Integral directa

En matemáticas y análisis funcional , una integral directa o integral de Hilbert es una generalización del concepto de suma directa . La teoría está más desarrollada para integrales directas de espacios de Hilbert e integrales directas de álgebras de von Neumann . El concepto fue introducido en 1949 por John von Neumann en uno de los artículos de la serie On Rings of Operators . Uno de los objetivos de von Neumann en este artículo era reducir la clasificación de (lo que ahora se llama) álgebras de von Neumann en espacios de Hilbert separables a la clasificación de los llamados factores. Los factores son análogos a las álgebras matriciales completas sobre un cuerpo, y von Neumann quería demostrar un análogo continuo del teorema de Artin-Wedderburn que clasifica los anillos semisimples.

Los resultados sobre integrales directas pueden considerarse como generalizaciones de resultados sobre álgebras C* de matrices de dimensión finita; en este caso, los resultados son fáciles de demostrar directamente. El caso de dimensión infinita se complica por tecnicismos de teoría de la medida.

La teoría integral directa también fue utilizada por George Mackey en su análisis de sistemas de imprimitividad y su teoría general de representaciones inducidas de grupos separables localmente compactos .

Integrales directas de espacios de Hilbert

El ejemplo más simple de una integral directa son los espacios L ² asociados a una medida aditiva contable (σ-finita) μ en un espacio medible X . De manera algo más general, se puede considerar un espacio de Hilbert separable H y el espacio de funciones de valor H integrables al cuadrado

${\displaystyle L_{\mu }^{2}(X,H).}$

Nota terminológica : Se sigue aquí la terminología adoptada por la literatura sobre el tema, según la cual un espacio medible X se denomina espacio de Borel y los elementos de la σ-álgebra distinguida de X como conjuntos de Borel , independientemente de si la σ-álgebra subyacente proviene o no de un espacio topológico (en la mayoría de los ejemplos lo hace). Un espacio de Borel es estándar si y solo si es isomorfo al espacio de Borel subyacente de un espacio polaco ; todos los espacios polacos de una cardinalidad dada son isomorfos entre sí (como espacios de Borel). Dada una medida contablemente aditiva μ en X , un conjunto medible es uno que difiere de un conjunto de Borel por un conjunto nulo . La medida μ en X es una medida estándar si y solo si hay un conjunto nulo E tal que su complemento X − E es un espacio de Borel estándar . ^{[ aclaración necesaria ]} Todas las medidas consideradas aquí son σ-finitas .

Definición . Sea X un espacio de Borel dotado de una medida aditiva numerable μ. Una familia medible de espacios de Hilbert en ( X , μ) es una familia { H _x } _{x ∈ X} , que es localmente equivalente a una familia trivial en el siguiente sentido: Existe una partición numerable

${\displaystyle \{X_{n}\}_{1\leq n\leq \omega }}$

por subconjuntos mensurables de X tales que

${\displaystyle H_{x}=\mathbf {H} _{n}\quad x\in X_{n}}$

donde H _n es el espacio de Hilbert canónico n -dimensional, es decir

${\displaystyle \mathbf {H} _{n}=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {C} ^{n}&{\mbox{ if }}n<\omega \\\ell ^{2}&{\mbox{ if }}n=\omega \end{matrix}}\right.}$

En lo anterior, es el espacio de secuencias cuadradas sumables ; todos los espacios de Hilbert separables son isomorfos a ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}.}$

Una sección transversal de { H _x } _{x ∈ X} es una familia { s _x } _{x ∈ X} tal que s _x ∈ H _x para todo x ∈ X . Una sección transversal es medible si y solo si su restricción a cada elemento de partición X _n es medible. Identificaremos secciones transversales medibles s , t que sean iguales casi en todas partes . Dada una familia medible de espacios de Hilbert, la integral directa

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \mu (x)}$

consiste en clases de equivalencia (con respecto a la igualdad casi en todas partes) de secciones transversales integrables cuadradas medibles de { H _x } _{x ∈ X} . Este es un espacio de Hilbert bajo el producto interno

${\displaystyle \langle s|t\rangle =\int _{X}\langle s(x)|t(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)}$

Dada la naturaleza local de nuestra definición, muchas definiciones aplicables a espacios de Hilbert individuales se aplican también a familias mensurables de espacios de Hilbert.

Observación . Esta definición es aparentemente más restrictiva que la dada por von Neumann y discutida en el tratado clásico de Dixmier sobre las álgebras de von Neumann. En la definición más general, las fibras del espacio de Hilbert H _x pueden variar de un punto a otro sin tener un requisito de trivialidad local (local en un sentido de teoría de la medida). Uno de los principales teoremas de la teoría de von Neumann es mostrar que, de hecho, la definición más general es equivalente a la más simple dada aquí.

Nótese que la integral directa de una familia medible de espacios de Hilbert depende únicamente de la clase de medida de la medida μ; más precisamente:

Teorema . Supóngase que μ, ν son medidas aditivas contables σ-finitas en X que tienen los mismos conjuntos de medida 0. Entonces, la aplicación

${\displaystyle s\mapsto \left({\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} \nu }}\right)^{1/2}s}$

es un operador unitario

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \mu (x)\rightarrow \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \nu (x).}$

Ejemplo

El ejemplo más simple ocurre cuando X es un conjunto numerable y μ es una medida discreta . Por lo tanto, cuando X = N y μ es una medida de recuento en N , entonces cualquier secuencia { H _k } de espacios de Hilbert separables puede considerarse como una familia medible. Además,

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \mu (x)\cong \bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H_{k}}$

Operadores descomponibles

Para el ejemplo de una medida discreta en un conjunto contable, cualquier operador lineal acotado T en

${\displaystyle H=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H_{k}}$

viene dada por una matriz infinita

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}&\cdots \\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}&\cdots \\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$

Para este ejemplo de una medida discreta en un conjunto contable, los operadores descomponibles se definen como los operadores que son diagonales en bloque , teniendo cero para todas las entradas no diagonales. Los operadores descomponibles se pueden caracterizar como aquellos que conmutan con matrices diagonales:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0&\cdots \\0&\lambda _{2}&\cdots &0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\cdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}&\cdots \\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$

El ejemplo anterior motiva la definición general: se dice que una familia de operadores acotados { T _x } _{x ∈ X} con T _x ∈ L( H _x ) es fuertemente medible si y solo si su restricción a cada X _n es fuertemente medible. Esto tiene sentido porque H _x es constante en X _n .

Familias mensurables de operadores con una norma esencialmente acotada , es decir

${\displaystyle \operatorname {ess-sup} _{x\in X}\|T_{x}\|<\infty }$

definir operadores lineales acotados

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }\ T_{x}d\mu (x)\in \operatorname {L} {\bigg (}\int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x){\bigg )}}$

actuando de manera puntual, es decir

${\displaystyle {\bigg [}\int _{X}^{\oplus }\ T_{x}d\mu (x){\bigg ]}{\bigg (}\int _{X}^{\oplus }\ s_{x}d\mu (x){\bigg )}=\int _{X}^{\oplus }\ T_{x}(s_{x})d\mu (x).}$

Se dice que estos operadores son descomponibles .

Ejemplos de operadores descomponibles son aquellos definidos por funciones medibles de valor escalar (es decir, de valor C ) λ en X . De hecho,

Teorema . La aplicación

${\displaystyle \phi :L_{\mu }^{\infty }(X)\rightarrow \operatorname {L} {\bigg (}\int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x){\bigg )}}$

dado por

${\displaystyle \lambda \mapsto \int _{X}^{\oplus }\ \lambda _{x}d\mu (x)}$

es un isomorfismo algebraico involutivo sobre su imagen.

Esto permite identificar L ^∞ _μ ( X ) con la imagen de φ.

Teorema ^[1] Los operadores descomponibles son precisamente aquellos que están en el operador conmutante del álgebra abeliana L ^∞ _μ ( X ).

Descomposición de álgebras abelianas de von Neumann

El teorema espectral tiene muchas variantes. Una versión especialmente potente es la siguiente:

Teorema . Para cualquier álgebra abeliana de von Neumann A sobre un espacio de Hilbert separable H , existe un espacio de Borel estándar X y una medida μ sobre X tal que es unitariamente equivalente como álgebra de operadores a L ^∞ _μ ( X ) que actúa sobre una integral directa de espacios de Hilbert

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x).\quad }$

Afirmar que A es unitariamente equivalente a L ^∞ _μ ( X ) como álgebra de operadores significa que existe una

${\displaystyle U:H\rightarrow \int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x)}$

tal que U A U * es el álgebra de operadores diagonales L ^∞ _μ ( X ). Nótese que esto afirma más que solo la equivalencia algebraica de A con el álgebra de operadores diagonales.

Esta versión del teorema espectral no establece explícitamente cómo se obtiene el espacio de Borel estándar subyacente X. Existe un resultado de unicidad para la descomposición anterior.

Teorema . Si el álgebra abeliana de von Neumann A es unitariamente equivalente tanto a L ^∞ _μ ( X ) como a L ^∞ _ν ( Y ) actuando sobre los espacios integrales directos

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x),\quad \int _{Y}^{\oplus }K_{y}d\nu (y)}$

y μ, ν son medidas estándar, entonces existe un isomorfismo de Borel

${\displaystyle \varphi :X-E\rightarrow Y-F}$

donde E , F son conjuntos nulos tales que

${\displaystyle K_{\phi (x)}=H_{x}\quad {\mbox{almost everywhere}}}$

El isomorfismo φ es un isomorfismo de clase de medida, en el que φ y su inverso preservan conjuntos de medida 0.

Los dos teoremas anteriores proporcionan una clasificación completa de las álgebras abelianas de von Neumann en espacios de Hilbert separables. Esta clasificación tiene en cuenta la realización del álgebra de von Neumann como un álgebra de operadores. Si se considera el álgebra de von Neumann subyacente independientemente de su realización (como un álgebra de von Neumann), entonces su estructura está determinada por invariantes de teoría de la medida muy simples.

Integrales directas de álgebras de von Neumann

Sea { H _x } _{x ∈ X} una familia medible de espacios de Hilbert. Una familia de álgebras de von Neumann { A _x } _{x ∈ X} con

${\displaystyle A_{x}\subseteq \operatorname {L} (H_{x})}$

es medible si y sólo si hay un conjunto contable D de familias de operadores mensurables que generan puntualmente { A _x } _{x ∈ X} como un álgebra de von Neumann en el siguiente sentido: Para casi todos los x ∈ X ,

${\displaystyle \operatorname {W^{*}} (\{S_{x}:S\in D\})=A_{x}}$

donde W*( S ) denota el álgebra de von Neumann generada por el conjunto S . Si { A _x } _{x ∈ X} es una familia medible de álgebras de von Neumann, la integral directa de las álgebras de von Neumann

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }A_{x}d\mu (x)}$

consta de todos los operadores de la forma

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }T_{x}d\mu (x)}$

para T _x ∈ A _x .

Uno de los principales teoremas de von Neumann y Murray en su serie original de artículos es una prueba del teorema de descomposición: cualquier álgebra de von Neumann es una integral directa de factores. Dicho con precisión,

Teorema . Si { A _x } _{x ∈ X} es una familia medible de álgebras de von Neumann y μ es estándar, entonces la familia de operadores conmutativos también es medible y

${\displaystyle {\bigg [}\int _{X}^{\oplus }A_{x}d\mu (x){\bigg ]}'=\int _{X}^{\oplus }A'_{x}d\mu (x).}$

Descomposición central

Supongamos que A es un álgebra de von Neumann. Sea Z ( A ) el centro de A . El centro es el conjunto de operadores en A que conmutan con todos los operadores A :

${\displaystyle \mathbf {Z} (A)=A\cap A'}$

Entonces Z ( A ) es un álgebra de von Neumann abeliana.

Ejemplo . El centro de L( H ) es unidimensional. En general, si A es un álgebra de von Neumann, si el centro es unidimensional decimos que A es un factor .

Cuando A es un álgebra de von Neumann cuyo centro contiene una secuencia de proyecciones ortogonales mínimas no nulas por pares { E _i } _{i ∈ N} tales que

${\displaystyle 1=\sum _{i\in \mathbb {N} }E_{i}}$

Entonces A E _i es un álgebra de von Neumann en el rango H _i de E _i . Es fácil ver que A E _i es un factor. Por lo tanto, en este caso especial

${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }AE_{i}}$

representa A como suma directa de factores. Este es un caso especial del teorema de descomposición central de von Neumann.

En general, el teorema de estructura de las álgebras abelianas de von Neumann representa Z( A ) como un álgebra de operadores diagonales escalares. En cualquier representación de este tipo, todos los operadores en A son operadores descomponibles. Esto se puede utilizar para demostrar el resultado básico de von Neumann: cualquier álgebra de von Neumann admite una descomposición en factores.

Teorema . Supongamos

${\displaystyle H=\int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x)}$

es una descomposición integral directa de H y A es un álgebra de von Neumann sobre H de modo que Z( A ) está representada por el álgebra de operadores diagonales escalares L ^∞ _μ ( X ) donde X es un espacio de Borel estándar. Entonces

${\displaystyle \mathbf {A} =\int _{X}^{\oplus }A_{x}d\mu (x)}$

donde para casi todos los x ∈ X , A _x es un álgebra de von Neumann que es un factor .

Familias de representaciones mensurables

Si A es una C*-álgebra separable , los resultados anteriores se pueden aplicar a familias mensurables de *-representaciones no degeneradas de A. En el caso de que A tenga una unidad, la no degeneración es equivalente a la preservación de la unidad. Por la correspondencia general que existe entre representaciones unitarias fuertemente continuas de un grupo localmente compacto G y *-representaciones no degeneradas de los grupos C*-álgebra C*( G ), la teoría para C*-álgebras proporciona inmediatamente una teoría de descomposición para representaciones de grupos localmente compactos separables .

Teorema . Sea A una C*-álgebra separable y π una representación involutiva no degenerada de A en un espacio de Hilbert separable H . Sea W*(π) el álgebra de von Neumann generada por los operadores π( a ) para a ∈ A . Entonces, correspondiente a cualquier descomposición central de W*(π) sobre un espacio de medida estándar ( X , μ) (que, como se dijo, es único en un sentido teórico de la medida), existe una familia medible de representaciones factoriales

${\displaystyle \{\pi _{x}\}_{x\in X}}$

de A tal que

${\displaystyle \pi (a)=\int _{X}^{\oplus }\pi _{x}(a)d\mu (x),\quad \forall a\in A.}$

Además, existe un subconjunto N de X con medida μ cero, tal que π _x , π _y son disjuntos siempre que x , y ∈ X − N , donde se dice que las representaciones son disjuntas si y solo si no hay operadores entrelazados entre ellas.

Se puede demostrar que la integral directa puede indexarse ​​en el llamado cuasiespectro Q de A , que consiste en clases de representaciones factoriales de A de cuasi-equivalencia . Por lo tanto, existe una medida estándar μ en Q y una familia medible de representaciones factoriales indexadas en Q tales que π _x pertenece a la clase de x . Esta descomposición es esencialmente única. Este resultado es fundamental en la teoría de representaciones de grupo .

Referencias

1. Takesaki, Masamichi (2001), Teoría de las álgebras de operadores I , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42248-X, Capítulo IV, Teorema 7.10, pág. 259

• J. Dixmier , Álgebras de Von Neumann , ISBN 0-444-86308-7 
• J. Dixmier, Álgebras C* ISBN 0-7204-0762-1 
• GW Mackey , La teoría de las representaciones de grupos unitarios , The University of Chicago Press, 1976.
• J. von Neumann , Sobre anillos de operadores. Teoría de la reducción. Annals of Mathematics 2.ª serie, vol. 50, núm. 2 (abril de 1949), págs. 401–485.
• Masamichi Takesaki Theory of Operador Algebras I, II, III", enciclopedia de ciencias matemáticas, Springer-Verlag, 2001-2003 (el primer volumen se publicó en 1979 en 1. edición) ISBN 3-540-42248-X