Red (subgrupo discreto)

Subgrupo discreto en un grupo topológico localmente compacto

Una porción del grupo discreto de Heisenberg , un subgrupo discreto del grupo continuo de Lie de Heisenberg. (Los colores y los bordes son solo para ayuda visual).

En la teoría de Lie y áreas relacionadas de las matemáticas, una red en un grupo localmente compacto es un subgrupo discreto con la propiedad de que el espacio cociente tiene una medida invariante finita . En el caso especial de los subgrupos de R ⁿ , esto equivale a la noción geométrica habitual de una red como un subconjunto periódico de puntos, y tanto la estructura algebraica de las redes como la geometría del espacio de todas las redes se entienden relativamente bien.

La teoría es particularmente rica para redes en grupos de Lie semisimples o, más generalmente, en grupos algebraicos semisimples sobre cuerpos locales . En particular, hay una gran cantidad de resultados de rigidez en este contexto, y un célebre teorema de Grigory Margulis establece que, en la mayoría de los casos, todas las redes se obtienen como grupos aritméticos .

Las redes también se estudian en profundidad en algunas otras clases de grupos, en particular los grupos asociados a las álgebras de Kac-Moody y los grupos de automorfismos de árboles regulares (estos últimos se conocen como redes de árboles ).

Las redes son de interés en muchas áreas de las matemáticas: en la teoría de grupos geométricos (como ejemplos particularmente buenos de grupos discretos ), en la geometría diferencial (a través de la construcción de variedades localmente homogéneas), en la teoría de números (a través de grupos aritméticos ), en la teoría ergódica (a través del estudio de flujos homogéneos en los espacios cocientes) y en combinatoria (a través de la construcción de gráficos de Cayley en expansión y otros objetos combinatorios).

Generalidades sobre las celosías

Discusión informal

La mejor manera de pensar en los retículos es como aproximaciones discretas de grupos continuos (como los grupos de Lie). Por ejemplo, es intuitivamente claro que el subgrupo de vectores enteros "se parece" al espacio vectorial real en cierto sentido, mientras que ambos grupos son esencialmente diferentes: uno es finitamente generado y contable , mientras que el otro no es finitamente generado y tiene la cardinalidad del continuo . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Definir rigurosamente el significado de "aproximación de un grupo continuo por un subgrupo discreto" en el párrafo anterior para obtener una noción que generalice el ejemplo es una cuestión de lo que está diseñado para lograr. Tal vez la idea más obvia es decir que un subgrupo "se aproxima" a un grupo más grande es que el grupo más grande puede ser cubierto por las traducidas de un subconjunto "pequeño" por todos los elementos en los subgrupos. En un grupo topológico localmente compacto hay dos nociones disponibles inmediatamente de "pequeño": topológico (un compacto o subconjunto relativamente compacto ) o medida-teórico (un subconjunto de medida de Haar finita). Nótese que dado que la medida de Haar es una medida de Radon , por lo que da masa finita a subconjuntos compactos, la segunda definición es más general. La definición de una red utilizada en matemáticas se basa en el segundo significado (en particular para incluir ejemplos como ) pero la primera también tiene su propio interés (tales redes se llaman uniformes). ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Otras nociones son la equivalencia burda y la cuasi-isometría más fuerte . Las redes uniformes son cuasi-isométricas con respecto a sus grupos ambientales, pero las no uniformes no son ni siquiera burdamente equivalentes a ellas.

Definición

Sea un grupo localmente compacto y un subgrupo discreto (esto significa que existe un entorno del elemento identidad de tal que ). Entonces se llama red en si además existe una medida de Borel en el espacio cociente que es finita (es decir ) e -invariante (lo que significa que para cualquier subconjunto abierto se satisface la igualdad ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e_{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \cap U=\{e_{G}\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \mu (G/\Gamma )<+\infty }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle W\subset G/\Gamma }$ ${\displaystyle \mu (gW)=\mu (W)}$

Una formulación un poco más sofisticada es la siguiente: supongamos además que es unimodular, entonces como es discreto también es unimodular y por teoremas generales existe una medida de Borel única e invariante hasta el escalamiento. Entonces es una red si y solo si esta medida es finita. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

En el caso de subgrupos discretos, esta medida invariante coincide localmente con la medida de Haar y, por lo tanto, que un subgrupo discreto en un grupo localmente compacto sea una red es equivalente a tener un dominio fundamental (para la acción de las traslaciones hacia la izquierda) de volumen finito para la medida de Haar. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Una red se denomina uniforme (o cocompacta) cuando el espacio cociente es compacto (y no uniforme en caso contrario). De manera equivalente, un subgrupo discreto es una red uniforme si y solo si existe un subconjunto compacto con . Nótese que si es cualquier subgrupo discreto en tal que es compacto, entonces es automáticamente una red en . ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle C\subset G}$ ${\displaystyle G=\bigcup {}_{\gamma \in \Gamma }\,C\gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$

Primeros ejemplos

El ejemplo fundamental y más simple es el subgrupo que es una red en el grupo de Lie . Un ejemplo un poco más complicado lo da el grupo discreto de Heisenberg dentro del grupo continuo de Heisenberg. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Si es un grupo discreto entonces una red en es exactamente un subgrupo de índice finito (es decir, el conjunto cociente es finito). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$

Todos estos ejemplos son uniformes. Un ejemplo no uniforme lo proporciona el grupo modular dentro de , y también los análogos de dimensiones superiores . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$

Cualquier subgrupo de índice finito de un retículo es también un retículo del mismo grupo. En términos más generales, un subgrupo conmensurable a un retículo es un retículo.

¿Qué grupos tienen redes?

No todos los grupos localmente compactos contienen una red y no existe ninguna condición general teórica de grupo suficiente para ello. Por otra parte, hay muchos entornos más específicos en los que existen tales criterios. Por ejemplo, la existencia o no de redes en los grupos de Lie es un tema bien comprendido.

Como hemos mencionado, una condición necesaria para que un grupo contenga una red es que el grupo sea unimodular . Esto permite la fácil construcción de grupos sin red, por ejemplo el grupo de matrices triangulares superiores invertibles o los grupos afines . Tampoco es muy difícil encontrar grupos unimodulares sin red, por ejemplo ciertos grupos de Lie nilpotentes como se explica a continuación.

Una condición más fuerte que la unimodularidad es la simplicidad . Esta es suficiente para implicar la existencia de una red en un grupo de Lie, pero en el contexto más general de los grupos localmente compactos existen grupos simples sin red, por ejemplo los "grupos Neretin". ^[1]

Retículas en grupos de Lie resolubles

Grupos de mentiras nilpotentes

Para los grupos nilpotentes, la teoría se simplifica mucho con respecto al caso general y se mantiene similar al caso de los grupos abelianos. Todas las redes en un grupo de Lie nilpotente son uniformes y si es un grupo de Lie nilpotente simplemente conexo (equivalentemente, no contiene un subgrupo compacto no trivial), entonces un subgrupo discreto es una red si y solo si no está contenido en un subgrupo conexo propio ^[2] (esto generaliza el hecho de que un subgrupo discreto en un espacio vectorial es una red si y solo si abarca el espacio vectorial). ${\displaystyle N}$

Un grupo de Lie nilpotente contiene un retículo si y solo si el álgebra de Lie de puede definirse sobre los racionales. Es decir, si y solo si las constantes de estructura de son números racionales. ^[3] Más precisamente: si es un grupo de Lie nilpotente simplemente conexo cuya álgebra de Lie tiene solo constantes de estructura racionales, y es un retículo en (en el sentido más elemental de Retículo (grupo) ) entonces genera un retículo en ; a la inversa, si es un retículo en entonces genera un retículo en . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle \exp(L)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \exp ^{-1}(\Gamma )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

Una red en un grupo de Lie nilpotente siempre se genera finitamente (y por lo tanto se presenta finitamente ya que es en sí misma nilpotente); de hecho, se genera por, como máximo, elementos. ^[4] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \dim(N)}$

Finalmente, un grupo nilpotente es isomorfo a una red en un grupo de Lie nilpotente si y solo si contiene un subgrupo de índice finito que no tiene torsión y se genera finitamente.

El caso general

El criterio dado anteriormente para que los grupos de Lie nilpotentes tengan una red no se aplica a los grupos de Lie resolubles más generales. Sigue siendo cierto que cualquier red en un grupo de Lie resoluble es uniforme ^[5] y que las redes en los grupos resolubles se presentan de forma finita.

No todos los grupos resolubles finitamente generados son redes en un grupo de Lie. Un criterio algebraico es que el grupo sea policíclico . ^[6]

Retículos en grupos de Lie semisimples

Grupos aritméticos y existencia de redes

Si es un grupo algebraico lineal semisimple en el que se define sobre el cuerpo de los números racionales (es decir, las ecuaciones polinómicas que definen tienen sus coeficientes en ), entonces tiene un subgrupo . Un teorema fundamental de Armand Borel y Harish-Chandra establece que siempre es un retículo en ; el ejemplo más simple de esto es el subgrupo . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \Gamma =G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Generalizando la construcción anterior se obtiene la noción de un retículo aritmético en un grupo de Lie semisimple. Dado que todos los grupos de Lie semisimples pueden definirse sobre una consecuencia de la construcción aritmética es que cualquier grupo de Lie semisimple contiene un retículo. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Irreducibilidad

Cuando el grupo de Lie se desdobla como producto, se produce una construcción evidente de retículos a partir de los grupos más pequeños: si son retículos, entonces también es un retículo. En términos generales, se dice que un retículo es irreducible si no procede de esta construcción. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma _{1}\subset G_{1},\Gamma _{2}\subset G_{2}}$ ${\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}\subset G}$

Más formalmente, si es la descomposición de en factores simples, se dice que una red es irreducible si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle G=G_{1}\times \ldots \times G_{r}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \subset G}$

• La proyección de a cualquier factor es densa; ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}}$
• La intersección de con cualquier factor no es una red. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}}$

Un ejemplo de una red irreducible lo da el subgrupo que consideramos como un subgrupo a través del mapa donde es el mapa de Galois que envía una matriz con coeficientes a . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle g\mapsto (g,\sigma (g))}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle a_{i}+b_{i}{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle a_{i}-b_{i}{\sqrt {2}}}$

Rango 1 versus rango superior

El rango real de un grupo de Lie es la dimensión máxima de un toro -split de (un subgrupo abeliano que contiene sólo elementos semisimples con al menos un valor propio real distinto de ). Los grupos de Lie semisimples de rango real 1 sin factores compactos son (hasta la isogenia ) los de la siguiente lista (véase Lista de grupos de Lie simples ): ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pm 1}$

• Los grupos ortogonales de formas cuadráticas reales de firma para ; ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ ${\displaystyle (n,1)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• Los grupos unitarios de formas hermíticas de firma para ; ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$ ${\displaystyle (n,1)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• Los grupos (grupos de matrices con coeficientes cuaterniones que conservan una "forma cuadrática cuaterniónica" de firma ) para ; ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,1)}$ ${\displaystyle (n,1)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• El grupo de Lie excepcional (la forma real de rango 1 correspondiente al álgebra de Lie excepcional ). ${\displaystyle F_{4}^{-20}}$ ${\displaystyle F_{4}}$

El rango real de un grupo de Lie tiene una influencia significativa en el comportamiento de las redes que lo componen. En particular, el comportamiento de las redes de las dos primeras familias de grupos (y en menor medida el de las redes de las dos últimas) difiere mucho del de las redes irreducibles de los grupos de rango superior. Por ejemplo:

• Existen redes no aritméticas en todos los grupos , en , ^{[7] [8]} y posiblemente en (la última es una cuestión abierta ) pero todas las redes irreducibles en los otros son aritméticas; ^{[9] [10]} ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2,1),\mathrm {SU} (3,1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1),n\geq 4}$
• Las redes en grupos de Lie de rango 1 tienen subgrupos normales de índice infinito, mientras que todos los subgrupos normales de redes irreducibles en rango superior son de índice finito o están contenidos en su centro; ^{[11] [12]}
• Conjeturalmente, las redes aritméticas en grupos de rango superior tienen la propiedad de subgrupo de congruencia ^[13] pero hay muchas redes en las que tienen subgrupos de índice finito de no congruencia. ^[14] ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)}$

La propiedad de Kazhdan (T)

La propiedad conocida como (T) fue introducida por Kazhdan para estudiar las redes de estructuras algebraicas en ciertos grupos de Lie cuando los métodos clásicos, más geométricos, fallaban o al menos no eran tan eficientes. El resultado fundamental al estudiar las redes es el siguiente: ^[15]

Una red en un grupo localmente compacto tiene la propiedad (T) si y sólo si el grupo mismo tiene la propiedad (T).

Mediante el análisis armónico es posible clasificar los grupos de Lie semisimples según tengan o no la propiedad. Como consecuencia obtenemos el siguiente resultado, que ilustra aún más la dicotomía del apartado anterior:

• Las redes en no tienen la propiedad de Kazhdan (T) mientras que las redes irreducibles en todos los demás grupos de Lie simples sí la tienen; ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)}$

Propiedades de finitud

Las redes en grupos de Lie semisimples siempre se presentan finitamente y, de hecho, satisfacen condiciones de finitud más fuertes . ^[16] Para redes uniformes, esto es una consecuencia directa de la co-compacidad. En el caso no uniforme, esto se puede demostrar utilizando la teoría de reducción. ^[17] Es más fácil demostrar la presentabilidad finita para grupos con la propiedad (T) ; sin embargo, hay una prueba geométrica que funciona para todos los grupos de Lie semisimples. ^[18]

Variedades de Riemann asociadas a redes en grupos de Lie

Métricas invariantes a la izquierda

Si es un grupo de Lie, entonces a partir de un producto interno en el espacio tangente (el álgebra de Lie de ) se puede construir una métrica de Riemann de la siguiente manera: si pertenece al espacio tangente en un punto puesto donde indica la función tangente (en ) del difeomorfismo de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{e}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle v,w}$ ${\displaystyle \gamma \in G}$ ${\displaystyle g_{\gamma }(v,w)=g_{e}(\gamma ^{*}v,\gamma ^{*}w)}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x\mapsto \gamma ^{-1}x}$ ${\displaystyle G}$

Las aplicaciones de son por definición isometrías para esta métrica . En particular, si es cualquier subgrupo discreto en (de modo que actúa libre y adecuadamente de manera discontinua por traslaciones izquierdas en ) el cociente es una variedad de Riemann localmente isométrica a con la métrica . ${\displaystyle x\mapsto \gamma x}$ ${\displaystyle \gamma \in G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$

La forma de volumen de Riemann asociada a define una medida de Haar en y vemos que la variedad cociente es de volumen de Riemann finito si y solo si es una red. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Ejemplos interesantes en esta clase de espacios de Riemann incluyen variedades planas compactas y variedades nulas .

Espacios localmente simétricos

Una forma bilineal natural de se da mediante la forma Killing . Si no es compacta, no es definida y, por lo tanto, no es un producto interno: sin embargo, cuando es semisimple y es un subgrupo compacto maximalista, se puede utilizar para definir una métrica -invariante en el espacio homogéneo : dichas variedades de Riemann se denominan espacios simétricos de tipo no compacto sin factores euclidianos. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X=G/K}$

Un subgrupo actúa libremente, propiamente de forma discontinua en si y solo si es discreto y libre de torsión. Los cocientes se denominan espacios localmente simétricos. Existe, por tanto, una correspondencia biyectiva entre espacios localmente simétricos completos localmente isomorfos a y de volumen riemanniano finito, y redes libres de torsión en . Esta correspondencia se puede extender a todas las redes añadiendo orbifolds en el lado geométrico. ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

Retículos en grupos de Lie p-ádicos

Una clase de grupos con propiedades similares (con respecto a los retículos) a los grupos de Lie semisimples reales son los grupos algebraicos semisimples sobre cuerpos locales de característica 0, por ejemplo los cuerpos p-ádicos . Existe una construcción aritmética similar al caso real, y la dicotomía entre rango superior y rango uno también se cumple en este caso, en una forma más marcada. Sea un grupo algebraico sobre de rango dividido r . Entonces: ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

• Si r es al menos 2, todas las redes irreducibles en son aritméticas; ${\displaystyle G}$
• Si r=1 entonces hay un número incontable de clases de conmensurabilidad de redes no aritméticas. ^[19]

En el último caso, todas las redes son de hecho grupos libres (hasta un índice finito).

Grupos aritméticos S

De manera más general, se pueden considerar las redes en grupos de la forma

${\displaystyle G=\prod _{p\in S}G_{p}}$

donde es un grupo algebraico semisimple sobre . Generalmente se permite, en cuyo caso es un grupo de Lie real. Un ejemplo de una red de este tipo se da mediante ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle G_{\infty }}$

${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{p}}\right]\right)\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p})}$.

Esta construcción aritmética se puede generalizar para obtener la noción de un grupo S-aritmético . El teorema de aritmeticidad de Margulis también se aplica a este contexto. En particular, si al menos dos de los factores no son compactos, entonces cualquier red irreducible en es S-aritmética. ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle G}$

Retículas en grupos adélicos

Si es un grupo algebraico semisimple sobre un cuerpo de números y su anillo adélico , entonces el grupo de puntos adélicos está bien definido (módulo de algunos tecnicismos) y es un grupo localmente compacto que naturalmente contiene al grupo de puntos -racionales como un subgrupo discreto. El teorema de Borel-Harish-Chandra se extiende a este contexto y es una red. ^[20] ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {A} )}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (F)\subset \mathrm {G} (\mathbb {A} )}$

El teorema de aproximación fuerte relaciona el cociente con cocientes aritméticos S más clásicos. Este hecho hace que los grupos de Adèle sean muy eficaces como herramientas en la teoría de formas automórficas . En particular, las formas modernas de la fórmula de trazas suelen enunciarse y demostrarse para grupos adélicos en lugar de para grupos de Lie. ${\displaystyle \mathrm {G} (F)\backslash \mathrm {G} (\mathbb {A} )}$

Rigidez

Resultados de rigidez

Otro grupo de fenómenos relacionados con las redes en grupos algebraicos semisimples se conoce colectivamente como rigidez . A continuación se presentan tres ejemplos clásicos de resultados de esta categoría.

Los resultados de rigidez local establecen que en la mayoría de las situaciones, cada subgrupo que está suficientemente "cerca" de una red (en el sentido intuitivo, formalizado por la topología de Chabauty o por la topología sobre una variedad de caracteres ) está en realidad conjugado a la red original por un elemento del grupo de Lie ambiental. Una consecuencia de la rigidez local y del teorema de Kazhdan-Margulis es el teorema de Wang: en un grupo dado (con una medida de Haar fija), para cualquier v > 0 solo hay un número finito (hasta la conjugación) de redes con covolumen acotado por v .

El teorema de rigidez de Mostow establece que para las redes en grupos de Lie simples no localmente isomorfas a (el grupo de matrices de 2 por 2 con determinante 1) cualquier isomorfismo de las redes es inducido esencialmente por un isomorfismo entre los grupos mismos. En particular, una red en un grupo de Lie "recuerda" el grupo de Lie ambiental a través de su estructura de grupo. La primera afirmación a veces se denomina rigidez fuerte y se debe a George Mostow y Gopal Prasad (Mostow la demostró para redes cocompactas y Prasad la extendió al caso general). ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

La superrigidez proporciona (para grupos de Lie y grupos algebraicos sobre cuerpos locales de rango superior) un fortalecimiento tanto de la rigidez local como de la fuerte, al tratar homomorfismos arbitrarios de una red en un grupo algebraico G en otro grupo algebraico H. Fue demostrada por Grigori Margulis y es un ingrediente esencial en la prueba de su teorema de aritmeticidad.

Falta de rigidez en dimensiones reducidas

Los únicos grupos de Lie semisimples para los que no se cumple la rigidez de Mostow son todos los grupos localmente isomorfos a . En este caso, de hecho, hay continuamente muchos retículos y dan lugar a espacios de Teichmüller . ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Las redes no uniformes del grupo no son localmente rígidas. De hecho, son puntos de acumulación (en la topología de Chabauty) de redes de covolumen más pequeño, como se demuestra mediante la cirugía hiperbólica de Dehn . ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Como las redes en los grupos p-ádicos de rango uno son virtualmente grupos libres, son muy no rígidos.

Enrejados de árboles

Definición

Sea un árbol con un grupo cocompacto de automorfismos; por ejemplo, puede ser un árbol regular o birregular . El grupo de automorfismos de es un grupo localmente compacto (cuando está dotado de la topología compacta-abierta , en la que una base de vecindades de la identidad está dada por los estabilizadores de subárboles finitos, que son compactos). Cualquier grupo que sea un retículo en algunos se denomina entonces un árbol retículo . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$

La discreción en este caso es fácil de ver a partir de la acción del grupo en el árbol: un subgrupo de es discreto si y solo si todos los estabilizadores de vértices son grupos finitos. ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$

De la teoría básica de las acciones de grupo sobre los árboles se desprende fácilmente que las redes uniformes de árboles son virtualmente grupos libres. Por lo tanto, las redes de árboles más interesantes son las no uniformes, es decir, aquellas cuyo gráfico de cocientes es infinito. La existencia de tales redes no es fácil de ver. ${\displaystyle \Gamma \backslash T}$

Redes de árboles a partir de grupos algebraicos

Si es un cuerpo local de característica positiva (es decir, una completitud de un cuerpo de función de una curva sobre un cuerpo finito, por ejemplo el cuerpo de la serie de potencias formal de Laurent ) y un grupo algebraico definido sobre un cuerpo de rango uno -split, entonces cualquier retículo en es un retículo de árbol a través de su acción sobre el edificio de Bruhat-Tits que en este caso es un árbol. En contraste con el caso de característica 0, tales retículos pueden ser no uniformes, y en este caso nunca se generan finitamente. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}((t))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Retículas arbóreas según la teoría de Bass-Serre

Si es el grupo fundamental de un grafo infinito de grupos , cuyos grupos de vértices son todos finitos, y bajo supuestos adicionales necesarios sobre el índice de los grupos de aristas y el tamaño de los grupos de vértices, entonces la acción de sobre el árbol de Bass-Serre asociado al grafo de grupos lo realiza como una red de árboles. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Criterio de existencia

De manera más general, se puede plantear la siguiente pregunta: si es un subgrupo cerrado de , ¿bajo qué condiciones contiene una red? La existencia de una red uniforme es equivalente a ser unimodular y que el cociente sea finito. El teorema general de existencia es más sutil: es necesario y suficiente que sea unimodular, y que el cociente sea de "volumen finito" en un sentido adecuado (que puede expresarse combinatoriamente en términos de la acción de ), más general que la condición más fuerte de que el cociente sea finito (como lo demuestra la propia existencia de redes arbóreas no uniformes). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\backslash T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\backslash T}$ ${\displaystyle H}$

Notas

1. Bader, Uri; Caprace, Pierre-Emmanuel; Gelander, Tsachik; Mozes, Shahar (2012). "Grupos simples sin redes". Bull. London Math. Soc . 44 : 55–67. arXiv : 1008.2911 . doi :10.1112/blms/bdr061. MR  2881324. S2CID  119130421.
2. Raghunathan 1972, Teorema 2.1.
3. Raghunathan 1972, Teorema 2.12.
4. Raghunathan 1972, Teorema 2.21.
5. Raghunathan 1972, Teorema 3.1.
6. Raghunathan 1972, Teorema 4.28.
7. Grómov, Misha; Piatetski-Shapiro, Ilya (1987). "Grupos no aritméticos en espacios de Lobachevsky" (PDF) . Publ. Matemáticas. IHÉS . 66 : 93-103. doi :10.1007/bf02698928. SEÑOR  0932135. S2CID  55721623.
8. Deligne, Pierre; Mostow, George (1993). Conmensurabilidades entre redes en PU (1,n) . Princeton University Press. MR  1241644.
9. Margulis 1991, pág. 298.
10. Witte-Morris 2015, Teorema 5.21.
11. Margulis 1991, págs. 263-270.
12. Witte-Morris 2015, Teorema 17.1.
13. Raghunathan, MS (2004). "El problema del subgrupo de congruencia". Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci . 114 (4): 299–308. arXiv : math/0503088 . doi :10.1007/BF02829437. MR  2067695. S2CID  18414386.
14. Lubotzky, Alejandro; Segal, Dan (2003). Crecimiento de subgrupos . Progreso en Matemáticas. vol. 212. Birkhäuser Verlag. Capítulo 7. ISBN 3-7643-6989-2.Sr. 1978431  .
15. Witte-Morris 2015, Proposición 13.17.
16. Gelander, Tsachik (15 de septiembre de 2004). "Tipo de homotopía y volumen de variedades localmente simétricas". Duke Mathematical Journal . 124 (3): 459–515. arXiv : math/0111165 . doi :10.1215/S0012-7094-04-12432-7.
17. Witte-Morris 2015, Capítulo 19.
18. Gelander, Tsachik (diciembre de 2011). "Volumen versus rango de celosías". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 2011 (661): 237–248. arXiv : 1102.3574 . doi :10.1515/CRELLE.2011.085.
19. Lubotzky, Alexander (1991). "Redes en grupos de Lie de rango uno sobre campos locales". Geom. Funct. Anal . 1 (4): 406–431. doi :10.1007/BF01895641. MR  1132296. S2CID  119638780.
20. Weil, André (1982). Adeles y grupos algebraicos. Con apéndices de M. Demazure y Takashi Ono . Progress in Mathematics. Vol. 23. Birkhäuser. pp. iii+126. ISBN 3-7643-3092-9.Sr. 0670072  .

Referencias

• Bass, Hyman; Lubotzky, Alexander (2001). Enrejados de árboles Con apéndices de H. Bass, L. Carbone, A. Lubotzky, G. Rosenberg y J. Tits . Progreso en matemáticas. Birkhäuser Verlag. ISBN 0-8176-4120-3.
• Margulis, Grigory (1991). Subgrupos discretos de grupos de Lie semisimples . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag . págs.x+388. ISBN 3-540-12179-X.Sr. 1090825  .
• Platonov, Vladimir ; Rapinchuk, Andrei (1994). Grupos algebraicos y teoría de números. (Traducido del original ruso de 1991 por Rachel Rowen.) . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 139. Boston, MA: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-558180-7.Señor 1278263  .
• Raghunathan, MS (1972). Subgrupos discretos de grupos de Lie . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag . SEÑOR  0507234.
• Witte-Morris, Dave (2015). Introducción a los grupos aritméticos. Deductive Press. pág. 492. ISBN 978-0-9865716-0-2.
• Gelander, Tsachik (2014). "Conferencias sobre redes y espacios localmente simétricos". En Bestvina, Mladen; Sageev, Michah; Vogtmann, Karen (eds.). Teoría geométrica de grupos . págs. 249–282. arXiv : 1402.0962 . Código Bibliográfico :2014arXiv1402.0962G.