Topología ultrafuerte

En el análisis funcional , la topología ultrafuerte , o topología σ-fuerte , o topología más fuerte en el conjunto B(H) de operadores acotados en un espacio de Hilbert es la topología definida por la familia de seminormas para elementos positivos del predual que consiste en operadores de clase traza . ^{[1] : 68} $${\displaystyle p_{\omega }(x)=\omega (x^{*}x)^{1/2}}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{*}(H)}$

Fue introducido por John von Neumann en 1936. ^[2]

Relación con la topología fuerte (operador)

La topología ultrafuerte es similar a la topología fuerte (operador). Por ejemplo, en cualquier conjunto acotado por una norma, las topologías de operador fuerte y ultrafuerte son las mismas. La topología ultrafuerte es más fuerte que la topología de operador fuerte.

Un problema con la topología de operador fuerte es que el dual de B(H) con la topología de operador fuerte es "demasiado pequeño". La topología ultrafuerte soluciona este problema: el dual es el predual completo B _* (H) de todos los operadores de clase de traza. En general, la topología ultrafuerte es mejor que la topología de operador fuerte, pero es más complicada de definir, por lo que la gente suele utilizar la topología de operador fuerte si puede hacerlo.

La topología ultrafuerte se puede obtener a partir de la topología del operador fuerte de la siguiente manera. Si H ₁ es un espacio de Hilbert de dimensión infinita separable, entonces B(H) se puede incrustar en B ( H ⊗ H ₁ ) mediante tensado con la función identidad en H ₁ . Entonces, la restricción de la topología del operador fuerte en B ( H ⊗ H ₁ ) es la topología ultrafuerte de B(H) . De manera equivalente, está dada por la familia de seminormas donde ^{[1] : 68} $${\displaystyle x\mapsto \left(\sum _{n=1}^{\infty }\|x\xi _{n}\|^{2}\right)^{1/2},}$$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\xi _{n}\|^{2}<\infty .}$

El mapa adjunto no es continuo en la topología ultrafuerte. Existe otra topología llamada topología ultrafuerte*, que es la topología más débil y más fuerte que la topología ultrafuerte, de modo que el mapa adjunto es continuo. ^{[1] : 68}

Véase también

• Topología de operadores fuertes  : topología localmente convexa en espacios de funciones
• Producto tensorial topológico  – Construcciones de productos tensoriales para espacios vectoriales topológicos
• Topologías sobre el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert
• Topología ultradébil

Referencias

1. Takesaki, Masamichi (2002). Teoría de álgebras de operadores. I. Berlín : Springer-Verlag. ISBN 3-540-42248-X.
2. von Neumann, John (1936), "Sobre una topología determinada para anillos de operadores", Anales de matemáticas , Segunda serie, 37 (1): 111–115, doi :10.2307/1968692, JSTOR  1968692

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .