Función positiva definida en un grupo

En matemáticas, y específicamente en la teoría de operadores , una función definida positiva en un grupo relaciona las nociones de positividad, en el contexto de los espacios de Hilbert y los grupos algebraicos . Puede verse como un tipo particular de núcleo definido positivo donde el conjunto subyacente tiene la estructura de grupo adicional.

Definición

Sea un grupo, un espacio de Hilbert complejo y los operadores acotados en . Una función definida positiva en es una función que satisface ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F:G\to L(H)}$

${\displaystyle \sum _{s,t\in G}\langle F(s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle \geq 0,}$

para cada función con soporte finito ( toma valores distintos de cero solo para un número finito ). ${\displaystyle h:G\to H}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle s}$

En otras palabras, se dice que una función es una función definida positiva si el núcleo definido por es un núcleo definido positivo. Un núcleo de este tipo es -simétrico, es decir, invariante bajo la acción izquierda: Cuando es un grupo localmente compacto , la definición se generaliza por integración sobre su medida de Haar invariante a la izquierda . Una función definida positiva en es una función continua que satisface para cada función continua con soporte compacto . ${\displaystyle F:G\to L(H)}$ ${\displaystyle K:G\times G\to L(H)}$ ${\displaystyle K(s,t)=F(s^{-1}t)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle K(s,t)=K(rs,rt),\quad \forall r\in G}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F:G\to L(H)}$ $${\displaystyle \int _{s,t\in G}\langle F(s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle \;\mu (ds)\mu (dt)\geq 0,}$$ ${\displaystyle h:G\to H}$

Ejemplos

La función constante , donde es el operador identidad en , es definida positiva. ${\displaystyle F(g)=I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle H}$

Sea un grupo abeliano finito y sea el espacio de Hilbert unidimensional . Cualquier carácter es definido positivamente. (Este es un caso especial de representación unitaria). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \chi :G\to \mathbb {C} }$

Para demostrar esto, recordemos que un carácter de un grupo finito es un homomorfismo de al grupo multiplicativo de números complejos de norma 1. Entonces, para cualquier función , Cuando con la medida de Lebesgue , y , una función definida positiva en es una función continua tal que para cada función continua con soporte compacto. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h:G\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \sum _{s,t\in G}\chi (s^{-1}t)h(t){\overline {h(s)}}=\sum _{s,t\in G}\chi (s^{-1})h(t)\chi (t){\overline {h(s)}}=\sum _{s}\chi (s^{-1}){\overline {h(s)}}\sum _{t}h(t)\chi (t)=\left|\sum _{t}h(t)\chi (t)\right|^{2}\geq 0.}$$ ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle H=\mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m\times m}}$ $${\displaystyle \int _{x,y\in \mathbb {R} ^{n}}h(x)^{\dagger }F(x-y)h(y)\;dxdy\geq 0}$$ ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$

Representaciones unitarias

Una representación unitaria es un homomorfismo unitario donde es un operador unitario para todo . Para tal , . ${\displaystyle \Phi :G\to L(H)}$ ${\displaystyle \Phi (s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi (s^{-1})=\Phi (s)^{*}}$

Las funciones definidas positivas de están íntimamente relacionadas con las representaciones unitarias de . Toda representación unitaria de da lugar a una familia de funciones definidas positivas. Por el contrario, dada una función definida positiva, se puede definir una representación unitaria de de forma natural. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Sea una representación unitaria de . Si es la proyección sobre un subespacio cerrado de . Entonces es una función definida positiva en con valores en . Esto se puede demostrar fácilmente: ${\displaystyle \Phi :G\to L(H)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\in L(H)}$ ${\displaystyle H'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F(s)=P\Phi (s)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L(H')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{s,t\in G}\langle F(s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle &=\sum _{s,t\in G}\langle P\Phi (s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle \\{}&=\sum _{s,t\in G}\langle \Phi (t)h(t),\Phi (s)h(s)\rangle \\{}&=\left\langle \sum _{t\in G}\Phi (t)h(t),\sum _{s\in G}\Phi (s)h(s)\right\rangle \\{}&\geq 0\end{aligned}}}$

para cada uno con soporte finito. Si tiene una topología y es débilmente (o fuertemente) continua, entonces claramente también lo es . ${\displaystyle h:G\to H'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle F}$

Por otra parte, consideremos ahora una función definida positiva en . Una representación unitaria de se puede obtener de la siguiente manera. Sea la familia de funciones con soporte finito. El núcleo positivo correspondiente define un producto interno (posiblemente degenerado) en . Sea el espacio de Hilbert resultante denotado por . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C_{00}(G,H)}$ ${\displaystyle h:G\to H}$ ${\displaystyle K(s,t)=F(s^{-1}t)}$ ${\displaystyle C_{00}(G,H)}$ ${\displaystyle V}$

Observamos que los "elementos de la matriz" para todos en . Por lo tanto, se conserva el producto interno en , es decir, es unitario en . Está claro que la función es una representación de en . ${\displaystyle K(s,t)=K(a^{-1}s,a^{-1}t)}$ ${\displaystyle a,s,t}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U_{a}h(s)=h(a^{-1}s)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L(V)}$ ${\displaystyle \Phi (a)=U_{a}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$

La representación unitaria es única, hasta el isomorfismo del espacio de Hilbert, siempre que se cumpla la siguiente condición de minimalidad:

${\displaystyle V=\bigvee _{s\in G}\Phi (s)H}$

donde denota el cierre del tramo lineal. ${\displaystyle \bigvee }$

Identifiquemos como elementos (posiblemente clases de equivalencia) en , cuyo soporte consiste en el elemento identidad , y sea la proyección sobre este subespacio. Entonces tenemos para todo . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle e\in G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle PU_{a}P=F(a)}$ ${\displaystyle a\in G}$

Granos de Toeplitz

Sea el grupo aditivo de los números enteros . El núcleo se denomina núcleo de tipo Toeplitz , por analogía con las matrices de Toeplitz . Si tiene la forma donde es un operador acotado que actúa sobre algún espacio de Hilbert. Se puede demostrar que el núcleo es positivo si y solo si es una contracción . Por la discusión de la sección anterior, tenemos una representación unitaria de , para un operador unitario . Además, la propiedad ahora se traduce a . Este es precisamente el teorema de dilatación de Sz.-Nagy y sugiere una importante caracterización teórica de la dilatación de la positividad que conduce a una parametrización de núcleos arbitrarios positivos definidos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K(n,m)=F(m-n)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(n)=T^{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K(n,m)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Phi (n)=U^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle PU_{a}P=F(a)}$ ${\displaystyle PU^{n}P=T^{n}}$

Referencias

• Berg, Christian; Christensen, Paul; Ressel (1984). Análisis armónico en semigrupos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 100. Springer Verlag.
• Constantinescu, T. (1996). Parámetros de Schur, problemas de dilatación y factorización . Birkhauser Verlag.
• Sz.-Nagy, B.; Foias, C. (1970). Análisis armónico de operadores en el espacio de Hilbert . Holanda Septentrional.
• Sasvári, Z. (1994). Funciones positivas definidas y definitizables . Akademie Verlag.
• pozos, JH; Williams, LR (1975). Incrustaciones y extensiones en el análisis . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. vol. 84. Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag. págs. vii+108.