Desigualdad de Sobolev

Teorema sobre inclusiones entre espacios de Sobolev

En matemáticas , existe en el análisis matemático una clase de desigualdades de Sobolev , que relacionan normas que incluyen las de los espacios de Sobolev . Estas se utilizan para demostrar el teorema de incrustación de Sobolev , que proporciona inclusiones entre ciertos espacios de Sobolev , y el teorema de Rellich-Kondrachov, que muestra que, en condiciones ligeramente más fuertes, algunos espacios de Sobolev están incrustados de forma compacta en otros. Reciben su nombre en honor a Sergei Lvovich Sobolev .

Teorema de incrustación de Sobolev

Representación gráfica de las condiciones de incrustación. El espacio W ^3,p , representado por un punto azul en el punto (1/ p , 3) ​​, se incrusta en los espacios indicados por puntos rojos, todos ellos situados sobre una línea con pendiente n . El círculo blanco en (0,0) indica la imposibilidad de incrustaciones óptimas en L ^∞ .

Sea W ^k,p ( R ⁿ ) el espacio de Sobolev que consiste en todas las funciones de valor real en R ⁿ cuyas derivadas débiles hasta el orden k son funciones en L p . Aquí k es un entero no negativo y 1 ≤ p < ∞ . La primera parte del teorema de incrustación de Sobolev establece que si k > ℓ , p < n y 1 ≤ p < q < ∞ son dos números reales tales que

${\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}={\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}},}$

(dado , , y esto se satisface para algunos siempre ), entonces ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle q\in [1,\infty )}$ ${\displaystyle (k-\ell )p<n}$

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq W^{\ell ,q}(\mathbf {R} ^{n})}$

y la incrustación es continua: para cada , se tiene , y ${\displaystyle f\in W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f\in W^{l,p}(\mathbf {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla ^{\ell }f\vert ^{q}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\leq C{\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla ^{k}f\vert ^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}.}$

En el caso especial de k = 1 y ℓ = 0 , la incrustación de Sobolev da

${\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}$

donde p ^∗ es el conjugado de Sobolev de p , dado por

${\displaystyle {\frac {1}{p^{*}}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}}$

y para cada , uno tiene y ${\displaystyle f\in W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f\in L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert f\vert ^{p_{*}}{\biggr )}^{1-{\frac {n}{p}}}\leq C\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla ^{k}f\vert ^{p}.}$

Este caso especial de la incrustación de Sobolev es una consecuencia directa de la desigualdad de Gagliardo–Nirenberg–Sobolev. El resultado debe interpretarse como que si una función en tiene una derivada en , entonces tiene un comportamiento local mejorado, lo que significa que pertenece al espacio donde . (Obsérvese que , de modo que .) Por lo tanto, cualquier singularidad local en debe ser más leve que para una función típica en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p^{*}}}$ ${\displaystyle p^{*}>p}$ ${\displaystyle 1/p^{*}<1/p}$ ${\displaystyle p^{*}>p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Si la línea de la imagen de arriba interseca el eje y en s = r + α , se cumple la incrustación en un espacio de Hölder C ^{r, α} (rojo). Los círculos blancos indican los puntos de intersección en los que no son válidas las incrustaciones óptimas .

La segunda parte del teorema de incrustación de Sobolev se aplica a incrustaciones en espacios de Hölder C ^r,α ( R ⁿ ) . Si n < pk y

${\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}=-{\frac {r+\alpha }{n}},{\mbox{ or, equivalently, }}r+\alpha =k-{\frac {n}{p}}}$

con α ∈ (0, 1) entonces se tiene la incrustación

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\alpha }(\mathbf {R} ^{n}).}$

En otras palabras, para cada y , se tiene ${\displaystyle f\in W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\in C^{\ell }(\mathbf {R} ^{n})}$

${\displaystyle \vert \nabla ^{\ell }f(x)-\nabla ^{\ell }f(y)\vert \leq C{\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla ^{k}f\vert ^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}\vert x-y\vert ^{\alpha }.}$

Esta parte de la incrustación de Sobolev es una consecuencia directa de la desigualdad de Morrey. Intuitivamente, esta inclusión expresa el hecho de que la existencia de una cantidad suficiente de derivadas débiles implica cierta continuidad de las derivadas clásicas. Si entonces para cada . ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \gamma \in (0,1)}$

En particular, mientras , el criterio de incrustación se cumplirá con y algún valor positivo de . Es decir, para una función en , si tiene derivadas en y , entonces será continua (y, en realidad, continua en el sentido de Hölder con algún exponente positivo ). ${\displaystyle pk>n}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle pk>n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$

Generalizaciones

El teorema de incrustación de Sobolev se cumple para espacios de Sobolev W ^k,p ( M ) en otros dominios adecuados M . En particular (Aubin 1982, Capítulo 2; Aubin 1976), ambas partes de la incrustación de Sobolev se cumplen cuando

• M es un conjunto abierto acotado en R ⁿ con límite de Lipschitz (o cuyo límite satisface la condición de cono ; Adams 1975, Teorema 5.4)
• M es una variedad riemanniana compacta
• M es una variedad riemanniana compacta con borde y el borde es Lipschitz (lo que significa que el borde se puede representar localmente como un gráfico de una función continua de Lipschitz).
• M es una variedad riemanniana completa con radio de inyectividad δ > 0 y curvatura seccional acotada .

Si M es un conjunto abierto acotado en R ⁿ con borde continuo, entonces W ^1,2 ( M ) está integrado de forma compacta en L ² ( M ) (Nečas 2012, Sección 1.1.5, Teorema 1.4).

Teorema de incrustación de Kondrachov

En una variedad compacta M con borde C ¹ , el teorema de incrustación de Kondrachov establece que si k > ℓ y entonces la incrustación de Sobolev $${\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}<{\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}}}$$

${\displaystyle W^{k,p}(M)\subset W^{\ell ,q}(M)}$

es completamente continua (compacta). ^[1] Nótese que la condición es igual que en la primera parte del teorema de incrustación de Sobolev, con la igualdad reemplazada por una desigualdad, requiriendo así un espacio más regular W ^k,p ( M ) .

Desigualdad Gagliardo-Nirenberg-Sobolev

Supongamos que u es una función de valor real continuamente diferenciable en R ⁿ con soporte compacto . Entonces, para 1 ≤ p < n, existe una constante C que depende únicamente de n y p tal que

${\displaystyle \|u\|_{L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

con . El caso se debe a Sobolev ^[2] y el caso a Gagliardo y Nirenberg de forma independiente. ^{[3] [4]} La desigualdad de Gagliardo–Nirenberg–Sobolev implica directamente la incrustación de Sobolev ${\displaystyle 1/p^{*}=1/p-1/n}$ ${\displaystyle 1<p<n}$ ${\displaystyle p=1}$

${\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n}).}$

Las incrustaciones en otros órdenes en R ⁿ se obtienen entonces mediante una iteración adecuada.

Lema de Hardy-Littlewood-Sobolev

La prueba original de Sobolev del teorema de incrustación de Sobolev se basó en lo siguiente, a veces conocido como el teorema de integración fraccionaria de Hardy-Littlewood-Sobolev. Un enunciado equivalente se conoce como el lema de Sobolev en (Aubin 1982, Capítulo 2). Una prueba se encuentra en (Stein 1970, Capítulo V, §1.3).

Sea 0 < α < n y 1 < p < q < ∞ . Sea I _α = (−Δ) ^{− α /2} el potencial de Riesz en R ⁿ . Entonces, para q definido por

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {\alpha }{n}}}$

existe una constante C que depende únicamente de p tal que

${\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.}$

Si p = 1 , entonces hay dos posibles estimaciones de reemplazo. La primera es la estimación de tipo débil más clásica:

${\displaystyle m\left\{x:\left|I_{\alpha }f(x)\right|>\lambda \right\}\leq C\left({\frac {\|f\|_{1}}{\lambda }}\right)^{q},}$

donde 1/ q = 1 − α / n . Alternativamente, se tiene la estimación donde es la transformada de Riesz con valores vectoriales , cf (Schikorra, Spector y Van Schaftingen 2017). La acotación de las transformadas de Riesz implica que la última desigualdad proporciona una forma unificada de escribir la familia de desigualdades para el potencial de Riesz. $${\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|Rf\|_{1},}$$ ${\displaystyle Rf}$

El lema de Hardy–Littlewood–Sobolev implica la incrustación de Sobolev esencialmente por la relación entre las transformadas de Riesz y los potenciales de Riesz.

Desigualdad de Morrey

Supongamos que n < p ≤ ∞ . Entonces existe una constante C , que depende sólo de p y n , tal que

${\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}}$

para todo u ∈ C ¹ ( R ⁿ ) ∩ L ^p ( R ⁿ ) , donde

${\displaystyle \gamma =1-{\frac {n}{p}}.}$

Por lo tanto, si u ∈ W ^{1, p} ( R ⁿ ) , entonces u es de hecho una función continua de Hölder de exponente γ , después de haber sido posiblemente redefinida en un conjunto de medida 0.

Un resultado similar se cumple en un dominio acotado U con borde de Lipschitz. En este caso,

${\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)}}$

donde la constante C depende ahora de n , p y U . Esta versión de la desigualdad se deriva de la anterior al aplicar la extensión que preserva la norma de W ^{1, p} ( U ) a W ^{1, p} ( R ⁿ ) . La desigualdad recibe su nombre de Charles B. Morrey Jr.

Desigualdades generales de Sobolev

Sea U un subconjunto abierto acotado de R ⁿ , con un límite C ^1. ( U también puede ser ilimitado, pero en este caso su límite, si existe, debe comportarse suficientemente bien.)

Supongamos que u ∈ W ^k,p ( U ) . Entonces consideramos dos casos:

k < n / pok = n,p = 1

En este caso concluimos que u ∈ L ^q ( U ) , donde

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}.}$

Contamos además con el presupuesto

${\displaystyle \|u\|_{L^{q}(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}}$,

la constante C depende únicamente de k , p , n y U.

k > n / p

Aquí, concluimos que u pertenece a un espacio de Hölder , más precisamente:

${\displaystyle u\in C^{k-\left[{\frac {n}{p}}\right]-1,\gamma }(U),}$

dónde

${\displaystyle \gamma ={\begin{cases}\left[{\frac {n}{p}}\right]+1-{\frac {n}{p}}&{\frac {n}{p}}\notin \mathbf {Z} \\{\text{any element in }}(0,1)&{\frac {n}{p}}\in \mathbf {Z} \end{cases}}}$

Contamos además con el presupuesto

${\displaystyle \|u\|_{C^{k-\left[{\frac {n}{p}}\right]-1,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)},}$

la constante C depende únicamente de k , p , n , γ y U. En particular, la condición garantiza que es continua (y, en realidad, Hölder es continua con algún exponente positivo). ${\displaystyle k>n/p}$ ${\displaystyle u}$

Casop = n , k = 1

Si , entonces u es una función de la oscilación media acotada y ${\displaystyle u\in W^{1,n}(\mathbf {R} ^{n})}$

${\displaystyle \|u\|_{BMO}\leq C\|Du\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})},}$

para alguna constante C que depende sólo de n . ^{[5] : §I.2} Esta estimación es un corolario de la desigualdad de Poincaré .

Desigualdad de Nash

La desigualdad de Nash, introducida por John Nash  (1958), establece que existe una constante C > 0 , tal que para todo u ∈ L ¹ ( R ⁿ ) ∩ W ^1,2 ( R ⁿ ) ,

${\displaystyle \|u\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}^{1+2/n}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbf {R} ^{n})}^{2/n}\|Du\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

La desigualdad se deduce de las propiedades básicas de la transformada de Fourier . En efecto, integrando sobre el complemento de la bola de radio ρ ,

porque . Por otro lado, uno tiene ${\displaystyle 1\leq |x|^{2}/\rho ^{2}}$

${\displaystyle |{\hat {u}}|\leq \|u\|_{L^{1}}}$

que, al integrarse sobre la bola de radio ρ da

donde ω _n es el volumen de la bola n . Eligiendo ρ para minimizar la suma de ( 1 ) y ( 2 ) y aplicando el teorema de Parseval:

${\displaystyle \|{\hat {u}}\|_{L^{2}}=\|u\|_{L^{2}}}$

da la desigualdad.

En el caso especial de n = 1 , la desigualdad de Nash se puede extender al caso L ^p , en cuyo caso es una generalización de la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev (Brezis 2011, Comentarios al Capítulo 8). De hecho, si I es un intervalo acotado, entonces para todo 1 ≤ r < ∞ y todo 1 ≤ q ≤ p < ∞ se cumple la siguiente desigualdad

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(I)}\leq C\|u\|_{L^{q}(I)}^{1-a}\|u\|_{W^{1,r}(I)}^{a},}$

dónde:

${\displaystyle a\left({\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}+1\right)={\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}.}$

Desigualdad logarítmica de Sobolev

El más simple de los teoremas de incrustación de Sobolev, descrito anteriormente, establece que si una función en tiene una derivada en , entonces ella misma está en , donde ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p^{*}}}$

${\displaystyle 1/p^{*}=1/p-1/n.}$

Podemos ver que, a medida que tiende a infinito, tiende a . Por lo tanto, si la dimensión del espacio en el que se define es grande, la mejora en el comportamiento local de al tener una derivada en es pequeña ( es solo ligeramente mayor que ). En particular, para funciones en un espacio de dimensión infinita, no podemos esperar ningún análogo directo de los teoremas de incrustación de Sobolev clásicos. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p^{*}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p^{*}}$ ${\displaystyle p}$

Sin embargo, existe un tipo de desigualdad de Sobolev, establecida por Leonard Gross (Gross 1975) y conocida como desigualdad de Sobolev logarítmica , que tiene constantes independientes de la dimensión y, por lo tanto, continúa siendo válida en el contexto de dimensión infinita. La desigualdad de Sobolev logarítmica dice, aproximadamente, que si una función está en con respecto a una medida gaussiana y tiene una derivada que también está en , entonces está en " -log", lo que significa que la integral de es finita. La desigualdad que expresa este hecho tiene constantes que no involucran la dimensión del espacio y, por lo tanto, la desigualdad se cumple en el contexto de una medida gaussiana en un espacio de dimensión infinita. Ahora se sabe que las desigualdades de Sobolev logarítmicas se cumplen para muchos tipos diferentes de medidas, no solo medidas gaussianas. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle |f|^{p}\log |f|}$

Aunque podría parecer que la condición -log es una mejora muy pequeña con respecto a estar en , esta mejora es suficiente para derivar un resultado importante, a saber, la hipercontractividad para el operador de forma de Dirichlet asociado . Este resultado significa que si una función está en el rango de la exponencial del operador de forma de Dirichlet (lo que significa que la función tiene, en cierto sentido, infinitas derivadas en ), entonces la función pertenece a para algunos (Teorema 6 de Gross 1975). ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p^{*}}}$ ${\displaystyle p^{*}>p}$

Referencias

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