Función esférica zonal

En matemáticas , una función esférica zonal o, a menudo, simplemente función esférica es una función en un grupo localmente compacto G con subgrupo compacto K (a menudo un subgrupo compacto maximal ) que surge como el coeficiente matricial de un vector K -invariante en una representación irreducible de G. Los ejemplos clave son los coeficientes matriciales de la serie principal esférica , las representaciones irreducibles que aparecen en la descomposición de la representación unitaria de G en L ² ( G / K ). En este caso, el conmutante de G se genera por el álgebra de funciones biinvariantes en G con respecto a K que actúa por convolución derecha . Es conmutativa si además G / K es un espacio simétrico , por ejemplo cuando G es un grupo de Lie semisimple conexo con centro finito y K es un subgrupo compacto maximal. Los coeficientes matriciales de las series principales esféricas describen con precisión el espectro del álgebra C* correspondiente generada por las funciones biinvariantes de soporte compacto , a menudo denominada álgebra de Hecke . El espectro del *-álgebra de Banach conmutativa de funciones biinvariantes L ¹ es mayor; cuando G es un grupo de Lie semisimple con subgrupo compacto máximo K , los caracteres adicionales provienen de los coeficientes matriciales de las series complementarias , obtenidos por continuación analítica de las series principales esféricas.

Las funciones esféricas zonales han sido determinadas explícitamente para grupos semisimples reales por Harish-Chandra . Para grupos lineales especiales , fueron descubiertas independientemente por Israel Gelfand y Mark Naimark . Para grupos complejos, la teoría se simplifica significativamente, porque G es la complejización de K , y las fórmulas están relacionadas con continuaciones analíticas de la fórmula de caracteres de Weyl en K. La teoría analítica funcional abstracta de funciones esféricas zonales fue desarrollada por primera vez por Roger Godement . Aparte de su interpretación teórica de grupos, las funciones esféricas zonales para un grupo de Lie semisimple G también proporcionan un conjunto de funciones propias simultáneas para la acción natural del centro del álgebra envolvente universal de G en L ² ( G / K ), como operadores diferenciales en el espacio simétrico G / K . Para grupos de Lie p-ádicos semisimples , la teoría de funciones esféricas zonales y álgebras de Hecke fue desarrollada por primera vez por Satake e Ian G. Macdonald . Los análogos del teorema de Plancherel y la fórmula de inversión de Fourier en este contexto generalizan las expansiones de funciones propias de Mehler, Weyl y Fock para ecuaciones diferenciales ordinarias singulares : se obtuvieron con total generalidad en la década de 1960 en términos de la función c de Harish-Chandra .

El nombre "función esférica zonal" proviene del caso en el que G es SO(3, R ) que actúa sobre una 2-esfera y K es el subgrupo que fija un punto: en este caso, las funciones esféricas zonales pueden considerarse como ciertas funciones en la esfera invariantes bajo rotación alrededor de un eje fijo.

Definiciones

Sea G un grupo topológico unimodular localmente compacto y K un subgrupo compacto y sea H ₁ = L ² ( G / K ). Por tanto, H ₁ admite una representación unitaria π de G por traslación izquierda. Esta es una subrepresentación de la representación regular, ya que si H = L ² ( G ) con representaciones regulares izquierda y derecha λ y ρ de G y P es la proyección ortogonal

${\displaystyle P=\int _{K}\rho (k)\,dk}$

de H a H ₁ entonces H ₁ puede identificarse naturalmente con PH con la acción de G dada por la restricción de λ.

Por otra parte, por el teorema de conmutación de von Neumann ^[1]

${\displaystyle \lambda (G)^{\prime }=\rho (G)^{\prime \prime },}$

donde S' denota el conmutador de un conjunto de operadores S , de modo que

${\displaystyle \pi (G)^{\prime }=P\rho (G)^{\prime \prime }P.}$

Por lo tanto, el conmutador de π se genera como un álgebra de von Neumann mediante operadores

${\displaystyle P\rho (f)P=\int _{G}f(g)(P\rho (g)P)\,dg}$

donde f es una función continua del soporte compacto en G . ^[a]

Sin embargo, P ρ( f ) P es simplemente la restricción de ρ( F ) a H ₁ , donde

${\displaystyle F(g)=\int _{K}\int _{K}f(kgk^{\prime })\,dk\,dk^{\prime }}$

es la función continua K -biinvariante de soporte compacto obtenida al promediar f por K en ambos lados.

Así, el conmutador de π se genera por la restricción de los operadores ρ( F ) con F en C _c ( K \ G / K ), las funciones continuas K -biinvariantes de soporte compacto en G .

Estas funciones forman un *álgebra bajo convolución con involución

${\displaystyle F^{*}(g)={\overline {F(g^{-1})}},}$

A menudo llamada álgebra de Hecke para el par ( G , K ).

Sea A ( K \ G / K ) el álgebra C* generada por los operadores ρ( F ) en H ₁ .

Se dice que el par ( G , K ) es un par de Gelfand ^[2] si una, y por lo tanto todas, las siguientes álgebras son conmutativas :

• ${\displaystyle \pi (G)^{\prime }}$
• ${\displaystyle C_{c}(K\backslash G/K)}$
• ${\displaystyle A(K\backslash G/K).}$

Dado que A ( K \ G / K ) es un álgebra C* conmutativa , por el teorema de Gelfand–Naimark tiene la forma C ₀ ( X ), donde X es el espacio localmente compacto de homomorfismos de norma continua * de A ( K \ G / K ) en C .

Una realización concreta de los homomorfismos * en X como funciones K -biinvariantes uniformemente acotadas en G se obtiene de la siguiente manera. ^{[2] [3] [4] [5] [6]}

Por la estimación

${\displaystyle \|\pi (F)\|\leq \int _{G}|F(g)|\,dg\equiv \|F\|_{1},}$

la representación π de C _c ( K \ G / K ) en A ( K \ G / K ) se extiende por continuidad a L ¹ ( K \ G / K ), el * álgebra de funciones integrables K -biinvariantes. La imagen forma un * subálgebra densa de A ( K \ G / K ). La restricción de un * homomorfismo χ continuo para la norma del operador también es continua para la norma ||·|| ₁ . Como el dual del espacio de Banach de L ¹ es L ^∞ , se sigue que

${\displaystyle \chi (\pi (F))=\int _{G}F(g)h(g)\,dg,}$

para alguna función única uniformemente acotada K -biinvariante h en G . Estas funciones h son exactamente las funciones esféricas zonales para el par ( G , K ).

Propiedades

Una función esférica zonal h tiene las siguientes propiedades: ^[2]

1. h es uniformemente continua en G
2. ${\displaystyle h(x)h(y)=\int _{K}h(xky)\,dk\,\,(x,y\in G).}$
3. h (1) = 1 (normalización)
4. h es una función definida positiva en G
5. f * h es proporcional a h para todo f en C _c ( K \ G / K ).

Estas son consecuencias fáciles del hecho de que el funcional lineal acotado χ definido por h es un homomorfismo. Las propiedades 2, 3 y 4 o las propiedades 3, 4 y 5 caracterizan funciones esféricas zonales. Se puede obtener una clase más general de funciones esféricas zonales eliminando la definitividad positiva de las condiciones, pero para estas funciones ya no hay ninguna conexión con representaciones unitarias . Para los grupos de Lie semisimples, existe una caracterización adicional como funciones propias de operadores diferenciales invariantes en G / K (ver más abajo).

De hecho, como un caso especial de la construcción de Gelfand–Naimark–Segal , existe una correspondencia biunívoca entre representaciones irreducibles σ de G que tienen un vector unitario v fijado por K y funciones esféricas zonales h dadas por

${\displaystyle h(g)=(\sigma (g)v,v).}$

Estas representaciones irreducibles se describen a menudo como de clase uno . Son precisamente las representaciones irreducibles requeridas para descomponer la representación inducida π en H ₁ . Cada representación σ se extiende únicamente por continuidad a A ( K \ G / K ), de modo que cada función esférica zonal satisface

${\displaystyle \left|\int _{G}f(g)h(g)\,dg\right|\leq \|\pi (f)\|}$

para f en A ( K \ G / K ). Además, dado que el conmutante π( G )' es conmutativo, existe una medida de probabilidad única μ en el espacio de * homomorfismos X tal que

${\displaystyle \int _{G}|f(g)|^{2}\,dg=\int _{X}|\chi (\pi (f))|^{2}\,d\mu (\chi ).}$

μ se denomina medida de Plancherel . Dado que π( G )' es el centro del álgebra de von Neumann generada por G , también proporciona la medida asociada con la descomposición integral directa de H ₁ en términos de las representaciones irreducibles σ _χ .

Pares de Gelfand

Si G es un grupo de Lie conexo , entonces, gracias al trabajo de Cartan , Malcev , Iwasawa y Chevalley , G tiene un subgrupo compacto maximalista , único hasta la conjugación. ^{[7] [8]} En este caso K es conexo y el cociente G / K es difeomorfo a un espacio euclidiano. Cuando G es además semisimple , esto se puede ver directamente usando la descomposición de Cartan asociada al espacio simétrico G / K , una generalización de la descomposición polar de matrices invertibles. En efecto, si τ es el automorfismo de período dos asociado de G con el subgrupo de punto fijo K , entonces

${\displaystyle G=P\cdot K,}$

dónde

${\displaystyle P=\{g\in G|\tau (g)=g^{-1}\}.}$

Bajo la función exponencial , P es difeomórfica al espacio propio -1 de τ en el álgebra de Lie de G . Dado que τ preserva K , induce un automorfismo del álgebra de Hecke C _c ( K \ G / K ). Por otra parte, si F se encuentra en C _c ( K \ G / K ), entonces

F (τg ) = F ( g ⁻¹ ),

de modo que τ induce un antiautomorfismo, porque la inversión lo hace. Por lo tanto, cuando G es semisimple,

• El álgebra de Hecke es conmutativa.
• ( G , K ) es un par Gelfand.

De manera más general, el mismo argumento proporciona el siguiente criterio de Gelfand para que ( G , K ) sea un par Gelfand: ^[9]

• G es un grupo localmente compacto unimodular;
• K es un subgrupo compacto que surge como los puntos fijos de un automorfismo de período dos τ de G ;
• G = K · P (no necesariamente un producto directo), donde P se define como arriba.

Los dos ejemplos más importantes que abarca esto son cuando:

• G es un grupo de Lie semisimple compacto conexo con τ como automorfismo de período dos; ^{[10] [11]}
• G es un producto semidirecto , con A un grupo abeliano localmente compacto sin 2-torsión y τ( a · k )= k · a ⁻¹ para a en A y k en K . ${\displaystyle A\rtimes K}$

Los tres casos cubren los tres tipos de espacios simétricos G / K : ^[5]

1. Tipo no compacto , cuando K es un subgrupo compacto maximalista de un grupo de Lie semisimple real no compacto G ;
2. Tipo compacto , cuando K es el subgrupo de punto fijo de un automorfismo de período dos de un grupo de Lie semisimple compacto G ;
3. Tipo euclidiano , cuando A es un espacio euclidiano de dimensión finita con una acción ortogonal de K.

Teorema de Cartan-Helgason

Sea G un grupo de Lie compacto semisimple conexo y simplemente conexo y τ un automorfismo de periodo dos de un G con subgrupo de punto fijo K = G ^τ . En este caso K es un grupo de Lie compacto conexo. ^[5] Además sea T un toro maximalista de G invariante bajo τ, tal que T P es un toro maximalista en P , y conjunto ^[12] ${\displaystyle \cap }$

${\displaystyle S=K\cap T=T^{\tau }.}$

S es el producto directo de un toro y un 2-grupo abeliano elemental .

En 1929, Élie Cartan encontró una regla para determinar la descomposición de L ² ( G / K ) en la suma directa de representaciones irreducibles de dimensión finita de G , que fue demostrada rigurosamente solo en 1970 por Sigurdur Helgason . Debido a que el conmutativo de G en L ² ( G / K ) es conmutativo, cada representación irreducible aparece con multiplicidad uno. Por la reciprocidad de Frobenius para grupos compactos, las representaciones irreducibles V que ocurren son precisamente aquellas que admiten un vector no nulo fijado por K .

A partir de la teoría de representación de grupos semisimples compactos , las representaciones irreducibles de G se clasifican según su peso más alto . Esto se especifica mediante un homomorfismo del toro máximo T en T .

El teorema de Cartan-Helgason ^{[13] [14]} establece que

Las representaciones irreducibles correspondientes se denominan representaciones esféricas .

El teorema se puede demostrar ^[5] utilizando la descomposición de Iwasawa :

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}},}$

donde , , son las complejizaciones de las álgebras de Lie de G , K , A = T P y ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle \cap }$

${\displaystyle {\mathfrak {n}}=\bigoplus {\mathfrak {g}}_{\alpha },}$

sumado sobre todos los espacios propios para T correspondiente a raíces positivas α no fijadas por τ. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Sea V una representación esférica con el vector de peso más alto v ₀ y el vector fijo de K v _K . Dado que v ₀ es un vector propio del álgebra de Lie resoluble , el teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt implica que el módulo K generado por v ₀ es el total de V . Si Q es la proyección ortogonal sobre los puntos fijos de K en V obtenida al promediar sobre G con respecto a la medida de Haar , se deduce que ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}}$

${\displaystyle \displaystyle {v_{K}=cQv_{0}}}$

para alguna constante distinta de cero c . Debido a que v _K está fijado por S y v ₀ es un vector propio para S , el subgrupo S debe fijar en realidad v ₀ , una forma equivalente de la condición de trivialidad en S .

Por el contrario, si v ₀ está fijado por S , entonces se puede demostrar ^[15] que el coeficiente de la matriz

${\displaystyle \displaystyle {f(g)=(gv_{0},v_{0})}}$

no es negativo en K . Dado que f (1) > 0, se deduce que ( Qv ₀ , v ₀ ) > 0 y, por lo tanto, que Qv ₀ es un vector distinto de cero fijado por K .

La fórmula de Harish-Chandra

Si G es un grupo de Lie semisimple no compacto, su subgrupo compacto máximo K actúa por conjugación sobre el componente P en la descomposición de Cartan . Si A es un subgrupo abeliano máximo de G contenido en P , entonces A es difeomorfo a su álgebra de Lie bajo la función exponencial y, como una generalización adicional de la descomposición polar de matrices, cada elemento de P es conjugado bajo K a un elemento de A , de modo que ^[16]

G = KA .

También hay una descomposición de Iwasawa asociada.

G = KAN ,

donde N es un subgrupo nilpotente cerrado, difeomorfo a su álgebra de Lie bajo la función exponencial y normalizado por A . Por lo tanto, S = AN es un subgrupo resoluble cerrado de G , el producto semidirecto de N por A , y G = KS .

Si α en Hom( A , T ) es un carácter de A , entonces α se extiende a un carácter de S , definiéndolo como trivial en N . Existe una representación inducida unitaria correspondiente σ de G en L ² ( G / S ) = L ² ( K ), ^[17] una denominada representación de serie principal (esférica) .

Esta representación puede describirse explícitamente de la siguiente manera. A diferencia de G y K , el grupo de Lie resoluble S no es unimodular. Sea dx la medida de Haar invariante por la izquierda en S y Δ _S la función modular de S. Entonces ^[5]

${\displaystyle \int _{G}f(g)\,dg=\int _{S}\int _{K}f(x\cdot k)\,dx\,dk=\int _{S}\int _{K}f(k\cdot x)\Delta _{S}(x)\,dx\,dk.}$

La representación de la serie principal σ se realiza en L ² ( K ) como ^[18]

${\displaystyle (\sigma (g)\xi )(k)=\alpha ^{\prime }(g^{-1}k)^{-1}\,\xi (U(g^{-1}k)),}$

dónde

${\displaystyle g=U(g)\cdot X(g)}$

es la descomposición de Iwasawa de g con U ( g ) en K y X ( g ) en S y

${\displaystyle \alpha ^{\prime }(kx)=\Delta _{S}(x)^{1/2}\alpha (x)}$

para k en K y x en S .

La representación σ es irreducible, de modo que si v denota la función constante 1 en K , fijada por K ,

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(g)=(\sigma (g)v,v)}$

define una función esférica zonal de G .

El cálculo del producto interno anterior conduce a la fórmula de Harish-Chandra para la función esférica zonal.

como una integral sobre K .

Harish-Chandra demostró que estas funciones esféricas zonales agotan los caracteres del álgebra C* generada por C _c ( K \ G / K ) actuando por convolución derecha sobre L ² ( G / K ). También demostró que dos caracteres diferentes α y β dan la misma función esférica zonal si y sólo si α = β· s , donde s está en el grupo de Weyl de A

${\displaystyle W(A)=N_{K}(A)/C_{K}(A),}$

el cociente del normalizador de A en K por su centralizador , un grupo de reflexión finito .

También se puede verificar directamente ^[2] que esta fórmula define una función esférica zonal, sin utilizar la teoría de la representación. La prueba para grupos de Lie semisimples generales de que toda fórmula esférica zonal surge de esta manera requiere el estudio detallado de operadores diferenciales invariantes G en G / K y sus funciones propias simultáneas (ver más abajo). ^{[4] [5]} En el caso de grupos semisimples complejos, Harish-Chandra y Felix Berezin se dieron cuenta independientemente de que la fórmula se simplificaba considerablemente y podía demostrarse de manera más directa. ^{[5] [19] [20] [21] [22]}

Las restantes funciones esféricas zonales definidas positivas se dan mediante la fórmula de Harish-Chandra con α en Hom( A , C *) en lugar de Hom( A , T ). Solo se permiten ciertos α y las representaciones irreducibles correspondientes surgen como continuaciones analíticas de la serie principal esférica. Esta llamada " serie complementaria " fue estudiada por primera vez por Bargmann (1947) para G = SL(2, R ) y por Harish-Chandra (1947) y Gelfand & Naimark (1947) para G = SL(2, C ). Posteriormente, en la década de 1960, la construcción de una serie complementaria por continuación analítica de la serie principal esférica fue desarrollada sistemáticamente para grupos de Lie semisimples generales por Ray Kunze, Elias Stein y Bertram Kostant . ^{[23] [24] [25]} Dado que estas representaciones irreducibles no están templadas , normalmente no se requieren para el análisis armónico en G (o G / K ).

Funciones propias

Harish-Chandra demostró ^{[4] [5]} que las funciones esféricas zonales pueden caracterizarse como aquellas funciones K -invariantes definidas positivas normalizadas en G / K que son funciones propias de D ( G / K ), el álgebra de operadores diferenciales invariantes en G . Esta álgebra actúa sobre G / K y conmuta con la acción natural de G por traslación izquierda. Puede identificarse con el subálgebra del álgebra envolvente universal de G fijada bajo la acción adjunta de K . En cuanto al conmutante de G en L ² ( G / K ) y el álgebra de Hecke correspondiente, esta álgebra de operadores es conmutativa ; de hecho, es un subálgebra del álgebra de operadores medibles afiliados al conmutante π( G )', un álgebra abeliana de von Neumann. Como demostró Harish-Chandra, es isomorfo al álgebra de polinomios invariantes en W ( A ) sobre el álgebra de Lie de A , que a su vez es un anillo polinomial por el teorema de Chevalley-Shephard-Todd sobre invariantes polinomiales de grupos de reflexión finitos . El operador diferencial invariante más simple sobre G / K es el operador laplaciano ; hasta un signo este operador es simplemente la imagen bajo π del operador de Casimir en el centro del álgebra envolvente universal de G .

Por lo tanto, una función K -biinvariante definida positiva normalizada f en G es una función esférica zonal si y solo si para cada D en D ( G / K ) hay una constante λ _D tal que

${\displaystyle \displaystyle \pi (D)f=\lambda _{D}f,}$

es decir f es una función propia simultánea de los operadores π( D ).

Si ψ es una función esférica zonal, entonces, considerada como una función en G / K , es una función propia del laplaciano, un operador diferencial elíptico con coeficientes analíticos reales . Por regularidad elíptica analítica , ψ es una función analítica real en G / K , y por lo tanto G .

Harish-Chandra utilizó estos hechos sobre la estructura de los operadores invariantes para demostrar que su fórmula proporcionaba todas las funciones esféricas zonales para grupos de Lie semisimples reales. ^{[26] [27] [28]} De hecho, la conmutatividad del conmutante implica que todos los espacios propios simultáneos del álgebra de operadores diferenciales invariantes tienen dimensión uno; y la estructura polinomial de esta álgebra obliga a que los valores propios simultáneos sean precisamente aquellos ya asociados con la fórmula de Harish-Chandra.

Ejemplo: SL(2,C)

El grupo G = SL(2, C ) es la complejización del grupo de Lie compacto K = SU(2) y la doble cobertura del grupo de Lorentz . Las representaciones de dimensión infinita del grupo de Lorentz fueron estudiadas por primera vez por Dirac en 1945, quien consideró las representaciones de series discretas , que denominó expansores . Un estudio sistemático fue retomado poco después por Harish-Chandra, Gelfand–Naimark y Bargmann. Las representaciones irreducibles de clase uno, correspondientes a las funciones esféricas zonales, pueden determinarse fácilmente utilizando el componente radial del operador laplaciano . ^[5]

En efecto, cualquier matriz compleja unimodular 2×2 g admite una descomposición polar única g = pv con v unitaria y p positiva. A su vez p = uau *, con u unitaria y a una matriz diagonal con elementos positivos. Así g = uaw con w = u * v , de modo que cualquier función K -biinvariante en G corresponde a una función de la matriz diagonal

${\displaystyle a={\begin{pmatrix}e^{r/2}&0\\0&e^{-r/2}\end{pmatrix}},}$

invariante bajo el grupo de Weyl. Identificando G / K con el 3-espacio hiperbólico, las funciones hiperbólicas zonales ψ corresponden a funciones radiales que son funciones propias del Laplaciano. Pero en términos de la coordenada radial r , el Laplaciano viene dado por ^[29]

${\displaystyle L=-\partial _{r}^{2}-2\coth r\partial _{r}.}$

Estableciendo f ( r ) = sinh ( r )·ψ( r ), se deduce que f es una función impar de r y una función propia de . ${\displaystyle \partial _{r}^{2}}$

Por eso

donde es real ${\displaystyle \ell }$

Existe un tratamiento elemental similar para los grupos de Lorentz generalizados SO( N ,1) en Takahashi (1963) y Faraut & Korányi (1994) (recuerde que SO ⁰ (3,1) = SL(2, C ) / ±I).

Caso complejo

Si G es un grupo de Lie semisimple complejo, es la complejización de su subgrupo compacto máximo K . Si y son sus álgebras de Lie, entonces ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {k}}.}$

Sea T un toro máximo en K con álgebra de Lie . Entonces ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle A=\exp i{\mathfrak {t}},\,\,P=\exp i{\mathfrak {k}}.}$

Dejar

${\displaystyle W=N_{K}(T)/T}$

sea ​​el grupo de Weyl de T en K . Recordemos que los caracteres en Hom( T , T ) se denominan pesos y se pueden identificar con elementos de la red de pesos Λ en Hom( , R ) = . Existe un orden natural en los pesos y cada representación irreducible de dimensión finita (π, V ) de K tiene un peso máximo único λ. Los pesos de la representación adjunta de K en se denominan raíces y ρ se utiliza para denotar la mitad de la suma de las raíces positivas α, la fórmula de caracteres de Weyl afirma que para z = exp X en T ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}\ominus {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle \displaystyle \chi _{\lambda }(e^{X})\equiv {\rm {Tr}}\,\pi (z)=A_{\lambda +\rho }(e^{X})/A_{\rho }(e^{X}),}$

donde, para μ en , A _μ denota la antisimetrización ${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$

${\displaystyle \displaystyle A_{\mu }(e^{X})=\sum _{s\in W}\varepsilon (s)e^{i\mu (sX)},}$

y ε denota el carácter de signo del grupo de reflexión finito W .

La fórmula del denominador de Weyl expresa el denominador A _ρ como producto:

${\displaystyle \displaystyle A_{\rho }(e^{X})=e^{i\rho (X)}\prod _{\alpha >0}(1-e^{-i\alpha (X)}),}$

donde el producto está sobre las raíces positivas.

La fórmula de dimensión de Weyl afirma que

${\displaystyle \displaystyle \chi _{\lambda }(1)\equiv {\rm {dim}}\,V={\prod _{\alpha >0}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha >0}(\rho ,\alpha )}.}$

donde el producto interno en es el asociado con la forma Killing en . ${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

Ahora

• Toda representación irreducible de K se extiende holomorfamente a la complejización G
• cada carácter irreducible χ _λ ( k ) de K se extiende holomorfamente a la complejización de K y . ${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$
• para cada λ en Hom( A , T ) = , existe una función esférica zonal φ _λ . ${\displaystyle i{\mathfrak {t}}^{*}}$

La fórmula de Berezin-Harish-Chandra ^[5] afirma que para X en ${\displaystyle i{\mathfrak {t}}}$

En otras palabras:

• Las funciones esféricas zonales en un grupo de Lie semisimple complejo se dan mediante la continuación analítica de la fórmula para los caracteres normalizados.

Una de las pruebas más simples ^[30] de esta fórmula involucra el componente radial en A del Laplaciano en G , una prueba formalmente paralela a la reelaboración de Helgason de la prueba clásica de Freudenthal de la fórmula del carácter de Weyl , usando el componente radial en T del Laplaciano en K. ^[31]

En el último caso, las funciones de clase en K pueden identificarse con funciones invariantes en W en T. El componente radial de Δ _K en T es simplemente la expresión para la restricción de Δ _K a funciones invariantes en W en T , donde está dada por la fórmula

${\displaystyle \displaystyle \Delta _{K}=h^{-1}\circ \Delta _{T}\circ h+\|\rho \|^{2},}$

dónde

${\displaystyle \displaystyle h(e^{X})=A_{\rho }(e^{X})}$

para X en . Si χ es un carácter con el mayor peso λ, se deduce que φ = h ·χ satisface ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle \Delta _{T}\varphi =(\|\lambda +\rho \|^{2}-\|\rho \|^{2})\varphi .}$

Por lo tanto, para cada peso μ con coeficiente de Fourier distinto de cero en φ,

${\displaystyle \displaystyle \|\lambda +\rho \|^{2}=\|\mu +\rho \|^{2}.}$

El argumento clásico de Freudenthal muestra que μ + ρ debe tener la forma s (λ + ρ) para algún s en W , por lo que la fórmula del carácter se deduce de la antisimetría de φ.

De manera similar, las funciones K -biinvariantes en G pueden identificarse con funciones W ( A )-invariantes en A. El componente radial de Δ _G en A es simplemente la expresión para la restricción de Δ _G a funciones W ( A )-invariantes en A. Se da por la fórmula

${\displaystyle \displaystyle \Delta _{G}=H^{-1}\circ \Delta _{A}\circ H-\|\rho \|^{2},}$

dónde

${\displaystyle \displaystyle H(e^{X})=A_{\rho }(e^{X})}$

para X en . ${\displaystyle i{\mathfrak {t}}}$

La fórmula de Berezin-Harish-Chandra para una función esférica zonal φ se puede establecer introduciendo la función antisimétrica

${\displaystyle \displaystyle f=H\cdot \varphi ,}$

que es una función propia del laplaciano Δ _A . Puesto que K se genera mediante copias de subgrupos que son imágenes homomórficas de SU(2) correspondientes a raíces simples , su complejización G se genera mediante las imágenes homomórficas correspondientes de SL(2, C ). La fórmula para funciones esféricas zonales de SL(2, C ) implica que f es una función periódica en con respecto a alguna subred . La antisimetría bajo el grupo de Weyl y el argumento de Freudenthal implican nuevamente que ψ debe tener la forma establecida hasta una constante multiplicativa, que se puede determinar utilizando la fórmula de dimensión de Weyl. ${\displaystyle i{\mathfrak {t}}}$

Ejemplo: SL(2,R)

La teoría de las funciones esféricas zonales para SL(2, R ) se originó en el trabajo de Mehler en 1881 sobre geometría hiperbólica. Descubrió el análogo del teorema de Plancherel, que fue redescubierto por Fock en 1943. La expansión de la función propia correspondiente se denomina transformada de Mehler-Fock . Ya se estableció sobre una base sólida en 1910 con el importante trabajo de Hermann Weyl sobre la teoría espectral de las ecuaciones diferenciales ordinarias . La parte radial del laplaciano en este caso conduce a una ecuación diferencial hipergeométrica , cuya teoría fue tratada en detalle por Weyl. El enfoque de Weyl fue posteriormente generalizado por Harish-Chandra para estudiar las funciones esféricas zonales y el teorema de Plancherel correspondiente para grupos de Lie semisimples más generales. Siguiendo el trabajo de Dirac sobre las representaciones en series discretas de SL(2, R ), Bargmann, Harish-Chandra y Gelfand–Naimark desarrollaron independientemente la teoría general de las representaciones irreducibles unitarias de SL(2, R ). Las representaciones irreducibles de clase uno, o equivalentemente la teoría de funciones esféricas zonales, forman un caso especial importante de esta teoría.

El grupo G = SL(2, R ) es una doble cobertura del grupo tridimensional de Lorentz SO(2,1), el grupo de simetría del plano hiperbólico con su métrica de Poincaré . Actúa por transformaciones de Möbius . El semiplano superior puede identificarse con el disco unidad por la transformada de Cayley . Bajo esta identificación G pasa a identificarse con el grupo SU(1,1) , que también actúa por transformaciones de Möbius. Como la acción es transitiva , ambos espacios pueden identificarse con G / K , donde K = SO(2) . La métrica es invariante bajo G y el laplaciano asociado es G -invariante, coincidiendo con la imagen del operador de Casimir . En el modelo del semiplano superior el laplaciano viene dado por la fórmula ^{[5] [6]}

${\displaystyle \displaystyle \Delta =-4y^{2}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}).}$

Si s es un número complejo y z = x + iy con y > 0, la función

${\displaystyle \displaystyle f_{s}(z)=y^{s}=\exp({s}\cdot \log y),}$

es una función propia de Δ:

${\displaystyle \displaystyle \Delta f_{s}=4s(1-s)f_{s}.}$

Dado que Δ conmuta con G , cualquier traslación a la izquierda de f _s también es una función propia con el mismo valor propio. En particular, al promediar sobre K , la función

es una función propia K -invariante de Δ en G / K . Cuando

${\displaystyle \displaystyle s={1 \over 2}+i\tau ,}$

con τ real, estas funciones dan todas las funciones esféricas zonales en G . Al igual que con la fórmula más general de Harish-Chandra para grupos de Lie semisimples, φ _s es una función esférica zonal porque es el coeficiente matricial correspondiente a un vector fijado por K en la serie principal . Hay varios argumentos disponibles para demostrar que no hay otros. Uno de los argumentos algebraicos de Lie clásicos más simples ^{[5] [6] [32] [33] [34]} es notar que, dado que Δ es un operador elíptico con coeficientes analíticos, por regularidad elíptica analítica cualquier función propia es necesariamente analítica real. Por lo tanto, si la función esférica zonal corresponde al coeficiente matricial para un vector v y representación σ, el vector v es un vector analítico para G y

${\displaystyle \displaystyle (\sigma (e^{X})v,v)=\sum _{n=0}^{\infty }(\sigma (X)^{n}v,v)/n!}$

para X en . La forma infinitesimal de las representaciones unitarias irreducibles con un vector fijado por K fue elaborada clásicamente por Bargmann. ^{[32] [33]} Corresponden precisamente a la serie principal de SL(2, R ). De ello se deduce que la función esférica zonal corresponde a una representación en serie principal. ${\displaystyle i{\mathfrak {t}}}$

Otro argumento clásico ^[35] procede mostrando que en funciones radiales el Laplaciano tiene la forma

${\displaystyle \displaystyle \Delta =-\partial _{r}^{2}-\coth(r)\cdot \partial _{r},}$

de modo que, en función de r , la función esférica zonal φ( r ) debe satisfacer la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle \displaystyle \varphi ^{\prime \prime }+\coth r\,\varphi ^{\prime }=\alpha \,\varphi }$

para una constante α. El cambio de variables t = sinh r transforma esta ecuación en la ecuación diferencial hipergeométrica . La solución general en términos de funciones de Legendre de índice complejo está dada por ^{[2] [36]}

donde α = ρ(ρ+1). La acotación y la definición positiva de la función esférica zonal en G imponen restricciones adicionales a ρ .

Existe otro enfoque, debido a Mogens Flensted-Jensen, que deriva las propiedades de las funciones esféricas zonales en SL(2, R ), incluida la fórmula de Plancherel, a partir de los resultados correspondientes para SL(2, C ), que son consecuencias simples de la fórmula de Plancherel y la fórmula de inversión de Fourier para R . Este "método de descenso" funciona de manera más general, permitiendo que los resultados para un grupo de Lie semisimple real se deriven por descenso a partir de los resultados correspondientes para su complejización. ^{[37] [38]}

Direcciones adicionales

• Teoría de funciones zonales que no son necesariamente definidas positivas. Se dan mediante las mismas fórmulas que las anteriores, pero sin restricciones sobre el parámetro complejo s o ρ. Corresponden a representaciones no unitarias. ^[5]
• Fórmula de expansión e inversión de funciones propias de Harish-Chandra para funciones esféricas . ^[39] Este es un caso especial importante de su teorema de Plancherel para grupos de Lie semisimples reales.
• La estructura del álgebra de Hecke . Harish-Chandra y Godement demostraron que, como álgebras de convolución, existen isomorfismos naturales entre C _c ^∞ ( K \ G / K ) y C _c ^∞ ( A ) ^W , la subálgebra invariante bajo el grupo de Weyl. ^[3] Esto es fácil de establecer para SL(2, R ). ^[6]
• Funciones esféricas para grupos de movimiento euclidiano y grupos de Lie compactos . ^[5]
• Funciones esféricas para grupos de Lie p-ádicos . Estas fueron estudiadas en profundidad por Satake y Macdonald . ^{[40] [41]} Su estudio, y el de las álgebras de Hecke asociadas, fue uno de los primeros pasos en la teoría de representación extensiva de grupos de Lie p-ádicos semisimples, un elemento clave en el programa Langlands .

Véase también

• Teorema de Plancherel para funciones esféricas
• Álgebra de Hecke de un grupo localmente compacto
• Representaciones de los grupos de Lie
• Análisis armónico no conmutativo
• Representación templada
• Función definida positiva en un grupo
• Espacio simétrico
• Par de gelfand

Notas

1. Si σ es una representación unitaria de G , entonces . ${\displaystyle \sigma (f)=\int _{G}f(g)\sigma (g)\,dg}$

Citas

1. Dixmier 1996, Algèbres hilbertiennes.
2. Dieudonné 1978.
3. Dios 1952.
4. abcHelgason 2001.
5. Helgason 1984.
6. Lang 1985.
7. Cartier 1954-1955.
8. Hochschild 1965.
9. Dieudonné 1978, págs. 55–57.
10. Dieudonné 1977.
11. Helgason 1978, pág. 249.
12. Helgason 1978, págs. 257-264.
13. Helgason 1984, págs. 534–538.
14. Goodman y Wallach 1998, págs. 549–550.
15. Goodman y Wallach 1998, pág. 550.
16. Helgason 1978, Capítulo IX.
17. Harish-Chandra 1954a, pág. 251.
18. Vallejo 1973.
19. Berezin 1956a.
20. Berezin 1956b.
21. Harish-Chandra 1954b.
22. Harish-Chandra 1954c.
23. Kunze y Stein 1961.
24. Stein 1970.
25. Constante 1969.
26. Harish-Chandra 1958.
27. Helgason 2001, páginas 418–422, 427-434
28. Helgason 1984, pág. 418.
29. Davies 1990.
30. Helgason 1984, págs. 432–433.
31. Helgason 1984, págs. 501–502.
32. Bargmann 1947.
33. Howe y Tan 1992.
34. Valenzuela 1988.
35. Helgason 2001, pág. 405.
36. Bateman y Erdélyi 1953, pág. 156.
37. Flensted-Jensen 1978.
38. Helgason 1984, págs. 489–491.
39. Helgason 1984, págs. 434–458.
40. Satake 1963.
41. Matthews 1971.

Fuentes

• Bargmann, V. (1947), "Representaciones unitarias irreducibles del grupo de Lorentz", Anales de Matemáticas , 48 ​​(3): 568–640, doi :10.2307/1969129, JSTOR  1969129
• Barnett, Adam; Smart, Nigel P. (2003), "Mental Poker Revisited", Criptografía y codificación , Lecture Notes in Computer Science, vol. 2898, págs. 370–383, doi :10.1007/978-3-540-40974-8_29, ISBN 978-3-540-20663-7
• Bateman, Harry ; Erdélyi, Arthur (1953), Funciones trascendentales superiores, Vol. I (PDF) , McGraw–Hill, ISBN 0-07-019546-3
• Berezin, FA (1956a), "Операторы Лапласа на полупростых группах" [Operadores de Laplace en grupos semisimples], Doklady Akademii Nauk SSSR , 107 : 9–12.
• Berezin, FA (1956b), "Representación de grupos de Lie complejos semisimples en el espacio de Banach", Doklady Akademii Nauk SSSR , 110 : 897–900
• Brychkov, Yu A.; Prudnikov, AP (2001) [1994], "Funciones esféricas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Cartier, Pierre (1954-1955), Structure topologique des groupes de Lie généraux, Exposé No. 22 (PDF) , Séminaire "Sophus Lie", vol. 1.
• Davies, EB (1990), Núcleos de calor y teoría espectral , Cambridge University Press, ISBN 0-521-40997-7
• Dieudonné, Jean (1977), Tratado de análisis, vol. V , Prensa Académica
• Dieudonné, Jean (1978), Tratado de análisis, vol. VI , Prensa Académica, ISBN 0-12-215506-8
• Dirac, PAM (1945), "Representaciones unitarias del grupo de Lorentz", Actas de la Royal Society A , 183 (994): 284–295, Bibcode :1945RSPSA.183..284D, doi : 10.1098/rspa.1945.0003
• Dixmier, Jacques (1996), Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien (algèbres de von Neumann) , Les Grands Classiques Gauthier-Villars., Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-012-8
• Faraut, Jacques; Korányi, Adam (1994), Análisis de conos simétricos , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York, ISBN 0-19-853477-9, Sr.  1446489, Capítulo XIV.
• Flensted-Jensen, Mogens (1978), "Funciones esféricas de un grupo de Lie semisimple real. Un método de reducción al caso complejo", J. Funct. Anal. , 30 : 106–146, doi : 10.1016/0022-1236(78)90058-7
• Gelfand, IM ; Naimark, MA (1947), "Representaciones unitarias del grupo de Lorentz", Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. , 37 : 411–504
• Gelfand, IM ; Naimark, MA (1948), "Un análogo del teorema de Plancherel para el grupo unimodular complejo", Doklady Akademii Nauk SSSR , 63 : 609–612
• Gelfand, IM ; Naimark, MA (1952), "Representaciones unitarias del grupo unimodular que contienen la representación identidad del subgrupo unitario", Trudy Moscov. Mat. Obšč. , 1 : 423–475
• Godement, Roger (1952), "Una teoría de funciones esféricas. I", Transactions of the American Mathematical Society , 73 (3): 496–556, doi : 10.2307/1990805 , JSTOR  1990805
• Goodman, Roe; Wallach, Nolan (1998), Representaciones e invariantes de los grupos clásicos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-66348-2
• Harish-Chandra (1947), "Representaciones irreducibles infinitas del grupo de Lorentz", Actas de la Royal Society A , 189 (1018): 372–401, Bibcode :1947RSPSA.189..372H, doi : 10.1098/rspa.1947.0047
• Harish-Chandra (1954a), "Representaciones de grupos de Lie semisimples. II", Trans. Amer. Math. Soc. , 76 (1): 26–65, doi : 10.2307/1990743 , JSTOR  1990743, PMC  1063373 , PMID  16578367
• Harish-Chandra (1954b), "Representaciones de grupos de Lie semisimples. III", Trans. Amer. Math. Soc. , 76 (2): 234–253, doi : 10.2307/1990767 , JSTOR  1990767(Simplificación de fórmulas para grupos de Lie semisimples complejos)
• Harish-Chandra (1954c), "La fórmula de Plancherel para grupos de Lie semisimples complejos", Trans. Amer. Math. Soc. , 76 (3): 485–528, doi : 10.2307/1990793 , JSTOR  1990793, PMC  1063477 , PMID  16589034(Segunda demostración de la fórmula para grupos de Lie semisimples complejos)
• Harish-Chandra (1958), "Funciones esféricas en un grupo de Lie semisimple I, II", Amer. J. Math. , 80 (2): 241–310, 553–613, doi :10.2307/2372786, JSTOR  2372786, PMC  528464 , PMID  16590028(Determinación de la medida de Plancherel)
• Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
• Helgason, Sigurdur (1984), Grupos y análisis geométrico: geometría integral, operadores diferenciales invariantes y funciones esféricas , Academic Press, ISBN 0-12-338301-3– vía Internet Archive
• Helgason, Sigurdur (2001), Geometría diferencial y espacios simétricos (reimpresión de la edición de 1962) , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2735-9
• Hochschild, Gerhard P. (1965), La estructura de los grupos de Lie , Holden–Day
• Howe, Roger; Tan, Eng-chye (1992), Análisis armónico no abeliano: aplicaciones de SL(2, R ) , Universitext, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97768-6
• Kostant, Bertram (1969), "Sobre la existencia e irreductibilidad de ciertas series de representaciones", Bull. Amer. Math. Soc. , 75 (4): 627–642, doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12235-4
• Kunze, Raymond A. ; Stein, Elias M. (1961), "Continuación analítica de la serie principal", Bull. Amer. Math. Soc. , 67 (6): 593–596, doi : 10.1090/S0002-9904-1961-10705-2
• Lang, Serge (1985), SL(2, R ) , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 105, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96198-4
• Macdonald, Ian G. (1971), Funciones esféricas en un grupo de tipo p-ádico , Publ. Ramanujan Institute, vol. 2, Universidad de Madrás
• Satake, I. (1963), "Teoría de funciones esféricas en grupos algebraicos reductivos sobre cuerpos p-ádicos", Publ. Math. IHÉS , 18 : 5–70, doi :10.1007/bf02684781, S2CID  4666554
• Stein, Elias M. (1970), "Continuación analítica de representaciones grupales", Advances in Mathematics , 4 (2): 172–207, doi : 10.1016/0001-8708(70)90022-8
• Takahashi, R. (1963), "Sur les représentations unitaires des groupes de Lorentz généralisés", Bull. Soc. Matemáticas. Francia , 91 : 289–433, doi : 10.24033/bsmf.1598
• Wallach, Nolan (1973), Análisis armónico en espacios homogéneos , Marcel Decker, ISBN 0-8247-6010-7
• Wallach, Nolan (1988), Grupos reductivos reales I , Academic Press, ISBN 0-12-732960-9– vía Internet Archive

Enlaces externos

• Casselman, William, Notas sobre funciones esféricas (PDF)