Teorema de Brauer sobre caracteres inducidos

Resultado fundamental en la rama de las matemáticas conocida como teoría del carácter.

El teorema de Brauer sobre caracteres inducidos , conocido frecuentemente como teorema de inducción de Brauer , y que lleva el nombre de Richard Brauer , es un resultado básico en la rama de las matemáticas conocida como teoría de caracteres , dentro de la teoría de la representación de un grupo finito . ^{[ cita necesaria ]}

Fondo

Un precursor del teorema de inducción de Brauer fue el teorema de inducción de Artin , que establece que | GRAMO | veces el carácter trivial de G es una combinación entera de caracteres, cada uno de los cuales se induce a partir de caracteres triviales de subgrupos cíclicos de G. El teorema de Brauer elimina el factor | G |, pero a expensas de ampliar la colección de subgrupos utilizados. Algunos años después de que apareciera la demostración del teorema de Brauer, JA Green demostró (en 1955) que tal teorema de inducción (con combinaciones enteras de caracteres inducidas a partir de caracteres lineales) podía demostrarse con una colección de subgrupos más pequeños que los subgrupos elementales de Brauer. ^{[ cita necesaria ]}

Otro resultado entre el teorema de inducción de Artin y el teorema de inducción de Brauer, también debido a Brauer y también conocido como teorema de Brauer o lema de Brauer, es el hecho de que la representación regular de G se puede escribir como donde son racionales positivos y son inducidos a partir de caracteres de cíclico. subgrupos de G . Tenga en cuenta que en el teorema de Artin los caracteres se inducen a partir del carácter trivial del grupo cíclico, mientras que aquí se inducen a partir de caracteres arbitrarios (en aplicaciones a las funciones L de Artin es importante que los grupos sean cíclicos y, por tanto, todos los caracteres sean lineales, lo que da que el las funciones L correspondientes son analíticas). ^[1] ${\displaystyle 1+\sum \lambda _{i}\rho _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \rho _{i}}$

Declaración

Sea G un grupo finito y sea Char( G ) el subanillo del anillo de funciones de clase de valores complejos de G que consisten en combinaciones enteras de caracteres irreducibles . Char( G ) se conoce como el anillo de caracteres de G y sus elementos se conocen como caracteres virtuales (alternativamente, como caracteres generalizados o, a veces, caracteres diferenciados ). Es un anillo en virtud del hecho de que el producto de caracteres de G es nuevamente un carácter de G. Su multiplicación viene dada por el producto por elementos de funciones de clase. ^{[ cita necesaria ]}

El teorema de inducción de Brauer muestra que el anillo de caracteres puede generarse (como un grupo abeliano ) mediante caracteres inducidos de la forma , donde H abarca subgrupos de G y λ abarca caracteres lineales (que tienen grado 1) de H. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \lambda _{H}^{G}}$

De hecho, Brauer demostró que los subgrupos H podían elegirse de una colección muy restringida, ahora denominada subgrupos elementales de Brauer . Estos son productos directos de grupos cíclicos y grupos cuyo orden es una potencia de un primo. ^{[ cita necesaria ]}

Pruebas

La prueba del teorema de inducción de Brauer explota la estructura de anillo de Char( G ) (la mayoría de las pruebas también utilizan un anillo ligeramente más grande, Char*(G), que consta de combinaciones de caracteres irreducibles, donde ω es un complejo primitivo | G |-ésima raíz de la unidad). El conjunto de combinaciones enteras de caracteres inducidas a partir de caracteres lineales de subgrupos elementales de Brauer es un ideal I ( G ) de Char( G ), por lo que la prueba se reduce a mostrar que el carácter trivial está en I ( G ). Varias pruebas del teorema, comenzando con una prueba debida a Brauer y John Tate , muestran que el carácter trivial está en el ideal definido de manera análoga I *( G ) de Char*( G ) concentrando la atención en un primo p a la vez, y construir elementos con valores enteros de I *( G ) que difieren (elementalmente) del carácter trivial por (múltiplos enteros de) una potencia suficientemente alta de p. Una vez logrado esto para cada divisor primo de | G |, algunas manipulaciones con congruencias y enteros algebraicos , aprovechando nuevamente el hecho de que I *( G ) es un ideal de Ch*( G ), coloca el carácter trivial en I ( G ). Un resultado auxiliar aquí es que una función de clase con valores se encuentra en el ideal I *( G ) si todos sus valores son divisibles (en ) por | GRAMO |. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

El teorema de inducción de Brauer se demostró en 1946 y en la actualidad existen muchas demostraciones alternativas. En 1986, Victor Snaith hizo una demostración mediante un enfoque radicalmente diferente, de naturaleza topológica (una aplicación del teorema del punto fijo de Lefschetz ). Ha habido trabajos recientes relacionados sobre la cuestión de encontrar formas naturales y explícitas del teorema de Brauer, en particular por parte de Robert Boltje.

Aplicaciones

Utilizando la reciprocidad de Frobenius , el teorema de inducción de Brauer conduce fácilmente a su caracterización fundamental de los caracteres , que afirma que una función de clase de valor complejo de G es un carácter virtual si y sólo si su restricción a cada subgrupo elemental de Brauer de G es un carácter virtual. Este resultado, junto con el hecho de que un carácter virtual θ es un carácter irreducible si y sólo si θ(1) > 0 y (donde está el producto interno habitual en el anillo de funciones de clase de valores complejos ) proporciona un medio para construir irreducibles personajes sin construir explícitamente las representaciones asociadas. ${\displaystyle \langle \theta ,\theta \rangle =1}$ ${\displaystyle \langle ,\rangle }$

Una motivación inicial para el teorema de inducción de Brauer fue la aplicación a las funciones L de Artin . Muestra que se construyen a partir de funciones L de Dirichlet , o funciones L de Hecke más generales . Es muy importante para esa aplicación si cada carácter de G es una combinación entera no negativa de caracteres inducida a partir de caracteres lineales de subgrupos. En general, este no es el caso. De hecho, según un teorema de Taketa, si todos los caracteres de G son expresables de esa manera, entonces G debe ser un grupo con solución (aunque la solubilidad por sí sola no garantiza tales expresiones; por ejemplo, el grupo con solución SL(2,3) tiene un carácter irreducible). carácter complejo de grado 2 que no se puede expresar como una combinación entera no negativa de caracteres inducida a partir de caracteres lineales de subgrupos). Un ingrediente de la prueba del teorema de inducción de Brauer es que cuando G es un grupo nilpotente finito , todo carácter complejo irreducible de G se induce a partir de un carácter lineal de algún subgrupo.

Referencias

• Isaacs, IM (1994) [1976]. Teoría del carácter de grupos finitos . Dover. ISBN 0-486-68014-2. Zbl  0849.20004.Reimpresión corregida del original de 1976, publicada por Academic Press. Zbl  0337.20005

Otras lecturas

• Snaith, vicepresidente (1994). Inducción explícita de Brauer: con aplicaciones al álgebra y la teoría de números . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 40. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-46015-8. Zbl  0991.20005.

Notas

1. Serge Lang, Teoría algebraica de números , apéndice del capítulo XVI