En matemáticas , los operadores afiliados fueron introducidos por Murray y von Neumann en la teoría de las álgebras de von Neumann como una técnica para usar operadores no acotados para estudiar módulos generados por un solo vector. Más tarde, Atiyah y Singer demostraron que los teoremas de índice para operadores elípticos en variedades cerradas con un grupo fundamental infinito podían expresarse naturalmente en términos de operadores no acotados afiliados al álgebra de von Neumann del grupo. Las propiedades algebraicas de los operadores afiliados han demostrado ser importantes en la cohomología L 2 , un área entre el análisis y la geometría que evolucionó a partir del estudio de dichos teoremas de índice.
Sea M un álgebra de von Neumann que actúa sobre un espacio de Hilbert H . Se dice que un operador A cerrado y densamente definido está afiliado a M si A conmuta con todo operador unitario U en el conmutante de M . Las condiciones equivalentes son que:
La última condición se deduce de la unicidad de la descomposición polar. Si A tiene una descomposición polar
dice que la isometría parcial V debe estar en M y que el operador autoadjunto positivo |A| debe estar afiliado a M. Sin embargo, por el teorema espectral , un operador autoadjunto positivo conmuta con un operador unitario si y solo si cada una de sus proyecciones espectrales lo hace. Esto da otra condición equivalente:
En general, los operadores afiliados a un álgebra de von Neumann M no necesariamente deben comportarse bien ni bajo adición ni bajo composición. Sin embargo, en presencia de una traza normal semifinita fiel τ y la acción estándar de Gelfand–Naimark–Segal de M sobre H = L 2 ( M , τ), Edward Nelson demostró que los operadores afiliados medibles forman un *-álgebra con buenas propiedades: estos son operadores tales que τ( I − E ([0, N ])) < ∞ para N suficientemente grande. Esta álgebra de operadores no acotados es completa para una topología natural, generalizando la noción de convergencia en medida . Contiene todos los espacios L p no conmutativos definidos por la traza y fue introducida para facilitar su estudio.
Esta teoría se puede aplicar cuando el álgebra de von Neumann M es de tipo I o tipo II . Cuando M = B ( H ) actúa sobre el espacio de Hilbert L 2 ( H ) de operadores de Hilbert–Schmidt , se obtiene la conocida teoría de espacios L p no conmutativos L p ( H ) debido a Schatten y von Neumann .
Cuando M es además un álgebra de von Neumann finita , por ejemplo un factor tipo II 1 , entonces cada operador afiliado es automáticamente medible, por lo que los operadores afiliados forman un *-álgebra , como se observó originalmente en el primer artículo de Murray y von Neumann. En este caso M es un anillo regular de von Neumann : porque en el cierre de su imagen |A| tiene una inversa medible B y entonces T = BV * define un operador medible con ATA = A . Por supuesto, en el caso clásico cuando X es un espacio de probabilidad y M = L ∞ ( X ), simplemente recuperamos el *-álgebra de funciones mesurables en X .
Sin embargo, si M es de tipo III , la teoría adopta una forma bastante diferente. De hecho, en este caso, gracias a la teoría de Tomita-Takesaki , se sabe que los espacios L p no conmutativos ya no se realizan mediante operadores afiliados al álgebra de von Neumann. Como mostró Connes , estos espacios pueden realizarse como operadores ilimitados solo utilizando una cierta potencia positiva del operador modular de referencia. En lugar de estar caracterizados por la simple relación de afiliación UAU * = A , existe una relación de bimódulo más complicada que implica la continuación analítica del grupo de automorfismos modulares.
![{\displaystyle E([0,N])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/649b3b2625d1615f57fe0dcef82938e94d02034e)