En teoría de grupos y geometría , un grupo de reflexión es un grupo discreto que se genera por un conjunto de reflexiones de un espacio euclidiano de dimensión finita . El grupo de simetría de un politopo regular o de una teselación del espacio euclidiano por copias congruentes de un politopo regular es necesariamente un grupo de reflexión. Los grupos de reflexión también incluyen grupos de Weyl y grupos de Coxeter cristalográficos . Si bien el grupo ortogonal se genera por reflexiones (por el teorema de Cartan-Dieudonné ), es un grupo continuo (de hecho, grupo de Lie ), no un grupo discreto, y generalmente se considera por separado.
Sea E un espacio euclidiano de dimensión finita . Un grupo de reflexión finito es un subgrupo del grupo lineal general de E que se genera mediante un conjunto de reflexiones ortogonales a través de hiperplanos que pasan por el origen. Un grupo de reflexión afín es un subgrupo discreto del grupo afín de E que se genera mediante un conjunto de reflexiones afines de E (sin el requisito de que los hiperplanos de reflexión pasen por el origen).
Las nociones correspondientes pueden definirse sobre otros campos , lo que conduce a grupos de reflexión complejos y análogos de grupos de reflexión sobre un campo finito .
En dos dimensiones, los grupos de reflexión finitos son los grupos diedros , que se generan por reflexión en dos líneas que forman un ángulo de y corresponden al diagrama de Coxeter. Por el contrario, los grupos puntuales cíclicos en dos dimensiones no se generan por reflexiones, ni contienen ninguna: son subgrupos de índice 2 de un grupo diedro.
Los grupos de reflexión infinitos incluyen los grupos de frisos y y los grupos de papel tapiz , , , y . Si el ángulo entre dos líneas es un múltiplo irracional de pi, el grupo generado por las reflexiones en estas líneas es infinito y no discreto, por lo tanto, no es un grupo de reflexión.
Los grupos de reflexión finitos son los grupos puntuales C nv , D nh y los grupos de simetría de los cinco sólidos platónicos . Los poliedros regulares duales (cubo y octaedro, así como dodecaedro e icosaedro) dan lugar a grupos de simetría isomorfos. La clasificación de los grupos de reflexión finitos de R 3 es una instancia de la clasificación ADE .
Un grupo de reflexión W admite una presentación de un tipo especial descubierto y estudiado por H. S. M. Coxeter . [1] Las reflexiones en las caras de una "cámara" fundamental fija son generadores r i de W de orden 2. Todas las relaciones entre ellos se siguen formalmente de las relaciones
expresando el hecho de que el producto de las reflexiones r i y r j en dos hiperplanos H i y H j que se encuentran en un ángulo es una rotación por el ángulo que fija el subespacio H i ∩ H j de codimensión 2. Por lo tanto, visto como un grupo abstracto, cada grupo de reflexión es un grupo de Coxeter .
Cuando se trabaja sobre cuerpos finitos, se define una "reflexión" como una función que fija un hiperplano. Geométricamente, esto equivale a incluir cizalladuras en un hiperplano. Los grupos de reflexión sobre cuerpos finitos de característica no 2 fueron clasificados por Zalesskiĭ y Serežkin (1981).
También se han considerado grupos de isometría discretos de variedades riemannianas más generales generadas por reflexiones. La clase más importante surge de los espacios simétricos riemannianos de rango 1: la n-esfera S n , correspondiente a grupos de reflexión finitos, el espacio euclidiano R n , correspondiente a grupos de reflexión afines, y el espacio hiperbólico H n , donde los grupos correspondientes se denominan grupos de reflexión hiperbólicos . En dos dimensiones, los grupos triangulares incluyen grupos de reflexión de los tres tipos.
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