Teoría espectral de ecuaciones diferenciales ordinarias

Parte de la teoría espectral

En matemáticas , la teoría espectral de ecuaciones diferenciales ordinarias es la parte de la teoría espectral que se ocupa de la determinación del espectro y la expansión de funciones propias asociadas con una ecuación diferencial ordinaria lineal . En su disertación, Hermann Weyl generalizó la teoría clásica de Sturm-Liouville sobre un intervalo cerrado finito a operadores diferenciales de segundo orden con singularidades en los puntos finales del intervalo, posiblemente semiinfinitos o infinitos. A diferencia del caso clásico, el espectro ya no puede consistir solo en un conjunto contable de valores propios, sino que también puede contener una parte continua. En este caso, la expansión de la función propia implica una integral sobre la parte continua con respecto a una medida espectral , dada por la fórmula de Titchmarsh - Kodaira . La teoría fue presentada en su forma simplificada final para ecuaciones diferenciales singulares de grado par por Kodaira y otros, utilizando el teorema espectral de von Neumann . Ha tenido importantes aplicaciones en mecánica cuántica , teoría de operadores y análisis armónico en grupos de Lie semisimples .

Introducción

La teoría espectral para ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en un intervalo compacto fue desarrollada por Jacques Charles François Sturm y Joseph Liouville en el siglo XIX y ahora se conoce como teoría de Sturm-Liouville . En lenguaje moderno, es una aplicación del teorema espectral para operadores compactos debido a David Hilbert . En su disertación, publicada en 1910, Hermann Weyl extendió esta teoría a ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con singularidades en los puntos finales del intervalo, ahora permitidos como infinitos o semiinfinitos. Simultáneamente desarrolló una teoría espectral adaptada a estos operadores especiales e introdujo condiciones de contorno en términos de su celebrada dicotomía entre puntos límite y círculos límite .

En la década de 1920, John von Neumann estableció un teorema espectral general para operadores autoadjuntos no acotados , que Kunihiko Kodaira utilizó para simplificar el método de Weyl. Kodaira también generalizó el método de Weyl a ecuaciones diferenciales ordinarias singulares de orden par y obtuvo una fórmula simple para la medida espectral . La misma fórmula también había sido obtenida de forma independiente por EC Titchmarsh en 1946 (la comunicación científica entre Japón y el Reino Unido había sido interrumpida por la Segunda Guerra Mundial ). Titchmarsh había seguido el método del matemático alemán Emil Hilb , quien derivó las expansiones de funciones propias utilizando la teoría de funciones complejas en lugar de la teoría de operadores . Otros métodos que evitaban el teorema espectral fueron desarrollados posteriormente de forma independiente por Levitan, Levinson y Yoshida, quienes utilizaron el hecho de que el resolvente del operador diferencial singular podía aproximarse mediante resolventes compactos correspondientes a problemas de Sturm-Liouville para subintervalos propios. Otro método fue encontrado por Mark Grigoryevich Krein ; Su uso de funcionales direccionales fue posteriormente generalizado por Izrail Glazman a ecuaciones diferenciales ordinarias arbitrarias de orden par.

Weyl aplicó su teoría a la ecuación diferencial hipergeométrica de Carl Friedrich Gauss , obteniendo así una generalización de largo alcance de la fórmula de la transformada de Gustav Ferdinand Mehler (1881) para la ecuación diferencial de Legendre , redescubierta por el físico ruso Vladimir Fock en 1943, y generalmente llamada transformada de Mehler-Fock . El operador diferencial ordinario correspondiente es la parte radial del operador laplaciano en el espacio hiperbólico bidimensional . De manera más general, el teorema de Plancherel para SL(2,R) de Harish Chandra y Gelfand - Naimark se puede deducir de la teoría de Weyl para la ecuación hipergeométrica, al igual que la teoría de funciones esféricas para los grupos de isometría de espacios hiperbólicos de dimensiones superiores. El desarrollo posterior de Harish Chandra del teorema de Plancherel para grupos de Lie semisimples reales generales estuvo fuertemente influenciado por los métodos que Weyl desarrolló para las expansiones de funciones propias asociadas con ecuaciones diferenciales ordinarias singulares. Igualmente importante es que la teoría también sentó las bases matemáticas para el análisis de la ecuación de Schrödinger y la matriz de dispersión en la mecánica cuántica .

Soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias

Reducción a la forma estándar

Sea D el operador diferencial de segundo orden en ( a , b ) dado por donde p es una función continuamente diferenciable estrictamente positiva y q y r son funciones continuas de valor real. $${\displaystyle Df(x)=-p(x)f''(x)+r(x)f'(x)+q(x)f(x),}$$

Para x ₀ en ( a , b ) , defina la transformación de Liouville ψ por $${\displaystyle \psi (x)=\int _{x_{0}}^{x}p(t)^{-1/2}\,dt}$$

Si es el operador unitario definido por entonces y $${\displaystyle U:L^{2}(a,b)\mapsto L^{2}(\psi (a),\psi (b))}$$ $${\displaystyle (Uf)(\psi (x))=f(x)\times \left(\psi '(x)\right)^{-1/2},\ \ \forall x\in (a,b)}$$ $${\displaystyle U{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}U^{-1}g=g'\psi '+{\frac {1}{2}}g{\frac {\psi ''}{\psi '}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}U{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}U^{-1}g&=\left(U{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}U^{-1}\right)\times \left(U{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}U^{-1}\right)g\\[1ex]&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \psi }}\left[g'\psi '+{\frac {1}{2}}g{\frac {\psi ''}{\psi '}}\right]\cdot \psi '+{\frac {1}{2}}\left[g'\psi '+{\frac {1}{2}}g{\frac {\psi ''}{\psi '}}\right]\cdot {\frac {\psi ''}{\psi '}}\\[1ex]&=g''\psi '^{2}+2g'\psi ''+{\frac {1}{2}}g\cdot \left[{\frac {\psi '''}{\psi '}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\psi ''^{2}}{\psi '^{2}}}\right]\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, donde y $${\displaystyle UDU^{-1}g=-g''+Rg'+Qg,}$$ $${\displaystyle R={\frac {p'+r}{p^{1/2}}}}$$ $${\displaystyle Q=q-{\frac {rp'}{4p}}+{\frac {p''}{4}}-{\frac {5p'^{2}}{16p}}}$$

El término en g′ se puede eliminar utilizando un factor de integración de Euler . Si S′ / S = − R /2 , entonces h = Sg satisface donde el potencial V está dado por $${\displaystyle (SUDU^{-1}S^{-1})h=-h''+Vh,}$$ $${\displaystyle V=Q+{\frac {S''}{S}}}$$

El operador diferencial puede por tanto siempre reducirse a una de las formas ^[1] $${\displaystyle Df=-f''+qf.}$$

Teorema de existencia

La siguiente es una versión del teorema de existencia clásico de Picard para ecuaciones diferenciales de segundo orden con valores en un espacio de Banach E . ^[2]

Sean α , β elementos arbitrarios de E , A un operador acotado en E y q una función continua en [ a , b ] .

Entonces, para c = a o c = b , la ecuación diferencial tiene una solución única f en C ² ([ a , b ], E ) que satisface las condiciones iniciales $${\displaystyle Df=Af}$$ $${\displaystyle f(c)=\beta \,,\;f'(c)=\alpha .}$$

De hecho, una solución de la ecuación diferencial con estas condiciones iniciales es equivalente a una solución de la ecuación integral con T la función lineal acotada en C ([ a , b ], E ) definida por donde K es el núcleo de Volterra y $${\displaystyle f=h+Tf}$$ $${\displaystyle Tf(x)=\int _{c}^{x}K(x,y)f(y)\,dy,}$$ $${\displaystyle K(x,t)=(x-t)(q(t)-A)}$$ $${\displaystyle h(x)=\alpha (x-c)+\beta .}$$

Como ‖ T ^k ‖ tiende a 0, esta ecuación integral tiene una solución única dada por la serie de Neumann $${\displaystyle f=(I-T)^{-1}h=h+Th+T^{2}h+T^{3}h+\cdots }$$

Este esquema iterativo a menudo se denomina iteración de Picard en honor al matemático francés Charles Émile Picard .

Funciones propias fundamentales

Si f es dos veces continuamente diferenciable (es decir, C ² ) en ( a , b ) satisfaciendo Df = λf , entonces f se llama una función propia de D con valor propio λ .

• En el caso de un intervalo compacto [ a , b ] y q continua en [ a , b ] , el teorema de existencia implica que para c = a o c = b y cada número complejo λ existe una única función propia C ² f _λ en [ a , b ] con f _λ ( c ) y f ′ _λ ( c ) prescritas. Además, para cada x en [ a , b ] , f _λ ( x ) y f ′ _λ ( x ) son funciones holomorfas de λ .
• Para un intervalo arbitrario ( a , b ) y q continua en ( a , b ) , el teorema de existencia implica que para c en ( a , b ) y cada número complejo λ existe una función propia C ² única f _λ en ( a , b ) con f _λ ( c ) y f ′ _λ ( c ) prescritas. Además, para cada x en ( a , b ) , f _λ ( x ) y f ′ _λ ( x ) son funciones holomorfas de λ .

La fórmula de Green

Si f y g son funciones C ² en ( a , b ) , el wronskiano W ( f , g ) se define por $${\displaystyle W(f,g)(x)=f(x)g'(x)-f'(x)g(x).}$$

La fórmula de Green , que en este caso unidimensional es una simple integración por partes, establece que para x , y en ( a , b ) $${\displaystyle \int _{x}^{y}(Df)g-f(Dg)\,dt=W(f,g)(y)-W(f,g)(x).}$$

Cuando q es continua y f , g son C ² en el intervalo compacto [ a , b ] , esta fórmula también es válida para x = a o y = b .

Cuando f y g son funciones propias para el mismo valor propio, entonces W ( f , g ) es independiente de x . $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}W(f,g)=0,}$$

Teoría clásica de Sturm-Liouville

Sea [ a , b ] un intervalo cerrado finito, q una función continua de valor real en [ a , b ] y sea H ₀ el espacio de C ² funciones f en [ a , b ] que satisfacen las condiciones de contorno de Robin con producto interno $${\displaystyle {\begin{cases}\cos \alpha \,f(a)-\sin \alpha \,f'(a)=0,\\[0.5ex]\cos \beta \,f(b)-\sin \beta \,f'(b)=0,\end{cases}}}$$ $${\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\,dx.}$$

En la práctica, normalmente se cumple una de las dos condiciones límite estándar:

• Condición de contorno de Dirichlet f ( c ) = 0
• Condición de contorno de Neumann f ′( c ) = 0

se impone en cada punto final c = a , b .

El operador diferencial D dado por actúa sobre H ₀ . Una función f en H ₀ se denomina función propia de D (para la elección anterior de valores de contorno) si Df = λ f para algún número complejo λ , el valor propio correspondiente . Por la fórmula de Green, D es formalmente autoadjunto en H ₀ , ya que el wronskiano W ( f , g ) se anula si tanto f como g satisfacen las condiciones de contorno: $${\displaystyle Df=-f''+qf}$$ $${\displaystyle (Df,g)=(f,Dg),\quad {\text{ for }}f,g\in H_{0}.}$$

En consecuencia, exactamente como para una matriz autoadjunta en dimensiones finitas,

• los valores propios de D son reales;
• Los espacios propios para valores propios distintos son ortogonales .

Resulta que los valores propios pueden describirse mediante el principio de máximo-mínimo de Rayleigh - Ritz ^[3] (véase más abajo). De hecho, es fácil ver a priori que los valores propios están acotados inferiormente porque el operador D está a su vez acotado inferiormente en H ₀ :

${\displaystyle (Df,f)\geq M(f,f)}$para alguna constante finita (posiblemente negativa) . ${\displaystyle M}$

De hecho, integrando por partes, $${\displaystyle (Df,f)=\left[-f'{\overline {f}}\right]_{a}^{b}+\int |f'|^{2}+\int q|f|^{2}.}$$

Para las condiciones de contorno de Dirichlet o Neumann, el primer término se desvanece y la desigualdad se cumple con M = inf q .

Para las condiciones generales de contorno de Robin, el primer término se puede estimar utilizando una versión elemental de Peter-Paul de la desigualdad de Sobolev :

"Dado ε > 0 , existe una constante R > 0 tal que | f ( x ) | ² ≤ ε ( f ′, f′) + R ( f , f ) para todo f en C ¹ [ a , b ] ."

De hecho, dado que solo se necesita una estimación para f ( b ) y esto se obtiene reemplazando f ( x ) en la desigualdad anterior por ( x − a ) ⁿ ·( b − a ) ^{− n} · f ( x ) para n suficientemente grande. $${\displaystyle |f(b)-f(x)|\leq (b-a)^{1/2}\cdot \|f'\|_{2},}$$

Función de Green (caso regular)

De la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, existen funciones propias fundamentales únicas φ _λ ( x ) , χ _λ ( x ) tales que

• D φ _λ = λ φ _λ , φ _λ ( a ) = pecado α , φ _λ '( a ) = cos α
• D χ _λ = λ χ _λ , χ _λ ( b ) = sen β , χ _λ '( b ) = cos β

que en cada punto, junto con sus primeras derivadas, dependen holomorfamente de λ . Sea una función holomorfa entera . $${\displaystyle \omega (\lambda )=W(\phi _{\lambda },\chi _{\lambda }),}$$

Esta función ω ( λ ) desempeña el papel de polinomio característico de D . De hecho, la unicidad de las funciones propias fundamentales implica que sus ceros son precisamente los valores propios de D y que cada espacio propio distinto de cero es unidimensional. En particular, hay como máximo un número contable de valores propios de D y, si hay infinitos, deben tender a infinito. Resulta que los ceros de ω ( λ ) también tienen multiplicidad uno (véase más abajo).

Si λ no es un valor propio de D en H ₀ , defina la función de Green mediante $${\displaystyle G_{\lambda }(x,y)={\begin{cases}\phi _{\lambda }(x)\chi _{\lambda }(y)/\omega (\lambda )&{\text{ for }}x\geq y\\[1ex]\chi _{\lambda }(x)\phi _{\lambda }(y)/\omega (\lambda )&{\text{ for }}y\geq x.\end{cases}}}$$

Este núcleo define un operador en el espacio del producto interno C [ a , b ] a través de $${\displaystyle (G_{\lambda }f)(x)=\int _{a}^{b}G_{\lambda }(x,y)f(y)\,dy.}$$

Como G _λ ( x , y ) es continua en [ a , b ] × [ a , b ] , define un operador de Hilbert–Schmidt en el espacio de Hilbert H de C [ a , b ] = H ₁ (o equivalentemente del subespacio denso H ₀ ), que toma valores en H ₁ . Este operador lleva H ₁ a H ₀ . Cuando λ es real, G _λ ( x , y ) = G _λ ( y , x ) también es real, por lo que define un operador autoadjunto en H . Además,

• G _λ ( D − λ ) = I en H ₀
• G _λ transporta H ₁ a H ₀ , y ( D − λ ) G _λ = I en H ₁ .

Por lo tanto, el operador G _λ puede identificarse con el resolvente ( D − λ ) ⁻¹ .

Teorema espectral

Teorema  —  Los valores propios de D son reales de multiplicidad uno y forman una secuencia creciente λ ₁ < λ ₂ < ⋯ que tiende a infinito.

Las funciones propias normalizadas correspondientes forman una base ortonormal de H ₀ .

El k -ésimo valor propio de D viene dado por el principio minimax $${\displaystyle \lambda _{k}=\max _{\dim G=k-1}\,\min _{f\perp G}{(Df,f) \over (f,f)}.}$$

En particular, si q ₁ ≤ q ₂ , entonces $${\displaystyle \lambda _{k}(D_{1})\leq \lambda _{k}(D_{2}).}$$

De hecho, sea T = G _λ para λ grande y negativo. Entonces T define un operador autoadjunto compacto en el espacio de Hilbert H . Por el teorema espectral para operadores autoadjuntos compactos, H tiene una base ortonormal que consiste en vectores propios ψ _n de T con Tψ _n = μ _n ψ _n , donde μ _n tiende a cero. El rango de T contiene H ₀ por lo que es denso. Por lo tanto, 0 no es un valor propio de T . Las propiedades resolutivas de T implican que ψ _n se encuentra en H ₀ y que $${\displaystyle D\psi _{n}=\left(\lambda +{\frac {1}{\mu _{n}}}\right)\psi _{n}}$$

El principio minimax se deduce porque si entonces λ ( G ) = λ _k para el espacio lineal de las primeras k − 1 funciones propias. Para cualquier otro subespacio G de ( k − 1) dimensión , algún f en el espacio lineal de los primeros k vectores propios debe ser ortogonal a G. Por lo tanto, λ ( G ) ≤ ( Df , f )/( f , f ) ≤ λ _k . $${\displaystyle \lambda (G)=\min _{f\perp G}{\frac {(Df,f)}{(f,f)}},}$$

Wronskiano como determinante de Fredholm

Para simplificar, supongamos que m ≤ q ( x ) ≤ M en [0, π ] con condiciones de contorno de Dirichlet. El principio minimax muestra que $${\displaystyle n^{2}+m\leq \lambda _{n}(D)\leq n^{2}+M.}$$

De ello se deduce que el resolvente ( D − λ ) ⁻¹ es un operador de clase traza siempre que λ no sea un valor propio de D y, por lo tanto, que el determinante de Fredholm det I − μ ( D − λ ) ⁻¹ está definido.

Las condiciones de contorno de Dirichlet implican que $${\displaystyle \omega (\lambda )=\phi _{\lambda }(b).}$$

Utilizando la iteración de Picard, Titchmarsh demostró que φ _λ ( b ) , y por lo tanto ω ( λ ) , es una función entera de orden finito 1/2 : $${\displaystyle \omega (\lambda )={\mathcal {O}}\left(e^{\sqrt {|\lambda |}}\right)}$$

En un μ cero de ω ( λ ) , φ _μ ( b ) = 0 . Además, satisface ( D − μ ) ψ = φ _μ . De este modo $${\displaystyle \psi (x)=\partial _{\lambda }\varphi _{\lambda }(x)|_{\lambda =\mu }}$$ $${\displaystyle \omega (\lambda )=(\lambda -\mu )\psi (b)+{\mathcal {O}}((\lambda -\mu )^{2})}$$

Esto implica que ^[4]

μ es un cero simple de ω ( λ ) .

De lo contrario, ψ ( b ) = 0 , por lo que ψ tendría que estar en H ₀ . Pero entonces hay una contradicción. $${\displaystyle (\phi _{\mu },\phi _{\mu })=((D-\mu )\psi ,\phi _{\mu })=(\psi ,(D-\mu )\phi _{\mu })=0,}$$

Por otra parte, la distribución de los ceros de toda la función ω(λ) ya se conoce a partir del principio minimax.

Por el teorema de factorización de Hadamard , se deduce que ^{[5] para alguna constante} C distinta de cero . $${\displaystyle \omega (\lambda )=C\prod (1-\lambda /\lambda _{n}),}$$

Por eso $${\displaystyle \det(I-\mu (D-\lambda )^{-1})=\prod \left(1-{\mu \over \lambda _{n}-\lambda }\right)=\prod {1-(\lambda +\mu )/\lambda _{n} \over 1-\lambda /\lambda _{n}}={\omega (\lambda +\mu ) \over \omega (\lambda )}.}$$

En particular, si 0 no es un valor propio de D $${\displaystyle \omega (\mu )=\omega (0)\cdot \det(I-\mu D^{-1}).}$$

Herramientas de la teoría espectral abstracta

Funciones de variación acotada

Una función ρ ( x ) de variación acotada ^[6] en un intervalo cerrado [ a , b ] es una función de valor complejo tal que su variación total V ( ρ ) , el supremo de las variaciones en todas las disecciones es finito. Las partes real e imaginaria de ρ son funciones de valor real de variación acotada. Si ρ es de valor real y normalizada de modo que ρ ( a ) = 0 , tiene una descomposición canónica como la diferencia de dos funciones acotadas no decrecientes: donde ρ ₊ ( x ) y ρ _– ( x ) son la variación total positiva y negativa de ρ en [ a , x ] . $${\displaystyle \sum _{r=0}^{k-1}|\rho (x_{r+1})-\rho (x_{r})|}$$ $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{k}=b}$$ $${\displaystyle \rho (x)=\rho _{+}(x)-\rho _{-}(x),}$$

Si f es una función continua en [ a , b ], su integral de Riemann–Stieltjes con respecto a ρ se define como el límite de aproximación de sumas a medida que la malla de la disección, dada por sup | x _{r +1} − x _r | , tiende a cero. $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,d\rho (x)}$$ $${\displaystyle \sum _{r=0}^{k-1}f(x_{r})(\rho (x_{r+1})-\rho (x_{r}))}$$

Esta integral satisface $${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,d\rho (x)\right|\leq V(\rho )\cdot \|f\|_{\infty }}$$

y por tanto define una función lineal acotada dρ en C [ a , b ] con norma ‖ dρ ‖ = V ( ρ ) .

Cada funcional lineal acotado μ en C [ a , b ] tiene un valor absoluto |μ| definido para f no negativo por ^[7] $${\displaystyle |\mu |(f)=\sup _{0\leq |g|\leq f}|\mu (g)|.}$$

La forma | μ | se extiende linealmente a una forma lineal acotada en C [ a , b ] con norma ‖ μ ‖ y satisface la desigualdad caracterizante para f en C [ a , b ] . Si μ es real , es decir, tiene un valor real en funciones de valor real, entonces da una descomposición canónica como una diferencia de formas positivas , es decir, formas que no son negativas en funciones no negativas. $${\displaystyle |\mu (f)|\leq |\mu |(|f|)}$$ $${\displaystyle \mu =|\mu |-(|\mu |-\mu )\equiv \mu _{+}-\mu _{-}}$$

Cada forma positiva μ se extiende únicamente al espacio lineal de funciones semicontinuas inferiores no negativas acotadas g por la fórmula ^[8] donde las funciones continuas no negativas f _n aumentan puntualmente hasta g . $${\displaystyle \mu (g)=\lim \mu (f_{n}),}$$

Por lo tanto, lo mismo se aplica a una forma lineal acotada arbitraria μ , de modo que una función ρ de variación acotada puede definirse por ^[9] donde χ _A denota la función característica de un subconjunto A de [ a , b ] . Por lo tanto, μ = dρ y ‖ μ ‖ = ‖ dρ ‖ . Además, μ ₊ = dρ ₊ y μ _– = dρ _– . $${\displaystyle \rho (x)=\mu (\chi _{[a,x]}),}$$

Esta correspondencia entre funciones de variación acotada y formas lineales acotadas es un caso especial del teorema de representación de Riesz .

El soporte de μ = dρ es el complemento de todos los puntos x en [ a , b ] donde ρ es constante en algún entorno de x ; por definición es un subconjunto cerrado A de [ a , b ] . Además, μ ((1 − χ _A ) f ) = 0 , de modo que μ ( f ) = 0 si f se anula en A .

Medida espectral

Sea H un espacio de Hilbert y un operador acotado autoadjunto en H con , de modo que el espectro de está contenido en . Si es un polinomio complejo, entonces por el teorema de aplicación espectral y por lo tanto donde denota la norma uniforme en C [0, 1] . Por el teorema de aproximación de Weierstrass , los polinomios son uniformemente densos en C [0, 1] . De ello se deduce que se puede definir , con y ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 0\leq T\leq I}$ ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle p(t)}$ $${\displaystyle \sigma (p(T))=p(\sigma (T))}$$ $${\displaystyle \|p(T)\|\leq \|p\|_{\infty }}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle f(T)}$ ${\displaystyle \forall f\in C[0,1]}$ $${\displaystyle \sigma (f(T))=f(\sigma (T))}$$ $${\displaystyle \|f(T)\|\leq \|f\|_{\infty }.}$$

Si es una función semicontinua inferior en [0, 1] , por ejemplo la función característica de un subintervalo de [0, 1] , entonces es un límite creciente puntual de no negativo . ${\displaystyle 0\leq g\leq 1}$ ${\displaystyle \chi _{[0,\alpha ]}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f_{n}\in C[0,1]}$

Si es un vector en H , entonces los vectores forman una secuencia de Cauchy en H , ya que, para , y es acotado y creciente, por lo que tiene un límite. ${\displaystyle \xi }$ $${\displaystyle \eta _{n}=f_{n}(T)\xi }$$ ${\displaystyle n\geq m}$ $${\displaystyle \|\eta _{n}-\eta _{m}\|^{2}\leq (\eta _{n},\xi )-(\eta _{m},\xi ),}$$ ${\displaystyle (\eta _{n},\xi )=(f_{n}(T)\xi ,\xi )}$

De ello se deduce que se puede definir por ^[a] ${\displaystyle g(T)}$ $${\displaystyle g(T)\xi =\lim f_{n}(T)\xi .}$$

Si y η son vectores en H , entonces define una forma lineal acotada en H . Por el teorema de representación de Riesz para una función normalizada única de variación acotada en [0, 1] . ${\displaystyle \xi }$ $${\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }(f)=(f(T)\xi ,\eta )}$$ ${\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }}$ $${\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }=d\rho _{\xi ,\eta }}$$ ${\displaystyle \rho _{\xi ,\eta }}$

${\displaystyle d\rho _{\xi ,\eta }}$(o a veces de manera ligeramente incorrecta ) se denomina medida espectral determinada por y η . ${\displaystyle \rho _{\xi ,\eta }}$ ${\displaystyle \xi }$

El operador se caracteriza, por tanto, de forma única por la ecuación ${\displaystyle g(T)}$ $${\displaystyle (g(T)\xi ,\eta )=\mu _{\xi ,\eta }(g)=\int _{0}^{1}g(\lambda )\,d\rho _{\xi ,\eta }(\lambda ).}$$

La proyección espectral se define de modo que ${\displaystyle E(\lambda )}$ $${\displaystyle E(\lambda )=\chi _{[0,\lambda ]}(T),}$$ $${\displaystyle \rho _{\xi ,\eta }(\lambda )=(E(\lambda )\xi ,\eta ).}$$

De ello se deduce lo que se entiende en el sentido de que para cualesquiera vectores y , $${\displaystyle g(T)=\int _{0}^{1}g(\lambda )\,dE(\lambda ),}$$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ $${\displaystyle (g(T)\xi ,\eta )=\int _{0}^{1}g(\lambda )\,d(E(\lambda )\xi ,\eta )=\int _{0}^{1}g(\lambda )\,d\rho _{\xi ,\eta }(\lambda ).}$$

Porque un único vector es una forma positiva en [0, 1] (en otras palabras, proporcional a una medida de probabilidad en [0, 1] ) y no es negativo ni decreciente. La polarización muestra que todas las formas pueden expresarse naturalmente en términos de tales formas positivas, ya que ${\displaystyle \xi ,\,\mu _{\xi }=\mu _{\xi ,\xi }}$ ${\displaystyle \rho _{\xi }=\rho _{\xi ,\xi }}$ ${\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }}$ $${\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }={\frac {1}{4}}\left(\mu _{\xi +\eta }+i\mu _{\xi +i\eta }-\mu _{\xi -\eta }-i\mu _{\xi -i\eta }\right)}$$

Si el vector es tal que el espacio lineal de los vectores es denso en H , es decir, es un vector cíclico para , entonces la función definida por satisface ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle (T^{n}\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle U(f)=f(T)\xi ,\,C[0,1]\rightarrow H}$$ $${\displaystyle (Uf_{1},Uf_{2})=\int _{0}^{1}f_{1}(\lambda ){\overline {f_{2}(\lambda )}}\,d\rho _{\xi }(\lambda ).}$$

Sea la terminación del espacio de Hilbert de asociada con el producto interno posiblemente degenerado en el lado derecho. ^[b] Por lo tanto, se extiende a una transformación unitaria de sobre H . es entonces simplemente la multiplicación por sobre ; y más generalmente es la multiplicación por . En este caso, el soporte de es exactamente , de modo que ${\displaystyle L_{2}([0,1],d\rho _{\xi })}$ ${\displaystyle C[0,1]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle L_{2}([0,1],\rho _{\xi })}$ ${\displaystyle UTU^{\ast }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L_{2}([0,1],d\rho _{\xi })}$ ${\displaystyle Uf(T)U^{\ast }}$ ${\displaystyle f(\lambda )}$ ${\displaystyle d\rho _{\xi }}$ ${\displaystyle \sigma (T)}$

El operador autoadjunto se convierte en un operador de multiplicación en el espacio de funciones en su espectro con producto interno dado por la medida espectral .

Teoría de Weyl-Titchmarsh-Kodaira

La expansión de funciones propias asociada con operadores diferenciales singulares de la forma en un intervalo abierto ( a , b ) requiere un análisis inicial del comportamiento de las funciones propias fundamentales cerca de los puntos finales a y b para determinar las posibles condiciones de contorno allí. A diferencia del caso regular de Sturm-Liouville, en algunas circunstancias los valores espectrales de D pueden tener multiplicidad 2. En el desarrollo que se describe a continuación se impondrán supuestos estándar sobre p y q que garantizan que el espectro de D tiene multiplicidad uno en todas partes y está acotado por debajo. Esto incluye casi todas las aplicaciones importantes; las modificaciones requeridas para el caso más general se discutirán más adelante. $${\displaystyle Df=-(pf')'+qf}$$

Una vez elegidas las condiciones de contorno, como en la teoría clásica, el resolvente de D , ( D + R ) ⁻¹ para R grande y positivo, viene dado por un operador T correspondiente a una función de Green construida a partir de dos funciones propias fundamentales. En el caso clásico , T era un operador autoadjunto compacto; en este caso, T es simplemente un operador autoadjunto acotado con 0 ≤ T ≤ I . Por lo tanto, la teoría abstracta de la medida espectral se puede aplicar a T para dar la expansión de la función propia para D .

La idea central en la demostración de Weyl y Kodaira puede explicarse informalmente de la siguiente manera. Supóngase que el espectro de D se encuentra en [1, ∞) y que T = D ⁻¹ y sea la proyección espectral de D correspondiente al intervalo [1, λ ] . Para una función arbitraria f , definamos f ( x , λ ) como una función diferenciable en el espacio de funciones de variación acotada ρ; o equivalentemente como una función diferenciable en el espacio de Banach E de funcionales lineales acotados dρ en C [ α , β ] siempre que [ α , β ] sea un subintervalo compacto de [1, ∞) . $${\displaystyle E(\lambda )=\chi _{[\lambda ^{-1},1]}(T)}$$ $${\displaystyle f(x,\lambda )=(E(\lambda )f)(x).}$$ $${\displaystyle x\mapsto (d_{\lambda }f)(x)}$$

La observación fundamental de Weyl fue que d _λ f satisface una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que toma valores en E : $${\displaystyle D(d_{\lambda }f)=\lambda \cdot d_{\lambda }f.}$$

Después de imponer condiciones iniciales sobre las dos primeras derivadas en un punto fijo c , esta ecuación se puede resolver explícitamente en términos de las dos funciones propias fundamentales y los funcionales de "valor inicial". $${\displaystyle (d_{\lambda }f)(c)=d_{\lambda }f(c,\cdot ),\quad (d_{\lambda }f)^{\prime }(c)=d_{\lambda }f_{x}(c,\cdot ).}$$

Este punto de vista puede ahora darse vuelta: f ( c , λ ) y f _x ( c , λ ) pueden escribirse como donde ξ ₁ ( λ ) y ξ ₂ ( λ ) se dan puramente en términos de las funciones propias fundamentales. Las funciones de variación acotada determinan una medida espectral en el espectro de D y pueden calcularse explícitamente a partir del comportamiento de las funciones propias fundamentales (la fórmula de Titchmarsh–Kodaira). $${\displaystyle f(c,\lambda )=(f,\xi _{1}(\lambda )),\quad f_{x}(c,\lambda )=(f,\xi _{2}(\lambda )),}$$ $${\displaystyle \sigma _{ij}(\lambda )=(\xi _{i}(\lambda ),\xi _{j}(\lambda ))}$$

Círculo límite y punto límite para ecuaciones singulares

Sea q ( x ) una función continua de valor real en (0, ∞) y sea D el operador diferencial de segundo orden en (0, ∞) . Fijemos un punto c en (0, ∞) y, para λ complejo , sean las funciones propias fundamentales únicas de D en (0, ∞) que satisfacen junto con las condiciones iniciales en c $${\displaystyle Df=-f''+qf}$$ ${\displaystyle \varphi _{\lambda },\theta _{\lambda }}$ $${\displaystyle (D-\lambda )\varphi _{\lambda }=0,\quad (D-\lambda )\theta _{\lambda }=0}$$ $${\displaystyle \varphi _{\lambda }(c)=1,\,\varphi _{\lambda }'(c)=0,\,\theta _{\lambda }(c)=0,\,\theta _{\lambda }'(c)=1.}$$

Entonces su Wronskiano satisface $${\displaystyle W(\varphi _{\lambda },\theta _{\lambda })=\varphi _{\lambda }\theta _{\lambda }'-\theta _{\lambda }\varphi _{\lambda }'\equiv 1,}$$

ya que es constante e igual a 1 en c .

Sea λ no real y 0 < x < ∞ . Si el número complejo es tal que satisface la condición de contorno para algún (o, equivalentemente, es real) entonces, utilizando la integración por partes, se obtiene ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f=\varphi +\mu \theta }$ ${\displaystyle \cos \beta \,f(x)-\sin \beta \,f'(x)=0}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle f'(x)/f(x)}$ $${\displaystyle \operatorname {Im} (\lambda )\int _{c}^{x}|\varphi +\mu \theta |^{2}=\operatorname {Im} (\mu ).}$$

Por lo tanto, el conjunto de μ que satisface esta ecuación no está vacío. Este conjunto es un círculo en el plano complejo μ . Los puntos μ en su interior se caracterizan por si x > c y por si x < c . $${\displaystyle \int _{c}^{x}|\varphi +\mu \theta |^{2}<{\operatorname {Im} (\mu ) \over \operatorname {Im} (\lambda )}}$$ $${\displaystyle \int _{x}^{c}|\varphi +\mu \theta |^{2}<{\operatorname {Im} (\mu ) \over \operatorname {Im} (\lambda )}}$$

Sea D _x el disco cerrado encerrado por el círculo. Por definición, estos discos cerrados están anidados y decrecen a medida que x se acerca a 0 o ∞ . Por lo tanto, en el límite, los círculos tienden a un círculo límite o a un punto límite en cada extremo. Si es un punto límite o un punto en el círculo límite en 0 o ∞ , entonces es integrable al cuadrado ( L ² ) cerca de 0 o ∞ , ya que se encuentra en D _x para todo x > c (en el caso ∞) y, por lo tanto, está acotado independientemente de x . En particular: ^[10] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f=\varphi +\mu \theta }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \int _{c}^{x}|\varphi +\mu \theta |^{2}<{\operatorname {Im} (\mu ) \over \operatorname {Im} (\lambda )}}$

• siempre hay soluciones distintas de cero de Df = λf que son integrables al cuadrado cerca de 0 o ∞ ;
• En el caso del círculo límite, todas las soluciones de Df = λf son integrables al cuadrado cerca de 0 o ∞ .

El radio del disco D _x se puede calcular como , lo que implica que en el caso del punto límite no puede ser integrable al cuadrado cerca de 0 o ∞ . Por lo tanto, tenemos una recíproca a la segunda afirmación anterior: $${\displaystyle \left|{1 \over {2\operatorname {Im} (\lambda )\int _{c}^{x}|\theta |^{2}}}\right|}$$ ${\displaystyle \theta }$

• en el caso del punto límite hay exactamente una solución distinta de cero (hasta múltiplos escalares) de Df = λf que es integrable al cuadrado cerca de 0 resp. ∞ .

Por otra parte, si Dg = λ ′ g para otro valor λ ′ , entonces se satisface Dh = λh , de modo que $${\displaystyle h(x)=g(x)-(\lambda ^{\prime }-\lambda )\int _{c}^{x}(\varphi _{\lambda }(x)\theta _{\lambda }(y)-\theta _{\lambda }(x)\varphi _{\lambda }(y))g(y)\,dy}$$ $${\displaystyle g(x)=c_{1}\varphi _{\lambda }+c_{2}\theta _{\lambda }+(\lambda ^{\prime }-\lambda )\int _{c}^{x}(\varphi _{\lambda }(x)\theta _{\lambda }(y)-\theta _{\lambda }(x)\varphi _{\lambda }(y))g(y)\,dy.}$$

Esta fórmula también se puede obtener directamente mediante el método de variación de la constante a partir de ( D − λ ) g = ( λ ′ − λ ) g . Utilizando esto para estimar g , se deduce que ^[10]

• El comportamiento del punto límite/círculo límite en 0 o ∞ es independiente de la elección de λ .

De manera más general, si Dg = ( λ – r ) g para alguna función r ( x ) , entonces ^[11] $${\displaystyle g(x)=c_{1}\varphi _{\lambda }+c_{2}\theta _{\lambda }-\int _{c}^{x}(\varphi _{\lambda }(x)\theta _{\lambda }(y)-\theta _{\lambda }(x)\varphi _{\lambda }(y))r(y)g(y)\,dy.}$$

De esto se sigue que ^[11]

• si r es continua en 0 , entonces D + r es el punto límite o el círculo límite en 0 precisamente cuando D es,

de modo que en particular ^[12]

• si q ( x ) − a / x ² es continua en 0 , entonces D es el punto límite en 0 si y solo si a ≥ ⁠3/4⁠ .

Similarmente

• si r tiene un límite finito en ∞ , entonces D + r es el punto límite o el círculo límite en ∞ precisamente cuando D es,

de modo que en particular ^[13]

• Si q tiene un límite finito en ∞ , entonces D es el punto límite en ∞ .

En la literatura matemática se pueden encontrar criterios mucho más elaborados para determinar cuál es el punto límite o el círculo límite.

Función de Green (caso singular)

Considérese el operador diferencial en (0, ∞) con q ₀ positivo y continuo en (0, ∞) y p ₀ continuamente diferenciable en [0, ∞) , positivo en (0, ∞) y p ₀ (0) = 0 . $${\displaystyle D_{0}f=-(p_{0}f')'+q_{0}f}$$

Además, supongamos que después de la reducción a la forma estándar D ₀ se convierte en el operador equivalente en (0, ∞) donde q tiene un límite finito en ∞ . Por lo tanto $${\displaystyle Df=-f''+qf}$$

• D es el punto límite en ∞ .

En 0, D puede ser un círculo límite o un punto límite. En cualquier caso, existe una función propia Φ ₀ con D Φ ₀ = 0 y Φ ₀ integrable al cuadrado cerca de 0. En el caso del círculo límite, Φ ₀ determina una condición de contorno en 0 : $${\displaystyle W(f,\Phi _{0})(0)=0.}$$

Para λ complejo , deje que Φ _λ y Χ _λ satisfagan

• ( D – λ )Φ _λ = 0 , ( D – λ )Χ _λ = 0
• Χ _λ cuadrado integrable cerca del infinito
• Φ _λ integrable al cuadrado en 0 si 0 es el punto límite
• Φ _λ satisface la condición de contorno anterior si 0 es el círculo límite .

Sea una constante que se desvanece precisamente cuando Φ _λ y Χ _λ son proporcionales, es decir, λ es un valor propio de D para estas condiciones de contorno. $${\displaystyle \omega (\lambda )=W(\Phi _{\lambda },\mathrm {X} _{\lambda }),}$$

Por otra parte, esto no puede ocurrir si Im λ ≠ 0 o si λ es negativo. ^[10]

De hecho, si D f = λf con q ₀ – λ ≥ δ > 0 , entonces por la fórmula de Green ( Df , f ) = ( f , Df ) , ya que W ( f , f ^* ) es constante. Por lo tanto, λ debe ser real. Si se toma f como de valor real en la realización D ₀ , entonces para 0 < x < y $${\displaystyle [p_{0}ff']_{x}^{y}=\int _{x}^{y}(q_{0}-\lambda )|f|^{2}+p_{0}(f')^{2}.}$$

Como p ₀ (0) = 0 y f es integrable cerca de 0 , p ₀ f f ′ debe anularse en 0 . Fijando x = 0 , se deduce que f ( y ) f ′( y ) > 0 , de modo que f ² es creciente, lo que contradice la integrabilidad cuadrada de f cerca de ∞ .

Por lo tanto, añadiendo un escalar positivo a q , se puede suponer que $${\displaystyle \omega (\lambda )\neq 0~~{\text{ if }}\lambda \notin [1,\infty ).}$$

Si ω ( λ ) ≠ 0 , la función de Green G _λ ( x , y ) en λ está definida por y es independiente de la elección de Φ _λ y Χ _λ . $${\displaystyle G_{\lambda }(x,y)={\begin{cases}\Phi _{\lambda }(x)\mathrm {X} _{\lambda }(y)/\omega (\lambda )&(x\leq y),\\[1ex]\mathrm {X} _{\lambda }(x)\Phi _{\lambda }(y)/\omega (\lambda )&(x\geq y).\end{cases}}}$$

En los ejemplos habrá una tercera función propia "mala" Ψ _λ definida y holomorfa para λ no en [1, ∞) tal que Ψ _λ no satisface las condiciones de contorno ni en 0 ni en ∞ . Esto significa que para λ no en [1, ∞)

• W (Φ _λ ,Ψ _λ ) no desaparece en ninguna parte;
• W (Χ _λ ,Ψ _λ ) no desaparece en ninguna parte.

En este caso Χ _λ es proporcional a Φ _λ + m ( λ ) Ψ _λ , donde $${\displaystyle m(\lambda )=-W(\Phi _{\lambda },\mathrm {X} _{\lambda })/W(\Psi _{\lambda },\mathrm {X} _{\lambda }).}$$

Sea H ₁ el espacio de funciones continuas integrables al cuadrado en (0, ∞) y sea H ₀

• el espacio de C ² funciones f en (0, ∞) de soporte compacto si D es punto límite en 0
• el espacio de C ² funciones f en (0, ∞) con W ( f , Φ ₀ ) = 0 en 0 y con f = 0 cerca de ∞ si D es el círculo límite en 0 .

Definir T = G ₀ por $${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{0}^{\infty }G_{0}(x,y)f(y)\,dy.}$$

Entonces T D = I en H ₀ , D T = I en H ₁ y el operador D está acotado por debajo en H ₀ : $${\displaystyle (Df,f)\geq (f,f).}$$

Por lo tanto, T es un operador acotado autoadjunto con 0 ≤ T ≤ I.

Formalmente T = D ⁻¹ . Los operadores correspondientes G _λ definidos para λ no en [1, ∞) pueden identificarse formalmente con y satisfacen G _λ ( D – λ ) = I en H ₀ , ( D – λ ) G _λ = I en H ₁ . $${\displaystyle (D-\lambda )^{-1}=T(I-\lambda T)^{-1}}$$

Teorema espectral y fórmula de Titchmarsh-Kodaira

Teorema. ^{[10] [14] [15]}  —  Para cada número real λ sea ρ ( λ ) definido por la fórmula de Titchmarsh–Kodaira : $${\displaystyle \rho (\lambda )=\lim _{\delta \downarrow 0}\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{\pi }}\int _{\delta }^{\lambda +\delta }\operatorname {Im} m(t+i\varepsilon )\,dt.}$$

Entonces ρ ( λ ) es una función semicontinua inferior no decreciente de λ y si entonces U define una transformación unitaria de L ² (0, ∞) en L ² ( [1, ∞) , dρ ) tal que UDU ⁻¹ corresponde a la multiplicación por λ . $${\displaystyle (Uf)(\lambda )=\int _{0}^{\infty }f(x)\Phi (x,\lambda )\,dx,}$$

La transformación inversa U ⁻¹ está dada por $${\displaystyle (U^{-1}g)(x)=\int _{1}^{\infty }g(\lambda )\Phi (x,\lambda )\,d\rho (\lambda ).}$$

El espectro de D es igual al soporte de dρ .

Kodaira dio una versión simplificada ^{[16] [17]} de la prueba original de Weyl. ^[10] ( MH Stone había demostrado previamente ^[18] cómo parte del trabajo de Weyl podía simplificarse utilizando el teorema espectral de von Neumann).

De hecho, para T = D ⁻¹ con 0 ≤ T ≤ I , la proyección espectral E ( λ ) de T está definida por $${\displaystyle E(\lambda )=\chi _{[\lambda ^{-1},1]}(T)}$$

Es también la proyección espectral de D correspondiente al intervalo [1, λ ] .

Para f en H ₁ defina $${\displaystyle f(x,\lambda )=(E(\lambda )f)(x).}$$

f ( x , λ ) puede considerarse como una función diferenciable en el espacio de funciones ρ de variación acotada; o equivalentemente como una función diferenciable en el espacio de Banach E de funcionales lineales acotados dρ en [ C [ α , β ]] para cualquier subintervalo compacto [ α , β ] de [1, ∞) . $${\displaystyle x\mapsto (d_{\lambda }f)(x)}$$

Los funcionales (o medidas) d _λ f ( x ) satisfacen la siguiente ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con valor E : con condiciones iniciales en c en (0, ∞) $${\displaystyle D(d_{\lambda }f)=\lambda \cdot d_{\lambda }f,}$$ $${\displaystyle (d_{\lambda }f)(c)=d_{\lambda }f(c,\cdot )=\mu ^{(0)},\quad (d_{\lambda }f)^{\prime }(c)=d_{\lambda }f_{x}(c,\cdot )=\mu ^{(1)}.}$$

Si φ _λ y χ _λ son las funciones propias especiales adaptadas a c , entonces $${\displaystyle d_{\lambda }f(x)=\varphi _{\lambda }(x)\mu ^{(0)}+\chi _{\lambda }(x)\mu ^{(1)}.}$$

Además, donde con (Como sugiere la notación, ξ _λ ⁽⁰⁾ y ξ _λ ⁽¹⁾ no dependen de la elección de z .) $${\displaystyle \mu ^{(k)}=d_{\lambda }(f,\xi _{\lambda }^{(k)}),}$$ $${\displaystyle \xi _{\lambda }^{(k)}=DE(\lambda )\eta ^{(k)},}$$ $${\displaystyle \eta _{z}^{(0)}(y)=G_{z}(c,y),\,\,\,\,\eta _{z}^{(1)}(x)=\partial _{x}G_{z}(c,y),\,\,\,\,(z\notin [1,\infty )).}$$

De lo anterior se deduce que $${\displaystyle \sigma _{ij}(\lambda )=(\xi _{\lambda }^{(i)},\xi _{\lambda }^{(j)}),}$$ $${\displaystyle d_{\lambda }(E(\lambda )\eta _{z}^{(i)},\eta _{z}^{(j)})=|\lambda -z|^{-2}\cdot d_{\lambda }\sigma _{ij}(\lambda ).}$$

Por otra parte, existen funciones holomorfas a ( λ ) , b ( λ ) tales que

• φ _λ + a ( λ ) χ _λ es proporcional a Φ _λ ;
• φ _λ + b ( λ ) χ _λ es proporcional a Χ _λ .

Dado que W ( φ _λ , χ _λ ) = 1 , la función de Green viene dada por $${\displaystyle G_{\lambda }(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {(\varphi _{\lambda }(x)+a(\lambda )\chi _{\lambda }(x))(\varphi _{\lambda }(y)+b(\lambda )\chi _{\lambda }(y))}{b(\lambda )-a(\lambda )}}&(x\leq y),\\[1ex]{\dfrac {(\varphi _{\lambda }(x)+b(\lambda )\chi _{\lambda }(x))(\varphi _{\lambda }(y)+a(\lambda )\chi _{\lambda }(y))}{b(\lambda )-a(\lambda )}}&(y\leq x).\end{cases}}}$$

El cálculo directo ^[19] muestra que donde la denominada matriz característica M _ij ( z ) está dada por $${\displaystyle (\eta _{z}^{(i)},\eta _{z}^{(j)})=\operatorname {Im} M_{ij}(z)/\operatorname {Im} z,}$$ $${\displaystyle M_{00}(z)={\frac {a(z)b(z)}{a(z)-b(z)}},\,\,M_{01}(z)=M_{10}(z)={\frac {a(z)+b(z)}{2(a(z)-b(z))}},\,\,M_{11}(z)={\frac {1}{a(z)-b(z)}}.}$$

Lo que implica inmediatamente (este es un caso especial de la "fórmula de inversión de Stieltjes" ). $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {Im} z)\cdot |\lambda -z|^{-2}\,d\sigma _{ij}(\lambda )=\operatorname {Im} M_{ij}(z),}$$ $${\displaystyle \sigma _{ij}(\lambda )=\lim _{\delta \downarrow 0}\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int _{\delta }^{\lambda +\delta }\operatorname {Im} M_{ij}(t+i\varepsilon )\,dt.}$$

Haciendo ψ _λ ⁽⁰⁾ = φ _λ y ψ _λ ⁽¹⁾ = χ _λ , se deduce que $${\displaystyle (E(\mu )f)(x)=\sum _{i.j}\int _{0}^{\mu }\int _{0}^{\infty }\psi _{\lambda }^{(i)}(x)\psi _{\lambda }^{(j)}(y)f(y)\,dy\,d\sigma _{ij}(\lambda )=\int _{0}^{\mu }\int _{0}^{\infty }\Phi _{\lambda }(x)\Phi _{\lambda }(y)f(y)\,dy\,d\rho (\lambda ).}$$

Esta identidad es equivalente al teorema espectral y a la fórmula de Titchmarsh-Kodaira.

Aplicación a la ecuación hipergeométrica

La transformada de Mehler-Fock ^{[20] [21] [22]} se refiere a la expansión de la función propia asociada con el operador diferencial de Legendre D en (1, ∞) . Las funciones propias son las funciones de Legendre ^[23] con valor propio λ ≥ 0 . Las dos transformaciones de Mehler-Fock son ^[24] y $${\displaystyle Df=-((x^{2}-1)f')'=-(x^{2}-1)f''-2xf'}$$ $${\displaystyle P_{-1/2+i{\sqrt {\lambda }}}(\cosh r)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\left({\sin \theta +ie^{-r}\cos \theta \over \cos \theta -ie^{-r}\sin \theta }\right)^{{1 \over 2}+i{\sqrt {\lambda }}}\,d\theta }$$ $${\displaystyle Uf(\lambda )=\int _{1}^{\infty }f(x)\,P_{-1/2+i{\sqrt {\lambda }}}(x)\,dx}$$ $${\displaystyle U^{-1}g(x)=\int _{0}^{\infty }g(\lambda )\,{1 \over 2}\tanh \pi {\sqrt {\lambda }}\,d\lambda .}$$

(A menudo esto se escribe en términos de la variable τ = √ λ .)

Mehler y Fock estudiaron este operador diferencial porque surgió como el componente radial del laplaciano en el espacio hiperbólico bidimensional. De manera más general, ^[25] considera el grupo G = SU(1,1) que consiste en matrices complejas de la forma $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}}$$

con determinante | α | ² − | β | ² = 1 .

Aplicación al átomo de hidrógeno

Generalizaciones y enfoques alternativos

Una función de Weyl se puede definir en un punto final singular a, lo que da lugar a una versión singular de la teoría de Weyl-Titchmarsh-Kodaira. ^[26] Esto se aplica, por ejemplo, al caso de los operadores radiales de Schrödinger. $${\displaystyle Df=-f''+{\frac {\ell (\ell +1)}{x^{2}}}f+V(x)f,\qquad x\in (0,\infty )}$$

Toda la teoría también puede extenderse al caso en que se permite que los coeficientes sean medidas. ^[27]

Teoría de Gelfand-Levitan

Notas

1. Este es un límite en la topología del operador fuerte .
2. Un producto interno auténtico se define en el cociente por el subespacio de funciones nulas , es decir, aquellas con . Alternativamente, en este caso, el soporte de la medida es , por lo que el lado derecho define un producto interno (no degenerado) en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu _{\xi }(|f|_{2})=0}$ ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle C(\sigma (T))}$

Referencias

Citas

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10. Weyl 1910 . ^{[ especificar ]} harvnb error: no target: CITEREFWeyl1910 (help)
11. Bellman 1969, pág. 116
12. Reed y Simon 1975, pág. 159
13. Reed y Simon 1975, pág. 154
14. Titchmarsh 1946, Capítulo III
15. Kodaira 1949, págs. 935-936
16. Kodaira 1949, págs. 929–932; para detalles omitidos, véase Kodaira 1950, págs. 529–536
17. Dieudonné 1988
18. Stone 1932, Capítulo X
19. Kodaira 1950, págs. 534-535
20. Mehler 1881.
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24. Lébedev 1972
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26. Kostenko, Sakhnovich y Teschl 2012, págs. 1699-1747
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