Función completa

Función que es holomorfa en todo el plano complejo

En el análisis complejo , una función entera , también llamada función integral, es una función de valor complejo que es holomorfa en todo el plano complejo . Ejemplos típicos de funciones enteras son los polinomios y la función exponencial , y cualquier suma, producto y composición finitos de estos, como las funciones trigonométricas seno y coseno y sus contrapartes hiperbólicas senh y cosh , así como las derivadas e integrales de funciones enteras como la función de error . Si una función entera tiene una raíz en , entonces , tomando el valor límite en , es una función entera. Por otro lado, el logaritmo natural , la función recíproca y la raíz cuadrada no son todas funciones enteras, ni pueden continuarse analíticamente hasta una función entera. ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle f(z)/(z-w)}$ ${\displaystyle w}$

Una función entera trascendental es una función entera que no es un polinomio.

Así como las funciones meromórficas pueden considerarse como una generalización de fracciones racionales, las funciones enteras pueden considerarse como una generalización de polinomios. En particular, si para las funciones meromórficas se puede generalizar la factorización en fracciones simples (el teorema de Mittag-Leffler sobre la descomposición de una función meromórfica), entonces para las funciones enteras existe una generalización de la factorización: el teorema de Weierstrass sobre funciones enteras.

Propiedades

Toda función entera puede representarse como una única serie de potencias que converge en todas partes en el plano complejo, por lo tanto de manera uniforme en conjuntos compactos . El radio de convergencia es infinito, lo que implica que o, equivalentemente, ^[a] Cualquier serie de potencias que satisfaga este criterio representará una función entera. ${\displaystyle f(z)}$ $${\displaystyle \ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\ }$$ $${\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}=0\ }$$ $${\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln |a_{n}|}{n}}=-\infty ~.}$$

Si (y sólo si) los coeficientes de la serie de potencias son todos reales, entonces la función evidentemente toma valores reales para argumentos reales, y el valor de la función en el conjugado complejo de será el conjugado complejo del valor en Estas funciones a veces se denominan autoconjugadas (la función conjugada, siendo dada por ). ^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z~.}$ ${\displaystyle F^{*}(z),}$ ${\displaystyle {\bar {F}}({\bar {z}})}$

Si se conoce la parte real de una función completa en las proximidades de un punto, entonces se conocen tanto la parte real como la imaginaria para todo el plano complejo, hasta una constante imaginaria. Por ejemplo, si se conoce la parte real en las proximidades de cero, entonces podemos hallar los coeficientes para a partir de las siguientes derivadas con respecto a una variable real : ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ a_{n}\ \right\}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ f(r)\ \right\}&&\quad \mathrm {at} \quad r=0\\\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{\ a_{n}\ \right\}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ f\left(r\ e^{-{\frac {i\pi }{2n}}}\right)\ \right\}&&\quad \mathrm {at} \quad r=0\end{aligned}}}$$

(Asimismo, si la parte imaginaria se conoce en un entorno , entonces la función está determinada hasta una constante real.) De hecho, si la parte real se conoce solo en un arco de círculo, entonces la función está determinada hasta una constante imaginaria. ^[b] } Sin embargo, tenga en cuenta que una función completa no está determinada por su parte real en todas las curvas. En particular, si la parte real se da en cualquier curva en el plano complejo donde la parte real de alguna otra función completa es cero, entonces cualquier múltiplo de esa función se puede sumar a la función que estamos tratando de determinar. Por ejemplo, si la curva donde se conoce la parte real es la línea real, entonces podemos sumar veces cualquier función autoconjugada. Si la curva forma un bucle, entonces está determinada por la parte real de la función en el bucle, ya que las únicas funciones cuya parte real es cero en la curva son aquellas que son en todas partes iguales a algún número imaginario. ${\displaystyle i}$

El teorema de factorización de Weierstrass afirma que cualquier función entera puede representarse mediante un producto de sus ceros (o "raíces").

Todas las funciones en el plano complejo forman un dominio integral (de hecho, un dominio de Prüfer ). También forman un álgebra asociativa unitaria conmutativa sobre los números complejos .

El teorema de Liouville establece que cualquier función entera acotada debe ser constante. ^[c]

Como consecuencia del teorema de Liouville, cualquier función que sea entera en toda la esfera de Riemann ^[d] es constante. Por lo tanto, cualquier función entera no constante debe tener una singularidad en el punto complejo en el infinito , ya sea un polo para un polinomio o una singularidad esencial para una función entera trascendental . En concreto, por el teorema de Casorati-Weierstrass , para cualquier función entera trascendental y cualquier complejo existe una sucesión tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle (z_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \ \lim _{m\to \infty }|z_{m}|=\infty ,\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{m\to \infty }f(z_{m})=w~.}$

El pequeño teorema de Picard es un resultado mucho más fuerte: cualquier función entera no constante toma como valor a cada número complejo, posiblemente con una sola excepción. Cuando existe una excepción, se denomina valor lagunar de la función. La posibilidad de un valor lagunar se ilustra con la función exponencial , que nunca toma el valor . Se puede tomar una rama adecuada del logaritmo de una función entera que nunca alcanza , de modo que esta también será una función entera (de acuerdo con el teorema de factorización de Weierstrass ). El logaritmo alcanza a cada número complejo excepto posiblemente a un número, lo que implica que la primera función alcanzará cualquier valor que no sea un número infinito de veces. De manera similar, una función entera no constante que no alcanza un valor particular alcanzará a todos los demás valores un número infinito de veces. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

El teorema de Liouville es un caso especial del siguiente enunciado:

Teorema  —  Supongamos que son constantes positivas y es un entero no negativo. Una función entera que satisface la desigualdad para todos con es necesariamente un polinomio, de grado como máximo ^[e] De manera similar, una función entera que satisface la desigualdad para todos con es necesariamente un polinomio, de grado como mínimo . ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq M|z|^{n}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|\geq R,}$ ${\displaystyle n~.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M|z|^{n}\leq |f(z)|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|\geq R,}$ ${\displaystyle n}$

Crecimiento

Las funciones enteras pueden crecer tan rápido como cualquier función creciente: para cualquier función creciente existe una función entera tal que para todos los números reales . Una función de este tipo puede encontrarse fácilmente en la forma: ${\displaystyle g:[0,\infty )\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(z)=c+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}\right)^{n_{k}}}$$

para una secuencia constante y estrictamente creciente de números enteros positivos . Cualquier secuencia de este tipo define una función completa , y si las potencias se eligen adecuadamente podemos satisfacer la desigualdad para todos los números reales . (Por ejemplo, ciertamente se cumple si uno elige y , para cualquier número entero uno elige un exponente par tal que ). ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c:=g(2)}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle \left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n_{k}}\geq g(k+2)}$

Orden y tipo

El orden (en el infinito) de una función entera se define utilizando el límite superior como: ${\displaystyle f(z)}$

$${\displaystyle \rho =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \left(\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}\right)}{\ln r}},}$$

donde es el disco de radio y denota la norma suprema de en . El orden es un número real no negativo o infinito (excepto cuando para todo ). En otras palabras, el orden de es el ínfimo de todos tales que: ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \|f\|_{\infty ,B_{r}}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle f(z)=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle f(z)=O\left(\exp \left(|z|^{m}\right)\right),\quad {\text{as }}z\to \infty .}$$

El ejemplo de muestra que esto no significa que sea de orden . ${\displaystyle f(z)=\exp(2z^{2})}$ ${\displaystyle f(z)=O(\exp(|z|^{m}))}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle m}$

Si también se puede definir el tipo : ${\displaystyle 0<\rho <\infty ,}$

$${\displaystyle \sigma =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}}{r^{\rho }}}.}$$

Si el orden es 1 y el tipo es , se dice que la función es "de tipo exponencial ". Si es de orden menor que 1 se dice que es de tipo exponencial 0. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

Si entonces el orden y el tipo se pueden encontrar mediante las fórmulas $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{-\ln |a_{n}|}}\\[6pt](e\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=\limsup _{n\to \infty }n^{\frac {1}{\rho }}|a_{n}|^{\frac {1}{n}}\end{aligned}}}$$

Sea α la derivada -ésima de . Luego podemos reformular estas fórmulas en términos de las derivadas en cualquier punto arbitrario : ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{n\ln n-\ln |f^{(n)}(z_{0})|}}=\left(1-\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |f^{(n)}(z_{0})|}{n\ln n}}\right)^{-1}\\[6pt](\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=e^{1-{\frac {1}{\rho }}}\limsup _{n\to \infty }{\frac {|f^{(n)}(z_{0})|^{\frac {1}{n}}}{n^{1-{\frac {1}{\rho }}}}}\end{aligned}}}$$

El tipo puede ser infinito, como en el caso de la función gamma recíproca , o cero (ver el ejemplo a continuación en § Orden 1).

Otra forma de averiguar el orden y el tipo es el teorema de Matsaev .

Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos de funciones de varios órdenes:

Ordenρ

Para números positivos arbitrarios se puede construir un ejemplo de una función completa de orden y tipo utilizando: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {e\rho \sigma }{n}}\right)^{\frac {n}{\rho }}z^{n}}$$

Orden 0

• Polinomios distintos de cero
• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{-n^{2}}z^{n}}$

Orden 1/4

$${\displaystyle f({\sqrt[{4}]{z}})}$$ dónde $${\displaystyle f(u)=\cos(u)+\cosh(u)}$$

Orden 1/3

$${\displaystyle f({\sqrt[{3}]{z}})}$$dónde $${\displaystyle f(u)=e^{u}+e^{\omega u}+e^{\omega ^{2}u}=e^{u}+2e^{-{\frac {u}{2}}}\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}u}{2}}\right),\quad {\text{with }}\omega {\text{ a complex cube root of 1}}.}$$

Orden 1/2

$${\displaystyle \cos \left(a{\sqrt {z}}\right)}$$con (cuyo tipo viene dado por ) ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma =|a|}$

Orden 1

• ${\displaystyle \exp(az)}$con ( ) ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma =|a|}$
• ${\displaystyle \sin(z)}$
• ${\displaystyle \cosh(z)}$
• Las funciones de Bessel y las funciones esféricas de Bessel para valores enteros de ^[2] ${\displaystyle J_{n}(z)}$ ${\displaystyle j_{n}(z)}$ ${\displaystyle n}$
• La función gamma recíproca ( es infinita) ${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$ ${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n\ln n)^{n}}}.\quad (\sigma =0)}$

Orden 3/2

• Función aérea ${\displaystyle Ai(z)}$

Orden 2

• ${\displaystyle \exp(az^{2})}$con ( ) ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma =|a|}$
• La función G de Barnes ( es infinita). ${\displaystyle \sigma }$

Orden infinito

• ${\displaystyle \exp(\exp(z))}$

Género

Las funciones enteras de orden finito tienen la representación canónica de Hadamard ( teorema de factorización de Hadamard ):

$${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+\cdots +{\frac {1}{p}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p}\right),}$$

donde son aquellas raíces de que no son cero ( ), es el orden del cero de en (el caso se toma como ), un polinomio (cuyo grado llamaremos ), y es el entero no negativo más pequeño tal que la serie ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle f(0)\neq 0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{n}|^{p+1}}}}$$

converge. El entero no negativo se llama género de toda la función . ${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$ ${\displaystyle f}$

Si el orden no es un entero, entonces es la parte entera de . Si el orden es un entero positivo, entonces hay dos posibilidades: o . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g=[\rho ]}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g=\rho -1}$ ${\displaystyle g=\rho }$

Por ejemplo, , y son funciones enteras del género . ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle g=\rho =1}$

Otros ejemplos

Según JE Littlewood , la función sigma de Weierstrass es una función entera «típica». Esta afirmación se puede precisar en la teoría de funciones enteras aleatorias: el comportamiento asintótico de casi todas las funciones enteras es similar al de la función sigma. Otros ejemplos incluyen las integrales de Fresnel , la función theta de Jacobi y la función Gamma recíproca . La función exponencial y la función de error son casos especiales de la función Mittag-Leffler . Según el teorema fundamental de Paley y Wiener , las transformadas de Fourier de funciones (o distribuciones) con soporte acotado son funciones enteras de orden y tipo finito. ${\displaystyle 1}$

Otros ejemplos son las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes polinómicos. Si el coeficiente de la derivada más alta es constante, entonces todas las soluciones de tales ecuaciones son funciones enteras. Por ejemplo, la función exponencial, el seno, el coseno, las funciones de Airy y las funciones de cilindro parabólico surgen de esta manera. La clase de funciones enteras es cerrada con respecto a las composiciones. Esto permite estudiar la dinámica de funciones enteras .

Una función completa de la raíz cuadrada de un número complejo es entera si la función original es par , por ejemplo . ${\displaystyle \cos({\sqrt {z}})}$

Si una sucesión de polinomios cuyas raíces son todas reales converge en un entorno del origen a un límite que no es idénticamente igual a cero, entonces este límite es una función entera. Tales funciones enteras forman la clase de Laguerre–Pólya , que también se puede caracterizar en términos del producto de Hadamard, es decir, pertenece a esta clase si y solo si en la representación de Hadamard todos son reales, , y , donde y son reales, y . Por ejemplo, la sucesión de polinomios ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle \rho \leq 1}$ ${\displaystyle P(z)=a+bz+cz^{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c\leq 0}$

$${\displaystyle \left(1-{\frac {(z-d)^{2}}{n}}\right)^{n}}$$

converge, a medida que aumenta, a . Los polinomios ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \exp(-(z-d)^{2})}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\left(1+{\frac {iz}{n}}\right)^{n}+\left(1-{\frac {iz}{n}}\right)^{n}\right)}$$

tienen todas raíces reales y convergen a . Los polinomios ${\displaystyle \cos(z)}$

$${\displaystyle \prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(\left(m-{\frac {1}{2}}\right)\pi \right)^{2}}}\right)}$$

También convergen a , lo que muestra la acumulación del producto Hadamard para el coseno. ${\displaystyle \cos(z)}$

Véase también

• La fórmula de Jensen
• Teorema de Carlson
• Tipo exponencial
• Teorema de Paley-Wiener
• Teoría de Wiman-Valiron

Notas

1. Si es necesario, el logaritmo de cero se toma igual a menos infinito.
2. Por ejemplo, si se conoce la parte real en una parte del círculo unitario, entonces se conoce en todo el círculo unitario por extensión analítica , y luego los coeficientes de la serie infinita se determinan a partir de los coeficientes de la serie de Fourier para la parte real en el círculo unitario.
3. El teorema de Liouville puede utilizarse para demostrar elegantemente el teorema fundamental del álgebra .
4. La esfera de Riemann es todo el plano complejo aumentado con un solo punto en el infinito.
5. Lo inverso también es cierto, ya que para cualquier polinomio de grado la desigualdad se cumple para cualquier ${\textstyle p(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle |p(z)|\leq \left(\ \sum _{k=0}^{n}|a_{k}|\ \right)|z|^{n}}$ ${\displaystyle |z|\geq 1~.}$

Referencias

1. Boas 1954, pág. 1.
2. Véase la expansión asintótica en Abramowitz y Stegun, p. 377, 9.7.1.

Fuentes

• Boas, Ralph P. (1954). Funciones completas . Academic Press . ISBN 9780080873138.OCLC 847696  .
• Levin, B. Ya. (1980) [1964]. Distribución de ceros de funciones completas . American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-4505-9.
• Levin, B. Ya. (1996). Lecciones sobre funciones enteras . Sociedad Matemática Americana . ISBN 978-0-8218-0897-9.