Reciprocidad de Frobenius

Dualidad entre el proceso de restringir e inducir en la teoría de la representación

En matemáticas , y en particular en la teoría de la representación , la reciprocidad de Frobenius es un teorema que expresa una dualidad entre el proceso de restricción e inducción . Se puede utilizar para aprovechar el conocimiento sobre las representaciones de un subgrupo para encontrar y clasificar representaciones de grupos "grandes" que los contienen. Lleva el nombre de Ferdinand Georg Frobenius , el inventor de la teoría de representación de grupos finitos .

Declaración

Teoría del personaje

El teorema se planteó originalmente en términos de teoría del carácter . Sea G un grupo finito con un subgrupo H , denotemos la restricción de un carácter, o más generalmente, una función de clase de G a H , y denotemos la función de clase inducida de una función de clase dada en H. Para cualquier grupo finito A , existe un producto interno en el espacio vectorial de funciones de clase (descrito en detalle en el artículo Relaciones de ortogonalidad de Schur ). Ahora, para cualquier función de clase y , se cumple la siguiente igualdad: ^{[1] [2]} ${\displaystyle \operatorname {Res} _{H}^{G}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}}$ ${\displaystyle \langle -,-\rangle _{A}}$ ${\displaystyle A\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \psi :H\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \varphi :G\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \langle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\psi ,\varphi \rangle _{G}=\langle \psi ,\operatorname {Res} _{H}^{G}\varphi \rangle _{H}.}$$

En otras palabras, y son adjuntos hermitianos . ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} _{H}^{G}}$

Teoría del módulo

Como se explica en la sección Teoría de representaciones de grupos finitos#Representaciones, módulos y álgebra de convolución , la teoría de las representaciones de un grupo G sobre un cuerpo K es, en cierto sentido, equivalente a la teoría de módulos sobre el álgebra de grupos K. [ GRAMO ]. ^[3] Por lo tanto, existe un teorema de reciprocidad de Frobenius correspondiente para módulos K [ G ].

Sea G un grupo con subgrupo H , sea M un módulo H y sea N un módulo G. En el lenguaje de la teoría de módulos, el módulo inducido corresponde a la representación inducida , mientras que la restricción de escalares corresponde a la restricción . En consecuencia, la afirmación es la siguiente: Los siguientes conjuntos de homomorfismos de módulos están en correspondencia biyectiva: ${\displaystyle K[G]\otimes _{K[H]}M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}}$ ${\displaystyle {_{K[H]}}N}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} _{H}^{G}}$

$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K[G]}(K[G]\otimes _{K[H]}M,N)\cong \operatorname {Hom} _{K[H]}(M,{_{K[H]}}N)}$$

. ^{[4] [5]}

Como se indica más adelante en la sección sobre teoría de categorías, este resultado se aplica a los módulos de todos los anillos, no solo a los módulos de álgebras de grupo.

Teoría de categorías

Sea G un grupo con un subgrupo H y definamos como se indicó anteriormente. Para cualquier grupo A y campo K , denotemos la categoría de representaciones lineales de A sobre K. Hay un functor olvidadizo. ${\displaystyle \operatorname {Res} _{H}^{G},\operatorname {Ind} _{H}^{G}}$ ${\displaystyle {\textbf {Rep}}_{A}^{K}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} _{H}^{G}:{\textbf {Rep}}_{G}&\longrightarrow {\textbf {Rep}}_{H}\\(V,\rho )&\longmapsto \operatorname {Res} _{H}^{G}(V,\rho )\end{aligned}}}$$

Este functor actúa como identidad de los morfismos . Hay un functor que va en dirección opuesta:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ind} _{H}^{G}:{\textbf {Rep}}_{H}&\longrightarrow {\textbf {Rep}}_{G}\\(W,\tau )&\longmapsto \operatorname {Ind} _{H}^{G}(W,\tau )\end{aligned}}}$$

Estos functores forman un par adjunto . ^[6] En el caso de grupos finitos, en realidad están adyacentes por la izquierda y por la derecha entre sí. Esta adjunción da lugar a una propiedad universal para la representación inducida (para más detalles, consulte Representación inducida#Propiedades ). ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\dashv \operatorname {Res} _{H}^{G}}$

En el lenguaje de la teoría de módulos, la adjunción correspondiente es un ejemplo de la relación más general entre restricción y extensión de escalares .

Ver también

• Portal de matemáticas

• Consulte Representación restringida y Representación inducida para conocer las definiciones de los procesos a los que se aplica este teorema.
• Consulte Teoría de la representación de grupos finitos para obtener una descripción general amplia del tema de las representaciones de grupos.
• Consulte la fórmula de traza de Selberg y la fórmula de traza de Arthur-Selberg para generalizaciones a subgrupos cofinitos discretos de ciertos grupos localmente compactos.

Notas

1. Serre 1977, pag. 56.
2. Sengupta 2012, pag. 246.
3. Específicamente, existe un isomorfismo de categorías entre K [ G ] -Mod y Rep _G ^K , como se describe en las páginas Isomorfismo de categorías#Categoría de representaciones y Teoría de representación de grupos finitos#Representaciones, módulos y álgebra de convolución .
4. James, Gordon Douglas (1945-2001). Representaciones y personajes de grupos . Liebeck , MW (Martin W.) (2ª ed.). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 9780521003926. OCLC  52220683.
5. Sengupta 2012, pag. 245.
6. "Reciprocidad de Frobenius en nLab". ncatlab.org . Consultado el 2 de noviembre de 2017 .

Referencias

• Serre, Jean-Pierre (1977). Representaciones lineales de grupos finitos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0387901906. OCLC  2202385.
• Sengupta, Ámbar (2012). "Representaciones Inducidas". Representar grupos finitos: una introducción semisimple . Nueva York. págs. 235–248. doi :10.1007/978-1-4614-1231-1_8. ISBN 9781461412304. OCLC  769756134.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Weisstein, Eric. "Representación Inducida". mathworld.wolfram.com . Consultado el 2 de noviembre de 2017 .