre números enteros reales, así también los teoremas relativos a los residuos bicuadráticos brillan con la mayor sencillez y genuina belleza, cuando el campo de la aritmética se extiende a cantidades imaginarias , de modo que, sin restricciones sobre él, los números de la forma a + bi - i que denotan por convención la cantidad imaginaria , y las variables a, b [que denotan] todos los números enteros reales entre y - constituyen un objeto.] ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$
6. Gauss: ^[46] "Tales numeros vocabimus numeros integros complexos, ita quidem, ut reales complexis non opponantur, sed tamquam species sub his contineri censeantur". [A tales números [es decir, números de la forma a + bi ] los llamaremos "números enteros complejos", de modo que los [números] reales no se consideren como lo opuesto a los [números] complejos sino [como] un tipo [de número que ] está, por así decirlo, contenido dentro de ellos.]
7. Gauss: ^[47] "Productum numeri complexi per numerum ipsi conjunctum utriusque normam vocamus. Pro norma itaque numeri realis, ipsius quadratum habendum est". [Llamamos "norma" al producto de un número complejo [por ejemplo, a + ib ] por su conjugado [ a - ib ]. Por tanto, el cuadrado de un número real debe considerarse como su norma.]
8. Sin embargo, para otra función inversa de la función exponencial compleja (y no el valor principal definido anteriormente), el corte de rama podría tomarse en cualquier otro rayo a través del origen.

Referencias

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2. "Los números complejos, tanto como los reales, y quizás incluso más, encuentran una unidad con la naturaleza que es verdaderamente notable. Es como si la naturaleza misma estuviera tan impresionada por el alcance y la consistencia del sistema de números complejos como nosotros mismos. y ha confiado a estos números las operaciones precisas de su mundo en sus escalas más pequeñas", Penrose 2005, págs. 72-73.
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