Grupo Weyl

Subgrupo del grupo de isometría de un sistema de raíces

En matemáticas , en particular en la teoría de las álgebras de Lie , el grupo de Weyl (llamado así por Hermann Weyl ) de un sistema de raíces Φ es un subgrupo del grupo de isometría de ese sistema de raíces. Específicamente, es el subgrupo que se genera por reflexiones a través de los hiperplanos ortogonales a las raíces y, como tal, es un grupo de reflexión finito . De hecho, resulta que la mayoría de los grupos de reflexión finitos son grupos de Weyl. ^[1] De manera abstracta, los grupos de Weyl son grupos de Coxeter finitos y son ejemplos importantes de estos.

El grupo de Weyl de un grupo de Lie semisimple , un álgebra de Lie semisimple , un grupo algebraico lineal semisimple , etc. es el grupo de Weyl del sistema raíz de ese grupo o álgebra .

Definición y ejemplos

El grupo de Weyl del sistema de raíces es el grupo de simetría de un triángulo equilátero. ${\displaystyle A_{2}}$

Sea un sistema de raíces en un espacio euclidiano . Para cada raíz , sea la reflexión sobre el hiperplano perpendicular a , que se da explícitamente como ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle s_{\alpha }(v)=v-2{\frac {(v,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha }$,

donde es el producto interno de . El grupo de Weyl de es el subgrupo del grupo ortogonal generado por todos los de . Por la definición de un sistema de raíces, cada uno conserva , de lo que se sigue que es un grupo finito. ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle O(V)}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle W}$

En el caso del sistema de raíces, por ejemplo, los hiperplanos perpendiculares a las raíces son simplemente líneas, y el grupo de Weyl es el grupo de simetría de un triángulo equilátero, como se indica en la figura. Como grupo, es isomorfo al grupo de permutación de tres elementos, que podemos considerar como los vértices del triángulo. Nótese que en este caso, no es el grupo de simetría completo del sistema de raíces; una rotación de 60 grados conserva pero no es un elemento de . ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle W}$

Podemos considerar también el sistema raíz. En este caso, es el espacio de todos los vectores cuyas entradas suman cero. Las raíces consisten en los vectores de la forma , donde es el ésimo elemento de la base estándar para . La reflexión asociada a dicha raíz es la transformación de obtenida al intercambiar las entradas ésima y ésima de cada vector. El grupo de Weyl para es entonces el grupo de permutación de elementos. ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle e_{i}-e_{j},\,i\neq j}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$

Cámaras de Weyl

La región sombreada es la cámara de Weyl fundamental para la base. ${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2}\}}$

Si es un sistema de raíces, podemos considerar el hiperplano perpendicular a cada raíz . Recordemos que denota la reflexión sobre el hiperplano y que el grupo de Weyl es el grupo de transformaciones de generado por todos los . El complemento del conjunto de hiperplanos es desconexo, y cada componente conexo se llama cámara de Weyl . Si hemos fijado un conjunto particular Δ de raíces simples, podemos definir la cámara de Weyl fundamental asociada a Δ como el conjunto de puntos tales que para todo . ${\displaystyle \Phi \subset V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle (\alpha ,v)>0}$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$

Como las reflexiones conservan , también conservan el conjunto de hiperplanos perpendiculares a las raíces. Por lo tanto, cada elemento del grupo de Weyl permuta las cámaras de Weyl. ${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

La figura ilustra el caso del sistema radicular A2. Los "hiperplanos" (en este caso, unidimensionales) ortogonales a las raíces se indican con líneas discontinuas. Los seis sectores de 60 grados son las cámaras de Weyl y la región sombreada es la cámara de Weyl fundamental asociada a la base indicada.

Un teorema general básico sobre las cámaras de Weyl es el siguiente: ^[2]

Teorema : El grupo de Weyl actúa libre y transitivamente sobre las cámaras de Weyl. Por lo tanto, el orden del grupo de Weyl es igual al número de cámaras de Weyl.

Un resultado relacionado es éste: ^[3]

Teorema : Fijemos una cámara de Weyl . Entonces, para todo , la órbita de Weyl de contiene exactamente un punto en el cierre de . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\bar {C}}}$ ${\displaystyle C}$

Estructura del grupo Coxeter

Grupo electrógeno

Un resultado clave sobre el grupo de Weyl es el siguiente: ^[4]

Teorema : Si es base para , entonces el grupo de Weyl se genera por las reflexiones con en . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Delta }$

Es decir, el grupo generado por las reflexiones es el mismo que el grupo generado por las reflexiones . ${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Delta ,}$ ${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$

Relaciones

Mientras tanto, si y están en , entonces el diagrama de Dynkin para en relación con la base nos dice algo sobre cómo se comporta el par. En concreto, supongamos que y son los vértices correspondientes en el diagrama de Dynkin. Entonces tenemos los siguientes resultados: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \{s_{\alpha },s_{\beta }\}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v'}$

• Si no hay ningún vínculo entre y , entonces y conmutan. Como y tienen cada uno orden dos, esto es equivalente a decir que . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle s_{\beta }}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle s_{\beta }}$ ${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{2}=1}$
• Si existe un enlace entre y , entonces . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{3}=1}$
• Si hay dos enlaces entre y , entonces . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{4}=1}$
• Si hay tres enlaces entre y , entonces . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{6}=1}$

La afirmación anterior no es difícil de verificar, si simplemente recordamos lo que nos dice el diagrama de Dynkin sobre el ángulo entre cada par de raíces. Si, por ejemplo, no hay enlace entre los dos vértices, entonces y son ortogonales, de lo que se sigue fácilmente que las reflexiones correspondientes conmutan. De manera más general, el número de enlaces determina el ángulo entre las raíces. El producto de las dos reflexiones es entonces una rotación por ángulo en el plano abarcado por y , como el lector puede verificar, de lo que se sigue fácilmente la afirmación anterior. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\theta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Como grupo de Coxeter

Los grupos de Weyl son ejemplos de grupos de reflexión finitos, ya que son generados por reflexiones; los grupos abstractos (no considerados como subgrupos de un grupo lineal) son en consecuencia grupos de Coxeter finitos , lo que permite clasificarlos por su diagrama de Coxeter-Dynkin . Ser un grupo de Coxeter significa que un grupo de Weyl tiene un tipo especial de presentación en el que cada generador x _i es de orden dos, y las relaciones distintas de x _i ² = 1 son de la forma ( x _i x _j ) ^{m _ij} = 1. Los generadores son las reflexiones dadas por raíces simples, y m _ij es 2, 3, 4 o 6 dependiendo de si las raíces i y j forman un ángulo de 90, 120, 135 o 150 grados, es decir, si en el diagrama de Dynkin están inconexas, conectadas por una arista simple, conectadas por una arista doble o conectadas por una arista triple. Ya hemos señalado estas relaciones en los puntos anteriores, pero al decir que es un grupo de Coxeter, estamos diciendo que esas son las únicas relaciones en . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

Los grupos de Weyl tienen un orden de Bruhat y una función de longitud en términos de esta presentación: la longitud de un elemento de un grupo de Weyl es la longitud de la palabra más corta que representa ese elemento en términos de estos generadores estándar. Existe un único elemento más largo de un grupo de Coxeter , que es opuesto a la identidad en el orden de Bruhat.

Grupos de Weyl en contextos algebraicos, de teoría de grupos y geométricos

Arriba, el grupo de Weyl fue definido como un subgrupo del grupo de isometría de un sistema de raíces. También hay varias definiciones de grupos de Weyl específicas para varios contextos geométricos y de teoría de grupos ( álgebra de Lie , grupo de Lie , espacio simétrico , etc.). Para cada una de estas formas de definir grupos de Weyl, es un teorema (usualmente no trivial) que es un grupo de Weyl en el sentido de la definición al principio de este artículo, es decir, el grupo de Weyl de algún sistema de raíces asociado con el objeto. Una realización concreta de tal grupo de Weyl usualmente depende de una elección – por ejemplo, de subálgebra de Cartan para un álgebra de Lie, de toro maximal para un grupo de Lie. ^[5]

El grupo de Weyl de un grupo de Lie compacto conexo

Sea un grupo de Lie compacto conexo y sea un toro maximalista en . Luego introducimos el normalizador de en , denotado y definido como ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N(T)}$

${\displaystyle N(T)=\{x\in K|xtx^{-1}\in T,\,{\text{for all }}t\in T\}}$.

También definimos el centralizador de en , denotado y definido como ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Z(T)}$

${\displaystyle Z(T)=\{x\in K|xtx^{-1}=t\,{\text{for all }}t\in T\}}$.

El grupo de Weyl de (relativo al toro máximo dado ) se define entonces inicialmente como ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle W=N(T)/T}$.

Finalmente, se demuestra que , ^[6] en cuyo punto se tiene una descripción alternativa del grupo de Weyl como ${\displaystyle Z(T)=T}$

${\displaystyle W=N(T)/Z(T)}$.

Ahora, se puede definir un sistema raíz asociado al par ; las raíces son los pesos no nulos de la acción adjunta de sobre el álgebra de Lie de . Para cada , se puede construir un elemento de cuya acción sobre tiene la forma de reflexión. ^[7] Con un poco más de esfuerzo, se puede demostrar que estas reflexiones generan todos los . ^[6] Por lo tanto, al final, el grupo de Weyl definido como o es isomorfo al grupo de Weyl del sistema raíz . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (K,T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle x_{\alpha }}$ ${\displaystyle N(T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle N(T)/Z(T)}$ ${\displaystyle N(T)/T}$ ${\displaystyle N(T)/Z(T)}$ ${\displaystyle \Phi }$

En otros entornos

Para un álgebra de Lie semisimple compleja, el grupo de Weyl se define simplemente como el grupo de reflexión generado por reflexiones en las raíces: la realización específica del sistema de raíces depende de una elección de subálgebra de Cartan .

Para un grupo de Lie G que satisface ciertas condiciones, ^{[nota 1]} dado un toro T < G (que no necesita ser máximo), el grupo de Weyl con respecto a ese toro se define como el cociente del normalizador del toro N = N ( T ) = N _G ( T ) por el centralizador del toro Z = Z ( T ) = Z _G ( T ),

${\displaystyle W(T,G):=N(T)/Z(T).\ }$

El grupo W es finito – Z es de índice finito en N . Si T = T ₀ es un toro maximal (por lo que es igual a su propio centralizador: ) entonces el cociente resultante N / Z = N / T se llama grupo de Weyl de G , y se denota W ( G ). Nótese que el conjunto de cocientes específico depende de una elección de toro maximal , pero los grupos resultantes son todos isomorfos (por un automorfismo interno de G ), ya que los toros maximal son conjugados. ${\displaystyle Z(T_{0})=T_{0}}$

Si G es compacto y conexo, y T es un toro maximalista , entonces el grupo de Weyl de G es isomorfo al grupo de Weyl de su álgebra de Lie, como se discutió anteriormente.

Por ejemplo, para el grupo lineal general GL, un toro maximal es el subgrupo D de matrices diagonales invertibles, cuyo normalizador son las matrices de permutación generalizadas (matrices en forma de matrices de permutación , pero con cualquier número distinto de cero en lugar de los '1'), y cuyo grupo de Weyl es el grupo simétrico . En este caso, la función cociente N → N / T se divide (a través de las matrices de permutación), por lo que el normalizador N es un producto semidirecto del toro y el grupo de Weyl, y el grupo de Weyl puede expresarse como un subgrupo de G . En general, este no siempre es el caso: el cociente no siempre se divide, el normalizador N no siempre es el producto semidirecto de W y Z, y el grupo de Weyl no siempre puede realizarse como un subgrupo de G. ^[5]

Descomposición de Bruhat

Si B es un subgrupo de Borel de G , es decir, un subgrupo resoluble conexo máximo y se elige un toro máximo T = T _{0 para que se encuentre en} B , entonces obtenemos la descomposición de Bruhat.

${\displaystyle G=\bigcup _{w\in W}BwB}$

lo que da lugar a la descomposición de la variedad bandera G / B en células de Schubert (ver Grassmanniano ).

La estructura del diagrama de Hasse del grupo está relacionada geométricamente con la cohomología de la variedad (o más bien, de las formas real y compleja del grupo), que está restringida por la dualidad de Poincaré . Por lo tanto, las propiedades algebraicas del grupo de Weyl corresponden a las propiedades topológicas generales de las variedades. Por ejemplo, la dualidad de Poincaré da un emparejamiento entre celdas en dimensión k y en dimensión n - k (donde n es la dimensión de una variedad): la celda de dimensión inferior (0) corresponde al elemento identidad del grupo de Weyl, y la celda dual de dimensión superior corresponde al elemento más largo de un grupo de Coxeter .

Analogía con grupos algebraicos

Existen varias analogías entre los grupos algebraicos y los grupos de Weyl: por ejemplo, el número de elementos del grupo simétrico es n !, y el número de elementos del grupo lineal general sobre un cuerpo finito está relacionado con el factorial q ; por lo tanto, el grupo simétrico se comporta como si fuera un grupo lineal sobre "el cuerpo con un elemento". Esto se formaliza mediante el cuerpo con un elemento , que considera a los grupos de Weyl como grupos algebraicos simples sobre el cuerpo con un elemento. ${\displaystyle [n]_{q}!}$

Cohomología

Para un grupo de Lie compacto conexo no abeliano G, la primera cohomología de grupo del grupo de Weyl W con coeficientes en el toro máximo T utilizado para definirlo, ^{[nota 2]} está relacionada con el grupo de automorfismo externo del normalizador como: ^[8] ${\displaystyle N=N_{G}(T),}$

${\displaystyle \operatorname {Out} (N)\cong H^{1}(W;T)\rtimes \operatorname {Out} (G).}$

Los automorfismos externos del grupo Out( G ) son esencialmente los automorfismos del diagrama del diagrama de Dynkin , mientras que la cohomología del grupo se calcula en Hämmerli, Matthey & Suter 2004 y es un 2-grupo abeliano elemental finito ( ); para grupos de Lie simples tiene orden 1, 2 o 4. La cohomología del grupo 0 y 2 también está estrechamente relacionada con el normalizador. ^[8] ${\displaystyle (\mathbf {Z} /2)^{k}}$

Véase también

• Grupo de Weyl afín
• Álgebra de Lie semisimple#Subálgebras y sistemas de raíces de Cartan
• Toro máximo
• Sistema de raíces de un álgebra de Lie semisimple
• Diagrama de Hasse

Notas al pie

Notas

1. Son suficientes distintas condiciones, la más sencilla es que G sea conexo y compacto o un grupo algebraico afín. La definición es más sencilla para un grupo de Lie semisimple (o más generalmente reductivo) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , pero se puede definir un grupo de Weyl relativo para un grupo de Lie dividido .
2. W actúa sobre T – así se define – y el grupo significa "con respecto a esta acción". ${\displaystyle H^{1}(W;T)}$

Citas

1. Humphreys 1992, pág. 6.
2. Hall 2015 Proposiciones 8.23 ​​y 8.27
3. Propuesta 8.29 del Salón 2015
4. Hall 2015 Proposiciones 8.24
5. Popov y Fedenko 2001
6. Hall 2015 Teorema 11.36
7. Hall 2015 Proposiciones 11.35
8. Hämmerli, Matthey y Suter 2004

Referencias

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6
• Hämmerli, J.-F.; Matthey, M.; Suter, U. (2004), "Automorfismos de normalizadores de toros máximos y primera cohomología de grupos de Weyl" (PDF) , Journal of Lie Theory , 14 , Heldermann Verlag: 583–617, Zbl  1092.22004
• Humphreys, James E. (1992) [1990], Grupos de reflexión y grupos de Coxeter, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 29, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43613-7, Zbl  0725.20028
• Popov, VL ; Fedenko, AS (2001) [1994], "Grupo de Weyl", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Lectura adicional

• Bourbaki, Nicolas (2002), Grupos de Lie y álgebras de Lie: capítulos 4-6, Elementos de matemáticas, Springer, ISBN 978-3-540-42650-9, Zbl0983.17001 ​
• Björner, Anders ; Brenti, Francesco (2005), Combinatoria de grupos de Coxeter, Textos de posgrado en matemáticas , vol. 231, Springer, ISBN 978-3-540-27596-1, Zbl1110.05001 ​
• Coxeter, HSM (1934), "Grupos discretos generados por reflexiones", Ann. of Math. , 35 (3): 588–621, CiteSeerX  10.1.1.128.471 , doi :10.2307/1968753, JSTOR  1968753
• Coxeter, HSM (1935), "La enumeración completa de grupos finitos de la forma ", J. London Math. Soc. , 1, 10 (1): 21–25, doi :10.1112/jlms/s1-10.37.21 ${\displaystyle r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1}$
• Davis, Michael W. (2007), La geometría y topología de los grupos de Coxeter (PDF) , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl1142.20020 ​
• Grove, Larry C.; Benson, Clark T. (1985), Grupos de reflexión finitos, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 99, Springer, ISBN 978-0-387-96082-1
• Hiller, Howard (1982), Geometría de los grupos de Coxeter, Notas de investigación en matemáticas, vol. 54, Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1, Zbl  0483.57002
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• Kane, Richard (2001), Grupos de reflexión y teoría invariante, CMS Books in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2, Zbl  0986.20038
• Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de Lie: más allá de una introducción , Progress in Mathematics, vol. 140 (2.ª ed.), Birkhaeuser, ISBN 978-0-8176-4259-4
• Vinberg, EB (1984), "Ausencia de grupos cristalográficos de reflexiones en espacios de Lobachevski de gran dimensión", Trudy Moskov. Mat. Obshch. , 47
• Yokonuma, Takeo (1965), "Sobre los grupos de segunda cohomología (multiplicadores de Schur) de grupos de reflexión discretos infinitos", J. Fac. Sci. Univ. Tokio, Sect. 1 , 11 : 173–186, hdl :2261/6049, Zbl  0136.28803

Enlaces externos

• "Grupo de Coxeter", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Grupo de Coxeter". MathWorld .
• Software de Jenn para visualizar los gráficos de Cayley de grupos de Coxeter finitos en hasta cuatro generadores