Teorema de inversión de Fourier

Teorema matemático sobre funciones

En matemáticas , el teorema de inversión de Fourier dice que para muchos tipos de funciones es posible recuperar una función a partir de su transformada de Fourier . Intuitivamente, se puede considerar como la afirmación de que si conocemos toda la información de frecuencia y fase sobre una onda, entonces podemos reconstruir la onda original con precisión.

El teorema dice que si tenemos una función que satisface ciertas condiciones y utilizamos la convención para la transformada de Fourier que ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

entonces

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}$

En otras palabras, el teorema dice que

${\displaystyle f(x)=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Esta última ecuación se llama teorema integral de Fourier .

Otra forma de enunciar el teorema es que si es el operador de inversión, es decir , entonces ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (Rf)(x):=f(-x)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}R=R{\mathcal {F}}.}$

El teorema se cumple si tanto θ como su transformada de Fourier son absolutamente integrables (en el sentido de Lebesgue ) y son continuas en el punto . Sin embargo, incluso en condiciones más generales se cumplen versiones del teorema de inversión de Fourier. En estos casos, las integrales anteriores pueden no converger en un sentido ordinario. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

Declaración

En esta sección asumimos que es una función continua integrable. Utilice la convención para la transformada de Fourier que ${\displaystyle f}$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy.}$

Además, suponemos que la transformada de Fourier también es integrable.

Transformada de Fourier inversa como integral

La formulación más común del teorema de inversión de Fourier es la de enunciar la transformada inversa como una integral. Para cualquier función integrable y todos los conjuntos ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Entonces por todo lo que tenemos ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Teorema integral de Fourier

El teorema puede reformularse como

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Tomando la parte real ^[1] de cada lado de lo anterior obtenemos

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }\cos(2\pi (x-y)\cdot \xi )\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Transformada inversa en términos del operador de inversión

Para cualquier función, defina el operador de inversión ^{[nota 1]} mediante ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle Rg(x):=g(-x).}$

Entonces podemos definir en cambio

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f:=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.}$

De la definición de la transformada de Fourier y del operador de inversión se desprende inmediatamente que tanto y coinciden con la definición integral de , y en particular son iguales entre sí y satisfacen . ${\displaystyle R{\mathcal {F}}f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}Rf}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

Ya que tenemos y ${\displaystyle Rf=R{\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}f=RR{\mathcal {FF}}f}$ ${\displaystyle R={\mathcal {F}}^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{3}.}$

Inversa de dos lados

La forma del teorema de inversión de Fourier enunciado anteriormente, como es común, es que

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

En otras palabras, es una inversa izquierda de la transformada de Fourier. Sin embargo, también es una inversa derecha de la transformada de Fourier, es decir ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).}$

Dado que es tan similar a , esto se deduce muy fácilmente del teorema de inversión de Fourier (variables cambiantes ): ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \zeta :=-\xi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi \\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\[6pt]&={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{aligned}}}$

Alternativamente, esto se puede ver a partir de la relación entre y el operador de inversión y la asociatividad de la composición de funciones , ya que ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$

${\displaystyle f={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\mathcal {F}}R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f).}$

Condiciones de la función

Cuando se utiliza en física e ingeniería, el teorema de inversión de Fourier se suele utilizar bajo el supuesto de que todo "se comporta bien". En matemáticas, no se permiten argumentos heurísticos de este tipo, y el teorema de inversión de Fourier incluye una especificación explícita de qué clase de funciones se permiten. Sin embargo, no existe una "mejor" clase de funciones a considerar, por lo que existen varias variantes del teorema de inversión de Fourier, aunque con conclusiones compatibles.

Funciones de Schwartz

El teorema de inversión de Fourier se cumple para todas las funciones de Schwartz (en términos generales, funciones suaves que decaen rápidamente y cuyas derivadas decaen rápidamente). Esta condición tiene la ventaja de que es una afirmación directa y elemental sobre la función (en lugar de imponer una condición sobre su transformada de Fourier), y la integral que define la transformada de Fourier y su inversa son absolutamente integrables. Esta versión del teorema se utiliza en la demostración del teorema de inversión de Fourier para distribuciones templadas (véase más abajo).

Funciones integrables con transformada de Fourier integrable

El teorema de inversión de Fourier se cumple para todas las funciones continuas que son absolutamente integrables (es decir , ) con transformada de Fourier absolutamente integrable. Esto incluye todas las funciones de Schwartz, por lo que es una forma estrictamente más fuerte del teorema que la mencionada anteriormente. Esta condición es la que se utilizó anteriormente en la sección de enunciados. ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

Una ligera variante es eliminar la condición de que la función sea continua, pero aún así exigir que ella y su transformada de Fourier sean absolutamente integrables. Entonces, casi en todas partes donde g es una función continua, y para cada . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Funciones integrables en una dimensión

Suave por partes; unidimensional

Si la función es absolutamente integrable en una dimensión (es decir, ) y es suave por partes, entonces se cumple una versión del teorema de inversión de Fourier. En este caso definimos ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Entonces para todos ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}$

es decir, es igual al promedio de los límites izquierdo y derecho de en . En los puntos donde es continua, esto simplemente es igual a . ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$

También es válido un análogo de dimensiones superiores de esta forma del teorema, pero según Folland (1992) es "bastante delicado y no muy útil".

Continuo por partes; una dimensión

Si la función es absolutamente integrable en una dimensión (es decir, ) pero sólo continua por partes, entonces todavía se cumple una versión del teorema de inversión de Fourier. En este caso, la integral en la transformada de Fourier inversa se define con la ayuda de una función de corte suave en lugar de una función de corte abrupto; específicamente definimos ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}$

La conclusión del teorema es entonces la misma que para el caso suave por partes discutido anteriormente.

Continuo; cualquier número de dimensiones

Si es continua y absolutamente integrable en entonces el teorema de inversión de Fourier todavía se cumple siempre que definamos nuevamente la transformada inversa con una función de corte suave, es decir ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.}$

La conclusión ahora es simplemente que para todos ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

No hay condición de regularidad; cualquier número de dimensiones

Si descartamos todas las suposiciones sobre la continuidad (por partes) de y asumimos simplemente que es absolutamente integrable, entonces todavía se cumple una versión del teorema. La transformada inversa se define nuevamente con el corte suave, pero con la conclusión de que ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

para casi todos ^[2] ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Funciones integrables cuadradas

En este caso, la transformada de Fourier no se puede definir directamente como una integral, ya que puede no ser absolutamente convergente, por lo que se define mediante un argumento de densidad (consulte el artículo sobre la transformada de Fourier ). Por ejemplo, al poner

${\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,}$

Podemos establecer dónde se toma el límite en la norma. La transformada inversa puede definirse por densidad de la misma manera o definiéndola en términos de la transformada de Fourier y el operador de inversión. Entonces tenemos ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}f:=\lim _{k\to \infty }g_{k}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$

en la norma cuadrática media . En una dimensión (y sólo en una dimensión), también se puede demostrar que converge para casi todo x ∈ℝ - este es el teorema de Carleson , pero es mucho más difícil de demostrar que la convergencia en la norma cuadrática media.

Distribuciones templadas

La transformada de Fourier puede definirse en el espacio de distribuciones templadas por la dualidad de la transformada de Fourier en el espacio de funciones de Schwartz. Específicamente para y para todas las funciones de prueba establecemos ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle ,}$

donde se define utilizando la fórmula integral. Si entonces esto concuerda con la definición habitual. Podemos definir la transformada inversa , ya sea por dualidad a partir de la transformada inversa en funciones de Schwartz de la misma manera, o definiéndola en términos del operador de inversión (donde el operador de inversión se define por dualidad). Entonces tenemos ${\displaystyle {\mathcal {F}}\varphi }$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\colon {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}$

Relación con las series de Fourier

El teorema de inversión de Fourier es análogo a la convergencia de las series de Fourier . En el caso de la transformada de Fourier tenemos

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

En el caso de la serie de Fourier tenemos en cambio

${\displaystyle f\colon [0,1]^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(k):=\int _{[0,1]^{n}}e^{-2\pi iy\cdot k}\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot k}\,{\hat {f}}(k).}$

En particular, en una dimensión y la suma va de a . ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Aplicaciones

Algunos problemas, como ciertas ecuaciones diferenciales, resultan más fáciles de resolver cuando se aplica la transformada de Fourier. En ese caso, la solución del problema original se recupera utilizando la transformada de Fourier inversa.

En las aplicaciones de la transformada de Fourier, el teorema de inversión de Fourier suele desempeñar un papel fundamental. En muchas situaciones, la estrategia básica consiste en aplicar la transformada de Fourier, realizar alguna operación o simplificación y, a continuación, aplicar la transformada de Fourier inversa.

De manera más abstracta, el teorema de inversión de Fourier es una afirmación sobre la transformada de Fourier como operador (véase transformada de Fourier en espacios de funciones ). Por ejemplo, el teorema de inversión de Fourier en muestra que la transformada de Fourier es un operador unitario en . ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

Propiedades de la transformada inversa

La transformada de Fourier inversa es extremadamente similar a la transformada de Fourier original: como se ha comentado anteriormente, difiere únicamente en la aplicación de un operador de inversión. Por este motivo, las propiedades de la transformada de Fourier se cumplen para la transformada de Fourier inversa, como el teorema de convolución y el lema de Riemann-Lebesgue .

Las tablas de transformadas de Fourier se pueden utilizar fácilmente para la transformada de Fourier inversa componiendo la función buscada con el operador flip. Por ejemplo, al buscar la transformada de Fourier de la función rect, vemos que el hecho correspondiente para la transformada inversa es $${\displaystyle f(x)=\operatorname {rect} (ax)\quad \Rightarrow \quad ({\mathcal {F}}f)(\xi )={\frac {1}{|a|}}\operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right),}$$ $${\displaystyle g(\xi )=\operatorname {rect} (a\xi )\quad \Rightarrow \quad ({\mathcal {F}}^{-1}g)(x)={\frac {1}{|a|}}\operatorname {sinc} \left(-{\frac {x}{a}}\right).}$$

Prueba

La prueba utiliza unos pocos hechos, dados y . ${\displaystyle f(y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}f(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }f(y)\,dy}$

1. Si y , entonces . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle g(\xi )=e^{2\pi \mathrm {i} x\cdot \xi }\psi (\xi )}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}g)(y)=({\mathcal {F}}\psi )(y-x)}$
2. Si y , entonces . ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \psi (\xi )=\varphi (\varepsilon \xi )}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}\psi )(y)=({\mathcal {F}}\varphi )(y/\varepsilon )/|\varepsilon |^{n}}$
3. Porque el teorema de Fubini implica que . ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \textstyle \int g(\xi )\cdot ({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\int ({\mathcal {F}}g)(y)\cdot f(y)\,dy}$
4. Definir ; luego . ${\displaystyle \varphi (\xi )=e^{-\pi \vert \xi \vert ^{2}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}\varphi )(y)=\varphi (y)}$
5. Defina . Entonces, con denotación de convolución , es una aproximación a la identidad : para cualquier continuo y punto , (donde la convergencia es puntual). ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }(y)=\varphi (y/\varepsilon )/\varepsilon ^{n}}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}(\varphi _{\varepsilon }\ast f)(x)=f(x)}$

Puesto que, por suposición, , entonces se sigue por el teorema de convergencia dominada que ${\displaystyle {\mathcal {F}}f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}$

Definir . Aplicando los hechos 1, 2 y 4, repetidamente para integrales múltiples si es necesario, obtenemos ${\displaystyle g_{x}(\xi )=e^{-\pi \varepsilon ^{2}\vert \xi \vert ^{2}+2\pi \mathrm {i} x\cdot \xi }}$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}g_{x})(y)={\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}=\varphi _{\varepsilon }(x-y).}$

Usando el hecho 3 en y , para cada , tenemos ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g_{x}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}f(y)\,dy=(\varphi _{\varepsilon }*f)(x),}$

la convolución de con una identidad aproximada. Pero como , el hecho 5 dice que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}(\varphi _{\varepsilon }*f)(x)=f(x).}$

Juntando lo anterior hemos demostrado que

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =f(x).\qquad \square }$

Notas

1. Un operador es una transformación que asigna funciones a funciones. El operador de inversión, la transformada de Fourier, la transformada de Fourier inversa y la transformada identidad son ejemplos de operadores.

Referencias

• Folland, GB (1992). Análisis de Fourier y sus aplicaciones . Belmont, CA, EE. UU.: Wadsworth. ISBN 0-534-17094-3.
• Folland, GB (1995). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (2.ª ed.). Princeton, EE. UU.: Princeton Univ. Press. ISBN 978-0-691-04361-6.

1. wlog f tiene un valor real, ya que cualquier función de valor complejo puede dividirse en sus partes reales e imaginarias y cada operador que aparece aquí es lineal en f .
2. "DMat0101, Notas 3: La transformada de Fourier en L^1". Me desperté en un lugar extraño . 2011-03-10 . Consultado el 2018-02-12 .