Hermann Klaus Hugo Weyl , ForMemRS [1] ( en alemán: [vaɪl] ; 9 de noviembre de 1885 - 8 de diciembre de 1955) fue un matemático , físico teórico , lógico y filósofo alemán . Aunque pasó gran parte de su vida laboral en Zúrich , Suiza , y luego en Princeton, Nueva Jersey , está asociado con la tradición de las matemáticas de la Universidad de Gotinga , representada por Carl Friedrich Gauss , David Hilbert y Hermann Minkowski .
Sus investigaciones han tenido una gran importancia tanto para la física teórica como para disciplinas puramente matemáticas como la teoría de números . Fue uno de los matemáticos más influyentes del siglo XX y un miembro importante del Instituto de Estudios Avanzados durante sus primeros años. [4] [5]
Weyl contribuyó a una gama excepcionalmente amplia de campos, incluyendo trabajos sobre el espacio , el tiempo , la materia , la filosofía , la lógica , la simetría y la historia de las matemáticas . Fue uno de los primeros en concebir la combinación de la relatividad general con las leyes del electromagnetismo . Freeman Dyson escribió que Weyl era el único que podía compararse con los "últimos grandes matemáticos universales del siglo XIX", Poincaré y Hilbert . [6] Michael Atiyah , en particular, ha comentado que siempre que examinaba un tema matemático, encontraba que Weyl lo había precedido. [7]
Hermann Weyl nació en Elmshorn , una pequeña ciudad cerca de Hamburgo , en Alemania , y asistió al Gymnasium Christianeum en Altona . [8] Su padre, Ludwig Weyl, era banquero; mientras que su madre, Anna Weyl (de soltera Dieck), provenía de una familia adinerada. [9]
De 1904 a 1908 estudió matemáticas y física en Gotinga y Múnich . Se doctoró en la Universidad de Gotinga bajo la supervisión de David Hilbert , a quien admiraba profundamente.
En septiembre de 1913, en Göttingen, Weyl se casó con Friederike Bertha Helene Joseph (30 de marzo de 1893 [10] - 5 de septiembre de 1948 [11] ), que se hacía llamar Helene (apodo "Hella"). Helene era hija del Dr. Bruno Joseph (13 de diciembre de 1861 - 10 de junio de 1934), un médico que ocupó el cargo de Sanitätsrat en Ribnitz-Damgarten , Alemania. Helene era filósofa (fue discípula del fenomenólogo Edmund Husserl ) y traductora de literatura española al alemán y al inglés (especialmente las obras del filósofo español José Ortega y Gasset ). [12] Fue a través de la estrecha conexión de Helene con Husserl que Hermann se familiarizó con el pensamiento de Husserl (y fue muy influenciado por él). Hermann y Helene tuvieron dos hijos, Fritz Joachim Weyl (19 de febrero de 1915 - 20 de julio de 1977) y Michael Weyl (15 de septiembre de 1917 - 19 de marzo de 2011), [13] ambos nacidos en Zúrich, Suiza. Helene murió en Princeton, Nueva Jersey, el 5 de septiembre de 1948. Se celebró un servicio conmemorativo en su honor en Princeton el 9 de septiembre de 1948. Entre los oradores de su servicio conmemorativo se encontraban su hijo Fritz Joachim Weyl y los matemáticos Oswald Veblen y Richard Courant . [14] En 1950, Hermann se casó con la escultora Ellen Bär (de soltera Lohnstein) (17 de abril de 1902 – 14 de julio de 1988), [15] que era viuda del profesor Richard Josef Bär (11 de septiembre de 1892 – 15 de diciembre de 1940) [16] de Zürich.
Después de ocupar un puesto de profesor durante unos años, Weyl dejó Gotinga en 1913 para ir a Zúrich y ocupar la cátedra de matemáticas [17] en la ETH de Zúrich , donde fue colega de Albert Einstein , que estaba trabajando en los detalles de la teoría de la relatividad general . Einstein tuvo una influencia duradera en Weyl, que quedó fascinado por la física matemática. En 1921, Weyl conoció a Erwin Schrödinger , un físico teórico que en ese momento era profesor en la Universidad de Zúrich . Se convertirían en amigos cercanos con el tiempo. Weyl tuvo una especie de relación amorosa sin hijos con la esposa de Schrödinger, Annemarie (Anny) Schrödinger (de soltera Bertel), mientras que al mismo tiempo Anny ayudaba a criar a una hija ilegítima de Erwin llamada Ruth Georgie Erica March, que nació en 1934 en Oxford , Inglaterra. [18] [19]
Weyl fue orador plenario del Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) en 1928 en Bolonia [20] y orador invitado del ICM en 1936 en Oslo . Fue elegido miembro de la Sociedad Estadounidense de Física en 1928, [21] miembro de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias en 1929, [22] miembro de la Sociedad Filosófica Estadounidense en 1935, [23] y miembro de la Academia Nacional de Ciencias en 1940. [24] Durante el año académico 1928-1929, fue profesor visitante en la Universidad de Princeton , [25] donde escribió un artículo, "Sobre un problema en la teoría de grupos que surge en los fundamentos de la geometría infinitesimal", con Howard P. Robertson . [26]
Weyl abandonó Zúrich en 1930 para convertirse en el sucesor de Hilbert en Gotinga, puesto que abandonó cuando los nazis tomaron el poder en 1933, sobre todo porque su esposa era judía. Le habían ofrecido uno de los primeros puestos de profesor en el nuevo Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (Nueva Jersey) , pero lo rechazó porque no quería abandonar su patria. Cuando la situación política en Alemania empeoró, cambió de opinión y aceptó cuando le ofrecieron el puesto de nuevo. Permaneció allí hasta su jubilación en 1951. Junto con su segunda esposa, Ellen, pasó su tiempo en Princeton y Zúrich, y murió de un ataque cardíaco el 8 de diciembre de 1955, mientras vivía en Zúrich.
Weyl fue incinerado en Zúrich el 12 de diciembre de 1955. [27] Sus cenizas permanecieron en manos privadas [¿ fuente poco confiable? ] hasta 1999, momento en el que fueron enterradas en una bóveda de columbario al aire libre en el cementerio de Princeton . [28] Los restos del hijo de Hermann, Michael Weyl (1917-2011), están enterrados junto a las cenizas de Hermann en la misma bóveda de columbario.
Weyl era un panteísta . [29]
En 1911 Weyl publicó Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte ( Sobre la distribución asintótica de los valores propios ), en el que demostró que los valores propios del laplaciano en el dominio compacto se distribuyen de acuerdo con la llamada ley de Weyl . En 1912 sugirió una nueva demostración, basada en principios variacionales. Weyl volvió a este tema varias veces, consideró el sistema de elasticidad y formuló la conjetura de Weyl . Estos trabajos iniciaron un dominio importante, la distribución asintótica de los valores propios, del análisis moderno.
En 1913, Weyl publicó Die Idee der Riemannschen Fläche ( El concepto de superficie de Riemann ), que dio un tratamiento unificado de las superficies de Riemann . En él, Weyl utilizó la topología de conjuntos puntuales para hacer más rigurosa la teoría de superficies de Riemann, un modelo que se siguió en trabajos posteriores sobre variedades . Para este propósito, absorbió los primeros trabajos de LEJ Brouwer en topología.
Weyl, como figura importante en la escuela de Göttingen, estaba plenamente informado del trabajo de Einstein desde sus inicios. Siguió el desarrollo de la física de la relatividad en su Raum, Zeit, Materie ( Espacio, tiempo, materia ) desde 1918, alcanzando una cuarta edición en 1922. En 1918, introdujo la noción de gauge y dio el primer ejemplo de lo que ahora se conoce como teoría de gauge . La teoría de gauge de Weyl fue un intento fallido de modelar el campo electromagnético y el campo gravitatorio como propiedades geométricas del espacio-tiempo . El tensor de Weyl en la geometría de Riemann es de gran importancia para comprender la naturaleza de la geometría conforme .
Su enfoque general en física se basó en la filosofía fenomenológica de Edmund Husserl , específicamente en Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie (Ideas de una fenomenología pura y de una filosofía fenomenológica. Primer libro: Introducción general) de Husserl de 1913. Husserl había reaccionado enérgicamente a la crítica de Gottlob Frege a su primer trabajo sobre la filosofía de la aritmética y estaba investigando el sentido de las estructuras matemáticas y de otro tipo, que Frege había distinguido de la referencia empírica. [ cita requerida ]
De 1923 a 1938, Weyl desarrolló la teoría de los grupos compactos , en términos de representaciones matriciales . En el caso del grupo de Lie compacto, demostró una fórmula de carácter fundamental .
Estos resultados son fundamentales para comprender la estructura de simetría de la mecánica cuántica , que él puso sobre una base de teoría de grupos. Esto incluía a los espinores . Junto con la formulación matemática de la mecánica cuántica , en gran medida debido a John von Neumann , esto proporcionó el tratamiento familiar desde aproximadamente 1930. Los grupos no compactos y sus representaciones, particularmente el grupo de Heisenberg , también se simplificaron en ese contexto específico, en su cuantización de Weyl de 1927 , el mejor puente existente entre la física clásica y la cuántica hasta la fecha. A partir de este momento, y ciertamente muy ayudados por las exposiciones de Weyl, los grupos de Lie y las álgebras de Lie se convirtieron en una parte principal tanto de las matemáticas puras como de la física teórica .
Su libro The Classical Groups reconsideró la teoría de invariantes . Abordó grupos simétricos , grupos lineales generales , grupos ortogonales y grupos simplécticos y los resultados sobre sus invariantes y representaciones .
Weyl también demostró cómo utilizar sumas exponenciales en la aproximación diofántica , con su criterio de distribución uniforme módulo 1 , que fue un paso fundamental en la teoría analítica de números . Este trabajo se aplicó a la función zeta de Riemann , así como a la teoría aditiva de números . Fue desarrollado por muchos otros.
En El continuo, Weyl desarrolló la lógica del análisis predicativo utilizando los niveles inferiores de la teoría ramificada de tipos de Bertrand Russell . Pudo desarrollar la mayor parte del cálculo clásico , sin utilizar ni el axioma de elección ni la prueba por contradicción , y evitando los conjuntos infinitos de Georg Cantor . Weyl apeló [ aclaración necesaria ] en este período al constructivismo radical del idealista romántico y subjetivo alemán Fichte .
Poco después de publicar El continuo, Weyl cambió brevemente su postura y se inclinó por el intuicionismo de Brouwer. En El continuo , los puntos construibles existen como entidades discretas. Weyl quería un continuo que no fuera un agregado de puntos. Escribió un artículo controvertido en el que proclamaba, para él y para LEJ Brouwer, una "revolución". [30] Este artículo fue mucho más influyente en la propagación de las opiniones intuicionistas que las obras originales del propio Brouwer.
George Pólya y Weyl, durante una reunión de matemáticos en Zúrich (9 de febrero de 1918), hicieron una apuesta sobre la dirección futura de las matemáticas. Weyl predijo que en los siguientes 20 años, los matemáticos llegarían a comprender la vaguedad total de nociones como números reales , conjuntos y numerabilidad y, además, que preguntar por la verdad o falsedad de la propiedad del límite superior mínimo de los números reales era tan significativo como preguntar por la verdad de las afirmaciones básicas de Hegel sobre la filosofía de la naturaleza. [31] Cualquier respuesta a tal pregunta sería inverificable, no relacionada con la experiencia y, por lo tanto, sin sentido.
Sin embargo, al cabo de unos años Weyl decidió que el intuicionismo de Brouwer imponía restricciones demasiado grandes a las matemáticas, como siempre habían dicho los críticos. El artículo "Crisis" había molestado a Hilbert, el profesor formalista de Weyl , pero más tarde, en la década de 1920, Weyl reconcilió parcialmente su posición con la de Hilbert.
Después de 1928, Weyl aparentemente había decidido que el intuicionismo matemático no era compatible con su entusiasmo por la filosofía fenomenológica de Husserl , como aparentemente había pensado anteriormente. En las últimas décadas de su vida, Weyl enfatizó las matemáticas como "construcción simbólica" y se acercó no solo a Hilbert sino también a Ernst Cassirer . Weyl, sin embargo, rara vez se refiere a Cassirer y solo escribió breves artículos y pasajes articulando esta posición.
En 1949, Weyl estaba completamente desilusionado con el valor último del intuicionismo y escribió: "Con Brouwer, las matemáticas alcanzan su máxima claridad intuitiva. Consigue desarrollar los principios del análisis de una manera natural, manteniendo siempre el contacto con la intuición mucho más estrecho que antes. No se puede negar, sin embargo, que al avanzar hacia teorías más elevadas y generales, la inaplicabilidad de las leyes simples de la lógica clásica acaba dando lugar a una incomodidad casi insoportable. Y el matemático observa con dolor cómo la mayor parte de su imponente edificio, que creía construido con bloques de hormigón, se disuelve en niebla ante sus ojos". Como dice John L. Bell: "Me parece una gran lástima que Weyl no viviera para ver el surgimiento en los años 1970 del análisis infinitesimal suave, un marco matemático dentro del cual se hizo realidad su visión de un verdadero continuo, no "sintetizado" a partir de elementos discretos. Aunque la lógica subyacente del análisis infinitesimal suave es intuicionista (la ley del tercio excluido no es generalmente afirmable), las matemáticas desarrolladas en él evitan la "incomodidad insoportable" a la que Weyl se refiere más arriba".
En 1929, Weyl propuso una ecuación, conocida como ecuación de Weyl , para usarla como reemplazo de la ecuación de Dirac . Esta ecuación describe fermiones sin masa . Un fermión de Dirac normal podría dividirse en dos fermiones de Weyl o formarse a partir de dos fermiones de Weyl. En un principio se pensó que los neutrinos eran fermiones de Weyl, pero ahora se sabe que tienen masa. Los fermiones de Weyl son buscados para aplicaciones electrónicas. En 2015 se descubrieron cuasipartículas que se comportan como fermiones de Weyl, en forma de cristales conocidos como semimetales de Weyl , un tipo de material topológico. [32] [33] [34]
Weyl se interesó por la filosofía desde su juventud, cuando leyó la Crítica de la razón pura de Immanuel Kant, en la que el espacio y el tiempo eran conceptos a priori del conocimiento (aunque más tarde le disgustaran los vínculos demasiado estrechos de Kant con la geometría euclidiana). A partir de 1912 estuvo fuertemente influenciado por Edmund Husserl y su fenomenología, lo que también se reflejó en algunos pasajes de su libro Espacio, tiempo y materia. En 1927, Oldenbourg Verlag publicó su contribución Filosofía de las matemáticas y las ciencias naturales al Manual de filosofía, que luego se publicó por separado y se revisó como libro. En un intento de reconstruir los orígenes de la filosofía de Hermann Weyl e integrarlos en las principales corrientes de la filosofía, Norman Sieroka [35] [36] [37] señaló las intensas y prolongadas discusiones entre Weyl y su colega filósofo de Zurich Fritz Medicus, un especialista en Johann Gottlieb Fichte. La Wissenschaftslehre y la filosofía de Fichte, según las cuales el "ser" resulta de la interacción del "yo absoluto" con su entorno material (Umgebung), también tienen una gran influencia en Weyl y se reflejan en el uso que Weyl hace del concepto de entorno de la topología (continuum) y en la concepción de Weyl de la teoría general de la relatividad, junto con las influencias de la fenomenología de Edmund Husserl conocida directamente de los escritos de Weyl. Según Sieroka, Weyl también encuentra influencias de la teoría de la materia de Gottfried Wilhelm Leibniz (la teoría de las mónadas, etc.) y del idealismo alemán (la dialéctica de Fichte) en la interpretación filosófica de Weyl del concepto físico de materia en el contexto de la teoría cuántica y la relatividad general y con respecto a la interacción de un símbolo con su entorno en una estructura de teoría matemática también en la filosofía de las matemáticas de Weyl (debate entre el formalismo y el intuicionismo bajo la influencia de Brouwer). Entiende el debate intramatemático sobre el intuicionismo y el formalismo en la línea de un debate entre la fenomenología husserliana y el constructivismo fichteano. En la década de 1920, antes del desarrollo de la mecánica cuántica e inspirado por la naturaleza estadística de la teoría cuántica, que se estaba volviendo cada vez más clara en ese momento, Weyl se alejó de la descripción teórica de campo de la materia hacia una teoría de la materia activa (agens), que se logró incluyendo el entorno espacial en la descripción teórica de campo expresada. Anteriormente había descrito la teoría general de la relatividad y sus propias extensiones de la misma, lo que condujo al origen del concepto actual de teorías de campos de calibración, utilizando métodos geométricos diferenciales. Bajo la influencia de la teoría cuántica, se alejó de esta "teoría geométrica de campos". Según Sieroka,Fichte y Ernst Cassirer también fueron una influencia importante en la filosofía tardía de Weyl (la ciencia como una “construcción simbólica”). La participación de Weyl enMenos conocido fue Martin Heidegger . Aunque Weyl no compartía la opinión de Heidegger sobre la muerte, su concepción de la vecindad (Umgebung) estaba influida por el existencialismo de Heidegger.
Sólo él podía compararse con los últimos grandes matemáticos universales del siglo XIX, Hilbert y Poincaré. ... Ahora ha muerto, el contacto se ha roto y nuestras esperanzas de comprender el universo físico mediante un uso directo de la imaginación matemática creativa han terminado por el momento.
Para utilizar la acertada frase de su hijo Michael, 'El mundo abierto' (1932) contiene "los diálogos de Hermann con Dios", porque aquí el matemático se enfrenta a sus preocupaciones últimas. Éstas no caen en las tradiciones religiosas tradicionales, sino que son mucho más cercanas en espíritu al análisis racional de Spinoza de lo que él llamó "Dios o naturaleza", tan importante también para Einstein. ... Al final, Weyl concluye que este Dios "no puede y no será comprendido" por la mente humana, aunque "la mente es libertad dentro de las limitaciones de la existencia; está abierta hacia el infinito". Sin embargo, "ni Dios puede penetrar en el hombre por revelación, ni el hombre penetrar en él por percepción mística".
