Función cilindro parabólica

Superficies de coordenadas de coordenadas cilíndricas parabólicas. Las funciones cilíndricas parabólicas se dan cuando se utiliza la separación de variables en la ecuación de Laplace en estas coordenadas.

Gráfica de la función cilíndrica parabólica D _ν ( z ) con ν = 5 en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i

En matemáticas , las funciones del cilindro parabólico son funciones especiales definidas como soluciones de la ecuación diferencial.

Esta ecuación se encuentra cuando se utiliza la técnica de separación de variables sobre la ecuación de Laplace cuando se expresa en coordenadas cilíndricas parabólicas .

La ecuación anterior se puede llevar a dos formas distintas (A) y (B) completando el cuadrado y reescalando z , llamadas ecuaciones de HF Weber : ^[1]

y

Si hay una solución, entonces también lo son. $${\displaystyle f(a,z)}$$ $${\displaystyle f(a,-z),f(-a,iz){\text{ and }}f(-a,-iz).}$$

Si es una solución de la ecuación ( A ), entonces es una solución de ( B ), y, por simetría, también son soluciones de ( B ). $${\displaystyle f(a,z)\,}$$ $${\displaystyle f(-ia,ze^{(1/4)\pi i})}$$ $${\displaystyle f(-ia,-ze^{(1/4)\pi i}),f(ia,-ze^{-(1/4)\pi i}){\text{ and }}f(ia,ze^{-(1/4)\pi i})}$$

Soluciones

Existen soluciones pares e impares independientes de la forma ( A ). Estas se dan por (siguiendo la notación de Abramowitz y Stegun (1965)): ^[2] y donde es la función hipergeométrica confluente . $${\displaystyle y_{1}(a;z)=\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {1}{4}};\;{\tfrac {1}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {even} )}$$ $${\displaystyle y_{2}(a;z)=z\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {3}{4}};\;{\tfrac {3}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {odd} )}$$ ${\displaystyle \;_{1}F_{1}(a;b;z)=M(a;b;z)}$

Se pueden formar otros pares de soluciones independientes a partir de combinaciones lineales de las soluciones anteriores. ^[2] Uno de estos pares se basa en su comportamiento en el infinito: donde $${\displaystyle U(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}}}\left[\cos(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)-{\sqrt {2}}\sin(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]}$$ $${\displaystyle V(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}\Gamma [1/2-a]}}\left[\sin(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)+{\sqrt {2}}\cos(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]}$$ $${\displaystyle \xi ={\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{4}}.}$$

La función U ( a , z ) se acerca a cero para valores grandes de z y |arg( z )| < π /2 , mientras que V ( a , z ) diverge para valores grandes de z real positivo . y $${\displaystyle \lim _{z\to \infty }U(a,z)/\left(e^{-z^{2}/4}z^{-a-1/2}\right)=1\,\,\,\,({\text{for}}\,\left|\arg(z)\right|<\pi /2)}$$ $${\displaystyle \lim _{z\to \infty }V(a,z)/\left({\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{z^{2}/4}z^{a-1/2}\right)=1\,\,\,\,({\text{for}}\,\arg(z)=0).}$$

Para valores semienteros de a , estos (es decir, U y V ) pueden reexpresarse en términos de polinomios de Hermite ; alternativamente, también pueden expresarse en términos de funciones de Bessel .

Las funciones U y V también pueden relacionarse con las funciones D _p ( x ) (una notación que se remonta a Whittaker (1902)) ^[3] que a veces se denominan funciones de cilindro parabólico: ^[2] $${\displaystyle {\begin{aligned}U(a,x)&=D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x),\\V(a,x)&={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+a)}{\pi }}[\sin(\pi a)D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x)+D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(-x)].\end{aligned}}}$$

La función D _a ( z ) fue introducida por Whittaker y Watson como una solución de la ecuación ~( 1 ) con acotada en . ^[4] Puede expresarse en términos de funciones hipergeométricas confluentes como ${\textstyle {\tilde {a}}=-{\frac {1}{4}},{\tilde {b}}=0,{\tilde {c}}=a+{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle +\infty }$

${\displaystyle D_{a}(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{2^{a/2}e^{-{\frac {z^{2}}{4}}}\left(\cos \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a+1}{2}}\right)\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {a}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)+{\sqrt {2}}z\sin \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a}{2}}+1\right)\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2}};{\frac {3}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)\right)}.}$

Abadir (1993) obtuvo series de potencias para esta función. ^[5]

Función U(a,z) del cilindro parabólico

Representación integral

Integrales a lo largo de la línea real, ^[6] El hecho de que estas integrales sean soluciones de la ecuación ( A ) se puede comprobar fácilmente mediante sustitución directa. $${\displaystyle U(a,z)={\frac {e^{-{\frac {1}{4}}z^{2}}}{\Gamma \left(a+{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt\,,\;\Re a>-{\frac {1}{2}}\;,}$$ $${\displaystyle U(a,z)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{{\frac {1}{4}}z^{2}}\int _{0}^{\infty }\cos \left(zt+{\frac {\pi }{2}}a+{\frac {\pi }{4}}\right)t^{-a-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt\,,\;\Re a<{\frac {1}{2}}\;.}$$

Derivado

La diferenciación de las integrales con respecto a da dos expresiones para , la suma de las dos da otra expresión para la derivada, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U'(a,z)}$ $${\displaystyle U'(a,z)=-{\frac {z}{2}}U(a,z)-{\frac {e^{-{\frac {1}{4}}z^{2}}}{\Gamma \left(a+{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a+{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt=-{\frac {z}{2}}U(a,z)-\left(a+{\frac {1}{2}}\right)U(a+1,z)\;,}$$ $${\displaystyle U'(a,z)={\frac {z}{2}}U(a,z)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{{\frac {1}{4}}z^{2}}\int _{0}^{\infty }\sin \left(zt+{\frac {\pi }{2}}a+{\frac {\pi }{4}}\right)t^{-a+{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt={\frac {z}{2}}U(a,z)-U(a-1,z)\;.}$$ $${\displaystyle 2U'(a,z)=-\left(a+{\frac {1}{2}}\right)U(a+1,z)-U(a-1,z)\;.}$$

Relación de recurrencia

Restando las dos primeras expresiones para la derivada se obtiene la relación de recurrencia, $${\displaystyle zU(a,z)=U(a-1,z)-\left(a+{\frac {1}{2}}\right)U(a+1,z)\;.}$$

Expansión asintótica

Desarrollando el integrando de la representación integral se obtiene la expansión asintótica de , $${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}=1-{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}-\dots \;}$$ ${\displaystyle U(a,z)}$ $${\displaystyle U(a,z)=e^{-{\frac {1}{4}}z^{2}}z^{-a-{\frac {1}{2}}}\left(1-{\frac {(a+{\frac {1}{2}})(a+{\frac {3}{2}})}{2}}{\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {(a+{\frac {1}{2}})(a+{\frac {3}{2}})(a+{\frac {5}{2}})(a+{\frac {7}{2}})}{8}}{\frac {1}{z^{4}}}-\dots \right).}$$

Serie de potencias

Ampliando la representación integral en potencias de da ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle U(a,z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\,2^{-{\frac {a}{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\Gamma \left({\frac {a}{2}}+{\frac {3}{4}}\right)}}-{\frac {{\sqrt {\pi }}\,2^{-{\frac {a}{2}}+{\frac {1}{4}}}}{\Gamma \left({\frac {a}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)}}z+{\frac {{\sqrt {\pi }}\,2^{-{\frac {a}{2}}-{\frac {5}{4}}}}{\Gamma \left({\frac {a}{2}}+{\frac {3}{4}}\right)}}z^{2}-\dots \;.}$$

Valores en z=0

De la serie de potencias se obtiene inmediatamente $${\displaystyle U(a,0)={\frac {{\sqrt {\pi }}\,2^{-{\frac {a}{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\Gamma \left({\frac {a}{2}}+{\frac {3}{4}}\right)}}\;,}$$ $${\displaystyle U'(a,0)=-{\frac {{\sqrt {\pi }}\,2^{-{\frac {a}{2}}+{\frac {1}{4}}}}{\Gamma \left({\frac {a}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)}}\;.}$$

Cilindro parabólico Dno(z) función

La función cilindro parabólica es la solución de la ecuación diferencial de Weber, que es regular en con la asintótica. Por tanto, se da como y sus propiedades se deducen directamente de las de la función . ${\displaystyle D_{\nu }(z)}$ $${\displaystyle u''+\left(\nu +{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}z^{2}\right)u=0\,,}$$ ${\displaystyle \Re z\to +\infty }$ $${\displaystyle D_{\nu }(z)\to e^{-{\frac {1}{4}}z^{2}}z^{\nu }\,.}$$ ${\displaystyle D_{\nu }(z)=U(-\nu -1/2,z)}$ ${\displaystyle U}$

Representación integral

$${\displaystyle D_{\nu }(z)={\frac {e^{-{\frac {1}{4}}z^{2}}}{\Gamma (-\nu )}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{-\nu -1}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt\,,\;\Re \nu <0\,,\;\Re z>0\;,}$$ $${\displaystyle D_{\nu }(z)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{{\frac {1}{4}}z^{2}}\int _{0}^{\infty }\cos \left(zt-\nu {\frac {\pi }{2}}\right)t^{\nu }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt\,,\;\Re \nu >-1\;.}$$

Expansión asintótica

$${\displaystyle D_{\nu }(z)=e^{-{\frac {1}{4}}z^{2}}z^{\nu }\left(1-{\frac {\nu (\nu -1)}{2}}{\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {\nu (\nu -1)(\nu -2)(\nu -3)}{8}}{\frac {1}{z^{4}}}-\dots \right)\,,\;\Re z\to +\infty .}$$Si es un entero no negativo esta serie termina y se convierte en un polinomio, es decir, el polinomio de Hermite , ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle D_{n}(z)=e^{-{\frac {1}{4}}z^{2}}\;2^{-n/2}H_{n}\left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\,,n=0,1,2,\dots \;.}$$

Conexión con el oscilador armónico cuántico

La función cilindro parabólica aparece de forma natural en la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico cuántico unidimensional (una partícula cuántica en el potencial del oscilador), donde es la constante de Planck reducida, es la masa de la partícula, es la coordenada de la partícula, es la frecuencia del oscilador, es la energía y es la función de onda de la partícula. De hecho, al introducir las nuevas cantidades, la ecuación anterior se convierte en la ecuación de Weber para la función , ${\displaystyle D_{\nu }(z)}$ $${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right]\psi (x)=E\psi (x)\;,}$$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ $${\displaystyle z={\frac {x}{b_{o}}}\,,\;\nu ={\frac {E}{\hbar \omega }}-{\frac {1}{2}}\,,\;b_{o}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\,,}$$ ${\displaystyle u(z)=\psi (zb_{o})}$ $${\displaystyle u''+\left(\nu +{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}z^{2}\right)u=0\,.}$$

Referencias

1. Weber, HF (1869), "Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung ", Matemáticas. Ana. , vol. 1, págs. 1–36 ${\displaystyle \partial ^{2}u/\partial x^{2}+\partial ^{2}u/\partial y^{2}+k^{2}u=0}$
2. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 19". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 686. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
3. Whittaker, ET (1902) "Sobre las funciones asociadas con el cilindro parabólico en el análisis armónico" Proc. London Math. Soc. , 35, 417–427.
4. Whittaker, ET y Watson, GN (1990) "La función del cilindro parabólico". §16.5 en Un curso de análisis moderno, 4.ª ed. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, págs. 347-348.
5. Abadir, KM (1993) "Expansiones para algunas funciones hipergeométricas confluentes". Journal of Physics A , 26, 4059-4066.
6. Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST. https://dlmf.nist.gov/, versión 1.2.2 del 15 de septiembre de 2024. FWJ Olver, AB Olde Daalhuis, DW Lozier, BI Schneider, RF Boisvert, CW Clark, BR Miller, BV Saunders, HS Cohl y MA McClain, eds.