En matemáticas , un álgebra de von Neumann o W*-álgebra es un *-álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert que está cerrado en la topología de operadores débiles y contiene el operador identidad . Es un tipo especial de C*-álgebra .
Las álgebras de von Neumann fueron introducidas originalmente por John von Neumann , motivado por su estudio de operadores simples , representaciones de grupos , teoría ergódica y mecánica cuántica . Su teorema del doble conmutante muestra que la definición analítica es equivalente a una definición puramente algebraica como álgebra de simetrías.
Dos ejemplos básicos de álgebras de von Neumann son los siguientes:
Las álgebras de von Neumann fueron estudiadas por primera vez por von Neumann (1930) en 1929; él y Francis Murray desarrollaron la teoría básica, bajo el nombre original de anillos de operadores , en una serie de artículos escritos en las décadas de 1930 y 1940 (FJ Murray y J. von Neumann 1936, 1937, 1943; J. von Neumann 1938, 1940, 1943, 1949), reimpresos en las obras reunidas de von Neumann (1961).
Se ofrecen descripciones introductorias de las álgebras de von Neumann en las notas en línea de Jones (2003) y Wassermann (1991) y en los libros de Dixmier (1981), Schwartz (1967), Blackadar (2005) y Sakai (1971). La obra en tres volúmenes de Takesaki (1979) ofrece una descripción enciclopédica de la teoría. El libro de Connes (1994) analiza temas más avanzados.
Hay tres formas comunes de definir las álgebras de von Neumann.
La primera y más común forma es definirlas como *-álgebras débilmente cerradas de operadores acotados (en un espacio de Hilbert) que contienen la identidad. En esta definición, la topología (de operadores) débil puede reemplazarse por muchas otras topologías comunes , incluidas las topologías de operadores fuertes , ultrafuertes o ultradébiles . Las *-álgebras de operadores acotados que están cerradas en la topología de la norma son C*-álgebras , por lo que, en particular, cualquier álgebra de von Neumann es una C*-álgebra.
La segunda definición es que un álgebra de von Neumann es una subálgebra de los operadores acotados cerrados bajo involución (la operación *) e igual a su doble conmutante , o equivalentemente el conmutante de alguna subálgebra cerrada bajo *. El teorema del doble conmutante de von Neumann (von Neumann 1930) dice que las dos primeras definiciones son equivalentes.
Las dos primeras definiciones describen un álgebra de von Neumann concretamente como un conjunto de operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert dado. Sakai (1971) demostró que las álgebras de von Neumann también pueden definirse de forma abstracta como C*-álgebras que tienen un predual ; en otras palabras, el álgebra de von Neumann, considerada como un espacio de Banach , es el dual de algún otro espacio de Banach llamado predual. El predual de un álgebra de von Neumann es, de hecho, único salvo isomorfismo. Algunos autores utilizan "álgebra de von Neumann" para las álgebras junto con una acción de espacio de Hilbert, y "álgebra W*" para el concepto abstracto, por lo que un álgebra de von Neumann es un W*-álgebra junto con un espacio de Hilbert y una acción unital fiel adecuada sobre el espacio de Hilbert. Las definiciones concretas y abstractas de un álgebra de von Neumann son similares a las definiciones concretas y abstractas de un C*-álgebra, que pueden definirse como *-álgebras de operadores en un espacio de Hilbert cerradas por norma, o como *-álgebras de Banach tales que || aa* ||=|| a || || a* ||.
Parte de la terminología de la teoría del álgebra de von Neumann puede resultar confusa y los términos suelen tener significados diferentes fuera del tema.
Olvidándonos de la topología de un álgebra de von Neumann, podemos considerarla un *-álgebra (unital) , o simplemente un anillo. Las álgebras de von Neumann son semihereditarias : cada submódulo finitamente generado de un módulo proyectivo es en sí mismo proyectivo. Ha habido varios intentos de axiomatizar los anillos subyacentes de las álgebras de von Neumann, incluidos los *-anillos de Baer y las *-álgebras de AW . El *-álgebra de operadores afiliados de un álgebra finita de von Neumann es un anillo regular de von Neumann . (El álgebra de von Neumann en sí misma no es, en general, regular de von Neumann).
La relación entre las álgebras conmutativas de von Neumann y los espacios de medida es análoga a la que existe entre las C*-álgebras conmutativas y los espacios de Hausdorff localmente compactos . Toda álgebra conmutativa de von Neumann es isomorfa a L ∞ ( X ) para algún espacio de medida ( X , μ) y, a la inversa, para todo espacio de medida σ-finito X , la *-álgebra L ∞ ( X ) es un álgebra de von Neumann.
Debido a esta analogía, la teoría de las álgebras de von Neumann se ha denominado teoría de medidas no conmutativas, mientras que la teoría de las álgebras C* a veces se denomina topología no conmutativa (Connes 1994).
Los operadores E en un álgebra de von Neumann para la cual E = EE = E* se denominan proyecciones ; son exactamente los operadores que dan una proyección ortogonal de H sobre algún subespacio cerrado. Se dice que un subespacio del espacio de Hilbert H pertenece al álgebra de von Neumann M si es la imagen de alguna proyección en M. Esto establece una correspondencia 1:1 entre las proyecciones de M y los subespacios que pertenecen a M. De manera informal, estos son los subespacios cerrados que se pueden describir utilizando elementos de M , o que M "conoce".
Se puede demostrar que la clausura de la imagen de cualquier operador en M y el núcleo de cualquier operador en M pertenece a M . Además, la clausura de la imagen bajo un operador de M de cualquier subespacio perteneciente a M también pertenece a M . (Estos resultados son una consecuencia de la descomposición polar ).
La teoría básica de las proyecciones fue elaborada por Murray y von Neumann (1936). Dos subespacios pertenecientes a M se denominan ( Murray–von Neumann ) equivalentes si existe una isometría parcial que mapea el primero isomorfamente sobre el otro que es un elemento del álgebra de von Neumann (informalmente, si M "sabe" que los subespacios son isomorfos). Esto induce una relación de equivalencia natural en las proyecciones al definir E como equivalente a F si los subespacios correspondientes son equivalentes, o en otras palabras, si existe una isometría parcial de H que mapea la imagen de E isométricamente a la imagen de F y es un elemento del álgebra de von Neumann. Otra forma de expresar esto es que E es equivalente a F si E=uu* y F=u*u para alguna isometría parcial u en M .
La relación de equivalencia ~ así definida es aditiva en el siguiente sentido: supóngase E 1 ~ F 1 y E 2 ~ F 2 . Si E 1 ⊥ E 2 y F 1 ⊥ F 2 , entonces E 1 + E 2 ~ F 1 + F 2 . La aditividad no se cumpliría en general si se exigiera equivalencia unitaria en la definición de ~, es decir, si decimos que E es equivalente a F si u*Eu = F para alguna u unitaria . Los teoremas de Schröder–Bernstein para álgebras de operadores dan una condición suficiente para la equivalencia de Murray-von Neumann.
Los subespacios pertenecientes a M están parcialmente ordenados por inclusión, y esto induce un orden parcial ≤ de proyecciones. También existe un orden parcial natural en el conjunto de clases de equivalencia de proyecciones, inducido por el orden parcial ≤ de proyecciones. Si M es un factor, ≤ es un orden total en las clases de equivalencia de proyecciones, descrito en la sección sobre trazas más adelante.
Se dice que una proyección (o subespacio perteneciente a M ) E es una proyección finita si no hay ninguna proyección F < E (es decir, F ≤ E y F ≠ E ) que sea equivalente a E . Por ejemplo, todas las proyecciones (o subespacios) de dimensión finita son finitas (ya que las isometrías entre espacios de Hilbert dejan la dimensión fija), pero el operador identidad en un espacio de Hilbert de dimensión infinita no es finito en el álgebra de von Neumann de todos los operadores acotados en él, ya que es isométricamente isomorfo a un subconjunto propio de sí mismo. Sin embargo, es posible que los subespacios de dimensión infinita sean finitos.
Las proyecciones ortogonales son análogas no conmutativas de las funciones indicadoras en L ∞ ( R ). L ∞ ( R ) es la ||·|| ∞ -clausura del subespacio generado por las funciones indicadoras. De manera similar, un álgebra de von Neumann es generada por sus proyecciones; esto es una consecuencia del teorema espectral para operadores autoadjuntos .
Las proyecciones de un factor finito forman una geometría continua .
Un álgebra de von Neumann N cuyo centro consiste únicamente en múltiplos del operador identidad se denomina factor . Como demostró von Neumann (1949), toda álgebra de von Neumann en un espacio de Hilbert separable es isomorfa a una integral directa de factores. Esta descomposición es esencialmente única. Por lo tanto, el problema de clasificar las clases de isomorfismo de las álgebras de von Neumann en espacios de Hilbert separables se puede reducir al de clasificar las clases de isomorfismo de los factores.
Murray y von Neumann (1936) demostraron que cada factor tiene uno de los 3 tipos que se describen a continuación. La clasificación de tipos se puede extender a las álgebras de von Neumann que no son factores, y una álgebra de von Neumann es de tipo X si se puede descomponer como una integral directa de factores de tipo X; por ejemplo, cada álgebra de von Neumann conmutativa tiene tipo I 1 . Cada álgebra de von Neumann se puede escribir de forma única como una suma de álgebras de von Neumann de tipos I, II y III.
Hay otras formas de dividir factores en clases que a veces se utilizan:
Se dice que un factor es de tipo I si existe una proyección mínima E ≠ 0 , es decir, una proyección E tal que no existe otra proyección F con 0 < F < E . Cualquier factor de tipo I es isomorfo al álgebra de von Neumann de todos los operadores acotados sobre algún espacio de Hilbert; puesto que existe un espacio de Hilbert para cada número cardinal , las clases de isomorfismo de los factores de tipo I corresponden exactamente a los números cardinales. Puesto que muchos autores consideran las álgebras de von Neumann solo sobre espacios de Hilbert separables, es habitual llamar a los operadores acotados sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita n un factor de tipo I n , y a los operadores acotados sobre un espacio de Hilbert de dimensión infinita separable, un factor de tipo I ∞ .
Se dice que un factor es de tipo II si no hay proyecciones mínimas pero hay proyecciones finitas distintas de cero. Esto implica que cada proyección E puede "reducirse a la mitad" en el sentido de que hay dos proyecciones F y G que son equivalentes a Murray–von Neumann y satisfacen E = F + G . Si el operador de identidad en un factor de tipo II es finito, se dice que el factor es de tipo II 1 ; de lo contrario, se dice que es de tipo II ∞ . Los factores de tipo II mejor comprendidos son el factor hiperfinito de tipo II 1 y el factor hiperfinito de tipo II ∞ , encontrados por Murray y von Neumann (1936). Estos son los únicos factores hiperfinitos de tipos II 1 y II ∞ ; hay un número incontable de otros factores de estos tipos que son objeto de un estudio intensivo. Murray y von Neumann (1937) demostraron el resultado fundamental de que un factor de tipo II 1 tiene un estado trazal finito único, y el conjunto de trazas de proyecciones es [0,1].
Un factor de tipo II ∞ tiene una traza semifinita, única hasta el reescalamiento, y el conjunto de trazas de proyecciones es [0,∞]. El conjunto de números reales λ tales que existe un automorfismo que reescala la traza por un factor de λ se denomina grupo fundamental del factor de tipo II ∞ .
El producto tensorial de un factor de tipo II 1 y un factor infinito de tipo I tiene tipo II ∞ , y a la inversa cualquier factor de tipo II ∞ puede construirse de esta manera. El grupo fundamental de un factor de tipo II 1 se define como el grupo fundamental de su producto tensorial con el factor infinito (separable) de tipo I. Durante muchos años fue un problema abierto encontrar un factor de tipo II cuyo grupo fundamental no fuera el grupo de los reales positivos , pero Connes demostró entonces que el álgebra de grupos de von Neumann de un grupo discreto numerable con la propiedad de Kazhdan (T) (la representación trivial está aislada en el espacio dual), como SL(3, Z ), tiene un grupo fundamental numerable. Posteriormente, Sorin Popa demostró que el grupo fundamental puede ser trivial para ciertos grupos, incluido el producto semidirecto de Z 2 por SL(2, Z ).
Un ejemplo de un factor de tipo II 1 es el álgebra de grupos de von Neumann de un grupo discreto infinito numerable tal que cada clase de conjugación no trivial es infinita. McDuff (1969) encontró una familia incontable de tales grupos con álgebras de grupos de von Neumann no isomorfas, mostrando así la existencia de una cantidad incontable de factores de tipo II 1 separables diferentes .
Por último, los factores de tipo III son factores que no contienen ninguna proyección finita distinta de cero. En su primer artículo, Murray y von Neumann (1936) no pudieron decidir si existían o no; los primeros ejemplos fueron encontrados más tarde por von Neumann (1940). Dado que el operador identidad siempre es infinito en esos factores, a veces se los llamaba tipo III ∞ en el pasado, pero recientemente esa notación ha sido reemplazada por la notación III λ , donde λ es un número real en el intervalo [0,1]. Más precisamente, si el espectro de Connes (de su grupo modular) es 1, entonces el factor es de tipo III 0 , si el espectro de Connes son todas las potencias enteras de λ para 0 < λ < 1, entonces el tipo es III λ , y si el espectro de Connes son todos los reales positivos, entonces el tipo es III 1 . (El espectro de Connes es un subgrupo cerrado de los reales positivos, por lo que estas son las únicas posibilidades). La única traza de los factores de tipo III toma valor ∞ en todos los elementos positivos distintos de cero, y dos proyecciones distintas de cero son equivalentes. En un momento dado, los factores de tipo III se consideraban objetos intratables, pero la teoría de Tomita-Takesaki ha dado lugar a una buena teoría de la estructura. En particular, cualquier factor de tipo III se puede escribir de forma canónica como el producto cruzado de un factor de tipo II ∞ y los números reales.
Cualquier álgebra de von Neumann M tiene un predual M ∗ , que es el espacio de Banach de todos los funcionales lineales ultradébilmente continuos en M . Como sugiere el nombre, M es (como espacio de Banach) el dual de su predual. El predual es único en el sentido de que cualquier otro espacio de Banach cuyo dual sea M es canónicamente isomorfo a M ∗ . Sakai (1971) demostró que la existencia de un predual caracteriza a las álgebras de von Neumann entre las álgebras C*.
La definición del predual dada anteriormente parece depender de la elección del espacio de Hilbert sobre el que actúa M , ya que esto determina la topología ultradébil. Sin embargo, el predual también puede definirse sin utilizar el espacio de Hilbert sobre el que actúa M , definiéndolo como el espacio generado por todos los funcionales lineales normales positivos en M . (Aquí, "normal" significa que conserva la supremacía cuando se aplica a redes crecientes de operadores autoadjuntos; o equivalentemente a secuencias crecientes de proyecciones).
El predual M ∗ es un subespacio cerrado del dual M* (que consiste en todos los funcionales lineales norma-continuos en M ) pero generalmente es más pequeño. La prueba de que M ∗ (usualmente) no es lo mismo que M* no es constructiva y utiliza el axioma de elección de una manera esencial; es muy difícil exhibir elementos explícitos de M* que no estén en M ∗ . Por ejemplo, las formas lineales positivas exóticas en el álgebra de von Neumann l ∞ ( Z ) están dadas por ultrafiltros libres ; corresponden a *-homomorfismos exóticos en C y describen la compactificación de Stone–Čech de Z .
Ejemplos:
Los pesos y sus casos especiales, estados y trazas, se analizan en detalle en (Takesaki 1979).
Cualquier factor tiene una traza tal que la traza de una proyección distinta de cero no es cero y la traza de una proyección es infinita si y solo si la proyección es infinita. Dicha traza es única hasta el reescalado. Para factores que son separables o finitos, dos proyecciones son equivalentes si y solo si tienen la misma traza. El tipo de un factor se puede leer a partir de los posibles valores de esta traza sobre las proyecciones del factor, de la siguiente manera:
Si un álgebra de von Neumann actúa sobre un espacio de Hilbert que contiene un vector de norma 1 v , entonces el funcional a → ( av , v ) es un estado normal. Esta construcción se puede invertir para dar una acción sobre un espacio de Hilbert desde un estado normal: esta es la construcción GNS para estados normales.
Dado un factor separable abstracto, se puede pedir una clasificación de sus módulos, es decir, los espacios de Hilbert separables sobre los que actúa. La respuesta se da de la siguiente manera: a cada módulo H se le puede dar una dimensión M dim M ( H ) (no su dimensión como espacio vectorial complejo) tal que los módulos sean isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión M. La dimensión M es aditiva, y un módulo es isomorfo a un subespacio de otro módulo si y solo si tiene una dimensión M menor o igual .
Un módulo se denomina estándar si tiene un vector separador cíclico. Cada factor tiene una representación estándar, que es única hasta el isomorfismo. La representación estándar tiene una involución antilineal J tal que JMJ = M ′ . Para factores finitos, el módulo estándar viene dado por la construcción GNS aplicada al único estado trazal normal y la dimensión M se normaliza de modo que el módulo estándar tenga una dimensión M de 1, mientras que para factores infinitos, el módulo estándar es el módulo con una dimensión M igual a ∞.
Las posibles dimensiones M de los módulos se dan de la siguiente manera:
Connes (1976) y otros demostraron que las siguientes condiciones en un álgebra de von Neumann M en un espacio de Hilbert separable H son todas equivalentes :
No existe un término generalmente aceptado para la clase de álgebras mencionadas anteriormente; Connes ha sugerido que "amable" debería ser el término estándar.
Los factores susceptibles han sido clasificados: hay uno único de cada uno de los tipos I n , I ∞ , II 1 , II ∞ , III λ , para 0 < λ ≤ 1, y los de tipo III 0 corresponden a ciertos flujos ergódicos. (Para el tipo III 0 llamar a esto una clasificación es un poco engañoso, ya que se sabe que no hay una manera fácil de clasificar los flujos ergódicos correspondientes.) Los de tipo I y II 1 fueron clasificados por Murray & von Neumann (1943), y los restantes fueron clasificados por Connes (1976), excepto el caso de tipo III 1 que fue completado por Haagerup.
Todos los factores susceptibles pueden construirse utilizando la construcción del espacio de medida de grupo de Murray y von Neumann para una única transformación ergódica . De hecho, son precisamente los factores que surgen como productos cruzados por acciones ergódicas libres de Z o Z/nZ sobre álgebras abelianas de von Neumann L ∞ ( X ). Los factores de tipo I ocurren cuando el espacio de medida X es atómico y la acción transitiva. Cuando X es difuso o no atómico , es equivalente a [0,1] como espacio de medida . Los factores de tipo II ocurren cuando X admite una medida equivalente finita (II 1 ) o infinita (II ∞ ), invariante bajo una acción de Z . Los factores de tipo III ocurren en los casos restantes donde no hay medida invariante, sino solo una clase de medida invariante : estos factores se denominan factores de Krieger .
El producto tensorial de dos espacios de Hilbert es la compleción de su producto tensorial algebraico. Se puede definir un producto tensorial de álgebras de von Neumann (una compleción del producto tensorial algebraico de las álgebras consideradas como anillos), que es a su vez un álgebra de von Neumann, y actuar sobre el producto tensorial de los espacios de Hilbert correspondientes. El producto tensorial de dos álgebras finitas es finito, y el producto tensorial de un álgebra infinita y un álgebra no nula es infinito. El tipo del producto tensorial de dos álgebras de von Neumann (I, II o III) es el máximo de sus tipos. El teorema de conmutación para productos tensoriales establece que
donde M ′ denota el conmutador de M .
El producto tensorial de un número infinito de álgebras de von Neumann, si se hace de manera ingenua, suele ser un álgebra no separable ridículamente grande. En cambio, von Neumann (1938) demostró que se debe elegir un estado en cada una de las álgebras de von Neumann y utilizarlo para definir un estado en el producto tensorial algebraico, que se puede utilizar para producir un espacio de Hilbert y un álgebra de von Neumann (razonablemente pequeña). Araki y Woods (1968) estudiaron el caso en el que todos los factores son álgebras matriciales finitas; estos factores se denominan factores de Araki-Woods o factores ITPFI (ITPFI significa "producto tensorial infinito de factores finitos de tipo I"). El tipo del producto tensorial infinito puede variar drásticamente a medida que se cambian los estados; por ejemplo, el producto tensorial infinito de un número infinito de factores de tipo I2 puede tener cualquier tipo dependiendo de la elección de estados. En particular, Powers (1967) encontró una familia incontable de factores λ de tipo III hiperfinitos no isomorfos para 0 < λ < 1, llamados factores de Powers , tomando un producto tensorial infinito de 2 factores de tipo I, cada uno con el estado dado por:
Todas las álgebras de von Neumann hiperfinitas que no sean de tipo III 0 son isomorfas a los factores de Araki-Woods, pero hay innumerables de tipo III 0 que no lo son.
Un bimódulo (o correspondencia) es un espacio de Hilbert H con acciones de módulo de dos álgebras de von Neumann conmutativas. Los bimódulos tienen una estructura mucho más rica que la de los módulos. Cualquier bimódulo sobre dos factores siempre da un subfactor ya que uno de los factores siempre está contenido en el conmutante del otro. También hay una sutil operación de producto tensorial relativo debido a Connes sobre bimódulos. La teoría de subfactores, iniciada por Vaughan Jones , reconcilia estos dos puntos de vista aparentemente diferentes.
Los bimódulos también son importantes para el álgebra de grupos de von Neumann M de un grupo discreto Γ. De hecho, si V es cualquier representación unitaria de Γ, entonces, considerando Γ como el subgrupo diagonal de Γ × Γ, la representación inducida correspondiente en l 2 (Γ, V ) es naturalmente un bimódulo para dos copias conmutativas de M . Las propiedades teóricas de representación importantes de Γ se pueden formular completamente en términos de bimódulos y, por lo tanto, tienen sentido para el álgebra de von Neumann en sí. Por ejemplo, Connes y Jones dieron una definición de un análogo de la propiedad de Kazhdan (T) para las álgebras de von Neumann de esta manera.
Las álgebras de von Neumann de tipo I son siempre susceptibles, pero para los otros tipos hay un número incontable de factores no susceptibles diferentes, que parecen muy difíciles de clasificar, o incluso de distinguir entre sí. Sin embargo, Voiculescu ha demostrado que la clase de factores no susceptibles que proviene de la construcción del espacio de medida de grupo es disjunta de la clase que proviene de las álgebras de von Neumann de grupo de grupos libres. Más tarde , Narutaka Ozawa demostró que las álgebras de von Neumann de grupo de grupos hiperbólicos producen factores primos de tipo II 1 , es decir, aquellos que no se pueden factorizar como productos tensoriales de factores de tipo II 1 , un resultado demostrado por primera vez por Leeming Ge para factores de grupo libre utilizando la entropía libre de Voiculescu . El trabajo de Popa sobre grupos fundamentales de factores no susceptibles representa otro avance significativo. La teoría de factores "más allá del hiperfinito" se está expandiendo rápidamente en la actualidad, con muchos resultados nuevos y sorprendentes; Tiene estrechos vínculos con los fenómenos de rigidez en la teoría de grupos geométricos y la teoría ergódica .
Las álgebras de von Neumann han encontrado aplicaciones en diversas áreas de las matemáticas como la teoría de nudos , la mecánica estadística , la teoría cuántica de campos , la física cuántica local , la probabilidad libre , la geometría no conmutativa , la teoría de la representación , la geometría diferencial y los sistemas dinámicos .
Por ejemplo, el álgebra C* proporciona una axiomatización alternativa a la teoría de la probabilidad. En este caso, el método se conoce con el nombre de construcción de Gelfand–Naimark–Segal . Esto es análogo a los dos enfoques de medición e integración, donde uno tiene la opción de construir primero las medidas de los conjuntos y definir las integrales después, o construir primero las integrales y definir las medidas de los conjuntos como integrales de funciones características.
