Grupo euclidiano

Isometry group of Euclidean space

En matemáticas , un grupo euclidiano es el grupo de isometrías (euclidianas) de un espacio euclidiano ; es decir, las transformaciones de ese espacio que preservan la distancia euclidiana entre dos puntos cualesquiera (también llamadas transformaciones euclidianas ). El grupo depende únicamente de la dimensión n del espacio, y se denota comúnmente E( n ) o ISO( n ), para grupos ortogonales especiales no homogéneos . ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

El grupo euclidiano E( n ) comprende todas las traslaciones , rotaciones y reflexiones de ; y combinaciones finitas arbitrarias de ellas. El grupo euclidiano puede considerarse como el grupo de simetría del propio espacio y contiene el grupo de simetrías de cualquier figura (subconjunto) de ese espacio. ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

Una isometría euclidiana puede ser directa o indirecta , dependiendo de si conserva la lateralidad de las figuras. Las isometrías euclidianas directas forman un subgrupo, el grupo euclidiano especial , a menudo denominado SE( n ) y E ⁺ ( n ), cuyos elementos se denominan movimientos rígidos o movimientos euclidianos. Comprenden combinaciones arbitrarias de traslaciones y rotaciones, pero no reflexiones.

Estos grupos se encuentran entre los más antiguos y estudiados, al menos en los casos de dimensión 2 y 3 –implícitamente, mucho antes de que se inventara el concepto de grupo.

Descripción general

Dimensionalidad

El número de grados de libertad para E( n ) es n ( n + 1)/2 , lo que da 3 en caso de n = 2 , y 6 para n = 3 . De estos, n puede atribuirse a la simetría traslacional disponible , y los n ( n − 1)/2 restantes a la simetría rotacional .

Isometrías directas e indirectas

Las isometrías directas (es decir, isometrías que preservan la lateralidad de los subconjuntos quirales ) comprenden un subgrupo de E( n ), llamado grupo euclidiano especial y usualmente denotado por E ⁺ ( n ) o SE( n ). Incluyen las traslaciones y rotaciones, y combinaciones de las mismas; incluida la transformación de identidad, pero excluidas las reflexiones.

Las isometrías que invierten la lateralidad se denominan indirectas u opuestas . Para cualquier isometría indirecta fija R , como una reflexión sobre algún hiperplano, cualquier otra isometría indirecta puede obtenerse mediante la composición de R con alguna isometría directa. Por lo tanto, las isometrías indirectas son un conjunto lateral de E ⁺ ( n ), que puede denotarse por E ⁻ ( n ). De ello se deduce que el subgrupo E ⁺ ( n ) es de índice 2 en E( n ).

Topología del grupo

La topología natural del espacio euclidiano implica una topología para el grupo euclidiano E( n ). Es decir, una secuencia f _i de isometrías de ( ) se define como convergente si y solo si, para cualquier punto p de , la secuencia de puntos p _i converge. ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

De esta definición se deduce que una función es continua si y sólo si, para cualquier punto p de , la función definida por f _p ( t ) = ( f ( t ))( p ) es continua. Una función de este tipo se denomina "trayectoria continua" en E( n ). ${\displaystyle f:[0,1]\to E(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ${\displaystyle f_{p}:[0,1]\to \mathbb {E} ^{n}}$

Resulta que el grupo euclidiano especial SE( n ) = E ⁺ ( n ) es conexo en esta topología. Es decir, dadas dos isometrías directas A y B de , existe una trayectoria continua f en E ⁺ ( n ) tal que f (0) = A y f (1) = B . Lo mismo es cierto para las isometrías indirectas E ⁻ ( n ). Por otra parte, el grupo E( n ) en su conjunto no es conexo: no existe una trayectoria continua que comience en E ⁺ ( n ) y termine en E ⁻ ( n ). ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

Las trayectorias continuas en E(3) juegan un papel importante en la mecánica clásica , porque describen los movimientos físicamente posibles de un cuerpo rígido en el espacio tridimensional a lo largo del tiempo. Se toma f (0) como la transformación identidad I de , que describe la posición inicial del cuerpo. La posición y orientación del cuerpo en cualquier tiempo posterior t se describirá mediante la transformación f (t). Dado que f (0) = I está en E ⁺ (3), lo mismo debe ser cierto para f ( t ) para cualquier tiempo posterior. Por esa razón, las isometrías euclidianas directas también se denominan "movimientos rígidos". ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$

Estructura de mentira

Los grupos euclidianos no son sólo grupos topológicos , son grupos de Lie , por lo que las nociones de cálculo pueden adaptarse inmediatamente a este entorno.

Relación con el grupo afín

El grupo euclidiano E( n ) es un subgrupo del grupo afín para n dimensiones. Ambos grupos tienen una estructura como producto semidirecto del grupo de traslaciones euclidianas con un grupo de transformaciones que preservan el origen, y esta estructura de producto se respeta mediante la inclusión del grupo euclidiano en el grupo afín. Esto da, a fortiori , dos formas de escribir elementos en una notación explícita. Estas son:

1. por un par ( A , b ) , con A una matriz ortogonal n × n , y b un vector columna real de tamaño n ; o
2. por una única matriz cuadrada de tamaño n + 1 , como se explicó para el grupo afín .

Los detalles de la primera representación se dan en la siguiente sección.

En términos del programa de Erlangen de Felix Klein , se puede leer que la geometría euclidiana , la geometría del grupo euclidiano de simetrías, es, por tanto, una especialización de la geometría afín . Se aplican todos los teoremas afines. El origen de la geometría euclidiana permite definir la noción de distancia , a partir de la cual se puede deducir el ángulo .

Discusión detallada

Estructura de subgrupos, representación matricial y vectorial

El grupo euclidiano es un subgrupo del grupo de transformaciones afines .

Tiene como subgrupos el grupo traslacional T( n ), y el grupo ortogonal O( n ). Cualquier elemento de E( n ) es una traslación seguida de una transformación ortogonal (la parte lineal de la isometría), de forma única: donde A es una matriz ortogonal $${\displaystyle x\mapsto A(x+b)}$$

o la misma transformación ortogonal seguida de una traslación: con c = Ab $${\displaystyle x\mapsto Ax+c,}$$

T( n ) es un subgrupo normal de E( n ): para cada traslación t y cada isometría u , la composición es nuevamente una traslación. $${\displaystyle u^{-1}tu}$$

En conjunto, estos hechos implican que E( n ) es el producto semidirecto de O( n ) extendido por T( n ), que se escribe como . En otras palabras, O( n ) es (de manera natural) también el grupo cociente de E( n ) por T( n ): ${\displaystyle {\text{E}}(n)={\text{T}}(n)\rtimes {\text{O}}(n)}$ $${\displaystyle {\text{O}}(n)\cong {\text{E}}(n)/{\text{T}}(n)}$$

Ahora bien, SO( n ), el grupo ortogonal especial , es un subgrupo de O( n ) de índice dos. Por lo tanto, E( n ) tiene un subgrupo E ⁺ ( n ), también de índice dos, constituido por isometrías directas . En estos casos el determinante de A es 1.

Se representan como una traslación seguida de una rotación , en lugar de una traslación seguida de algún tipo de reflexión (en las dimensiones 2 y 3, estas son las reflexiones familiares en una línea o plano de espejo , que pueden considerarse como que incluyen el origen , o en 3D, una rotorreflexión ).

Esta relación se escribe comúnmente como: o, equivalentemente: $${\displaystyle {\text{SO}}(n)\cong {\text{E}}^{+}(n)/{\text{T}}(n)}$$ $${\displaystyle {\text{E}}^{+}(n)={\text{SO}}(n)\ltimes {\text{T}}(n).}$$

Subgrupos

Tipos de subgrupos de E( n ):

Grupos finitos .

Tienen siempre un punto fijo. En 3D, para cada punto hay para cada orientación dos que son máximos (con respecto a la inclusión) entre los grupos finitos: O _h e I _h . Los grupos I _h son incluso máximos entre los grupos que incluyen la categoría siguiente.

Grupos infinitos contables sin traslaciones, rotaciones o combinaciones arbitrariamente pequeñas

es decir, para cada punto el conjunto de imágenes bajo las isometrías es topológicamente discreto (por ejemplo, para 1 ≤ m ≤ n un grupo generado por m traslaciones en direcciones independientes, y posiblemente un grupo de puntos finito). Esto incluye las redes . Ejemplos más generales que estos son los grupos espaciales discretos .

Grupos infinitos contables con traslaciones, rotaciones o combinaciones arbitrariamente pequeñas

En este caso hay puntos para los cuales el conjunto de imágenes bajo las isometrías no está cerrado. Ejemplos de tales grupos son, en 1D, el grupo generado por una traslación de 1 y una de √ 2 , y, en 2D, el grupo generado por una rotación alrededor del origen de 1 radián.

Grupos no contables, donde hay puntos para los cuales el conjunto de imágenes bajo las isometrías no está cerrado

(por ejemplo, en 2D todas las traslaciones en una dirección y todas las traslaciones por distancias racionales en otra dirección).

Grupos no contables, donde para todos los puntos el conjunto de imágenes bajo las isometrías es cerrado

p.ej:

• todas las isometrías directas que mantienen fijo el origen, o más generalmente, algún punto (en 3D llamado grupo de rotación )
• todas las isometrías que mantienen fijo el origen, o más generalmente, algún punto (el grupo ortogonal )
• todas las isometrías directas E ⁺ ( n )
• todo el grupo euclidiano E( n )
• uno de estos grupos en un subespacio de dimensión m combinado con un grupo discreto de isometrías en el espacio ortogonal de dimensión ( n − m )
• uno de estos grupos en un subespacio m -dimensional combinado con otro en el espacio ortogonal ( n − m )-dimensional

Ejemplos en 3D de combinaciones:

• todas las rotaciones alrededor de un eje fijo
• Lo mismo se combina con la reflexión en planos que pasan por el eje y/o un plano perpendicular al eje.
• Lo mismo se puede decir combinado con la traslación discreta a lo largo del eje o con todas las isometrías a lo largo del eje.
• un grupo de puntos discretos, un grupo de frisos o un grupo de papel tapiz en un plano, combinado con cualquier grupo de simetría en la dirección perpendicular
• todas las isometrías que son una combinación de una rotación sobre algún eje y una traslación proporcional a lo largo del eje; en general esto se combina con isometrías rotacionales k -fold sobre el mismo eje ( k ≥ 1 ); el conjunto de imágenes de un punto bajo las isometrías es una hélice k -fold ; además puede haber una rotación doble sobre un eje que se intersecta perpendicularmente y, por lo tanto, una hélice k -fold de dichos ejes.
• para cualquier grupo de puntos: el grupo de todas las isometrías que son una combinación de una isometría en el grupo de puntos y una traslación; por ejemplo, en el caso del grupo generado por inversión en el origen: el grupo de todas las traslaciones e inversiones en todos los puntos; este es el grupo diedro generalizado de R ³ , Dih(R ³ ).

Descripción general de isometrías en hasta tres dimensiones

E(1), E(2) y E(3) se pueden clasificar de la siguiente manera, con grados de libertad :

El teorema de Chasles afirma que cualquier elemento de E ⁺ (3) es un desplazamiento de tornillo .

Ver también isometrías 3D que dejan fijo el origen , grupo espacial , involución .

Isometrías de desplazamientos

Para algunos pares de isometrías la composición no depende del orden:

• dos traducciones
• Dos rotaciones o tornillos sobre el mismo eje
• reflexión con respecto a un plano, y una traslación en ese plano, una rotación alrededor de un eje perpendicular al plano, o una reflexión con respecto a un plano perpendicular
• Reflexión de deslizamiento con respecto a un plano y una traslación en ese plano.
• Inversión en un punto y cualquier isometría manteniendo el punto fijo
• rotación de 180° alrededor de un eje y reflexión en un plano que pasa por ese eje
• rotación de 180° alrededor de un eje y rotación de 180° alrededor de un eje perpendicular (da como resultado una rotación de 180° alrededor del eje perpendicular a ambos)
• Dos reflexiones rotatorias sobre el mismo eje, con respecto al mismo plano
• Dos reflexiones de deslizamiento con respecto al mismo plano

Clases de conjugación

Las traslaciones de una distancia dada en cualquier dirección forman una clase de conjugación ; el grupo de traslaciones es la unión de aquellas para todas las distancias.

En 1D, todas las reflexiones están en la misma clase.

En 2D, las rotaciones con el mismo ángulo en cualquier dirección pertenecen a la misma clase. Las reflexiones de deslizamiento con traslación a la misma distancia pertenecen a la misma clase.

En 3D:

• Las inversiones con respecto a todos los puntos pertenecen a la misma clase.
• Las rotaciones del mismo ángulo pertenecen a la misma clase.
• Las rotaciones sobre un eje combinadas con la traslación a lo largo de ese eje pertenecen a la misma clase si el ángulo es el mismo y la distancia de traslación es la misma.
• Las reflexiones en un plano pertenecen a la misma clase.
• Las reflexiones en un plano combinadas con la traslación en ese plano en la misma distancia pertenecen a la misma clase.
• Las rotaciones sobre un eje en un ángulo igual a 180°, combinadas con una reflexión en un plano perpendicular a ese eje, pertenecen a la misma clase.

Véase también

• Puntos fijos de grupos de isometría en el espacio euclidiano
• Isometría del plano euclidiano
• Grupo de Poincaré
• Rotaciones y reflexiones de coordenadas
• Reflexión a través del origen
• Plano de rotación

Referencias

• Cederberg, Judith N. (2001). Un curso de geometría moderna . Págs. 136-164. ISBN 978-0-387-98972-3.
• William Thurston . Geometría y topología tridimensional. Vol. 1. Editado por Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp.  ISBN 0-691-08304-5