Teorema de Plancherel

Teorema en el análisis armónico

En matemáticas , el teorema de Plancherel (a veces llamado identidad de Parseval-Plancherel ) es un resultado del análisis armónico , demostrado por Michel Plancherel en 1910. Es una generalización del teorema de Parseval ; a menudo utilizado en los campos de la ciencia y la ingeniería, que demuestra la unitaridad de la transformada de Fourier .

El teorema establece que la integral del módulo al cuadrado de una función es igual a la integral del módulo al cuadrado de su espectro de frecuencias . Es decir, si es una función en la recta real, y es su espectro de frecuencias, entonces ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi }$

Una formulación más precisa es que si una función está en ambos espacios L p y , entonces su transformada de Fourier está en y la transformada de Fourier es una isometría con respecto a la norma L ² . Esto implica que la transformada de Fourier restringida a tiene una extensión única a una función isométrica lineal , a veces llamada transformada de Plancherel. Esta isometría es en realidad una función unitaria . En efecto, esto hace posible hablar de transformadas de Fourier de funciones integrables cuadráticamente . ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )}$

Una prueba del teorema está disponible en Rudin (1987, Capítulo 9) .

El teorema de Plancherel sigue siendo válido tal como se enuncia en el espacio euclidiano n -dimensional . El teorema también se cumple de forma más general en grupos abelianos localmente compactos . También existe una versión del teorema de Plancherel que tiene sentido para grupos localmente compactos no conmutativos que satisfacen ciertas suposiciones técnicas. Este es el tema del análisis armónico no conmutativo . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Debido a la identidad de polarización , también se puede aplicar el teorema de Plancherel al producto interno de dos funciones. Es decir, si y son dos funciones, y denota la transformada de Plancherel, entonces y si y son además funciones, entonces y por lo tanto ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,}$$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$$ $${\displaystyle ({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .}$

Véase también

• Teorema de Plancherel para funciones esféricas

Referencias

• Plancherel, Michel (1910), "Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies", Rediconti del Circolo Matematico di Palermo , 30 (1): 289–335, doi :10.1007/BF03014877, S2CID  122509369.
• Dixmier, J. (1969), Les C*-algèbres et leurs Représentations , Gauthier Villars.
• Yosida, K. (1968), Análisis funcional , Springer Verlag.
• Rudin, Walter (1987), "Las 9 transformadas de Fourier", Análisis real y complejo (3.ª ed.), McGraw-Hill Book Company.

Enlaces externos

• "Teorema de Plancherel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Teorema de Plancherel en Mathworld