Operador acotado

Transformación lineal entre espacios vectoriales topológicos

En el análisis funcional y la teoría de operadores , un operador lineal acotado es una transformación lineal entre espacios vectoriales topológicos (TVS) y que asigna subconjuntos acotados de a subconjuntos acotados de Si y son espacios vectoriales normados (un tipo especial de TVS), entonces es acotado si y solo si existe alguno tal que para todos El más pequeño de ellos se llama norma del operador de y se denota por Un operador acotado entre espacios normados es continuo y viceversa. ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle \|Lx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X}.}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \|L\|.}$

El concepto de operador lineal acotado se ha extendido desde los espacios normados a todos los espacios vectoriales topológicos.

Fuera del análisis funcional, cuando una función se denomina " acotada ", esto suele significar que su imagen es un subconjunto acotado de su codominio. Una función lineal tiene esta propiedad si y solo si es idéntica. Por consiguiente, en el análisis funcional, cuando un operador lineal se denomina "acotado", nunca se lo entiende en este sentido abstracto (de tener una imagen acotada). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle 0.}$

En espacios vectoriales normados

Todo operador acotado es Lipschitz continuo en ${\displaystyle 0.}$

Equivalencia de acotación y continuidad

Un operador lineal entre espacios normados está acotado si y sólo si es continuo .

Prueba

Supongamos que está acotado. Entonces, para todos los vectores con distinto de cero tenemos Dejando ir a cero se muestra que es continua en Además, dado que la constante no depende de esto se muestra que de hecho es uniformemente continua , e incluso Lipschitz continua . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x,h\in X}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle \|L(x+h)-L(x)\|=\|L(h)\|\leq M\|h\|.}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle L}$

Por el contrario, de la continuidad en el vector cero se sigue que existe una tal que para todos los vectores con Por lo tanto, para todo no cero se tiene Esto demuestra que está acotado. QED ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \|L(h)\|=\|L(h)-L(0)\|\leq 1}$ ${\displaystyle h\in X}$ ${\displaystyle \|h\|\leq \varepsilon .}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle \|Lx\|=\left\Vert {\|x\| \over \varepsilon }L\left(\varepsilon {x \over \|x\|}\right)\right\Vert ={\|x\| \over \varepsilon }\left\Vert L\left(\varepsilon {x \over \|x\|}\right)\right\Vert \leq {\|x\| \over \varepsilon }\cdot 1={1 \over \varepsilon }\|x\|.}$$ ${\displaystyle L}$

En espacios vectoriales topológicos

Un operador lineal entre dos espacios vectoriales topológicos (TVS) se denomina operador lineal acotado o simplemente acotado si siempre que está acotado en entonces está acotado en Un subconjunto de un TVS se denomina acotado (o más precisamente, acotado por von Neumann ) si cada vecindad del origen lo absorbe . En un espacio normado (e incluso en un espacio seminormado ), un subconjunto es acotado por von Neumann si y solo si está acotado por norma. Por lo tanto, para los espacios normados, la noción de un conjunto acotado por von Neumann es idéntica a la noción habitual de un subconjunto acotado por norma. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle Y.}$

Continuidad y acotación

Todo operador lineal secuencialmente continuo entre TVS es un operador acotado. ^[1] Esto implica que todo operador lineal continuo entre TVS metrizables está acotado. Sin embargo, en general, un operador lineal acotado entre dos TVS no necesita ser continuo.

Esta formulación permite definir operadores acotados entre espacios vectoriales topológicos generales como un operador que convierte conjuntos acotados en conjuntos acotados. En este contexto, sigue siendo cierto que toda función continua es acotada, pero la inversa no es posible; un operador acotado no necesita ser continuo. Esto también significa que la acotación ya no es equivalente a la continuidad de Lipschitz en este contexto.

Si el dominio es un espacio bornológico (por ejemplo, un TVS pseudometrizable , un espacio de Fréchet , un espacio normado ), entonces un operador lineal en cualquier otro espacio localmente convexo está acotado si y solo si es continuo. Para los espacios LF , se cumple una recíproca más débil; cualquier función lineal acotada de un espacio LF es secuencialmente continua .

Si es un operador lineal entre dos espacios vectoriales topológicos y si existe un entorno del origen en tal que es un subconjunto acotado de entonces es continuo. ^[2] Este hecho se suele resumir diciendo que un operador lineal que está acotado en algún entorno del origen es necesariamente continuo. En particular, cualquier funcional lineal que esté acotado en algún entorno del origen es continuo (incluso si su dominio no es un espacio normado ). ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F}$

Espacios bornológicos

Los espacios bornológicos son exactamente aquellos espacios localmente convexos para los cuales cada operador lineal acotado en otro espacio localmente convexo es necesariamente continuo. Es decir, un TVS localmente convexo es un espacio bornológico si y solo si para cada TVS localmente convexo un operador lineal es continuo si y solo si está acotado. ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$

Todo espacio normado es bornológico.

Caracterizaciones de operadores lineales acotados

Sea un operador lineal entre espacios vectoriales topológicos (no necesariamente de Hausdorff). Los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle F:X\to Y}$

1. ${\displaystyle F}$está (localmente) acotado; ^[3]
2. (Definición): asigna subconjuntos acotados de su dominio a subconjuntos acotados de su codominio; ^[3] ${\displaystyle F}$
3. ${\displaystyle F}$asigna subconjuntos acotados de su dominio a subconjuntos acotados de su imagen ; ^[3] ${\displaystyle \operatorname {Im} F:=F(X)}$
4. ${\displaystyle F}$asigna cada secuencia nula a una secuencia acotada; ^[3]
   • Una secuencia nula es por definición una secuencia que converge al origen.
   • Por lo tanto, cualquier mapa lineal que sea secuencialmente continuo en el origen es necesariamente un mapa lineal acotado.
5. ${\displaystyle F}$asigna cada secuencia nula convergente de Mackey a un subconjunto acotado de ^{[nota 1]} ${\displaystyle Y.}$
   • Se dice que una secuencia es convergente de Mackey al origen en si existe una secuencia divergente de números reales positivos tal que es un subconjunto acotado de ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$

Si y son localmente convexos , entonces se puede agregar lo siguiente a esta lista: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

6. ${\displaystyle F}$mapas de discos delimitados en discos delimitados. ^[4]
7. ${\displaystyle F^{-1}}$mapas de discos bornívoros en discos bornívoros en ^[4] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

Si es un espacio bornológico y es localmente convexo, entonces se puede agregar lo siguiente a esta lista: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

8. ${\displaystyle F}$es secuencialmente continua en algún punto (o equivalentemente, en cada uno) de su dominio. ^[5]
   • Un mapa lineal secuencialmente continuo entre dos TVS siempre está acotado, ^[1] pero lo inverso requiere suposiciones adicionales para cumplirse (como que el dominio sea bornológico y el codominio sea localmente convexo).
   • Si el dominio también es un espacio secuencial , entonces es secuencialmente continuo si y sólo si es continuo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$
9. ${\displaystyle F}$es secuencialmente continua en el origen .

Ejemplos

• Cualquier operador lineal entre dos espacios normados de dimensión finita está acotado, y dicho operador puede verse como una multiplicación por alguna matriz fija .
• Cualquier operador lineal definido en un espacio normado de dimensión finita está acotado.
• En el espacio de secuencias de números reales eventualmente nulos, considerado con la norma, el operador lineal para los números reales que devuelve la suma de una secuencia está acotado, con norma de operador 1. Si se considera el mismo espacio con la norma, el mismo operador no está acotado. ${\displaystyle c_{00}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$
• Muchas transformadas integrales son operadores lineales acotados. Por ejemplo, si es una función continua, entonces el operador definido en el espacio de funciones continuas en dotado de la norma uniforme y con valores en el espacio con dados por la fórmula es acotado. Este operador es, de hecho, un operador compacto . Los operadores compactos forman una clase importante de operadores acotados. $${\displaystyle K:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C[a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle C[c,d]}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle (Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,}$$
• El operador de Laplace (su dominio es un espacio de Sobolev y toma valores en un espacio de funciones integrables al cuadrado ) está acotado. $${\displaystyle \Delta :H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\,}$$
• El operador de desplazamiento en el espacio Lp de todas las sucesiones de números reales con está acotado. Se ve fácilmente que su norma de operador es ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty ,\,}$ $${\displaystyle L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=\left(0,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)}$$ ${\displaystyle 1.}$

Operadores lineales ilimitados

Sea el espacio de todos los polinomios trigonométricos con la norma ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ],}$

$${\displaystyle \|P\|=\int _{-\pi }^{\pi }\!|P(x)|\,dx.}$$

El operador que asigna un polinomio a su derivada no está acotado. De hecho, para con tenemos mientras que como por lo tanto no está acotado. ${\displaystyle L:X\to X}$ ${\displaystyle v_{n}=e^{inx}}$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots ,}$ ${\displaystyle \|v_{n}\|=2\pi ,}$ ${\displaystyle \|L(v_{n})\|=2\pi n\to \infty }$ ${\displaystyle n\to \infty ,}$ ${\displaystyle L}$

Propiedades del espacio de operadores lineales acotados

El espacio de todos los operadores lineales acotados desde hasta se denota por . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

• ${\displaystyle B(X,Y)}$es un espacio vectorial normado.
• Si es Banach, entonces también lo es ; en particular, los espacios duales son Banach. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$
• Para cualquier el núcleo de es un subespacio lineal cerrado de . ${\displaystyle A\in B(X,Y)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$
• Si es Banach y no es trivial, entonces es Banach. ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Véase también

• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  : generalización de la acotación
• Contracción (teoría de operadores)  : operadores acotados con norma de subunidad
• Mapa lineal discontinuo
• Operador lineal continuo
• Limitación local
• Norma (matemáticas)  – Longitud en un espacio vectorial
• Álgebra de operadores  : rama del análisis funcional
• Norma del operador  : medida del "tamaño" de los operadores lineales
• Teoría de operadores  – Campo de estudio matemático
• Seminorm  – Función matemática
• Operador ilimitado  : operador lineal definido en un subespacio lineal denso

Referencias

1. Prueba: Supongamos por el bien de la contradicción que converge a pero no está acotado en Elija un entorno equilibrado abierto del origen en tal que no absorba la secuencia Reemplazando con una subsecuencia si es necesario, se puede suponer sin pérdida de generalidad que para cada entero positivo La secuencia es convergente de Mackey al origen (ya que está acotada en ) por lo que por suposición, está acotada en Así que elija un real tal que para cada entero Si es un entero entonces ya que está equilibrado, lo cual es una contradicción. QED Esta prueba se generaliza fácilmente para dar caracterizaciones aún más fuertes de " está acotado". Por ejemplo, la palabra "tal que es un subconjunto acotado de " en la definición de "Mackey convergente al origen" se puede reemplazar con "tal que en " ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right)=\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle F\left(x_{i}\right)\not \in i^{2}V}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle z_{\bullet }:=\left(x_{i}/i\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(iz_{i}\right)_{i=1}^{\infty }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\left(z_{\bullet }\right)=\left(F\left(z_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle F\left(z_{i}\right)\in rV}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle i>r}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F\left(x_{i}\right)\in riV\subseteq i^{2}V,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle X.}$

1. Wilansky 2013, págs. 47–50.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 156-175.
3. Narici y Beckenstein 2011, págs.
4. Narici y Beckenstein 2011, pág. 444.
5. Narici y Beckenstein 2011, págs. 451–457.

Bibliografía

• "Operador acotado", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Kreyszig, Erwin: Introducción al análisis funcional con aplicaciones , Wiley, 1989
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4.OCLC 849801114  .