La identidad de Euler

Ecuación matemática que vincula e, i y pi

En matemáticas , la identidad de Euler ^{[nota 1]} (también conocida como ecuación de Euler ) es la igualdad

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$$

${\displaystyle e}$es el número de Euler , la base de los logaritmos naturales ,

${\displaystyle i}$es la unidad imaginaria , que por definición satisface , y ${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle \pi }$es pi , la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro .

La identidad de Euler lleva el nombre del matemático suizo Leonhard Euler . Es un caso especial de la fórmula de Euler cuando se evalúa para . La identidad de Euler se considera un ejemplo de belleza matemática, ya que muestra una conexión profunda entre los números más fundamentales de las matemáticas. Además, se utiliza directamente en una prueba ^{[3] [4]} de que π es trascendental , lo que implica la imposibilidad de cuadrar el círculo . ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ ${\displaystyle x=\pi }$

Belleza matemática

La identidad de Euler se cita a menudo como un ejemplo de profunda belleza matemática . ^{[5] Tres de las operaciones} aritméticas básicas ocurren exactamente una vez cada una: suma , multiplicación y exponenciación . La identidad también vincula cinco constantes matemáticas fundamentales : ^[6]

• El número 0 , la identidad aditiva
• El número 1 , la identidad multiplicativa
• El número π ( π = 3,1415...), la constante del círculo fundamental
• El número e ( e = 2,718...), también conocido como número de Euler, que aparece ampliamente en el análisis matemático.
• El número i , la unidad imaginaria tal que ${\displaystyle i^{2}=-1}$

La ecuación a menudo se presenta en forma de una expresión igual a cero, lo cual es una práctica común en varias áreas de las matemáticas.

El profesor de matemáticas de la Universidad de Stanford, Keith Devlin, ha dicho: "como un soneto de Shakespeare que captura la esencia misma del amor, o una pintura que resalta la belleza de la forma humana que es mucho más que superficial, la ecuación de Euler llega hasta lo más profundo de la piel". profundidades de la existencia". ^[7] Y Paul Nahin , profesor emérito de la Universidad de New Hampshire , que ha escrito un libro dedicado a la fórmula de Euler y sus aplicaciones en el análisis de Fourier , describe la identidad de Euler como "de una belleza exquisita". ^[8]

La escritora de matemáticas Constance Reid ha opinado que la identidad de Euler es "la fórmula más famosa de todas las matemáticas". ^[9] Y Benjamin Peirce , filósofo , matemático y profesor estadounidense del siglo XIX en la Universidad de Harvard , después de probar la identidad de Euler durante una conferencia, afirmó que la identidad "es absolutamente paradójica; no podemos entenderla y no sabemos lo que significa, pero lo hemos demostrado y, por lo tanto, sabemos que debe ser la verdad". ^[10]

Una encuesta de lectores realizada por The Mathematical Intelligencer en 1990 nombró la identidad de Euler como el " teorema más bello de las matemáticas". ^[11] En otra encuesta de lectores realizada por Physics World en 2004, la identidad de Euler empató con las ecuaciones de Maxwell (del electromagnetismo ) como la "mejor ecuación jamás creada". ^[12]

Se han publicado al menos tres libros de matemáticas populares sobre la identidad de Euler:

• La fabulosa fórmula del Dr. Euler: cura muchos males matemáticos , por Paul Nahin (2011) ^[13]
• Una ecuación más elegante: la fórmula de Euler y la belleza de las matemáticas , por David Stipp (2017) ^[14]
• La ecuación pionera de Euler: El teorema más bello de las matemáticas , de Robin Wilson (2018). ^[15]

Explicaciones

Exponentes imaginarios

En esta animación, N toma varios valores crecientes de 1 a 100. El cálculo de (1 +yo/norte) ^N se muestra como el efecto combinado de N multiplicaciones repetidas en el plano complejo , siendo el punto final el valor real de (1 +yo/norte) ^norte . Se puede observar que a medida que N crece (1 +yo/norte) ^N se acerca a un límite de −1.

Fundamentalmente, la identidad de Euler afirma que es igual a −1. La expresión es un caso especial de la expresión , donde z es cualquier número complejo. En general, se define para z compleja extendiendo una de las definiciones de la función exponencial de exponentes reales a exponentes complejos. Por ejemplo, una definición común es: ${\displaystyle e^{i\pi }}$ ${\displaystyle e^{i\pi }}$ ${\displaystyle e^{z}}$ ${\displaystyle e^{z}}$

${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$

Por lo tanto, la identidad de Euler establece que el límite, cuando n tiende a infinito, de es igual a −1. Este límite se ilustra en la animación de la derecha. ${\displaystyle (1+i\pi /n)^{n}}$

Fórmula de Euler para un ángulo general.

La identidad de Euler es un caso especial de la fórmula de Euler , que establece que para cualquier número real x ,

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

donde las entradas de las funciones trigonométricas seno y coseno se dan en radianes .

En particular, cuando x = π ,

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .}$

Desde

${\displaystyle \cos \pi =-1}$

y

${\displaystyle \sin \pi =0,}$

resulta que

${\displaystyle e^{i\pi }=-1+0i,}$

lo que produce la identidad de Euler:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

Interpretación geométrica

Cualquier número complejo se puede representar mediante el punto del plano complejo . Este punto también se puede representar en coordenadas polares como , donde r es el valor absoluto de z (distancia desde el origen) y es el argumento de z (ángulo en sentido antihorario desde el eje x positivo ). Según las definiciones de seno y coseno, este punto tiene coordenadas cartesianas de , lo que implica que . Según la fórmula de Euler, esto equivale a decir . ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta )}$ ${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$

La identidad de Euler dice eso . Dado que es para r = 1 y , esto puede interpretarse como un hecho sobre el número −1 en el plano complejo: su distancia desde el origen es 1 y su ángulo desde el eje x positivo es radianes. ${\displaystyle -1=e^{i\pi }}$ ${\displaystyle e^{i\pi }}$ ${\displaystyle re^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Además, cuando cualquier número complejo z se multiplica por , tiene el efecto de rotar z en sentido antihorario un ángulo de en el plano complejo. Dado que la multiplicación por −1 refleja un punto a través del origen, la identidad de Euler puede interpretarse como que rotar cualquier punto en radianes alrededor del origen tiene el mismo efecto que reflejar el punto a través del origen. De manera similar, igualar a produce la ecuación relacionada que puede interpretarse como que al girar cualquier punto una vuelta alrededor del origen lo devuelve a su posición original. ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle e^{2\pi i}=1,}$

Generalizaciones

La identidad de Euler es también un caso especial de la identidad más general de que las n- ésimas raíces de la unidad , para n > 1 , suman 0:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0.}$

La identidad de Euler es el caso donde n = 2 .

Una identidad similar también se aplica al cuaternión exponencial : sean { i , j , k } los cuaterniones base ; entonces,

${\displaystyle e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.}$

De manera más general, sea q un cuaternión con parte real cero y norma igual a 1 ; es decir, con Entonces uno tiene ${\displaystyle q=ai+bj+ck,}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.}$

${\displaystyle e^{q\pi }+1=0.}$

La misma fórmula se aplica a los octoniones , con parte real cero y norma igual a 1 . Estas fórmulas son una generalización directa de la identidad de Euler, ya que y son los únicos números complejos con parte real cero y norma (valor absoluto) igual a 1 . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -i}$

Historia

Si bien la identidad de Euler es un resultado directo de la fórmula de Euler , publicada en su monumental obra de análisis matemático en 1748, Introductio in analysin infinitorum , ^[16] es cuestionable si el concepto particular de vincular cinco constantes fundamentales en una forma compacta puede atribuirse a El propio Euler, como quizá nunca lo haya expresado. ^[17]

Robin Wilson afirma lo siguiente. ^[18]

Hemos visto cómo [la identidad de Euler] puede deducirse fácilmente de los resultados de Johann Bernoulli y Roger Cotes , pero ninguno de ellos parece haberlo hecho. Ni siquiera Euler parece haberlo escrito explícitamente – y ciertamente no aparece en ninguna de sus publicaciones – aunque seguramente debe haberse dado cuenta de que se sigue inmediatamente de su identidad [es decir, la fórmula de Euler ], e ^ix = cos x + peco x .​ Además, parece desconocerse quién fue el primero en declarar explícitamente el resultado...

Ver también

• Portal de matemáticas

• La fórmula de De Moivre
• Funcion exponencial
• constante de gelfond

Notas

1. El término "identidad de Euler" (o "identidad de Euler") también se utiliza en otros lugares para referirse a otros conceptos, incluida la fórmula general relacionada e ^ix = cos x + i sin x , ^[1] y la fórmula del producto de Euler . ^[2] Véase también Lista de cosas que llevan el nombre de Leonhard Euler .

Referencias

1. Dunham, 1999, pág. xiv.
2. Stepanov, SA (2001) [1994], "Identidad de Euler", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
3. Milla, Lorenz (2020), La trascendencia de π y la cuadratura del círculo , arXiv : 2003.14035
4. Hines, Robert. "e es trascendental" (PDF) . Universidad de Colorado . Archivado (PDF) desde el original el 23 de junio de 2021.
5. Gallagher, James (13 de febrero de 2014). "Matemáticas: por qué el cerebro ve las matemáticas como belleza". Noticias de la BBC en línea . Consultado el 26 de diciembre de 2017 .
6. Paulos, 1992, pág. 117.
7. Nahin, 2006, pág. 1.
8. Nahin, 2006, pág. xxxii.
9. Reid, capítulo e .
10. Maor, pag. 160, y Kasner y Newman, pág. 103–104.
11. Pozos, 1990.
12. Pliegue, 2004.
13. Nahin, Paul (2011). La fabulosa fórmula del Dr. Euler: cura muchos males matemáticos . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-11822-2.
14. Stipp, David (2017). La ecuación más elegante: la fórmula de Euler y la belleza de las matemáticas (Primera ed.). Libros básicos. ISBN 978-0-465-09377-9.
15. Wilson, Robin (2018). La ecuación pionera de Euler: el teorema más bello de las matemáticas . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-879493-6.
16. Conway y Guy, pag. 254–255.
17. Sandifer, pag. 4.
18. Wilson, pág. 151-152.

Fuentes

• Conway, John H. y Guy, Richard K. (1996), El libro de los números , Springer ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crease, Robert P. (10 de mayo de 2004), "Las ecuaciones más grandes de la historia", Physics World [se requiere registro]
• Dunham, William (1999), Euler: El maestro de todos nosotros , Asociación Matemática de América ISBN 978-0-88385-328-3 
• Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri ópera omnia. 1, Ópera matemática. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus , Leipzig: BG Teubneri
• Kasner, E. y Newman, J. (1940), Matemáticas e imaginación , Simon & Schuster
• Maor, Eli (1998), e : La historia de un número , Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7 
• Nahin, Paul J. (2006), La fabulosa fórmula del Dr. Euler: cura muchos males matemáticos , Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2 
• Paulos, John Allen (1992), Más allá de la aritmética: un diccionario poco común de matemáticas , Penguin Books ISBN 0-14-014574-5 
• Reid, Constance (varias ediciones), From Zero to Infinity , Asociación Matemática de América
• Sandifer, C. Edward (2007), Grandes éxitos de Euler , Asociación Matemática de América ISBN 978-0-88385-563-8 
• Stipp, David (2017), Una ecuación más elegante: la fórmula de Euler y la belleza de las matemáticas , Libros Básicos
• Pozos, David (1990). "¿Son éstas las más bellas?". El inteligente matemático . 12 (3): 37–41. doi :10.1007/BF03024015. S2CID  121503263.
• Wilson, Robin (2018), Ecuación pionera de Euler: el teorema más hermoso de las matemáticas , Oxford University Press , ISBN 978-0-192-51406-6
• Zeki, S .; Romaya, JP; Benincasa, DMT; Atiyah, MF (2014), "La experiencia de la belleza matemática y sus correlatos neuronales", Frontiers in Human Neuroscience , 8 : 68, doi : 10.3389/fnhum.2014.00068 , PMC  3923150 , PMID  24592230

enlaces externos

• Comprensión intuitiva de la fórmula de Euler.