En matemáticas, el principio de minimax de Courant proporciona los valores propios de una matriz simétrica real . Recibe su nombre en honor a Richard Courant .
El principio de minimax de Courant establece una condición para hallar los valores propios de una matriz simétrica real. El principio de minimax de Courant es el siguiente:
Para cualquier matriz simétrica real A ,
donde es cualquier matriz.
Nótese que el vector x es un vector propio del valor propio correspondiente λ .
El principio de minimax de Courant es un resultado del teorema del máximo, que dice que para , siendo A una matriz simétrica real, el valor propio más grande está dado por , donde es el vector propio correspondiente. Además (en el teorema del máximo) los valores propios y vectores propios subsiguientes se encuentran por inducción y son ortogonales entre sí; por lo tanto, con .
El principio de minimax de Courant, así como el principio de máximo, se pueden visualizar imaginando que si || x || = 1 es una hiperesfera , entonces la matriz A deforma esa hiperesfera en un elipsoide . Cuando se maximizan los ejes mayores en el hiperplano que se interseca (es decir, se maximiza la longitud de la forma cuadrática q ( x ) ), este es el vector propio, y su longitud es el valor propio. Todos los demás vectores propios serán perpendiculares a este.
El principio minimax también se generaliza a los valores propios de operadores autoadjuntos positivos en espacios de Hilbert , donde se utiliza comúnmente para estudiar el problema de Sturm-Liouville .
