En música, el serialismo es un método de composición que utiliza series de tonos, ritmos, dinámicas, timbres u otros elementos musicales . El serialismo comenzó principalmente con la técnica dodecafónica de Arnold Schoenberg , aunque algunos de sus contemporáneos también estaban trabajando para establecer el serialismo como una forma de pensamiento postonal . La técnica dodecafónica ordena las doce notas de la escala cromática , formando una fila o serie y proporcionando una base unificadora para la melodía , la armonía , las progresiones estructurales y las variaciones de una composición . Otros tipos de serialismo también trabajan con conjuntos , colecciones de objetos, pero no necesariamente con series de orden fijo, y extienden la técnica a otras dimensiones musicales (a menudo llamadas " parámetros "), como la duración , la dinámica y el timbre .
La idea del serialismo también se aplica de diversas maneras en las artes visuales , el diseño y la arquitectura , [2] [3] y el concepto musical también se ha adaptado en la literatura. [4] [5] [6]
El serialismo integral o serialismo total es el uso de series para aspectos como la duración, la dinámica y el registro, así como el tono. [7] Otros términos, utilizados especialmente en Europa para distinguir la música serial posterior a la Segunda Guerra Mundial de la música dodecafónica y sus extensiones estadounidenses, son serialismo general y serialismo múltiple . [8]
Compositores como Arnold Schoenberg , Anton Webern , Alban Berg , Karlheinz Stockhausen , Pierre Boulez , Luigi Nono , Milton Babbitt , Elisabeth Lutyens , Henri Pousseur , Charles Wuorinen y Jean Barraqué utilizaron técnicas en serie de un tipo u otro en la mayor parte de su música. Otros compositores como Tadeusz Baird , Béla Bartók , Luciano Berio , Bruno Maderna , Franco Donatoni , Benjamin Britten , John Cage , Aaron Copland , Ernst Krenek , György Ligeti , Olivier Messiaen , Arvo Pärt , Walter Piston , Ned Rorem , Alfred Schnittke , Ruth Crawford Seeger , Dmitri Shostakóvich , e Igor Stravinsky utilizaron el serialismo sólo en algunas de sus composiciones o sólo en algunas secciones de piezas, al igual que algunos compositores de jazz , como Bill Evans , Yusef Lateef , Bill Smith , e incluso músicos de rock como Frank Zappa .
El serialismo es un método, [9] "técnica altamente especializada", [10] o "manera" [11] de composición . También puede considerarse "una filosofía de vida ( Weltanschauung ), una manera de relacionar la mente humana con el mundo y crear una completitud al tratar un tema". [12]
El serialismo no es en sí mismo un sistema de composición ni un estilo. El serialismo tonal tampoco es necesariamente incompatible con la tonalidad, aunque se utiliza con mayor frecuencia como medio para componer música atonal . [9]
"Música serial" es un término problemático porque se usa de manera diferente en diferentes idiomas y especialmente porque, poco después de su acuñación en francés, sufrió alteraciones esenciales durante su transmisión al alemán. [13] El uso del término en relación con la música fue introducido por primera vez en francés por René Leibowitz en 1947, [14] e inmediatamente después por Humphrey Searle en inglés, como una traducción alternativa del alemán Zwölftontechnik ( técnica de doce tonos ) o Reihenmusik (música en fila); fue introducido independientemente por Stockhausen y Herbert Eimert en alemán en 1955 como serielle Musik , con un significado diferente, [13] pero también traducido como "música serial".
El serialismo del primer tipo se define más específicamente como un principio estructural según el cual una serie recurrente de elementos ordenados (normalmente un conjunto —o fila— de tonos o clases de tonos ) se utiliza en orden o se manipula de formas particulares para dar unidad a una pieza. "Serial" se utiliza a menudo de forma amplia para describir toda la música escrita en lo que Schoenberg llamó "El método de composición con doce notas relacionadas sólo entre sí", [15] [16] o dodecafonía , y los métodos que evolucionaron a partir de sus métodos. A veces se utiliza de forma más específica para aplicarlo sólo a la música en la que al menos un elemento distinto del tono se trata como una fila o serie. Estos métodos se denominan a menudo serialismo postweberniano . Otros términos utilizados para hacer la distinción son serialismo de doce notas para el primero y serialismo integral para el segundo. [17]
Una fila puede ser ensamblada de manera precompositiva (quizás para incorporar propiedades interválicas o simétricas particulares) o derivada de una idea temática o motívica inventada espontáneamente. La estructura de la fila no define en sí misma la estructura de una composición, lo que requiere el desarrollo de una estrategia integral. La elección de la estrategia a menudo depende de las relaciones contenidas en una clase de fila, y las filas pueden construirse con la mira puesta en producir las relaciones necesarias para formar las estrategias deseadas. [18]
El conjunto básico puede tener restricciones adicionales, como el requisito de utilizar cada intervalo solo una vez. [ cita requerida ]
"La serie no es un orden de sucesión, sino una jerarquía, que puede ser independiente de este orden de sucesión". [19] [20]
Las reglas de análisis derivadas de la teoría dodecafónica no se aplican al serialismo del segundo tipo: "en particular las ideas, una, de que la serie es una secuencia interválica, y dos, de que las reglas son consistentes". [21] Por ejemplo, las primeras obras seriales de Stockhausen, como Kreuzspiel y Formel , "avanzan en secciones unitarias dentro de las cuales un conjunto predeterminado de tonos se reconfigura repetidamente... El modelo del compositor para el proceso serial distributivo corresponde a un desarrollo del Zwölftonspiel de Josef Matthias Hauer". [22] El Nummer 4 de Goeyvaerts
proporciona una ilustración clásica de la función distributiva de la serialidad: cuatro veces un número igual de elementos de igual duración dentro de un tiempo global igual se distribuye de la manera más equitativa, desigualmente entre sí, sobre el espacio temporal: desde la mayor coincidencia posible hasta la mayor dispersión posible. Esto proporciona una demostración ejemplar de ese principio lógico de serialidad: cada situación debe ocurrir una vez y sólo una vez . [23]
Henri Pousseur , tras trabajar inicialmente con la técnica dodecafónica en obras como Sept Versets (1950) y Trois Chants sacrés (1951),
se alejó de este vínculo en las Sinfonías para quince solistas [1954-55] y en el Quinteto [ à la mémoire d'Anton Webern , 1955], y a partir de la época de Impromptu [1955] encuentra dimensiones de aplicación y funciones completamente nuevas.
La serie dodecafónica pierde su función imperativa como autoridad que prohíbe, regula y modela; su elaboración se abandona a través de su propia presencia constante-frecuente: las 66 relaciones interválicas entre las 12 notas están virtualmente presentes. Los intervalos prohibidos, como la octava, y las relaciones sucesionales prohibidas, como las repeticiones prematuras de notas, aparecen con frecuencia, aunque oscurecidas en la densa contextura. El número doce ya no desempeña ningún papel rector ni definidor; las constelaciones de notas ya no se ajustan a la limitación determinada por su formación. La serie dodecafónica pierde su significado como modelo concreto de forma (o una colección bien definida de formas concretas). Y el total cromático permanece activo sólo, y provisionalmente, como referencia general. [24]
En la década de 1960, Pousseur llevó esto un paso más allá, aplicando un conjunto consistente de transformaciones predefinidas a música preexistente. Un ejemplo es la gran obra orquestal Couleurs croisées ( Colores cruzados , 1967), que realiza estas transformaciones en la canción de protesta " We Shall Overcome ", creando una sucesión de diferentes situaciones que a veces son cromáticas y disonantes y a veces diatónicas y consonantes. [25] En su ópera Votre Faust ( Tu Fausto , 1960-68), Pousseur utilizó muchas citas, ellas mismas organizadas en una "escala" para el tratamiento serial. Este serialismo "generalizado" (en el sentido más fuerte posible) tiene como objetivo no excluir ningún fenómeno musical, sin importar cuán heterogéneo sea, para "controlar los efectos del determinismo tonal, dialectizar sus funciones causales y superar cualquier prohibición académica, especialmente la fijación de una antigramática destinada a reemplazar a alguna anterior". [26]
Casi al mismo tiempo, Stockhausen comenzó a utilizar métodos seriales para integrar una variedad de fuentes musicales de ejemplos grabados de música folclórica y tradicional de todo el mundo en su composición electrónica Telemusik (1966), y de himnos nacionales en Hymnen (1966-67). Amplió esta "polifonía de estilos" serial en una serie de obras de "plan de proceso" a fines de la década de 1960, así como más tarde en partes de Licht , el ciclo de siete óperas que compuso entre 1977 y 2003. [27]
A finales del siglo XIX y principios del XX, los compositores comenzaron a luchar contra el sistema ordenado de acordes e intervalos conocido como " tonalidad funcional ". Compositores como Debussy y Strauss encontraron formas de ampliar los límites del sistema tonal para dar cabida a sus ideas. Tras un breve período de atonalidad libre, Schoenberg y otros comenzaron a explorar las filas de tonos, en las que se utiliza un ordenamiento de los 12 tonos de la escala cromática de temperamento igual como material de origen de una composición. Este conjunto ordenado, a menudo denominado fila, permitió nuevas formas de expresión y (a diferencia de la atonalidad libre) la expansión de los principios organizativos estructurales subyacentes sin recurrir a la armonía de la práctica común. [28]
El serialismo dodecafónico apareció por primera vez en la década de 1920, con antecedentes anteriores a esa década (hay ejemplos de pasajes de 12 notas en la Sinfonía Fausto de Liszt [29] y en Bach. [30] ) Schoenberg fue el compositor que participó más decisivamente en la concepción y demostración de los fundamentos del serialismo dodecafónico, aunque está claro que no es el trabajo de un solo músico. [11] En las propias palabras de Schoenberg, su objetivo de l'invention contrariée era mostrar la restricción en la composición. [31] En consecuencia, algunos críticos han llegado a la conclusión de que el serialismo actuó como un método predeterminado de composición para evitar la subjetividad y el ego de un compositor en favor de una medida y proporción calculadas. [32]
Junto con la música indeterminada de John Cage (música compuesta con el uso de operaciones aleatorias) y el aleatorismo de Werner Meyer-Eppler , el serialismo fue enormemente influyente en la música de posguerra. Teóricos como Milton Babbitt y George Perle codificaron los sistemas seriales, lo que llevó a un modo de composición llamado "serialismo total", en el que cada aspecto de una pieza, no solo el tono, se construye serialmente. [33] El texto de Perle de 1962 Composición serial y atonalidad se convirtió en una obra estándar sobre los orígenes de la composición serial en la música de Schoenberg, Berg y Webern. [ cita requerida ]
La serialización del ritmo , la dinámica y otros elementos de la música fue fomentada en parte por el trabajo de Olivier Messiaen y sus estudiantes de análisis, incluidos Karel Goeyvaerts y Boulez, en el París de la posguerra . Messiaen utilizó por primera vez una escala rítmica cromática en su Vingt Regards sur l'enfant-Jésus (1944), pero no empleó una serie rítmica hasta 1946-48, en el séptimo movimiento, "Turangalîla II", de su Turangalîla-Symphonie . [34] Los primeros ejemplos de este serialismo integral son las Tres composiciones para piano (1947), Composición para cuatro instrumentos (1948) y Composición para doce instrumentos (1948) de Babbitt. [35] [36] Trabajó independientemente de los europeos. [ cita requerida ]
Varios de los compositores asociados con Darmstadt, en particular Stockhausen, Goeyvaerts y Pousseur, desarrollaron una forma de serialismo que inicialmente rechazó las filas recurrentes características de la técnica dodecafónica para erradicar cualquier rastro persistente de tematismo . [38] En lugar de una fila recurrente y referencial, "cada componente musical está sujeto al control de una serie de proporciones numéricas". [39] En Europa, cierta música serial y no serial de principios de la década de 1950 enfatizaba la determinación de todos los parámetros para cada nota de forma independiente, lo que a menudo resultaba en "puntos" de sonido aislados y muy espaciados, un efecto llamado primero en alemán " punktuelle Musik" ("puntiforme" o "música puntual"), luego en francés "musique ponctuelle", pero rápidamente confundido con " puntillístico " (alemán "pointillistische", francés "pointilliste"), el término asociado con los puntos densamente empaquetados en las pinturas de Seurat , aunque el concepto no estaba relacionado. [40]
Las piezas estaban estructuradas por conjuntos cerrados de proporciones, un método estrechamente relacionado con ciertas obras de los movimientos de Stijl y Bauhaus en diseño y arquitectura que algunos escritores llamaron " arte serial ", [41] [42] [43] [44] específicamente las pinturas de Piet Mondrian , Theo van Doesburg , Bart van Leck, Georg van Tongerloo, Richard Paul Lohse y Burgoyne Diller , quienes habían buscado "evitar la repetición y la simetría en todos los niveles estructurales y trabajar con un número limitado de elementos". [45]
Stockhausen describió la síntesis final de esta manera:
Así pues, el pensamiento serial es algo que ha llegado a nuestra conciencia y que estará ahí para siempre: es relatividad y nada más. Simplemente dice: utilizad todos los componentes de cualquier número dado de elementos, no dejéis de lado elementos individuales, utilizadlos todos con la misma importancia e intentad encontrar una escala equidistante de modo que ciertos pasos no sean mayores que otros. Es una actitud espiritual y democrática hacia el mundo. Las estrellas están organizadas de forma serial. Siempre que miréis un determinado signo del zodíaco encontraréis un número limitado de elementos con diferentes intervalos. Si estudiáramos más a fondo las distancias y proporciones de las estrellas, probablemente encontraríamos ciertas relaciones de múltiplos basadas en alguna escala logarítmica o cualquiera que sea la escala. [46]
La adopción por parte de Stravinsky de técnicas seriales dodecafónicas muestra el nivel de influencia que tuvo el serialismo después de la Segunda Guerra Mundial. Anteriormente Stravinsky había utilizado series de notas sin implicaciones rítmicas o armónicas. [47] Debido a que muchas de las técnicas básicas de la composición serial tienen análogos en el contrapunto tradicional, los usos de inversión , retrógrado e inversión retrógrada de antes de la guerra no indican necesariamente que Stravinsky estuviera adoptando técnicas schoenbergianas. Pero después de conocer a Robert Craft y otros compositores más jóvenes, Stravinsky comenzó a estudiar la música de Schoenberg, así como la de Webern y compositores posteriores, y a adaptar sus técnicas en su obra, utilizando, por ejemplo, técnicas seriales aplicadas a menos de doce notas. Durante la década de 1950 utilizó procedimientos relacionados con Messiaen, Webern y Berg. Si bien es inexacto llamarlos a todos "serial" en sentido estricto, todas sus obras principales del período tienen claros elementos serialistas. [ cita requerida ]
Durante este período, el concepto de serialismo influyó no sólo en las nuevas composiciones, sino también en el análisis académico de los maestros clásicos. Además de sus herramientas profesionales de la forma y la tonalidad de la sonata , los académicos comenzaron a analizar obras anteriores a la luz de las técnicas seriales; por ejemplo, encontraron el uso de la técnica de la fila en compositores anteriores que se remontan a Mozart y Beethoven. [48] [49] En particular, el estallido orquestal que introduce la sección de desarrollo a mitad del último movimiento de la Sinfonía n.º 40 de Mozart es una fila de tonos que Mozart puntúa de una manera muy moderna y violenta que Michael Steinberg llamó "octavas rudas y silencios congelados". [50]
Ruth Crawford Seeger extendió el control serial a parámetros distintos del tono y a la planificación formal ya en 1930-33 [51] de una manera que va más allá de Webern pero que era menos exhaustiva que las prácticas posteriores de Babbitt y los compositores europeos de posguerra. [ cita requerida ] La canción de Charles Ives de 1906 "The Cage" comienza con acordes de piano presentados en duraciones decrecientes de manera incremental, un ejemplo temprano de una serie de duración abiertamente aritmética independiente del metro (como la fila de seis elementos de Nono que se muestra arriba), y en ese sentido un precursor del estilo de serialismo integral de Messiaen. [ 52 ] La idea de organizar el tono y el ritmo de acuerdo con principios similares o relacionados también es sugerida tanto por New Musical Resources (1930) de Henry Cowell como por el trabajo de Joseph Schillinger . [ cita requerida ]
La primera vez que escuché a Webern en un concierto… [l]a impresión que me causó fue la misma que experimentaría unos años más tarde cuando… vi por primera vez un lienzo de Mondriaan …: esas cosas, de las que había adquirido un conocimiento extremadamente íntimo, me parecieron crudas e inacabadas cuando las vi en realidad.
Karel Goeyvaerts sobre la música de Anton Webern . [53]
Algunos teóricos de la música han criticado el serialismo sobre la base de que sus estrategias de composición son a menudo incompatibles con la forma en que la mente humana procesa una pieza musical. Nicolas Ruwet (1959) fue uno de los primeros en criticar el serialismo comparándolo con las estructuras lingüísticas, citando afirmaciones teóricas de Boulez y Pousseur, tomando como ejemplos específicos compases de Klavierstücke I & II de Stockhausen, y pidiendo una reexaminación general de la música de Webern. Ruwet nombra específicamente tres obras como exentas de su crítica: Zeitmaße y Gruppen de Stockhausen , y Le marteau sans maître de Boulez . [54]
En respuesta, Pousseur cuestionó la equivalencia de Ruwet entre fonemas y notas. También sugirió que, si el análisis de Le marteau sans maître y Zeitmaße , "interpretados con suficiente perspicacia", se hiciera desde el punto de vista de la teoría ondulatoria —teniendo en cuenta la interacción dinámica de los diferentes fenómenos componentes, que crea "ondas" que interactúan en una especie de modulación de frecuencia— , el análisis "reflejará con precisión las realidades de la percepción". Esto se debió a que estos compositores habían reconocido desde hacía tiempo la falta de diferenciación encontrada en la música puntual y, tomando cada vez más conciencia de las leyes de la percepción y cumpliéndolas mejor, "allanaron el camino hacia un tipo de comunicación musical más eficaz, sin abandonar en lo más mínimo la emancipación que les había permitido alcanzar este 'estado cero' que era la música puntual". Una forma de lograrlo fue desarrollando el concepto de "grupos", que permite definir relaciones estructurales no solo entre notas individuales sino también en niveles superiores, hasta la forma general de una pieza. Este es "un método estructural por excelencia", y una concepción suficientemente simple como para que siga siendo fácilmente perceptible. [55] Pousseur también señala que los compositores seriales fueron los primeros en reconocer e intentar superar la falta de diferenciación dentro de ciertas obras puntillistas. [56] Pousseur luego siguió su propia sugerencia desarrollando su idea del análisis de "ondas" y aplicándola a la Zeitmaße de Stockhausen en dos ensayos. [57] [58]
Los autores posteriores han continuado ambas líneas de razonamiento. Fred Lerdahl , por ejemplo, en su ensayo " Cognitive Constraints on Compositional Systems ", [59] sostiene que la opacidad perceptual del serialismo asegura su inferioridad estética. A su vez, Lerdahl ha sido criticado por excluir "la posibilidad de otros métodos no jerárquicos para lograr la coherencia musical" y por concentrarse en la audibilidad de las filas de tonos, [60] y la parte de su ensayo que se centra en la técnica de "multiplicación" de Boulez (ejemplificada en tres movimientos de Le Marteau sans maître ) ha sido cuestionada por motivos perceptuales por Stephen Heinemann y Ulrich Mosch. [61] [62] La crítica de Ruwet también ha sido criticada por cometer "el error fatal de equiparar la presentación visual (una partitura) con la presentación auditiva (la música tal como se escucha)". [63]
En todas las reacciones que hemos comentado, la "información extraída", la "opacidad perceptiva", la "presentación auditiva" (y sus limitaciones) pertenecen a lo que define el serialismo, es decir, el uso de una serie. Y desde que Schoenberg señaló que "en la última parte de una obra, cuando el conjunto [la serie] ya se había vuelto familiar para el oído", [64] se ha asumido que los compositores seriales esperan que sus series sean percibidas auditivamente. Este principio incluso se convirtió en la premisa de la investigación empírica bajo la apariencia de experimentos de "sondeo" que ponían a prueba la familiaridad de los oyentes con una serie después de la exposición a sus diversas formas (como ocurriría en una obra de doce tonos). [65] En otras palabras, la suposición en las críticas al serialismo ha sido que, si una composición está estructurada de manera tan intrincada por y alrededor de una serie, esa serie debería finalmente ser percibida claramente o que un oyente debería tomar conciencia de su presencia o importancia. Babbitt lo negó:
No es así como concibo un conjunto [una serie]. No se trata de encontrar la [serie] perdida. No se trata de criptoanálisis (¿dónde está la [serie] oculta?). Lo que me interesa es el efecto que podría tener, la forma en que podría afirmarse no necesariamente de manera explícita. [66]
Aparentemente de acuerdo con la declaración de Babbitt, pero abarcando cuestiones como la percepción, el valor estético y la "falacia poiética", Walter Horn ofrece una explicación más extensa de la controversia del serialismo (y la atonalidad). [67]
Dentro de la comunidad de la música moderna, lo que exactamente constituía el serialismo también fue un tema de debate. El uso convencional en inglés es que la palabra "serial" se aplica a toda la música dodecafónica, que es un subconjunto de la música serial, y es este uso el que generalmente se pretende en las obras de referencia. Sin embargo, existe una gran cantidad de música que se llama "serial" pero que no emplea filas de notas en absoluto, y mucho menos la técnica dodecafónica, por ejemplo, Klavierstücke I–IV de Stockhausen (que utiliza conjuntos permutados), su Stimmung (con tonos de la serie de armónicos , que también se utiliza como modelo para los ritmos) y Scambi de Pousseur (donde los sonidos permutados se crean exclusivamente a partir de ruido blanco filtrado ). [ cita requerida ]
Cuando el serialismo no se limita a las técnicas dodecafónicas, un problema que contribuye es que la palabra "serial" rara vez se define, o nunca. En muchos análisis publicados de piezas individuales, se utiliza el término mientras se elude su significado real. [68]
Gracias al trabajo de Babbitt, a mediados del siglo XX el pensamiento serialista se arraigó en la teoría de conjuntos y comenzó a utilizar un vocabulario cuasi matemático para la manipulación de los conjuntos básicos. La teoría de conjuntos musicales se utiliza a menudo para analizar y componer música serial, y también se utiliza a veces en el análisis tonal y atonal no serial. [ cita requerida ]
La base de la composición serial es la técnica dodecafónica de Schoenberg, en la que las 12 notas de la escala cromática se organizan en una fila. Esta fila "básica" se utiliza luego para crear permutaciones, es decir, filas derivadas del conjunto básico reordenando sus elementos. La fila puede utilizarse para producir un conjunto de intervalos, o un compositor puede derivar la fila a partir de una sucesión particular de intervalos. Una fila que utiliza todos los intervalos en su forma ascendente una vez es una fila de todos los intervalos . Además de las permutaciones, la fila básica puede tener algún conjunto de notas derivadas de ella, que se utiliza para crear una nueva fila. Estos son conjuntos derivados . [ cita requerida ]
Debido a que existen progresiones de acordes tonales que utilizan las doce notas, es posible crear filas de tonos con implicaciones tonales muy fuertes, e incluso escribir música tonal utilizando la técnica dodecafónica. La mayoría de las filas de tonos contienen subconjuntos que pueden implicar un centro de tono ; un compositor puede crear música centrada en uno o más de los tonos constituyentes de la fila enfatizando o evitando estos subconjuntos, respectivamente, así como a través de otros recursos compositivos más complejos. [69] [70]
Para serializar otros elementos de la música, se debe crear o definir un sistema que cuantifique un elemento identificable (esto se llama " parametrización ", por el término en matemáticas). Por ejemplo, si se serializa la duración, se debe especificar un conjunto de duraciones; si se serializa el color del tono (timbre), se debe identificar un conjunto de colores de tono separados; y así sucesivamente. [ cita requerida ]
El conjunto o conjuntos seleccionados, sus permutaciones y los conjuntos derivados forman el material básico del compositor. [ cita requerida ]
La composición que utiliza métodos seriales de doce tonos se centra en cada aparición de la colección de doce notas cromáticas, llamada un agregado . (Los conjuntos de más o menos tonos, o de elementos distintos del tono, pueden tratarse de manera análoga). Un principio operativo en algunas composiciones seriales es que ningún elemento del agregado debe reutilizarse en la misma línea contrapuntística (enunciado de una serie) hasta que se hayan utilizado todos los demás miembros, y cada miembro debe aparecer solo en su lugar en la serie. Sin embargo, dado que la mayoría de las composiciones seriales tienen múltiples enunciados de serie (al menos dos, a veces hasta unas pocas docenas) que ocurren simultáneamente, entrelazados entre sí en el tiempo y presentan repeticiones de algunos de sus tonos, este principio tal como se enuncia es más una abstracción referencial que una descripción de la realidad concreta de una obra musical que se denomina "serial". [ cita requerida ]
Una serie puede dividirse en subconjuntos, y los miembros del agregado que no forman parte de un subconjunto se denominan complementos de la misma . Un subconjunto es autocomplementario si contiene la mitad del conjunto y su complemento es también una permutación del subconjunto original. Esto se observa más comúnmente con los hexacordios , segmentos de seis notas de una serie de tonos. Un hexacordio que se autocomplementa para una permutación particular se denomina combinatorio primo . Un hexacordio que se autocomplementa para todas las operaciones canónicas ( inversión , retrógrada e inversión retrógrada ) se denomina combinatorio total . [ cita requerida ]
