Wronskiano

Determinante de la matriz de derivadas primeras de un conjunto de funciones

En matemáticas , el wronskiano de n funciones diferenciables es el determinante formado con las funciones y sus derivadas hasta el orden n – 1. Fue introducido en 1812 por el matemático polaco Józef Wroński , y se utiliza en el estudio de ecuaciones diferenciales , donde en ocasiones puede demostrar la independencia lineal de un conjunto de soluciones.

Definición

El wrońskiano de dos funciones diferenciables f  y g es . ${\displaystyle W(f,g)=fg'-gf'}$

De manera más general, para n funciones reales o complejas f ₁ , …, f _n , que son n – 1 veces diferenciables en un intervalo I , el wronskiano es una función definida por ${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})}$ ${\displaystyle x\in I}$ $${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)=\det {\begin{bmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{bmatrix}}.}$$

Este es el determinante de la matriz construida colocando las funciones en la primera fila, las primeras derivadas de las funciones en la segunda fila, y así sucesivamente a través de la derivada, formando así una matriz cuadrada . ${\displaystyle (n-1)^{\text{th}}}$

Cuando las funciones f _i son soluciones de una ecuación diferencial lineal , el wrońskiano se puede encontrar explícitamente utilizando la identidad de Abel , incluso si las funciones f _i no se conocen explícitamente. (Ver más abajo).

La independencia wrońskiana y lineal

Si las funciones f _i son linealmente dependientes, entonces también lo son las columnas del wrońskiano (ya que la diferenciación es una operación lineal), y el wrońskiano se anula. Por lo tanto, se puede demostrar que un conjunto de funciones diferenciables es linealmente independiente en un intervalo demostrando que su wrońskiano no se anula de manera idéntica. Sin embargo, puede anularse en puntos aislados. ^[1]

Un error común es pensar que W = 0 en todas partes implica dependencia lineal. Peano (1889) señaló que las funciones x ² y | x | · x  tienen derivadas continuas y su wronskiano se anula en todas partes, pero no son linealmente dependientes en ninguna vecindad de 0 . ^[a] Hay varias condiciones adicionales que se combinan con la desaparición del wronskiano en un intervalo para implicar dependencia lineal.

• Maxime Bôcher observó que si las funciones son analíticas , entonces la desaparición del wrońskiano en un intervalo implica que son linealmente dependientes. ^[3]
• Bôcher (1901) dio varias otras condiciones para que la desaparición del wrońskiano implicara dependencia lineal; por ejemplo, si el wrońskiano de n funciones es idénticamente cero y los n wrońskianos de n – 1 de ellas no se desvanecen todos en ningún punto, entonces las funciones son linealmente dependientes.
• Wolsson (1989a) dio una condición más general que junto con la desaparición del wronskiano implica dependencia lineal.

Sobre cuerpos de característica positiva p el wronskiano puede desaparecer incluso para polinomios linealmente independientes; por ejemplo, el wronskiano de x ^p y 1 es idénticamente 0.

Aplicación a ecuaciones diferenciales lineales

En general, para una ecuación diferencial lineal de orden ésimo, si se conocen las soluciones, la última se puede determinar utilizando el wronskiano. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$

Consideremos la ecuación diferencial de segundo orden en notación de Lagrange : donde , son conocidas e y es la función desconocida que se debe encontrar. Llamemos a las dos soluciones de la ecuación y formemos su Wronskiano $${\displaystyle y''=a(x)y'+b(x)y}$$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2}}$ $${\displaystyle W(x)=y_{1}y'_{2}-y_{2}y'_{1}}$$

Luego, diferenciando y utilizando el hecho de que obedecen la ecuación diferencial anterior, se muestra que ${\displaystyle W(x)}$ ${\displaystyle y_{i}}$ $${\displaystyle W'(x)=a(x)W(x)}$$

Por lo tanto, el wronskiano obedece a una simple ecuación diferencial de primer orden y puede resolverse exactamente: donde y es una constante. $${\displaystyle W(x)=C~e^{A(x)}}$$ ${\displaystyle A'(x)=a(x)}$ ${\displaystyle C}$

Supongamos ahora que conocemos una de las soluciones, por ejemplo . Entonces, por la definición del wronskiano, obedece a una ecuación diferencial de primer orden: y puede resolverse con exactitud (al menos en teoría). ${\displaystyle y_{2}}$ ${\displaystyle y_{1}}$ $${\displaystyle y'_{1}-{\frac {y'_{2}}{y_{2}}}y_{1}=-W(x)/y_{2}}$$

El método se puede generalizar fácilmente a ecuaciones de orden superior.

Wrońskianos generalizados

Para n funciones de varias variables, un wronskiano generalizado es un determinante de una matriz n por n con entradas D _i ( f _j ) (con 0 ≤ i < n ), donde cada D _i es algún operador diferencial parcial lineal de coeficiente constante de orden i . Si las funciones son linealmente dependientes, entonces todos los wronskianos generalizados se anulan. Como en el caso de una sola variable, el recíproco no es cierto en general: si todos los wronskianos generalizados se anulan, esto no implica que las funciones sean linealmente dependientes. Sin embargo, el recíproco es cierto en muchos casos especiales. Por ejemplo, si las funciones son polinómicas y todos los wronskianos generalizados se anulan, entonces las funciones son linealmente dependientes. Roth utilizó este resultado sobre los wronskianos generalizados en su prueba del teorema de Roth . Para condiciones más generales bajo las cuales el recíproco es válido, véase Wolsson (1989b).

Historia

El wrońskiano fue introducido por Józef Hoene-Wroński (1812) y Thomas Muir (1882, capítulo XVIII)  le dio su nombre actual  .

Véase también

• Variación de parámetros
• Matriz de Moore , análoga a la de Wroński con diferenciación reemplazada por el endomorfismo de Frobenius sobre un cuerpo finito.
• Matriz alternante
• Matriz de Vandermonde

Notas

1. Peano publicó su ejemplo dos veces, porque la primera vez que lo publicó, un editor, Paul Mansion , que había escrito un libro de texto que afirmaba incorrectamente que la desaparición del wronskiano implica dependencia lineal, agregó una nota al pie al artículo de Peano afirmando que este resultado es correcto siempre que ninguna de las funciones sea idénticamente cero. El segundo artículo de Peano señaló que esta nota al pie era una tontería. ^[2]

Citas

1. Bender, Carl M. ; Orszag, Steven A. (1999) [1978], Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros: métodos asintóticos y teoría de perturbaciones , Nueva York: Springer, pág. 9, ISBN 978-0-387-98931-0
2. Engdahl, Susannah; Parker, Adam (abril de 2011). "Peano sobre los wronskianos: una traducción". Convergencia . Asociación Matemática de América. doi : 10.4169/loci003642 . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
3. Engdahl, Susannah; Parker, Adam (abril de 2011). "Peano sobre los wronskianos: una traducción". Convergencia . Asociación Matemática de América. Sección "Sobre el determinante wronskiano". doi : 10.4169/loci003642 . Consultado el 8 de octubre de 2020 . El teorema más famoso se atribuye a Bocher y establece que si el wronskiano de las funciones analíticas es cero, entonces las funciones son linealmente dependientes ([B2], [BD]). [Las citas 'B2' y 'BD' se refieren a Bôcher (1900-1901) y Bostan y Dumas (2010), respectivamente.] ${\displaystyle n}$

Referencias

• Bôcher, Maxime (1900–1901). "La teoría de la dependencia lineal". Anales de Matemáticas . 2 (1/4). Universidad de Princeton : 81–96. doi : 10.2307/2007186 . hdl : 2027/hvd.hn57mn . ISSN  0003-486X. JSTOR  2007186 .
• Bôcher, Maxime (1901), "Ciertos casos en los que la desaparición del wronskiano es una condición suficiente para la dependencia lineal" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 2 (2), Providence, RI: American Mathematical Society : 139–149, doi : 10.2307/1986214 , ISSN  0002-9947, JFM  32.0313.02, JSTOR  1986214
• Bostan, Alin; Dumas, Philippe (2010). "Wronskianos e independencia lineal". American Mathematical Monthly . 117 (8). Taylor & Francis : 722–727. arXiv : 1301.6598 . doi :10.4169/000298910x515785. ISSN  0002-9890. JSTOR  10.4169/000298910x515785. S2CID  9322383.
• Hartman, Philip (1964), Ecuaciones diferenciales ordinarias, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-89871-510-1, MR  0171038, Zbl  0125.32102
• Hoene-Wroński, Józef (1812), Réfutation de la théorie des fonctions analytiques de Lagrange , París
• Muir, Thomas (1882), Tratado sobre la teoría de los determinantes, Macmillan, JFM  15.0118.05
• Peano, Giuseppe (1889), "Sur le déterminant wronskien.", Mathesis (en francés), IX : 75–76, 110–112, JFM  21.0153.01
• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Wronskian", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Wolsson, Kenneth (1989a), "Una condición equivalente a la dependencia lineal para funciones con wronskiano nulo", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 116 : 1–8, doi : 10.1016/0024-3795(89)90393-5 , ISSN  0024-3795, MR  0989712, Zbl  0671.15005
• Wolsson, Kenneth (1989b), "Dependencia lineal de un conjunto de funciones de m variables con wronskianos generalizados que se desvanecen", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 117 : 73–80, doi : 10.1016/0024-3795(89)90548-X , ISSN  0024-3795, MR  0993032, Zbl  0724.15004