En matemáticas , especialmente en los campos de la teoría de grupos y la teoría de la representación de grupos , una función de clase es una función en un grupo G que es constante en las clases de conjugación de G. En otras palabras, es invariante bajo el mapa de conjugación en G. Estas funciones desempeñan un papel básico en la teoría de la representación .
El carácter de una representación lineal de G sobre un campo K es siempre una función de clase con valores en K . Las funciones de clase forman el centro del anillo de grupo K [ G ]. Aquí una función de clase f se identifica con el elemento .
El conjunto de funciones de clase de un grupo G con valores en un campo K forman un espacio vectorial K. Si G es finito y la característica del campo no divide el orden de G , entonces hay un producto interno definido en este espacio definido por donde | GRAMO | denota el orden de G y la barra es la conjugación en el campo K. El conjunto de caracteres irreducibles de G forma una base ortogonal , y si K es un campo de división para G , por ejemplo si K es algebraicamente cerrado , entonces los caracteres irreducibles forman una base ortonormal .
En el caso de un grupo compacto y K = C el cuerpo de números complejos , la noción de medida de Haar permite reemplazar la suma finita anterior con una integral:
Cuando K son los números reales o los números complejos, el producto interno es una forma bilineal hermitiana no degenerada .
