cuadrado mágico

Equal row, column and diagonal totals

El caso no trivial más pequeño (y único hasta la rotación y la reflexión) de un cuadrado mágico, orden 3

En matemáticas , especialmente en matemáticas históricas y recreativas , una matriz cuadrada de números, generalmente enteros positivos , se denomina cuadrado mágico si las sumas de los números de cada fila, cada columna y ambas diagonales principales son iguales. ^{[1] [2]} El "orden" del cuadrado mágico es el número de números enteros a lo largo de un lado ( n ), y la suma constante se llama " constante mágica ". Si la matriz incluye sólo los números enteros positivos , se dice que el cuadrado mágico es "normal". Algunos autores entienden que "cuadrado mágico" significa "cuadrado mágico normal". ^[3] ${\displaystyle 1,2,...,n^{2}}$

Los cuadrados mágicos que incluyen entradas repetidas no entran en esta definición y se denominan "triviales". Algunos ejemplos muy conocidos, como el cuadrado mágico de la Sagrada Familia y la plaza Parker, son triviales en este sentido. Cuando todas las filas y columnas, pero no ambas diagonales, suman la constante mágica, se obtiene un cuadrado semimágico (a veces llamado cuadrado ortomágico ).

El estudio matemático de un cuadrado mágico normalmente se ocupa de su construcción, clasificación y enumeración. Aunque no existen métodos completamente generales para producir todos los cuadrados mágicos de todos los órdenes, históricamente se han descubierto tres técnicas generales: mediante el método de borde, haciendo cuadrados mágicos compuestos y añadiendo dos cuadrados preliminares. También existen estrategias más específicas como el método de enumeración continua que reproduce patrones específicos. Los cuadrados mágicos generalmente se clasifican según su orden n como: impar si n es impar, par par (también conocido como "doblemente par") si n es múltiplo de 4, imparmente par (también conocido como "simplemente par") si n es cualquier otro número par. Esta clasificación se basa en diferentes técnicas necesarias para construir cuadrados impares, pares e impares. Además, dependiendo de otras propiedades, los cuadrados mágicos también se clasifican en cuadrados mágicos asociativos , cuadrados mágicos pandiagonales , cuadrados mágicos más perfectos , etc. Más desafiante aún, también se ha intentado clasificar todos los cuadrados mágicos de un orden dado como transformaciones de un conjunto más pequeño de cuadrados. Excepto para n ≤ 5, la enumeración de cuadrados mágicos de orden superior sigue siendo un desafío abierto. La enumeración de los cuadrados mágicos más perfectos de cualquier orden no se logró hasta finales del siglo XX.

Los cuadrados mágicos tienen una larga historia, que se remonta al menos al año 190 a. C. en China. En diversas épocas han adquirido un significado oculto o mítico y han aparecido como símbolos en obras de arte. En los tiempos modernos, se han generalizado de varias maneras, incluido el uso de restricciones adicionales o diferentes, la multiplicación en lugar de sumar celdas, el uso de formas alternativas o más de dos dimensiones y la sustitución de números con formas y la suma con operaciones geométricas.

Melencolia I ( Albrecht Dürer , 1514) incluye un cuadrado de orden 4 con suma mágica 34

Historia

Placa de hierro con un cuadrado mágico de orden 6 en números arábigos orientales de China, que data de la dinastía Yuan (1271-1368).

Los matemáticos chinos conocían el cuadrado mágico de tercer orden ya en el año 190 a. C. y lo dieron explícitamente en el primer siglo de la era común. El primer caso datable del cuadrado mágico de cuarto orden ocurrió en el año 587 d.C. en la India. Ejemplos de cuadrados mágicos de orden 3 a 9 aparecen en una enciclopedia de Bagdad c.  983 , la Enciclopedia de los Hermanos de la Pureza ( Rasa'il Ikhwan al-Safa ). A finales del siglo XII, los métodos generales para construir cuadrados mágicos estaban bien establecidos. Alrededor de esta época, algunos de estos cuadrados se utilizaban cada vez más junto con letras mágicas, como en Shams Al-ma'arif , con fines ocultos. ^[4] En la India, Narayana enumeró todos los cuadrados mágicos pandiagonales de cuarto orden en 1356. Los cuadrados mágicos se dieron a conocer en Europa mediante la traducción de fuentes árabes como objetos ocultos durante el Renacimiento, y la teoría general tuvo que ser redescubierta. independiente de acontecimientos previos en China, India y Medio Oriente. También son notables las culturas antiguas con tradición matemática y numerológica que no descubrieron los cuadrados mágicos: griegos, babilonios, egipcios y americanos precolombinos.

Chino

Una página que muestra un cuadrado mágico de 9 × 9 del Suanfa tongzong (1593) de Cheng Dawei .

Si bien en el I Ching aparecen referencias antiguas al patrón de números pares e impares en el cuadrado mágico de 3 × 3 , el primer ejemplo inequívoco de este cuadrado mágico aparece en el capítulo llamado Mingtang (Salón Brillante) de un libro del siglo I, Da Dai. Liji (Registro de ritos del anciano Dai), que pretendía describir los antiguos ritos chinos de la dinastía Zhou. ^{[5] [6] [7] [8]} Estos números también aparecen en un texto matemático posiblemente anterior llamado Shushu jiyi (Memoria sobre algunas tradiciones del arte matemático), que se dice que fue escrito en 190 a. Esta es la primera aparición registrada de un cuadrado mágico; y se utilizó principalmente para la adivinación y la astrología. ^[5] Los matemáticos chinos anteriores se referían al cuadrado mágico de 3 × 3 como las "Nueve Salas". ^[7] La ​​identificación del cuadrado mágico de 3 × 3 en la legendaria carta de Luoshu no se hizo hasta el siglo XII, después de lo cual se lo denominó cuadrado de Luoshu. ^{[5] [7]} El tratado chino más antiguo que se conserva y que muestra cuadrados mágicos de orden mayor que 3 es Xugu zheqi suanfa (Continuación de métodos matemáticos antiguos para dilucidar lo extraño) de Yang Hui , escrito en 1275. ^{[5] [7]} El contenido del tratado de Yang Hui se recopiló de obras más antiguas, tanto nativas como extranjeras; y sólo explica la construcción de cuadrados mágicos de tercer y cuarto orden, mientras simplemente pasa los diagramas terminados de cuadrados más grandes. ^[7] Da un cuadrado mágico de orden 3, dos cuadrados para cada orden de 4 a 8, uno de orden nueve y un cuadrado semimágico de orden 10. También da seis círculos mágicos de diversa complejidad. ^[9]

Los cuadrados mágicos anteriores de orden 3 a 9 están tomados del tratado de Yang Hui, en el que el principio de Luo Shu es claramente evidente. ^{[7] [8]} El cuadrado de orden 5 es un cuadrado mágico bordeado, con un cuadrado central de 3 × 3 formado según el principio de Luo Shu. El cuadrado de orden 9 es un cuadrado mágico compuesto, en el que los nueve subcuadrados de 3×3 también son mágicos. ^[7] Después de Yang Hui, los cuadrados mágicos aparecen con frecuencia en las matemáticas chinas, como en Dayan suoyin de Ding Yidong ( c.  1300 ), Suanfa tongzong de Cheng Dawei (1593), Shuduyan de Fang Zhongtong (1661), que contiene círculos mágicos, cubos y esferas, Xinzhai zazu de Zhang Chao ( c.  1650 ), que publicó el primer cuadrado mágico de orden diez de China, y por último Binaishanfang ji de Bao Qishou ( c.  1880 ), que dio varias configuraciones mágicas tridimensionales. ^{[5] [8]} Sin embargo, a pesar de ser el primero en descubrir los cuadrados mágicos y tener una ventaja de varios siglos, el desarrollo chino de los cuadrados mágicos es muy inferior en comparación con los desarrollos de India, Medio Oriente o Europa. El punto culminante de las matemáticas chinas que trata de los cuadrados mágicos parece estar contenido en la obra de Yang Hui; pero incluso como una colección de métodos más antiguos, este trabajo es mucho más primitivo, ya que carece de métodos generales para construir cuadrados mágicos de cualquier orden, en comparación con una colección similar escrita aproximadamente en la misma época por el erudito bizantino Manuel Moschopoulos . ^[7] Esto posiblemente se deba al cautivamiento de los eruditos chinos con el principio de Lo Shu, que intentaron adaptar para resolver cuadrados superiores; y después de Yang Hui y la caída de la dinastía Yuan , su purga sistemática de las influencias extranjeras en las matemáticas chinas. ^[7]

Japón

Japón y China tienen tradiciones matemáticas similares y se han influenciado mutuamente repetidamente en la historia de los cuadrados mágicos. ^{[10] El interés japonés por los cuadrados mágicos comenzó después de la difusión de obras chinas (} Suanfa de Yang Hui y Suanfa tongzong de Cheng Dawei ) en el siglo XVII y, como resultado, casi todos los wasans dedicaron su tiempo a su estudio.

En la edición de 1660 de Ketsugi-sho , Isomura Kittoku proporcionó cuadrados mágicos con bordes ordenados pares e impares, así como círculos mágicos; mientras que la edición de 1684 del mismo libro contenía una gran sección sobre cuadrados mágicos, lo que demuestra que tenía un método general para construir cuadrados mágicos bordeados. ^[11] En Jinko-ki (1665) de Muramatsu Kudayu Mosei, se muestran tanto cuadrados mágicos como círculos mágicos. El cuadrado más grande que construye Mosei es de orden 19. Nozawa Teicho también publicó varios cuadrados y círculos mágicos en Dokai-sho (1666), Sato Seiko en Kongenki (1666) y Hosino Sanenobu en Ko-ko-gen Sho (1673). ^[12] Uno de los Siete Libros de Seki Takakazu ( Hojin Yensan ) (1683) está dedicado completamente a los cuadrados y círculos mágicos. Este es el primer libro japonés que ofrece un tratamiento general de los cuadrados mágicos en el que se describen claramente los algoritmos para construir cuadrados mágicos con bordes impares, pares simples y pares dobles. ^[13] En 1694 y 1695, Yueki Ando dio diferentes métodos para crear los cuadrados mágicos y mostró cuadrados de orden 3 a 30. Yoshizane Tanaka (1651-1719) construyó un cubo mágico de cuarto orden en Rakusho-kikan (1683). . El estudio de los cuadrados mágicos fue continuado por los alumnos de Seki, en particular por Katahiro Takebe, cuyos cuadrados fueron mostrados en el cuarto volumen de Ichigen Kappo por Shukei Irie, Yoshisuke Matsunaga en Hojin-Shin-jutsu , Yoshihiro Kurushima en Kyushi Iko , quien redescubrió un método para producir los cuadrados impares dados por Agrippa, ^[14] y Naonobu Ajima . ^{[15] [16]} Así, a principios del siglo XVIII, los matemáticos japoneses poseían métodos para construir cuadrados mágicos de orden arbitrario. Después de esto, Nushizumi Yamaji inició los intentos de enumerar los cuadrados mágicos. ^[dieciséis]

India

El cuadrado mágico de 3×3 en diferentes orientaciones formando un cuadrado mágico no normal de 6×6, de un manuscrito indio no identificado del siglo XIX.

El cuadrado mágico de 3×3 aparece por primera vez en la India en Gargasamhita de Garga, quien recomienda su uso para pacificar los nueve planetas ( navagraha ). La versión más antigua de este texto data del año 100 d.C., pero el pasaje sobre los planetas no pudo haberse escrito antes del 400 d.C. El primer ejemplo fechable de un cuadrado mágico de 3 × 3 en la India se produce en un texto médico Siddhayog ( c.  900 d. C. ) de Vrnda, que se recetaba a las mujeres en trabajo de parto para facilitar el parto. ^[17]

El cuadrado mágico de cuarto orden fechable más antiguo del mundo se encuentra en una obra enciclopédica escrita por Varahamihira alrededor del año 587 d.C. llamada Brhat Samhita . El cuadrado mágico está construido con el propósito de hacer perfumes usando 4 sustancias seleccionadas entre 16 sustancias diferentes. Cada celda del cuadrado representa un ingrediente particular, mientras que el número en la celda representa la proporción del ingrediente asociado, de modo que la mezcla de cuatro combinaciones cualesquiera de ingredientes a lo largo de las columnas, filas, diagonales, etc., da el volumen total. de la mezcla es 18. Aunque el libro trata principalmente sobre adivinación, el cuadrado mágico se da como una cuestión de diseño combinatorio y no se le atribuyen propiedades mágicas. Las características especiales de este cuadrado mágico fueron comentadas por Bhattotpala ( c.  966 d.C. ) ^{[18] [17]}

El cuadrado de Varahamihira como se indicó anteriormente tiene una suma de 18. Aquí los números del 1 al 8 aparecen dos veces en el cuadrado. Es un cuadrado mágico pan-diagonal . Se pueden obtener cuatro cuadrados mágicos diferentes sumando 8 a uno de los dos conjuntos de secuencias del 1 al 8. La secuencia se selecciona de manera que el número 8 se sume exactamente dos veces en cada fila, cada columna y cada una de las diagonales principales. Uno de los posibles cuadrados mágicos que se muestran en el lado derecho. Este cuadrado mágico es notable porque es una rotación de 90 grados de un cuadrado mágico que aparece en el mundo islámico del siglo XIII como uno de los cuadrados mágicos más populares. ^[19]

La construcción del cuadrado mágico de cuarto orden se detalla en una obra titulada Kaksaputa , compuesta por el alquimista Nagarjuna alrededor del siglo X d.C. Todos los cuadrados dados por Nagarjuna son cuadrados mágicos de 4 × 4, y uno de ellos se llama Nagarjuniya en su honor. Nagarjuna dio un método para construir un cuadrado mágico de 4 × 4 utilizando un cuadrado esqueleto primario, dada una suma mágica par o impar. ^[18] El cuadrado de Nagarjuniya se muestra a continuación y tiene una suma total de 100.

La plaza Nagarjuniya es un cuadrado mágico pandiagonal . El cuadrado de Nagarjuniya se compone de dos progresiones aritméticas que comienzan en 6 y 16 con ocho términos cada una, con una diferencia común entre los términos sucesivos como 4. Cuando estas dos progresiones se reducen a la progresión normal de 1 a 8, se obtiene el cuadrado adyacente. .

Alrededor del siglo XII, se inscribió un cuadrado mágico de 4 × 4 en la pared del templo Parshvanath en Khajuraho , India. Varios himnos jainistas enseñan cómo hacer cuadrados mágicos, aunque no se pueden fechar. ^[17]

Hasta donde se sabe, el primer estudio sistemático de los cuadrados mágicos en la India fue realizado por Thakkar Pheru , un erudito jainista, en su Ganitasara Kaumudi (c. 1315). Esta obra contiene una pequeña sección sobre cuadrados mágicos que consta de nueve versos. Aquí da un cuadrado de orden cuatro y alude a su reordenamiento; clasifica los cuadrados mágicos en tres (impar, par e impar) según su orden; da un cuadrado de orden seis; y prescribe un método para construir cuadrados pares e impares. Para los cuadrados pares, Pheru divide el cuadrado en cuadrados componentes de orden cuatro y coloca los números en celdas de acuerdo con el patrón de un cuadrado estándar de orden cuatro. Para casillas impares, Pheru proporciona el método mediante el movimiento del caballo o el movimiento del caballo . Aunque algorítmicamente diferente, da el mismo cuadrado que el método de De la Loubere. ^[17]

El siguiente trabajo exhaustivo sobre cuadrados mágicos fue retomado por Narayana Pandit , quien en el capítulo catorce de su Ganita Kaumudi (1356) ofrece métodos generales para su construcción, junto con los principios que gobiernan tales construcciones. Consta de 55 versos de reglas y 17 versos de ejemplos. Narayana ofrece un método para construir todos los cuadrados panmágicos de cuarto orden utilizando el movimiento del caballo; enumera el número de cuadrados mágicos pan-diagonales de orden cuatro, 384, incluyendo todas las variaciones realizadas por rotación y reflexión; tres métodos generales para cuadrados de cualquier orden y suma constante cuando se conoce un cuadrado estándar del mismo orden; dos métodos cada uno para construir pares pares, pares impares y cuadrados cuando se da la suma. Si bien Narayana describe un método más antiguo para cada especie de cuadrado, afirma que el método de superposición para cuadrados pares e impares y un método de intercambio para cuadrados pares impares son de su propia invención. Posteriormente , De la Hire redescubrió el método de superposición en Europa. En la última sección, concibe otras figuras, como círculos, rectángulos y hexágonos, en las que los números pueden disponerse para poseer propiedades similares a las de los cuadrados mágicos. ^{[18] [17]} A continuación se muestran algunos de los cuadrados mágicos construidos por Narayana: ^[18]

El cuadrado de orden 8 es interesante en sí mismo ya que es un ejemplo del cuadrado mágico más perfecto. Por cierto, Narayana afirma que el propósito de estudiar los cuadrados mágicos es construir yantra , destruir el ego de los malos matemáticos y para el placer de los buenos matemáticos. El tema de los cuadrados mágicos se conoce como bhadraganita y Narayana afirma que fue enseñado por primera vez a los hombres por el dios Shiva . ^[17]

Medio Oriente, Norte de África, Iberia musulmana

Un cuadrado mágico de 6×6 del Libro de las Maravillas (del manuscrito del siglo XVI).

Aunque se desconoce la historia temprana de los cuadrados mágicos en Persia y Arabia, se ha sugerido que se conocían en la época preislámica. ^[20] Está claro, sin embargo, que el estudio de los cuadrados mágicos era común en el Islam medieval , y se pensaba que había comenzado después de la introducción del ajedrez en la región. ^{[21] [22]} [ ^23] La primera aparición fechable de un cuadrado mágico de orden 3 ocurre en Kitab al-mawazin al-Saghir (El pequeño libro de Balanzas) donde el cuadrado mágico y su numerología relacionada se asocia con la alquimia. ^[8] Si bien se sabe que los tratados sobre cuadrados mágicos se escribieron en el siglo IX, los primeros tratados existentes datan del siglo X: uno de Abu'l-Wafa al-Buzjani ( c.  998 ) y otro de Ali b . Ahmad al-Antaki ( c.  987 ). ^{[22] [24] [25]} Estos primeros tratados eran puramente matemáticos, y la designación árabe para los cuadrados mágicos utilizados es wafq al-a'dad , que se traduce como disposición armoniosa de los números . ^[23] A finales del siglo X, los dos tratados de Buzjani y Antaki dejan claro que los matemáticos de Oriente Medio habían entendido cómo construir cuadrados bordeados de cualquier orden, así como cuadrados mágicos simples de órdenes pequeños ( n ≤ 6) que Se utilizaron para hacer cuadrados mágicos compuestos. ^{[22] [24]} Un espécimen de cuadrados mágicos de órdenes 3 a 9 ideados por matemáticos del Medio Oriente aparece en una enciclopedia de Bagdad c.  983 , el Rasa'il Ikhwan al-Safa (la Enciclopedia de los Hermanos de la Pureza ). ^[26] Los cuadrados de orden 3 a 7 de Rasa'il se dan a continuación: ^[26]

En el siglo XI se descubrieron varias formas de construir cuadrados mágicos simples para órdenes pares e impares; El caso más difícil del caso par impar ( n = 4k + 2 ) fue resuelto por Ibn al-Haytham con k par (c. 1040), y completamente a principios del siglo XII, si no ya en la segunda mitad del siglo XII. Siglo 11. ^[22] Casi al mismo tiempo, se estaban construyendo plazas pandiagonales. Los tratados sobre cuadrados mágicos fueron numerosos en los siglos XI y XII. Estos desarrollos posteriores tendieron a ser mejoras o simplificaciones de los métodos existentes. A partir del siglo XIII, los cuadrados mágicos se utilizaron cada vez más con fines ocultos. ^[22] Sin embargo, muchos de estos textos posteriores escritos con fines ocultos simplemente representan ciertos cuadrados mágicos y mencionan sus atributos, sin describir su principio de construcción, y solo algunos autores mantienen viva la teoría general. ^[22] Uno de esos ocultistas fue el argelino Ahmad al-Buni (c. 1225), quien dio métodos generales para construir cuadrados mágicos bordeados; algunos otros fueron el Shabramallisi egipcio del siglo XVII y el al-Kishnawi nigeriano del siglo XVIII. ^[27]

El cuadrado mágico de orden tres fue descrito como un amuleto para tener hijos ^{[28] [29]} desde sus primeras apariciones literarias en las obras alquímicas de Jābir ibn Hayyān (fl. c. 721 – c. 815) ^{[29] [30]} y al-Ghazālī (1058-1111) ^[31] y se conservó en la tradición de las tablas planetarias. La primera aparición de la asociación de siete cuadrados mágicos con las virtudes de los siete cuerpos celestes aparece en el Kitāb tadbīrāt al-kawākib ( Libro sobre las influencias de los Planetas ). ^[32] Un siglo más tarde, el erudito argelino Ahmad al-Buni atribuyó propiedades místicas a los cuadrados mágicos en su muy influyente libro Shams al-Ma'arif ( El libro del sol de la gnosis y las sutilezas de las cosas elevadas ), que también describe su construcción. Esta tradición sobre una serie de cuadrados mágicos del orden tres al nueve, que están asociados con los siete planetas, sobrevive en versiones griega, árabe y latina. ^[33] También hay referencias al uso de cuadrados mágicos en cálculos astrológicos, una práctica que parece haberse originado entre los árabes. ^{[34] [35]}

Europa latina

Esta página del Oedipus Aegyptiacus (1653) de Athanasius Kircher pertenece a un tratado sobre cuadrados mágicos y muestra el Sigillum Iovis asociado con Júpiter.

A diferencia de Persia y Arabia, existe mejor documentación sobre cómo se transmitieron los cuadrados mágicos a Europa. Alrededor de 1315, influenciado por fuentes árabes, el erudito bizantino griego Manuel Moschopoulos escribió un tratado matemático sobre el tema de los cuadrados mágicos, dejando de lado el misticismo de sus predecesores del Medio Oriente, donde dio dos métodos para cuadrados impares y dos métodos para cuadrados pares. . Moschopoulos fue esencialmente desconocido en la Europa latina hasta finales del siglo XVII, cuando Philippe de la Hire redescubrió su tratado en la Biblioteca Real de París. ^[36] Sin embargo, no fue el primer europeo que escribió sobre cuadrados mágicos; y los cuadrados mágicos se difundieron al resto de Europa a través de España e Italia como objetos ocultistas. Los primeros tratados ocultistas que mostraban los cuadrados no describían cómo fueron construidos. Por tanto, fue necesario redescubrir toda la teoría.

Los cuadrados mágicos aparecieron por primera vez en Europa en Kitāb tadbīrāt al-kawākib ( Libro sobre las influencias de los planetas ) escrito por Ibn Zarkali de Toledo, Al-Andalus, como cuadrados planetarios en el siglo XI. ^[32] El cuadrado mágico de tres fue discutido en forma numerológica a principios del siglo XII por el erudito judío Abraham ibn Ezra de Toledo, lo que influyó en los cabalistas posteriores. ^[37] La ​​obra de Ibn Zarkali fue traducida como Libro de Astromagia en la década de 1280, ^[38] debido a Alfonso X de Castilla. ^{[39] [32]} En el texto alfonsí, se asignan cuadrados mágicos de diferentes órdenes a los respectivos planetas, como en la literatura islámica; desafortunadamente, de todos los cuadrados discutidos, el cuadrado mágico de Marte de orden cinco es el único cuadrado exhibido en el manuscrito. ^{[40] [32]}

Los cuadrados mágicos vuelven a surgir en Florencia, Italia, en el siglo XIV. Un cuadrado de 6×6 y otro de 9×9 se exhiben en un manuscrito del Trattato d'Abbaco (Tratado del Ábaco) de Paolo Dagomari . ^{[41] [42]} Es interesante observar que Paolo Dagomari, como Pacioli después de él, se refiere a los cuadrados como una base útil para inventar preguntas y juegos matemáticos, y no menciona ningún uso mágico. Por cierto, también los llama cuadrados del Sol y de la Luna, respectivamente, y menciona que entran en cálculos astrológicos que no están mejor especificados. Como ya hemos dicho, el mismo punto de vista parece motivar al compañero florentino Luca Pacioli , que describe cuadrados de 3×3 a 9×9 en su obra De Viribus Quantitatis de finales del siglo XV. ^{[43] [44]}

Europa después del siglo XV.

Una página de Du Royaume de Siam (1691) de Simon de la Loubère que muestra el método indio para construir un cuadrado mágico impar.

Las cuadraturas planetarias se habían diseminado por el norte de Europa a finales del siglo XV. Por ejemplo, el manuscrito de Cracovia de Picatrix de Polonia muestra cuadrados mágicos de órdenes 3 a 9. El mismo conjunto de cuadrados que en el manuscrito de Cracovia aparece más tarde en los escritos de Paracelso en Archidoxa Magica (1567), aunque en forma muy confusa. En 1514 Alberto Durero inmortalizó un cuadrado de 4×4 en su famoso grabado Melencolia I. El contemporáneo de Paracelso, Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim, publicó su famoso libro de tres volúmenes De occulta philosophia en 1531, donde dedicó el capítulo 22 del Libro II a los cuadrados planetarios que se muestran a continuación. ^[37] El mismo conjunto de cuadrados dado por Agripa reaparece en 1539 en Practica Arithmetice de Girolamo Cardano , donde explica la construcción de los cuadrados impares ordenados utilizando el "método del diamante", que luego fue reproducido por Bachet. ^[45] La tradición de las cuadraturas planetarias fue continuada hasta el siglo XVII por Athanasius Kircher en Oedipi Aegyptici (1653). En Alemania, los tratados matemáticos sobre cuadrados mágicos fueron escritos en 1544 por Michael Stifel en Arithmetica Integra , quien redescubrió los cuadrados bordeados, y Adam Riese , quien redescubrió el método de numeración continua para construir cuadrados impares ordenados publicado por Agripa. Sin embargo, debido a las convulsiones religiosas de aquella época, estas obras eran desconocidas para el resto de Europa. ^[37]

En 1624, en Francia, Claude Gaspard Bachet describió el "método del diamante" para construir los cuadrados impares ordenados de Agripa en su libro Problèmes Plaisants . Durante 1640, Bernard Frenicle de Bessy y Pierre Fermat intercambiaron cartas sobre cuadrados y cubos mágicos, y en una de las cartas, Fermat se jacta de poder construir 1.004.144.995.344 cuadrados mágicos de orden 8 con su método. ^[45] Antoine Arnauld dio un relato temprano sobre la construcción de plazas bordeadas en sus Nouveaux éléments de géométrie (1667). ^[46] En los dos tratados Des quarrez ou table magiques y Table générale des quarrez magiques de quatre de côté , publicados póstumamente en 1693, veinte años después de su muerte, Bernard Frenicle de Bessy demostró que había exactamente 880 cuadrados mágicos distintos de orden cuatro. . Frenicle dio métodos para construir cuadrados mágicos de cualquier orden par e impar, donde los cuadrados pares ordenados se construyeron usando bordes. También demostró que el intercambio de filas y columnas de un cuadrado mágico producía nuevos cuadrados mágicos. ^[45] En 1691, Simon de la Loubère describió el método continuo indio para construir cuadrados mágicos ordenados impares en su libro Du Royaume de Siam , que había aprendido mientras regresaba de una misión diplomática a Siam, que era más rápido que el método de Bachet. En un intento de explicar su funcionamiento, de la Loubere utilizó los números primarios y los números raíz, y redescubrió el método de sumar dos cuadrados preliminares. Este método fue investigado más a fondo por Abbe Poignard en Traité des quarrés sublimes (1704), por Philippe de La Hire en Mémoires de l'Académie des Sciences for the Royal Academy (1705) y por Joseph Sauveur en Construction des quarrés magiques (1710). . De la Hire también estudió los cuadrados concéntricos con bordes en 1705, mientras que Sauveur introdujo los cubos mágicos y los cuadrados con letras, que fue retomado más tarde por Euler en 1776, a quien a menudo se le atribuye su creación. En 1750, d'Ons-le-Bray redescubrió el método de construir cuadrados doblemente pares y simplemente pares utilizando la técnica del borde; mientras que en 1767 Benjamín Franklin publicó un cuadrado semimágico que tenía las propiedades del cuadrado epónimo de Franklin. ^[47] Para entonces, el misticismo anterior asociado a los cuadrados mágicos había desaparecido por completo y el tema se trató como parte de las matemáticas recreativas. ^{[37] [48]}

En el siglo XIX, Bernard Violle dio un tratamiento integral de los cuadrados mágicos en sus tres volúmenes Traité complet des carrés magiques (1837-1838), que también describió cubos mágicos, paralelogramos, paralelepípedos y círculos. Los cuadrados pandiagonales fueron estudiados extensamente por Andrew Hollingworth Frost, quien los aprendió mientras estaba en la ciudad de Nasik, India (llamándolos así cuadrados de Nasik) en una serie de artículos: En el camino del caballero (1877), Sobre las propiedades generales de los cuadrados de Nasik. (1878), Sobre las propiedades generales de los cubos Nasik (1878), Sobre la construcción de cuadrados Nasik de cualquier orden (1896). Demostró que es imposible tener cuadrados mágicos pandiagonales pares pares normales. Frederick AP Barnard construyó cuadrados mágicos con incrustaciones y otras figuras mágicas tridimensionales como esferas mágicas y cilindros mágicos en Teoría de los cuadrados mágicos y de los cubos mágicos (1888). ^[48] ​​En 1897, Emroy McClintock publicó Sobre la forma más perfecta de cuadrados mágicos , acuñando las palabras cuadrado pandiagonal y cuadrado más perfecto , que anteriormente se habían denominado perfecto, diabólico o Nasik.

Algunos cuadrados mágicos famosos

Lo Shu de "Los fenómenos astronómicos" ( Tien Yuan Fa Wei ). Compilado por Bao Yunlong en el siglo XIII, publicado durante la dinastía Ming , 1457-1463.

Cuadrado mágico de Luo Shu

Leyendas que datan del año 650 a. C. cuentan la historia del Lo Shu (洛書) o "rollo del río Lo". ^[8] Según la leyenda, hubo una vez en la antigua China una gran inundación. Mientras el gran rey Yu intentaba canalizar el agua mar adentro, de ella emergió una tortuga con un curioso patrón en su caparazón: una cuadrícula de 3×3 en la que se disponían puntos circulares de números, de modo que la suma de los números en cada fila, columna y diagonal era igual: 15. Según la leyenda, a partir de entonces la gente pudo usar este patrón de cierta manera para controlar el río y protegerse de las inundaciones [necesita citar]. El cuadrado Lo Shu , como se llama el cuadrado mágico en el caparazón de la tortuga, es el único cuadrado mágico normal de orden tres en el que 1 está en la parte inferior y 2 en la esquina superior derecha. Cada cuadrado mágico normal de orden tres se obtiene del Lo Shu por rotación o reflexión.

Plaza mágica en el templo de Parshavnath

Plaza Mágica en el templo Parshvanatha , en Khajuraho , India

Hay un conocido cuadrado mágico normal de 4 × 4 del siglo XII inscrito en la pared del templo Parshvanath en Khajuraho , India. ^{[18] [17] [49]}

Esto se conoce como Chautisa Yantra ( Chautisa , 34; Yantra , literalmente "dispositivo"), ya que su suma mágica es 34. Es uno de los tres cuadrados mágicos pandiagonales de 4 × 4 y también es un ejemplo del más perfecto. cuadrado mágico . El estudio de este cuadrado llevó a la apreciación de los cuadrados pandiagonales por parte de los matemáticos europeos a finales del siglo XIX. Los cuadrados pandiagonales se conocían como cuadrados Nasik o cuadrados jainistas en la literatura inglesa más antigua.

El cuadrado mágico de Alberto Durero

Detalle de Melencolia I

Se cree que el cuadrado mágico normal del orden cuatro que Alberto Durero inmortalizó en su grabado Melencolia I de 1514 , mencionado anteriormente, es el primero que se ve en el arte europeo. El cuadrado asociado a Júpiter aparece como un talismán utilizado para ahuyentar la melancolía. Es muy similar a la plaza de Yang Hui , que se creó en China unos 250 años antes de la época de Durero. Como ocurre con todo cuadrado mágico normal de orden 4, la suma mágica es 34. Pero en el cuadrado de Durero esta suma también se encuentra en cada uno de los cuadrantes, en los cuatro cuadrados centrales y en los cuadrados de las esquinas (también del 4×4). ya que los cuatro contenían cuadrículas de 3×3). Esta suma también se puede encontrar en los cuatro números exteriores en el sentido de las agujas del reloj desde las esquinas (3+8+14+9) y también en los cuatro en el sentido contrario a las agujas del reloj (las ubicaciones de las cuatro reinas en las dos soluciones del rompecabezas de las 4 reinas ^[50] ). , los dos conjuntos de cuatro números simétricos (2+8+9+15 y 3+5+12+14), la suma de las dos entradas del medio de las dos columnas y filas exteriores (5+9+8+12 y 3 +2+15+14), y en cuatro cuartetos en forma de cometa o cruz (3+5+11+15, 2+10+8+14, 3+9+7+15 y 2+6+12+14) . Los dos números en el centro de la fila inferior indican la fecha del grabado: 1514. Se ha especulado que los números 4,1 que bordean la fecha de publicación corresponden a las iniciales de Durero D,A. Pero si esa hubiera sido su intención, podría haber invertido el orden de las columnas 1 y 4 para lograr "A1514D" sin comprometer las propiedades del cuadrado.

El cuadrado mágico de Durero también se puede ampliar a un cubo mágico. ^[51]

Plaza mágica de la Sagrada Familia

Un cuadrado mágico en la fachada de la iglesia de la Sagrada Familia

La fachada de la Pasión de la iglesia de la Sagrada Familia de Barcelona , ​​conceptualizada por Antoni Gaudí y diseñada por el escultor Josep Subirachs , presenta un cuadrado mágico trivial de orden 4: La constante mágica del cuadrado es 33, la edad de Jesús en el momento de la Pasión . ^[52] Estructuralmente, es muy similar al cuadrado mágico de Melancholia , pero sus números en cuatro de las celdas se han reducido en 1.

Los cuadrados triviales como éste generalmente no son matemáticamente interesantes y sólo tienen significado histórico. Lee Sallows ha señalado que, debido a la ignorancia de Subirachs sobre la teoría del cuadrado mágico, el renombrado escultor cometió un error innecesario y respalda esta afirmación dando varios ejemplos de cuadrados mágicos no triviales de 4 × 4 que muestran la constante mágica deseada de 33. ^{[ 53]}

Al igual que el cuadrado mágico de Durero, el cuadrado mágico de la Sagrada Familia también se puede ampliar a un cubo mágico. ^[54]

plaza parker

El cuadrado de Parker , que lleva el nombre del matemático recreativo Matt Parker , ^{[55] [ verificación fallida ]} es un intento de crear un cuadrado mágico de cuadrados de 3  ×  3, un preciado problema sin resolver desde Euler . ^[56] El cuadrado de Parker es un cuadrado semimágico trivial ya que utiliza algunos números más de una vez, y la diagonal 23 ² + 37 ² + 47 ² suma4107 , no3051 como para todas las demás filas y columnas, y la otra diagonal. El cuadrado de Parker se hizo popular en la cultura matemática. ^{[ cita necesaria ]} La plaza Parker se convirtió en una "mascota para las personas que lo intentan, pero que finalmente se quedan cortas". ^{[57] [ se necesita una mejor fuente ]}

plaza jardinera

El cuadrado de Gardner, que lleva el nombre del matemático recreativo Martin Gardner , similar al cuadrado de Parker, se plantea como problema para determinar a, b, cy d. ^{[ cita necesaria ]}

Esta solución para a = 74, b = 113, c = 94 yd = 97 da un cuadrado semimágico; la diagonal 127 ² + b ² + d ² suma38 307 , no21 609 como para todas las demás filas y columnas, y la otra diagonal. ^{[58] [59] [60]}

Propiedades de los cuadrados mágicos

Constante mágica

La constante que es la suma de cualquier fila, columna o diagonal se llama constante mágica o suma mágica, M. Cada cuadrado mágico normal tiene una constante que depende del orden n , calculada mediante la fórmula . Esto se puede demostrar observando que la suma de es . Dado que la suma de cada fila es , la suma de las filas es , que cuando se divide por el orden n produce la constante mágica como . Para cuadrados mágicos normales de orden n = 3, 4, 5, 6, 7 y 8, las constantes mágicas son, respectivamente: 15, 34, 65, 111, 175 y 260 (secuencia A006003 en la OEIS ). ${\displaystyle M=n(n^{2}+1)/2}$ ${\displaystyle 1,2,...,n^{2}}$ ${\displaystyle n^{2}(n^{2}+1)/2}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle nM=n^{2}(n^{2}+1)/2}$ ${\displaystyle M=n(n^{2}+1)/2}$

El cuadrado mágico de orden 1 es trivial

El cuadrado mágico de 1 × 1, con una sola celda que contiene el número 1, se llama trivial , porque normalmente no se considera cuando se habla de cuadrados mágicos; pero de hecho es un cuadrado mágico por definición, si una sola celda se considera un cuadrado de orden uno.

No se puede construir un cuadrado mágico de orden 2.

Se pueden construir cuadrados mágicos normales de todos los tamaños excepto 2 × 2 (es decir, donde el orden n = 2). ^[61]

Centro de masa

Si los números en el cuadrado mágico se ven como masas ubicadas en varias celdas, entonces el centro de masa de un cuadrado mágico coincide con su centro geométrico.

Momento de inercia

El momento de inercia de un cuadrado mágico se ha definido como la suma de todas las celdas del número en la celda multiplicada por la distancia al cuadrado desde el centro de la celda al centro del cuadrado; aquí la unidad de medida es el ancho de una celda. ^[62] (Así, por ejemplo, una celda de esquina de un cuadrado de 3 × 3 tiene una distancia de una celda de borde que no es de esquina tiene una distancia de 1, y la celda central tiene una distancia de 0). Entonces, todos los cuadrados mágicos de un orden tienen el mismo momento de inercia entre sí. Para el caso de orden 3 el momento de inercia es siempre 60, mientras que para el caso de orden 4 el momento de inercia es siempre 340. En general, para el caso n × n el momento de inercia es ^[62] ${\displaystyle {\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle n^{2}(n^{4}-1)/12.}$

Descomposición de Birkhoff-von Neumann

Dividiendo cada número del cuadrado mágico por la constante mágica se obtendrá una matriz doblemente estocástica , cuyas sumas de filas y columnas son iguales a la unidad. Sin embargo, a diferencia de la matriz doblemente estocástica, las sumas diagonales de dichas matrices también serán iguales a la unidad. Por tanto, dichas matrices constituyen un subconjunto de matrices doblemente estocásticas. El teorema de Birkhoff-von Neumann establece que para cualquier matriz doblemente estocástica , existen números reales , donde y matrices de permutación tales que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\theta _{i}=1}$ ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k}}$

${\displaystyle A=\theta _{1}P_{1}+\cdots +\theta _{k}P_{k}.}$

Esta representación puede no ser única en general. Sin embargo, según el teorema de Marcus-Ree, en cualquier descomposición no es necesario que haya más que términos. ^[63] Claramente, esta descomposición se traslada también a los cuadrados mágicos, ya que un cuadrado mágico se puede recuperar de una matriz doblemente estocástica multiplicándolo por la constante mágica. ${\displaystyle k\leq n^{2}-2n+2}$

Clasificación de cuadrados mágicos.

Diagrama de Euler de los requisitos de algunos tipos de cuadrados mágicos de 4×4. Las celdas del mismo color suman la constante mágica. * En los cuadrados mágicos más perfectos de 4 × 4, 2 celdas cualesquiera que estén separadas 2 celdas en diagonal (incluido el envolvente) suman la mitad de la constante mágica, por lo tanto, 2 pares cualesquiera también suman la constante mágica.

Si bien la clasificación de los cuadrados mágicos se puede realizar de muchas maneras, a continuación se ofrecen algunas categorías útiles. Una matriz cuadrada n × n de números enteros 1, 2, ..., n ² se llama:

• Cuadrado semimágico cuando sus filas y columnas se suman para dar la constante mágica.
• Cuadrado mágico simple cuando sus filas, columnas y dos diagonales se suman para dar una constante mágica y nada más. También se les conoce como cuadrados mágicos ordinarios o cuadrados mágicos normales .
• Cuadrado mágico autocomplementario cuando es un cuadrado mágico que cuando se complementa (es decir, cada número restado de n ² + 1) dará una versión rotada o reflejada del cuadrado mágico original.
• Cuadrado mágico asociativo cuando es un cuadrado mágico con la propiedad adicional de que todo número sumado al número equidistante, en línea recta, del centro da n ² + 1. También se llaman cuadrados mágicos simétricos . Los cuadrados mágicos asociativos no existen para cuadrados de orden uniformemente par. Todos los cuadrados mágicos asociativos son también cuadrados mágicos autocomplementarios.
• Cuadrado mágico pandiagonal cuando es un cuadrado mágico con la propiedad adicional de que las diagonales rotas suman la constante mágica. También se les llama cuadrados panmágicos , cuadrados perfectos , cuadrados diabólicos , cuadrados jainistas o cuadrados nasik . Los cuadrados Panmagic no existen para pedidos pares. Sin embargo, incluso los cuadrados no normales pueden ser panmágicos.
• Cuadrado ultramágico cuando es a la vez cuadrado mágico asociativo y pandiagonal. Los cuadrados ultramágicos existen sólo para órdenes n ≥ 5.
• Cuadrado mágico bordeado cuando es un cuadrado mágico y sigue siendo mágico cuando se eliminan las filas y columnas del borde exterior. También se les llama cuadrados mágicos con bordes concéntricos si al eliminar un borde de un cuadrado se obtiene sucesivamente otro cuadrado mágico con bordes más pequeños. Los cuadrados mágicos con borde no existen para el orden 4.
• Cuadrado mágico compuesto cuando es un cuadrado mágico que se crea "multiplicando" (en algún sentido) cuadrados mágicos más pequeños, de modo que el orden del cuadrado mágico compuesto sea múltiplo del orden de los cuadrados más pequeños. Estos cuadrados normalmente se pueden dividir en subcuadrados mágicos más pequeños que no se superponen.
• Cuadrado mágico incrustado cuando se trata de un cuadrado mágico en cuyo interior se incrusta un subcuadrado mágico, independientemente de la técnica constructiva. Los subcuadrados mágicos incrustados se denominan a su vez incrustaciones .
• Cuadrado mágico más perfecto cuando es un cuadrado mágico pandiagonal con dos propiedades adicionales (i) cada subcuadrado de 2 × 2 suma 1/ k de la constante mágica donde n = 4 k , y (ii) todos los pares de números enteros distantes n / 2 a lo largo de cualquier diagonal (mayor o quebrada) son complementarios (es decir, suman n ² + 1). La primera propiedad se conoce como compacidad , mientras que la segunda propiedad se conoce como integridad . Los cuadrados mágicos más perfectos existen sólo para cuadrados de orden doblemente par. Todos los cuadrados pandiagonales de orden 4 también son los más perfectos.
• El cuadrado mágico de Franklin cuando es un cuadrado mágico doblemente par con tres propiedades adicionales (i) cada diagonal doblada se suma a la constante mágica, (ii) cada media fila y media columna que comienza en un borde exterior suma la mitad de la constante mágica, y ( iii) el cuadrado es compacto .
• Cuadrado multimágico cuando es un cuadrado mágico que sigue siendo mágico incluso si todos sus números son reemplazados por su k -ésima potencia para 1 ≤ k ≤ P . También se les conoce como cuadrado P-multimágico o cuadrados satánicos . También se les conoce como cuadrados bimágicos , cuadrados trimágicos , cuadrados tetramágicos y cuadrados pentamágicos cuando el valor de P es 2, 3, 4 y 5 respectivamente.

Enumeración de cuadrados mágicos.

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Cuántos toros mágicos y cuadrados mágicos de orden n hay para y , respectivamente? ${\displaystyle n>5}$ ${\displaystyle n>6}$

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Cuadrados de orden inferior

Sólo hay un cuadrado mágico (trivial) de orden 1 y ningún cuadrado mágico de orden 2. Como se mencionó anteriormente, el conjunto de cuadrados normales de orden tres constituye una única clase de equivalencia , todos equivalentes al cuadrado de Lo Shu. Por lo tanto, existe básicamente un solo cuadrado mágico normal de orden 3.

El número de diferentes cuadrados mágicos n × n para n de 1 a 6, sin contar rotaciones y reflexiones es:

1, 0, 1, 880, 275305224, 17753889197660635632. (secuencia A006052 en el OEIS )

Anteriormente se había estimado que el número para n = 6 era (1,7745 ± 0,0016) × 10 ¹⁹ . ^{[64] [65] [62]}

tori magico

Con referencia cruzada a la secuencia anterior, una nueva clasificación enumera los toros mágicos que muestran estos cuadrados mágicos. El número de tori mágicos de orden n del 1 al 5, es:

1, 0, 1, 255, 251449712 (secuencia A270876 en el OEIS ).

Cuadrados de orden superior y tori

Gráfico semilogarítmico de Pn, la probabilidad de cuadrados mágicos de dimensión n

El número de cuadrados mágicos normales distintos aumenta rápidamente en órdenes superiores. ^[66]

Los 880 cuadrados mágicos de orden 4 se muestran en 255 tori mágicos de orden 4 y los 275.305.224 cuadrados de orden 5 se muestran en 251.449.712 tori mágicos de orden 5. Los números de tori mágicos y los distintos cuadrados normales aún no se conocen para órdenes superiores a 5. y 6, respectivamente. ^{[67] [ cita necesaria ]}

Los algoritmos tienden a generar sólo cuadrados mágicos de un determinado tipo o clasificación, lo que hace que contar todos los cuadrados mágicos posibles sea bastante difícil. Dado que los métodos de conteo tradicionales no han tenido éxito, se ha aplicado el análisis estadístico utilizando el método de Monte Carlo . El principio básico aplicado a los cuadrados mágicos es generar aleatoriamente n × n matrices de elementos 1 an 2 ^y comprobar si el resultado es un cuadrado mágico. La probabilidad de que una matriz de números generada aleatoriamente sea un cuadrado mágico se utiliza para aproximar el número de cuadrados mágicos. ^[68]

Versiones más complejas del método Monte Carlo, como el Monte Carlo de intercambio y el retroceso de Monte Carlo, han producido estimaciones aún más precisas. Utilizando estos métodos se ha demostrado que la probabilidad de que aparezcan cuadrados mágicos disminuye rápidamente a medida que n aumenta. Usando funciones de ajuste, obtenga las curvas vistas a la derecha.

Transformaciones que preservan la propiedad mágica.

Para cualquier cuadrado mágico

• La suma de dos cuadrados mágicos cualesquiera del mismo orden mediante la suma de matrices es un cuadrado mágico.
• Un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando todos sus números sufren la misma transformación lineal (es decir, una función de la forma f ( x ) = m x + b ). Por ejemplo, un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando sus números se multiplican por cualquier constante. ^[69] Además, un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando se suma o resta una constante a sus números, o si sus números se restan de una constante. En particular, si se resta cada elemento de un cuadrado mágico normal de orden , se obtiene el complemento del cuadrado original. ^[69] En el siguiente ejemplo, cada elemento del cuadrado mágico de la izquierda se resta de 17 para obtener el cuadrado mágico complementario de la derecha. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{2}+1}$

• Un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando se transforma por cualquier elemento de D ₄ , el grupo de simetría de un cuadrado (ver Grupo diédrico de orden 8 § El grupo de simetría de un cuadrado: grupo diédrico de orden 8 ). Cada combinación de una o más rotaciones de 90 grados, reflexiones o ambas produce ocho cuadrados trivialmente distintos que generalmente se consideran equivalentes. Se dice que los ocho cuadrados de este tipo constituyen una única clase de equivalencia . ^{[70] [69]} Los ocho cuadrados mágicos equivalentes para el cuadrado mágico de 3×3 se muestran a continuación:

• Un cuadrado mágico de orden sigue siendo mágico cuando tanto sus filas como sus columnas se permutan simétricamente por tal que for . Cada permutación de filas o columnas conserva todas las sumas de filas y columnas, pero generalmente no las dos sumas diagonales. Si se aplica la misma permutación tanto a las filas como a las columnas, entonces el elemento diagonal en la fila y la columna se asigna a la fila y la columna que están en la misma diagonal; por lo tanto, al aplicar la misma permutación a filas y columnas se conserva la suma diagonal principal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha). Si la permutación es simétrica como se describe, entonces el elemento diagonal en la fila y la columna se asigna a la fila y la columna que están en la misma diagonal; por lo tanto, al aplicar la misma permutación simétrica a filas y columnas se conservan ambas sumas diagonales. Para pares , existen permutaciones simétricas y para impares. En el siguiente ejemplo, el cuadrado mágico original de la izquierda tiene sus filas y columnas permutadas simétricamente dando como resultado el cuadrado mágico de la derecha. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(i)+p(n+1-i)=n+1}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p(i)}$ ${\displaystyle p(i)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n+1-i}$ ${\displaystyle p(i)}$ ${\displaystyle p(n+1-i)=n+1-p(i)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)!}$ ${\displaystyle 2^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (4,6,5,2,1,3)}$

• Un cuadrado mágico de orden sigue siendo mágico cuando se intercambian filas y y columnas y porque se trata de una permutación simétrica de la forma descrita anteriormente. ^{[69] [48]} En el siguiente ejemplo, el cuadrado de la derecha se obtiene intercambiando la primera y cuarta filas y columnas del cuadrado original de la izquierda. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (n+1-i)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (n+1-i)}$

• Un cuadrado mágico de orden sigue siendo mágico cuando se intercambian filas y , se intercambian filas y , se intercambian columnas y , y se intercambian columnas y dónde , porque se trata de otra permutación simétrica de la forma descrita anteriormente. En el siguiente ejemplo, el cuadrado de la izquierda es el cuadrado original, mientras que el cuadrado de la derecha es el cuadrado nuevo obtenido mediante esta transformación. En el cuadrado del medio, se han intercambiado las filas 1 y 2 y las filas 3 y 4. El último cuadrado de la derecha se obtiene intercambiando las columnas 1 y 2 y las columnas 3 y 4 del cuadrado del medio. En este ejemplo particular, esta transformación rota los cuadrantes 180 grados. El cuadrado del medio también es mágico porque el cuadrado original es asociativo. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (n+1-i)}$ ${\displaystyle (n+1-j)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (n+1-i)}$ ${\displaystyle (n+1-j)}$ ${\displaystyle i<j<{\frac {n+1}{2}}}$

• Un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando sus cuadrantes se intercambian diagonalmente porque se trata de otra permutación simétrica de la forma descrita anteriormente. Para orden par , permute las filas y columnas mediante permutación donde para y para . Para orden impar , permute filas y columnas mediante permutación donde para y para . Para cuadrados ordenados impares, las mitades de la fila y columna centrales también se intercambian. ^[69] A continuación se dan ejemplos de cuadrados mágicos de orden 4 y 5: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(i)=i+{\frac {n}{2}}}$ ${\displaystyle i\leq {\frac {n}{2}}}$ ${\displaystyle p(i)=i-{\frac {n}{2}}}$ ${\displaystyle i>{\frac {n}{2}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(i)=i+{\frac {n+1}{2}}}$ ${\displaystyle i<{\frac {n+1}{2}}}$ ${\displaystyle p(i)=i-{\frac {n+1}{2}}}$ ${\displaystyle i>{\frac {n+1}{2}}}$

Para cuadrados mágicos asociativos

• Un cuadrado mágico asociativo sigue siendo asociativo cuando se intercambian dos filas o columnas equidistantes del centro. ^{[71] [72]} Para un cuadrado par, hay n /2 pares de filas o columnas que se pueden intercambiar; por tanto, se pueden obtener 2 ^{n /2} × 2 ^{n /2} = 2 ⁿ cuadrados mágicos equivalentes combinando dichos intercambios. Para cuadrados impares, hay ( n - 1)/2 pares de filas o columnas que se pueden intercambiar; y 2 ^{n -1} cuadrados mágicos equivalentes obtenidos combinando dichos intercambios. Al intercambiar todas las filas, se voltea el cuadrado verticalmente (es decir, se refleja a lo largo del eje horizontal), mientras que al intercambiar todas las columnas se voltea el cuadrado horizontalmente (es decir, se refleja a lo largo del eje vertical). En el siguiente ejemplo, un cuadrado mágico asociativo de 4×4 de la izquierda se transforma en un cuadrado de la derecha intercambiando la segunda y la tercera fila, lo que produce el famoso cuadrado mágico de Durero.

• Un cuadrado mágico asociativo sigue siendo asociativo cuando dos filas (o columnas) del mismo lado se intercambian junto con filas (o columnas) correspondientes de otros lados. ^{[71] [72]} Para un cuadrado par, dado que hay n /2 filas (o columnas) del mismo lado, hay n ( n - 2)/8 pares de dichas filas (o columnas) que se pueden intercambiar. Por lo tanto, se pueden obtener 2 ^{n ( n -2)/8} × 2 ^{n ( n -2)/8} = 2 ^{n ( n -2)/4} cuadrados mágicos equivalentes combinando dichos intercambios. Para el cuadrado impar, dado que hay ( n - 1)/2 filas o columnas del mismo lado, hay ( n - 1)( n - 3)/8 pares de dichas filas o columnas que se pueden intercambiar. Por lo tanto, hay 2 ^{( n - 1)( n - 3)/8} × 2 ^{( n - 1)( n - 3)/8} = 2 ^{( n - 1)( n - 3)/4} cuadrados mágicos equivalentes obtenidos por combinando tales intercambios. Intercambiar todas las filas del mismo lado voltea cada cuadrante del cuadrado verticalmente, mientras que intercambiar todas las columnas del mismo lado voltea cada cuadrante del cuadrado horizontalmente. En el siguiente ejemplo, a la izquierda está el cuadrado original, cuyas filas 1 y 2 se intercambian entre sí, junto con las filas 3 y 4, para obtener el cuadrado transformado de la derecha.

• Un cuadrado mágico asociativo sigue siendo asociativo cuando sus entradas se reemplazan con números correspondientes de un conjunto de s progresiones aritméticas con la misma diferencia común entre r términos, tales que r × s = n ² , y cuyos términos iniciales también están en progresión aritmética, para obtener un cuadrado mágico no normal. Aquí s o r deberían ser múltiplos de n . Tengamos s progresiones aritméticas dadas por

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}a&a+c&a+2c&\cdots &a+(r-1)c\\a+d&a+c+d&a+2c+d&\cdots &a+(r-1)c+d\\a+2d&a+c+2d&a+2c+2d&\cdots &a+(r-1)c+2d\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a+(s-1)d&a+c+(s-1)d&a+2c+(s-1)d&\cdots &a+(r-1)c+(s-1)d\\\end{array}}}$

donde a es el término inicial, c es la diferencia común de las progresiones aritméticas y d es la diferencia común entre los términos iniciales de cada progresión. La nueva constante mágica será

${\displaystyle M=na+{\frac {n}{2}}{\big [}(r-1)c+(s-1)d{\big ]}.}$

Si s = r = n , entonces sigue la simplificación

${\displaystyle M=na+{\frac {n}{2}}(n-1)(c+d).}$

Con a = c = 1 y d = n , se obtiene el habitual M = n ( n ² +1)/2. Para M dado, los a , cyd requeridos se pueden encontrar resolviendo la ecuación lineal diofántica . En los ejemplos siguientes, hay cuadrados mágicos normales del orden de 4 en el lado izquierdo. El segundo cuadrado es un cuadrado mágico no normal correspondiente con r = 8, s = 2, a = 1, c = 1 y d = 10 tal que la nueva constante mágica es M = 38. El tercer cuadrado es un cuadrado mágico de orden 5 cuadrado mágico normal, que es una versión girada 90 grados en el sentido de las agujas del reloj del cuadrado generado por el método de De la Loubere. En el lado derecho hay un cuadrado mágico no normal correspondiente con a = 4, c = 1 y d = 6, tal que la nueva constante mágica es M = 90.

Para cuadrados mágicos pan-diagonales

• Un cuadrado mágico pan-diagonal sigue siendo un cuadrado mágico pan-diagonal bajo desplazamiento cíclico de filas o columnas o ambos. ^[69] Esto nos permite posicionar un número dado en cualquiera de las n ² celdas de un cuadrado de n orden. Por lo tanto, para un cuadrado panmágico dado, hay n ² cuadrados panmágicos equivalentes. En el siguiente ejemplo, el cuadrado original de la izquierda se transforma desplazando la primera fila hacia abajo para obtener un nuevo cuadrado panmágico en el medio. A continuación, la primera y la segunda columna del cuadrado panmágico del medio se desplazan circularmente hacia la derecha para obtener un nuevo cuadrado panmágico a la derecha.

Para cuadrados mágicos bordeados

• Un cuadrado mágico con borde sigue siendo un cuadrado mágico con borde después de permutar las celdas del borde en las filas o columnas, junto con sus términos complementarios correspondientes, manteniendo fijas las celdas de las esquinas. Dado que las celdas en cada fila y columna de cada borde concéntrico se pueden permutar de forma independiente, cuando el orden n ≥ 5 es impar, hay ((n-2)! × (n-4)! × ··· × 3!) ² cuadrados bordeados equivalentes. Cuando n ≥ 6 es par, hay ((n-2)! × (n-4)! × ··· × 4!) ² cuadrados bordeados equivalentes. En el siguiente ejemplo, se da un cuadrado de orden 5 cuya fila de borde se ha permutado y se pueden obtener (3!) ² = 36 cuadrados equivalentes.

• Un cuadrado mágico bordeado sigue siendo un cuadrado mágico bordeado después de que cada uno de sus bordes concéntricos se gira o refleja de forma independiente con respecto al cuadrado mágico central central. Si hay b bordes, entonces esta transformación producirá 8 ^b cuadrados equivalentes. En el siguiente ejemplo del cuadrado mágico de 5 × 5, el borde se giró 90 grados en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Para cuadrados mágicos compuestos

• Un cuadrado mágico compuesto sigue siendo un cuadrado mágico compuesto cuando los cuadrados mágicos incrustados sufren transformaciones que no alteran la propiedad mágica (por ejemplo, rotación, reflexión, desplazamiento de filas y columnas, etc.).

Métodos especiales de construcción.

A lo largo de los milenios se han descubierto muchas formas de construir cuadrados mágicos. Estos métodos se pueden clasificar en métodos generales y métodos especiales, en el sentido de que los métodos generales nos permiten construir más de un cuadrado mágico de un orden determinado, mientras que los métodos especiales nos permiten construir solo un cuadrado mágico de un orden determinado. Los métodos especiales son algoritmos específicos, mientras que los métodos generales pueden requerir algo de prueba y error.

Los métodos especiales son las formas más sencillas de construir cuadrados mágicos. Siguen ciertos algoritmos que generan patrones regulares de números en un cuadrado. La exactitud de estos métodos especiales se puede demostrar utilizando uno de los métodos generales que se detallan en secciones posteriores. Después de construir un cuadrado mágico usando un método especial, se pueden aplicar las transformaciones descritas en la sección anterior para obtener más cuadrados mágicos. Generalmente se hace referencia a los métodos especiales utilizando el nombre del autor (si se conoce) que describió el método, por ejemplo, el método de De la Loubere, el método de Starchey, el método de Bachet, etc.

Se cree que los cuadrados mágicos existen para todos los órdenes, excepto para el orden 2. Los cuadrados mágicos se pueden clasificar según su orden en impares, doblemente pares ( n divisible por cuatro) y individualmente pares ( n par, pero no divisible por cuatro). Esta clasificación se basa en el hecho de que es necesario emplear técnicas completamente diferentes para construir estos diferentes tipos de cuadrados. Los cuadrados mágicos impares y doblemente pares son fáciles de generar; la construcción de cuadrados mágicos pares individuales es más difícil, pero existen varios métodos, incluido el método LUX de John Horton Conway para cuadrados mágicos y el método Strachey para cuadrados mágicos .

Un método para construir un cuadrado mágico de orden 3.

En el siglo XIX, Édouard Lucas ideó la fórmula general para ordenar 3 cuadrados mágicos. Considere la siguiente tabla formada por números enteros positivos a , b y c :

Estos nueve números serán enteros positivos distintos que formarán un cuadrado mágico con la constante mágica 3 c siempre que 0 < a < b < c − a y b ≠ 2 a . Además, cada cuadrado mágico de 3×3 de distintos números enteros positivos tiene esta forma.

En 1997, Lee Sallows descubrió que, dejando de lado las rotaciones y las reflexiones, cada paralelogramo distinto dibujado en el diagrama de Argand define un cuadrado mágico único de 3 × 3, y viceversa, un resultado que nunca antes se había observado. ^[70]

Un método para construir un cuadrado mágico de orden impar.

El método de construcción de Yang Hui.

El diplomático francés de la Loubère publicó un método para construir cuadrados mágicos de orden impar en su libro Una nueva relación histórica del reino de Siam (Du Royaume de Siam, 1693), en el capítulo titulado El problema del cuadrado mágico. según los indios . ^[73] El método funciona de la siguiente manera:

El método prescribe comenzar en la columna central de la primera fila con el número 1. Después de eso, el movimiento fundamental para llenar los cuadrados es diagonalmente hacia arriba y hacia la derecha, un paso a la vez. Si un cuadrado se llena con un múltiplo del orden n , uno se mueve verticalmente hacia abajo un cuadrado y luego continúa como antes. Cuando un movimiento "arriba y hacia la derecha" abandonaría el cuadrado, se desplaza hasta la última fila o la primera columna, respectivamente.

Es posible comenzar desde otros cuadrados en lugar de la columna central de la primera fila, pero entonces solo las sumas de las filas y las columnas serán idénticas y darán como resultado una suma mágica, mientras que las sumas diagonales serán diferentes. El resultado será, por tanto, un cuadrado semimágico y no un verdadero cuadrado mágico. Moverse en direcciones distintas al noreste también puede resultar en cuadrados mágicos.

Un método para construir un cuadrado mágico de orden doblemente par.

Doblemente par significa que n es un múltiplo par de un número entero par; o 4 p (por ejemplo, 4, 8, 12), donde p es un número entero.

Patrón genérico Todos los números están escritos en orden de izquierda a derecha en cada fila, comenzando desde la esquina superior izquierda. Luego, los números se retienen en el mismo lugar o se intercambian con sus números diametralmente opuestos siguiendo un patrón regular determinado. En el cuadrado mágico de orden cuatro, los números de los cuatro cuadrados centrales y un cuadrado en cada esquina se retienen en el mismo lugar y los demás se intercambian con sus números diametralmente opuestos.

Una construcción de un cuadrado mágico de orden 4. Comenzando desde arriba a la izquierda, avanza de izquierda a derecha a través de cada fila del cuadrado, contando cada celda del 1 al 16 y llenando las celdas a lo largo de las diagonales con su número correspondiente. Una vez que llegue a la celda inferior derecha, continúe yendo de derecha a izquierda, comenzando desde la parte inferior derecha de la tabla a través de cada fila, y complete las celdas no diagonales contando del 1 al 16 con su número correspondiente. Como se muestra abajo:

Una extensión del ejemplo anterior para los pedidos 8 y 12. Primero genere una tabla de patrones, donde un '1' indica seleccionar del cuadrado donde están escritos los números en el orden 1 a n ² (de izquierda a derecha, de arriba a abajo). ), y un '0' indica que se selecciona del cuadrado donde los números están escritos en orden inverso n ² a 1. Para M = 4, la tabla de patrones se muestra a continuación (tercera matriz desde la izquierda). Con las celdas inalteradas (celdas con '1') sombreadas, se obtiene un patrón entrecruzado.

Los patrones son a) hay el mismo número de "1" y "0" en cada fila y columna; b) cada fila y cada columna son "palíndrómicas"; c) las mitades izquierda y derecha son imágenes especulares; y d) las mitades superior e inferior son imágenes especulares (cyd implican b). La tabla de patrones se puede representar usando hexadecimales como (9, 6, 6, 9) por simplicidad (1 mordisco por fila, 4 filas). El método más simple para generar el patrón requerido para cuadrados doblemente pares de orden superior es copiar el patrón genérico para el cuadrado de cuarto orden en cada subcuadrado de cuatro por cuatro.

Para M = 8, las posibles opciones para el patrón son (99, 66, 66, 99, 99, 66, 66, 99); (3C, 3C, C3, C3, C3, C3, 3C, 3C); (A5, 5A, A5, 5A, 5A, A5, 5A, A5) (2 mordiscos por fila, 8 filas).

Para M = 12, la tabla de patrones (E07, E07, E07, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, E07, E07, E07) produce un cuadrado mágico (3 mordiscos por fila, 12 filas). Es posible contar el número de opciones que uno tiene basándose en la tabla de patrones, teniendo en cuenta las simetrías rotacionales.

Método de superposición

El primer descubrimiento del método de superposición lo realizó el matemático indio Narayana en el siglo XIV. El mismo método fue redescubierto y estudiado posteriormente en la Europa de principios del siglo XVIII por de la Loubere, Poignard, de La Hire y Sauveur; y el método suele denominarse método de De la Hire. Aunque el trabajo de Euler sobre el cuadrado mágico no era original, conjeturó la imposibilidad de construir cuadrados grecolatinos ordenados mutuamente ortogonales, pares impares . Esta conjetura fue refutada a mediados del siglo XX. Para mayor claridad de exposición, se pueden distinguir dos variaciones importantes de este método.

El método de Euler.

Este método consiste en construir dos cuadrados preliminares, que sumados dan como resultado el cuadrado mágico. Como ejemplo corriente, se considera un cuadrado mágico de 3×3. Cada número del cuadrado natural de 3×3 por un par de números se puede etiquetar como

donde cada par de alfabetos griego y latino, por ejemplo αa , deben sumarse, es decir, αa = α + a . Aquí, ( α , β , γ ) = (0, 3, 6) y ( a , b , c ) = (1, 2, 3). Los números 0, 3 y 6 se denominan números raíz, mientras que los números 1, 2 y 3 se denominan números primarios . Una restricción general importante aquí es

• una letra griega se empareja con una letra latina sólo una vez .

Así, el cuadrado original ahora se puede dividir en dos cuadrados más simples:

Los cuadrados con letras se denominan cuadrados griegos o cuadrados latinos si están llenos de letras griegas o latinas, respectivamente. Se puede construir un cuadrado mágico asegurándose de que los cuadrados griego y latino también lo sean. Lo contrario de esta afirmación también es cierto a menudo, pero no siempre (por ejemplo, cuadrados mágicos con bordes): un cuadrado mágico se puede descomponer en un cuadrado griego y uno latino, que son en sí mismos cuadrados mágicos. Por tanto, el método es útil tanto para la síntesis como para el análisis de un cuadrado mágico. Por último, al examinar el patrón en el que se disponen los números en el cuadrado terminado, a menudo es posible encontrar un algoritmo más rápido para construir cuadrados de orden superior que repliquen el patrón dado, sin la necesidad de crear los griegos y latinos preliminares. cuadrícula.

Durante la construcción del cuadrado mágico de 3×3, los cuadrados griego y latino con sólo tres términos únicos son mucho más fáciles de manejar que el cuadrado original con nueve términos diferentes. La suma de las filas y la suma de las columnas del cuadrado griego serán la misma, α + β + γ , si

• cada letra aparece exactamente una vez en una columna o fila determinada .

Esto se puede lograr mediante la permutación cíclica de α , β y γ . El cumplimiento de estas dos condiciones garantiza que el cuadrado resultante sea un cuadrado semimágico; y se dice que tales cuadrados griegos y latinos son mutuamente ortogonales entre sí. Para un orden dado n , hay como máximo n - 1 cuadrados en un conjunto de cuadrados mutuamente ortogonales, sin contar las variaciones debidas a la permutación de los símbolos. Este límite superior es exacto cuando n es un número primo.

Para construir un cuadrado mágico, también debemos asegurarnos de que la suma de las diagonales sea una constante mágica. Para ello tenemos una tercera condición:

• o todas las letras deben aparecer exactamente una vez en ambas diagonales; o en el caso de cuadrados impares ordenados, una de las diagonales debe consistir enteramente en el término medio, mientras que la otra diagonal debe tener todas las letras exactamente una vez .

Los cuadrados griegos y latinos mutuamente ortogonales que satisfacen la primera parte de la tercera condición (que todas las letras aparezcan en ambas diagonales) se dicen que son cuadrados grecolatinos mutuamente ortogonales y doblemente diagonales .

Cuadrados impares: para el cuadrado impar de 3 × 3, dado que α , β y γ están en progresión aritmética, su suma es igual al producto del orden del cuadrado y el término medio, es decir, α + β + γ = 3 β . Por lo tanto, las sumas diagonales serán iguales si tenemos β s en la diagonal principal y α , β , γ en la diagonal sesgada. Lo mismo ocurre con el cuadrado latino. Los cuadrados griegos y latinos resultantes y su combinación serán los siguientes. El cuadrado latino es simplemente una rotación de 90 grados en el sentido contrario a las agujas del reloj del cuadrado griego (o equivalentemente, girar sobre el eje vertical) con las letras correspondientes intercambiadas. Sustituyendo los valores de las letras griegas y latinas se obtendrá el cuadrado mágico de 3×3.

Para los cuadrados impares, este método explica por qué funcionan el método siamés (método de De la Loubere) y sus variantes. Este método básico se puede utilizar para construir cuadrados mágicos impares de órdenes superiores. Resumir:

• Para cuadrados ordenados impares, para construir un cuadrado griego, coloque el término medio a lo largo de la diagonal principal y coloque el resto de los términos a lo largo de la diagonal sesgada. Las celdas vacías restantes se llenan mediante movimientos diagonales. El cuadrado latino se puede construir girando o volteando el cuadrado griego y reemplazando los alfabetos correspondientes. El cuadrado mágico se obtiene sumando los cuadrados griego y latino.

Una peculiaridad del método de construcción dado anteriormente para los cuadrados mágicos impares es que el número del medio ( n ² + 1)/2 siempre aparecerá en la celda central del cuadrado mágico. ¡Ya que hay ( n - 1)! formas de ordenar los términos diagonales sesgados, ¡podemos obtener ( n - 1)! El griego cuadra de esta manera; Lo mismo con los cuadrados latinos. Además, ¡dado que cada cuadrado griego se puede emparejar con ( n - 1)! cuadrados latinos, y dado que para cada cuadrado griego el término medio puede colocarse arbitrariamente en la diagonal principal o en la diagonal sesgada (y correspondientemente a lo largo de la diagonal sesgada o diagonal principal de los cuadrados latinos), podemos construir un total de 2 × ( n - 1)! × ( n - 1)! cuadrados mágicos usando este método. Para n = 3, 5 y 7, esto dará 8, 1152 y 1.036.800 cuadrados mágicos diferentes, respectivamente. Al dividir por 8 para despreciar los cuadrados equivalentes debido a la rotación y las reflexiones, obtenemos 1, 144 y 129,600 cuadrados mágicos esencialmente diferentes, respectivamente.

Como otro ejemplo, se da la construcción de un cuadrado mágico de 5×5. Los números se escriben directamente en lugar de los alfabetos. Los cuadrados numerados se denominan cuadrado primario o raíz cuadrada si están llenos de números primarios o números de raíz, respectivamente. Los números se colocan alrededor de la diagonal sesgada en la raíz cuadrada de modo que la columna central de la raíz cuadrada resultante tenga 0, 5, 10, 15, 20 (de abajo hacia arriba). El cuadrado primario se obtiene girando la raíz cuadrada 90 grados en el sentido contrario a las agujas del reloj y reemplazando los números. El cuadrado resultante es un cuadrado mágico asociativo, en el que cada par de números simétricamente opuestos al centro suman el mismo valor, 26. Por ejemplo, 16+10, 3+23, 6+20, etc. En el cuadrado terminado , 1 se coloca en la celda central de la fila inferior, y los números sucesivos se colocan mediante el movimiento del caballo alargado (dos celdas a la derecha, dos celdas hacia abajo) o, de manera equivalente, el movimiento del alfil (dos celdas en diagonal hacia abajo a la derecha). Cuando ocurre una colisión, el movimiento de ruptura es mover una celda hacia arriba. Todos los números impares se encuentran dentro del rombo central formado por 1, 5, 25 y 21, mientras que los números pares se sitúan en las esquinas. La aparición de números pares se puede deducir copiando el cuadrado en los lados adyacentes. Los números pares de cuatro cuadrados adyacentes formarán una cruz.

A continuación se proporciona una variación del ejemplo anterior, donde la secuencia diagonal sesgada se toma en diferente orden. El cuadrado mágico resultante es la versión invertida del famoso cuadrado mágico de Marte de Agripa. Es un cuadrado mágico asociativo y es el mismo que produce el método de Moschopoulos. Aquí el cuadrado resultante comienza con 1 colocado en la celda que está a la derecha de la celda central, y continúa como el método de De la Loubere, con movimiento hacia abajo hacia la derecha. Cuando ocurre una colisión, el movimiento de ruptura consiste en desplazar dos celdas hacia la derecha.

En los ejemplos anteriores, para el cuadrado griego, la segunda fila se puede obtener de la primera fila desplazándola circularmente una celda hacia la derecha. De manera similar, la tercera fila es una versión desplazada circularmente de la segunda fila una celda hacia la derecha; etcétera. Asimismo, las filas del cuadrado latino se desplazan circularmente una celda hacia la izquierda. Los desplazamientos de fila para los cuadrados griego y latino están en direcciones mutuamente opuestas. Es posible desplazar circularmente las filas en más de una celda para crear el cuadrado griego y latino.

• Para cuadrados ordenados impares, cuyo orden no es divisible por tres, podemos crear los cuadrados griegos desplazando una fila dos lugares hacia la izquierda o hacia la derecha para formar la siguiente fila. El cuadrado latino se forma volteando el cuadrado griego a lo largo de la diagonal principal e intercambiando las letras correspondientes. Esto nos da un cuadrado latino cuyas filas se crean desplazando la fila en la dirección opuesta a la del cuadrado griego. Un cuadrado griego y un cuadrado latino deben emparejarse de manera que sus desplazamientos de fila estén en direcciones mutuamente opuestas. El cuadrado mágico se obtiene sumando los cuadrados griego y latino. Cuando el orden también es un número primo, este método siempre crea un cuadrado mágico pandiagonal.

Básicamente, esto recrea el movimiento del caballo. Todas las letras aparecerán en ambas diagonales, asegurando una suma diagonal correcta. Ya que hay n ! permutaciones de las letras griegas mediante las cuales podemos crear la primera fila del cuadrado griego, entonces hay n ! Cuadrados griegos que se pueden crear desplazando la primera fila en una dirección. Asimismo, hay n ! Estos cuadrados latinos se crean desplazando la primera fila en la dirección opuesta. Dado que un cuadrado griego se puede combinar con cualquier cuadrado latino con desplazamientos de fila opuestos, hay n ! × n ! tales combinaciones. Por último, dado que el cuadrado griego se puede crear desplazando las filas hacia la izquierda o hacia la derecha, ¡hay un total de 2 × n ! × n ! cuadrados mágicos que se pueden formar con este método. Para n = 5 y 7, dado que son números primos, este método crea 28.800 y 50.803.200 cuadrados mágicos pandiagonales. Dividiendo por 8 para despreciar los cuadrados equivalentes debido a la rotación y las reflexiones, obtenemos 3.600 y 6.350.400 cuadrados equivalentes. Dividiendo además por n ² para despreciar los cuadrados panmágicos equivalentes debido al desplazamiento cíclico de filas o columnas, obtenemos 144 y 129.600 cuadrados panmágicos esencialmente diferentes. Por pedir 5 cuadrados, estos son los únicos cuadrados panmagic que hay. La condición de que el orden del cuadrado no sea divisible por 3 significa que no podemos construir cuadrados de orden 9, 15, 21, 27, etc., con este método.

En el siguiente ejemplo, el cuadrado se construyó de manera que 1 esté en la celda central. En el cuadrado terminado, los números se pueden enumerar continuamente mediante el movimiento del caballo (dos celdas hacia arriba, una celda hacia la derecha). Cuando ocurre una colisión, el movimiento de ruptura es mover una celda hacia arriba y una celda hacia la izquierda. El cuadrado resultante es un cuadrado mágico pandiagonal. Este cuadrado también tiene una propiedad diabólica adicional: cinco celdas cualesquiera en un patrón quincunce formado por cualquier subcuadrado impar, incluido el envolvente, suman la constante mágica, 65. Por ejemplo, 13+7+1+20+24, 23+ 1+9+15+17, 13+21+10+19+2, etc. También las cuatro esquinas de cualquier cuadrado de 5×5 y la celda central, así como las celdas intermedias de cada lado junto con la celda central, incluyendo envuelve, da la suma mágica: 13+10+19+22+1 y 20+24+12+8+1. Por último los cuatro romboides que forman cruces alargadas también dan la suma mágica: 23+1+9+24+8, 15+1+17+20+12, 14+1+18+13+19, 7+1+25+ 22+10.

También podemos combinar los cuadrados griegos y latinos construidos por diferentes métodos. En el siguiente ejemplo, la casilla principal se forma mediante el movimiento del caballo. Hemos recreado el cuadrado mágico obtenido por el método de De la Loubere. ¡Como antes, podemos formar 8 × ( n - 1)! × n ! cuadrados mágicos por esta combinación. Para n = 5 y 7, esto creará 23.040 y 29.030.400 cuadrados mágicos. Después de dividir por 8 para despreciar los cuadrados equivalentes debido a la rotación y la reflexión, obtenemos 2.880 y 3.628.800 cuadrados.

Para cuadrados de orden 5, estos tres métodos dan un censo completo del número de cuadrados mágicos que se pueden construir mediante el método de superposición. Despreciando la rotación y las reflexiones, el número total de cuadrados mágicos de orden 5 producidos por el método de superposición es 144 + 3.600 + 2.880 = 6.624.

Cuadrados pares: También podemos construir cuadrados pares ordenados de esta manera. Dado que no existe un término medio entre los alfabetos griego y latino para cuadrados pares ordenados, además de las dos primeras restricciones, para que las sumas diagonales produzcan la constante mágica, todas las letras del alfabeto deben aparecer en la diagonal principal y en la diagonal principal. diagonal sesgada.

A continuación se ofrece un ejemplo de un cuadrado de 4 × 4. Para la diagonal dada y la diagonal sesgada en el cuadrado griego, el resto de las celdas se pueden llenar con la condición de que cada letra aparezca solo una vez en una fila y columna.

¡Usando estos dos cuadrados grecolatinos, podemos construir 2 × 4! ×4! = 1.152 cuadrados mágicos. Al dividir entre 8 para eliminar los cuadrados equivalentes debido a la rotación y las reflexiones, obtenemos 144 cuadrados mágicos esencialmente diferentes de orden 4. Estos son los únicos cuadrados mágicos que se pueden construir mediante el método de Euler, ya que sólo hay dos cuadrados grecolatinos mutuamente ortogonales y doblemente diagonales de orden 4.

De manera similar, se puede construir un cuadrado mágico de 8 × 8 como se muestra a continuación. Aquí el orden de aparición de los números no es importante; sin embargo, los cuadrantes imitan el patrón de disposición de los cuadrados grecolatinos de 4 × 4.

El método de Euler ha dado lugar al estudio de los cuadrados grecolatinos . El método de Euler para construir cuadrados mágicos es válido para cualquier orden excepto 2 y 6.

Variaciones : Los cuadrados mágicos construidos a partir de cuadrados grecolatinos mutuamente ortogonales y doblemente diagonales son interesantes en sí mismos, ya que la propiedad mágica surge de la posición relativa de los alfabetos en el cuadrado, y no debido a ninguna propiedad aritmética del valor asignado a ellos. Esto significa que podemos asignar cualquier valor a los alfabetos de dichos cuadrados y aun así obtener un cuadrado mágico. Esta es la base para construir cuadrados que muestren alguna información (por ejemplo, cumpleaños, años, etc.) en el cuadrado y para crear "cuadrados reversibles". Por ejemplo, podemos mostrar el número π ≈3.141 592 en la fila inferior de un cuadrado mágico de 4×4 usando el cuadrado grecolatino dado arriba asignando ( α , β , γ , δ ) = (10, 0, 90, 15) y ( a , b , c , d ) = (0, 2, 3, 4). Obtendremos el siguiente cuadrado mágico no normal con suma mágica 124:

Método de Narayana-De la Hire para pedidos pares

El método de Narayana-De la Hire para los cuadrados impares es el mismo que el de Euler. Sin embargo, para cuadrados pares, eliminamos el segundo requisito de que cada letra griega y latina aparezca solo una vez en una fila o columna determinada. Esto nos permite aprovechar que la suma de una progresión aritmética con un número par de términos es igual a la suma de dos términos simétricos opuestos multiplicada por la mitad del número total de términos. Así, al construir los cuadrados griegos o latinos,

• para cuadrados pares ordenados, una letra puede aparecer n /2 veces en una columna pero sólo una vez en una fila, o viceversa.

Como ejemplo, si tomamos un cuadrado de 4×4, donde los términos griego y latino tienen los valores ( α , β , γ , δ ) = (0, 4, 8, 12) y ( a , b , c , d ) = (1, 2, 3, 4), respectivamente, entonces tenemos α + β + γ + δ = 2 ( α + δ ) = 2 ( β + γ ). De manera similar, a + b + c + d = 2 ( a + d ) = 2 ( b + c ). Esto significa que el par complementario α y δ (o β y γ ) puede aparecer dos veces en una columna (o fila) y aun así dar la suma mágica deseada. Así, podemos construir:

• Para cuadrados pares ordenados, el cuadrado mágico griego se forma colocando primero los alfabetos griegos a lo largo de la diagonal principal en algún orden. Luego, la diagonal sesgada se completa en el mismo orden o seleccionando los términos que son complementarios a los términos de la diagonal principal. Finalmente, las celdas restantes se llenan en columnas. Dada una columna, usamos los términos complementarios en las celdas diagonales intersecadas por esa columna, asegurándonos de que aparezcan solo una vez en una fila determinada pero n /2 veces en la columna dada. El cuadrado latino se obtiene volteando o rotando el cuadrado griego e intercambiando los alfabetos correspondientes. El cuadrado mágico final se obtiene sumando los cuadrados griego y latino.

En el ejemplo que se muestra a continuación, la diagonal principal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha) se completa con una secuencia ordenada como α , β , γ , δ , mientras que la diagonal sesgada (de abajo a la izquierda a arriba a la derecha) se completa en el mismo orden. Luego, las celdas restantes se llenan en columnas de modo que las letras complementarias aparezcan solo una vez dentro de una fila, pero dos veces dentro de una columna. En la primera columna, dado que α aparece en la primera y cuarta fila, las celdas restantes se llenan con su término complementario δ . De manera similar, las celdas vacías de la segunda columna se llenan con γ ; en la tercera columna β ; y cuarta columna α . Cada letra griega aparece sólo una vez en las filas, pero dos veces en las columnas. Como tal, las sumas de las filas son α + β + γ + δ mientras que las sumas de las columnas son 2 ( α + δ ) o 2 ( β + γ ). Lo mismo ocurre con el cuadrado latino, que se obtiene volteando el cuadrado griego a lo largo de la diagonal principal e intercambiando las letras correspondientes.

El ejemplo anterior explica por qué funciona el método "entrecruzado" para cuadrados mágicos doblemente pares. Otro posible cuadrado mágico de 4×4, que también es pandiagonal y perfecto, se construye a continuación utilizando la misma regla. Sin embargo, la secuencia diagonal se elige de manera que las cuatro letras α , β , γ , δ aparezcan dentro del subcuadrado central de 2×2. Las celdas restantes se llenan en columnas de modo que cada letra aparezca solo una vez dentro de una fila. En la primera columna, las celdas vacías deben llenarse con una de las letras seleccionadas del par complementario α y δ . Dada la primera columna, la entrada en la segunda fila solo puede ser δ ya que α ya está en la segunda fila; mientras que en la tercera fila la entrada solo puede ser α ya que δ ya está presente en la tercera fila. Procedemos de manera similar hasta llenar todas las celdas. El cuadrado latino que se muestra a continuación se obtuvo volteando el cuadrado griego a lo largo de la diagonal principal y reemplazando los alfabetos griegos con los alfabetos latinos correspondientes.

También podemos utilizar este enfoque para construir cuadrados mágicos pares. Sin embargo, debemos tener más cuidado en este caso, ya que el criterio de emparejar de forma única los alfabetos griego y latino no se cumple automáticamente. La violación de esta condición hace que falten algunos números en el cuadrado final, mientras que otros se duplican. Por lo tanto, aquí hay una condición importante:

• Para cuadrados pares individuales, en el cuadrado griego, verifique las celdas de las columnas que están emparejadas verticalmente con su complemento. En tal caso, la celda correspondiente del cuadrado latino debe contener la misma letra que su celda emparejada horizontalmente.

A continuación se muestra una construcción de un cuadrado mágico de 6×6, donde los números se dan directamente, en lugar de los alfabetos. El segundo cuadrado se construye volteando el primer cuadrado a lo largo de la diagonal principal. Aquí, en la primera columna de la raíz cuadrada, la tercera celda está emparejada con su complemento en la cuarta celda. Por lo tanto, en el cuadrado principal, los números de la primera y sexta celda de la tercera fila son iguales. Asimismo, con otras columnas y filas. En este ejemplo, la versión invertida de la raíz cuadrada satisface esta condición.

A continuación se ofrece otro ejemplo de un cuadrado mágico de 6 × 6 construido de esta manera. Aquí las entradas diagonales están dispuestas de forma diferente. El cuadrado primario se construye volteando la raíz cuadrada alrededor de la diagonal principal. En el segundo cuadrado, la condición para un solo cuadrado par no se cumple, lo que lleva a un cuadrado mágico no normal (tercer cuadrado) donde los números 3, 13, 24 y 34 se duplican y faltan los números 4, 18, 19 y 33.

La última condición es un poco arbitraria y puede que no siempre sea necesario invocarla, como en este ejemplo, donde en la raíz cuadrada cada celda está emparejada verticalmente con su complemento:

Como ejemplo más, hemos generado un cuadrado mágico de 8×8. A diferencia del patrón entrecruzado de la sección anterior para cuadrados uniformes, aquí tenemos un patrón a cuadros para las celdas alteradas y no alteradas. Además, en cada cuadrante los números pares e impares aparecen en columnas alternas.

Variaciones : Son posibles varias variaciones de la idea básica: un par complementario puede aparecer n /2 veces o menos en una columna . Es decir, se puede construir una columna de un cuadrado griego utilizando más de un par complementario. Este método nos permite dotar al cuadrado mágico de propiedades mucho más ricas. La idea también se puede extender a las diagonales. A continuación se ofrece un ejemplo de un cuadrado mágico de 8 × 8. En el cuadrado terminado, cada uno de los cuatro cuadrantes también son cuadrados panmágicos, cada cuadrante con la misma constante mágica 130.

Método de fronteras

Método de borde para el pedido 3

En este método, el objetivo es envolver un borde alrededor de un cuadrado mágico más pequeño que sirve como núcleo. Considere el cuadrado de 3×3, por ejemplo. Restando el número medio 5 de cada número 1, 2, ..., 9, obtenemos 0, ± 1, ± 2, ± 3 y ± 4, que haremos, a falta de mejores palabras, siguiendo a S. Harry White. , denominados números de huesos. La constante mágica de un cuadrado mágico, al que nos referiremos como cuadrado esqueleto, formada por estos números de huesos será cero ya que sumando todas las filas de un cuadrado mágico dará nM = Σ k = 0; por lo tanto M = 0.

No es difícil argumentar que el número del medio debe colocarse en la celda central: sea x el número colocado en la celda del medio, luego la suma de la columna del medio, la fila del medio y las dos diagonales dan Σ k + 3 x = 4M . Como Σ k = 3 M , tenemos x = M / 3. Aquí M = 0, entonces x = 0.

Al poner el número 0 del medio en la celda central, queremos construir un borde tal que el cuadrado resultante sea mágico. Sea la frontera dada por:

Como la suma de cada fila, columna y diagonales debe ser una constante (que es cero), tenemos

a + a* = 0,

segundo + segundo* = 0,

tu + tu* = 0,

v + v* = 0.

Ahora, si hemos elegido a , b , u y v , entonces tenemos a* = - a , b* = - b , u* = - u y v* = - v . Esto significa que si asignamos un número dado a una variable, digamos a = 1, entonces su complemento se asignará a a* , es decir, a* = - 1. Así, de ocho variables desconocidas, es suficiente especificar el valor de sólo cuatro variables. Consideraremos a , b , u y v como variables independientes, mientras que a* , b* , u* y v* son variables dependientes. Esto nos permite considerar un número de hueso ± x como un número único independientemente del signo porque (1) su asignación a una variable dada, digamos a , implicará automáticamente que el mismo número de signo opuesto se compartirá con su complemento a* , y (2) a dos variables independientes, digamos a y b , no se les puede asignar el mismo número de hueso. Pero, ¿cómo deberíamos elegir a , b , u y v ? Tenemos la suma de la fila superior y la suma de la columna derecha como

tu + a + v = 0,

v + b + u* = 0.

Dado que 0 es un número par, solo hay dos formas en que la suma de tres números enteros producirá un número par: 1) si los tres fueran pares, o 2) si dos fueran impares y uno par. Dado que en nuestra elección de números solo tenemos dos números pares distintos de cero (± 2 y ± 4), la primera afirmación es falsa. Por lo tanto, debe darse el caso de que la segunda afirmación sea verdadera: que dos de los números son pares y uno impar.

La única forma en que las dos ecuaciones anteriores pueden satisfacer esta condición de paridad simultáneamente y seguir siendo consistentes con el conjunto de números que tenemos es cuando u y v son impares. Por el contrario, si hubiéramos asumido que u y a eran impares y v par en la primera ecuación, entonces u* = - u será impar en la segunda ecuación, haciendo que b también sea impar, para satisfacer la condición de paridad. Pero esto requiere tres números impares ( u , a y b ), lo que contradice el hecho de que solo tenemos dos números impares (± 1 y ± 3) que podemos usar. Esto demuestra que los números impares de huesos ocupan las celdas de las esquinas. Cuando se convierte a números normales sumando 5, esto implica que las esquinas de un cuadrado mágico de 3 × 3 están ocupadas por números pares.

Por lo tanto, tomando u = 1 y v = 3, tenemos a = - 4 y b = - 2. Por lo tanto, el esqueleto cuadrado terminado será como el de la izquierda. Sumando 5 a cada número, obtenemos el cuadrado mágico terminado.

Se puede utilizar un argumento similar para construir cuadrados más grandes. Dado que no existe un cuadrado mágico de 2 × 2 alrededor del cual podamos envolver un borde para construir un cuadrado mágico de 4 × 4, el siguiente orden más pequeño para el cual podemos construir un cuadrado con borde es el orden 5.

Método de borde para el pedido 5

Considere el cuadrado de quinto orden. Para ello disponemos de un núcleo mágico de 3×3, alrededor del cual envolveremos un borde mágico. Los números de huesos a utilizar serán ± 5, ± 6, ± 7, ± 8, ± 9, ± 10, ± 11 y ± 12. Sin tener en cuenta los signos, tenemos 8 números de huesos, 4 de los cuales son pares y 4 de los cuales son extraños. En general, para un cuadrado de cualquier orden n , habrá 4( n - 1) celdas fronterizas, que se rellenarán con 2( n - 1) números de hueso. Deja que el borde mágico se dé como

Como antes, deberíamos

• Coloque un número de hueso y su complemento uno frente al otro, de modo que la suma mágica sea cero.

Basta determinar los números u, v, a, b, c, d, e, f para describir el borde mágico. Como antes, tenemos las dos ecuaciones de restricción para la fila superior y la columna derecha:

u + a + b + c + v = 0

v + d + mi + f + u* = 0.

Son posibles múltiples soluciones. El procedimiento estándar es

• Primero intente determinar las celdas de las esquinas, después de lo cual intentaremos determinar el resto del borde.

Hay 28 formas de elegir dos números del conjunto de 8 números de hueso para las celdas de las esquinas u y v . Sin embargo, no todas las parejas son admisibles. Entre los 28 pares, 16 pares están formados por un número par y un número impar, 6 pares tienen ambos como números pares, mientras que 6 pares tienen ambos como números impares.

Podemos demostrar que las celdas de las esquinas u y v no pueden tener un número par e impar. Esto se debe a que si esto fuera así, entonces las sumas u + v y v + u* serían impares, y como 0 es un número par, las sumas a + b + c y d + e + f también deberían ser impares. La única forma en que la suma de tres números enteros dará como resultado un número impar es cuando 1) dos de ellos son pares y uno es impar, o 2) cuando los tres son impares. Dado que se supone que las celdas de las esquinas son pares e impares, ninguna de estas dos afirmaciones es compatible con el hecho de que solo tengamos a nuestra disposición 3 números de huesos pares y 3 impares. Esto prueba que u y v no pueden tener paridad diferente. Esto elimina 16 posibilidades.

Utilizando un razonamiento de tipos similar también podemos sacar algunas conclusiones sobre los conjuntos { a , b , c } y { d , e , f }. Si u y v son pares, entonces ambos conjuntos deberían tener dos números impares y un número par. Si u y v son ambos impares, entonces uno de los conjuntos debería tener tres números pares, mientras que el otro conjunto debería tener un número par y dos números impares.

Como ejemplo, considere el caso en el que tanto u como v son pares. Los 6 pares posibles son: (6, 8), (6, 10), (6, 12), (8, 10), (8, 12) y (10, 12). Dado que las sumas u + v y v + u* son pares, las sumas a + b + c y d + e + f también deberían ser pares. La única forma en que la suma de tres números enteros dará como resultado un número par es cuando 1) dos de ellos son impares y uno es par, o 2) cuando los tres son pares. El hecho de que las dos celdas de las esquinas sean pares significa que solo tenemos 2 números pares a nuestra disposición. Por tanto, la segunda afirmación no es compatible con este hecho. Por tanto, debe darse el caso de que la primera afirmación sea verdadera: dos de los tres números deben ser impares, mientras que uno debe ser par.

Ahora sean a, b, d, e números impares mientras que c y f sean números pares. Dados los números impares de huesos que tenemos a nuestra disposición: ± 5, ± 7, ± 9 y ± 11, sus diferencias van desde D = { ± 2, ± 4, ± 6} mientras que sus sumas van desde S = {± 12, ± 14, ± 16, ± 18, ± 20}. También es útil tener una tabla de sus sumas y diferencias para referencia posterior. Ahora , dadas las celdas de las esquinas ( u , v ), podemos verificar su admisibilidad verificando si las sumas u + v + c y v + u* + f caen dentro del conjunto D o S. La admisibilidad de los números de las esquinas es una condición necesaria pero no suficiente para que exista la solución.

Por ejemplo, si consideramos el par ( u , v ) = (8, 12), entonces u + v = 20 y v + u* = 6; y tendremos a nuestra disposición ± 6 y ± 10 números de huesos pares. Tomando c = ± 6, tenemos que la suma u + v + c es 26 y 14, dependiendo del signo de ± 6 tomado, los cuales no caen dentro de los conjuntos D o S. Asimismo, tomando c = ± 10, tenemos que la suma u + v + c es 30 y 10, los cuales nuevamente no caen dentro de los conjuntos D o S. Por tanto, el par (8, 12) no es admisible. Mediante un proceso de razonamiento similar, también podemos descartar el par (6, 12).

Como otro ejemplo, si consideramos el par ( u , v ) = (10, 12), entonces u + v = 22 y v + u* = 2; y tendremos a nuestra disposición ± 6 y ± 8 números de huesos pares. Tomando c = ± 6, tenemos que la suma u + v + c es 28 y 16. Si bien 28 no cae dentro de los conjuntos D o S , 16 cae en el conjunto S. Por inspección, encontramos que si ( a , b ) = (-7, -9), entonces a + b = -16; y satisfará la primera ecuación de restricción. Además, tomando f = ± 8, tenemos que la suma v + u* + f es 10 y -6. Mientras que 10 no cae dentro de los conjuntos D o S , -6 cae en el conjunto D. Dado que -7 y -9 ya han sido asignados a a y b , claramente ( d , e ) = (-5, 11) de modo que d + e = 6; y satisfará la segunda ecuación de restricción.

Del mismo modo, tomando c = ± 8, tenemos que la suma u + v + c es 30 y 14. Si bien 30 no cae dentro de los conjuntos D o S , 14 cae en el conjunto S. Por inspección, encontramos que si ( a , b ) = (-5, -9), entonces a + b = -14. Además, tomando f = ± 6, tenemos que la suma v + u* + f es 8 y -4. Mientras que 8 no cae dentro de los conjuntos D o S , -4 cae en el conjunto D. Claramente, ( d , e ) = (-7, 11) de modo que d + e = 4, y se cumplirá la segunda ecuación de restricción.

Por tanto, el par de esquinas ( u , v ) = (10, 12) es admisible; y admite dos soluciones: (a, b, c, d, e, f) = (-7, -9, -6, -5, 11, -8) y (a, b, c, d, e, f) = (-5, -9, -8, -7, 11, -6). Los cuadrados de esqueleto terminados se muestran a continuación. El cuadrado mágico se obtiene sumando 13 a cada celda.

Utilizando un proceso de razonamiento similar, podemos construir la siguiente tabla para los valores de u, v, a, b, c, d, e, f expresados ​​como números de huesos como se indica a continuación. Sólo hay 6 opciones posibles para las celdas de las esquinas, lo que lleva a 10 posibles soluciones de borde.

Dado este grupo de 10 bordes, podemos construir 10×8×(3!) ² = 2880 cuadrados mágicos con bordes esencialmente diferentes. Aquí los números de huesos ± 5, ..., ± 12 fueron consecutivos. Se pueden construir más cuadrados con bordes si los números no son consecutivos. Si también se utilizaran números de huesos no consecutivos, entonces habría un total de 605 bordes mágicos. Por lo tanto, el número total de cuadrados mágicos con bordes esencialmente diferentes de orden 5 (con números consecutivos y no consecutivos) es 174.240. ^{[74] [75]} Ver historia. ^[76] El número de cuadrados mágicos de quinto orden que se pueden construir mediante el método de borde es aproximadamente 26 veces mayor que mediante el método de superposición.

Métodos de enumeración continua.

La enumeración exhaustiva de todos los bordes de un cuadrado mágico de un orden determinado, como se hizo anteriormente, es muy tediosa. Como tal, a menudo es deseable una solución estructurada que nos permita construir un borde para un cuadrado de cualquier orden. A continuación damos tres algoritmos para construir bordes para cuadrados impares, doblemente pares y simples pares. Estos algoritmos de enumeración continua fueron descubiertos en el siglo X por eruditos árabes; y la exposición más antigua que se conserva proviene de los dos tratados de al-Buzjani y al-Antaki, aunque ellos mismos no fueron los descubridores. ^[24] Desde entonces se han descubierto muchos más algoritmos de este tipo.

Cuadrados impares : el siguiente es el algoritmo dado por al-Buzjani para construir un borde para cuadrados impares. Una peculiaridad de este método es que para orden n cuadrado, las dos esquinas adyacentes son los números n - 1 y n + 1 .

Comenzando desde la celda arriba de la esquina inferior izquierda, colocamos los números alternativamente en la columna izquierda y en la fila inferior hasta llegar a la celda del medio. El siguiente número se escribe en la celda del medio de la fila inferior recién alcanzada, después de lo cual llenamos la celda en la esquina superior izquierda, luego la celda del medio de la columna derecha y luego la esquina superior derecha. Después de esto, comenzando desde la celda arriba de la celda central de la columna derecha ya llena, reanudamos la ubicación alterna de los números en la columna derecha y la fila superior. Una vez que se llena la mitad de las celdas del borde, la otra mitad se llena con números complementarios de las celdas opuestas. Los bordes interiores posteriores se rellenan de la misma manera, hasta rellenar el cuadrado de orden 3. ^[24]

A continuación se muestra un ejemplo de cuadrado de noveno orden.

Orden doblemente par : El siguiente es el método dado por al-Antaki. Considere un borde vacío de orden n = 4 k con k ≥ 3. La peculiaridad de este algoritmo es que las celdas de las esquinas adyacentes están ocupadas por números n y n - 1 .

Comenzando por la celda de la esquina superior izquierda, vamos colocando los números sucesivos por grupos de cuatro, el primero al lado de la esquina, el segundo y el tercero abajo, y el cuarto arriba, y así sucesivamente hasta que quede en la esquina. fila superior (excluyendo las esquinas) seis celdas vacías. Luego escribimos los siguientes dos números arriba y los siguientes cuatro abajo. Luego rellenamos las esquinas superiores, primero a la izquierda y luego a la derecha. Colocamos el siguiente número debajo de la esquina superior derecha en la columna derecha, el siguiente número en el otro lado de la columna izquierda. Luego continuamos colocando grupos de cuatro números consecutivos en las dos columnas como antes. Una vez que se llena la mitad de las celdas del borde, la otra mitad se llena con números complementarios de las celdas opuestas. ^[24]

El siguiente ejemplo muestra el borde del cuadrado de orden 16.

Para pedir 8 cuadrados, comenzamos directamente con las seis celdas.

Orden par simple : para orden par simple, tenemos el algoritmo dado por al-Antaki. Aquí las celdas de las esquinas están ocupadas por n y n - 1. A continuación se muestra un ejemplo de cuadrado de décimo orden.

Comience colocando 1 en la fila inferior al lado de la celda de la esquina izquierda, luego coloque 2 en la fila superior. Después de esto, coloque 3 en la fila inferior y gire alrededor del borde en sentido antihorario colocando los siguientes números, hasta llegar a n - 2 en la columna derecha. Los dos números siguientes se colocan en las esquinas superiores ( n - 1 en la esquina superior izquierda y n en la esquina superior derecha). Luego, los siguientes dos números se colocan en la columna de la izquierda, luego reanudamos la colocación cíclica de los números hasta que se llene la mitad de todas las celdas del borde. Una vez que se llena la mitad de las celdas del borde, la otra mitad se llena con números complementarios de las celdas opuestas. ^[24]

Método de composición

Para cuadrados de ordenm×ndóndemetro,norte> 2

Este es un método que recuerda al producto de Kronecker de dos matrices, que construye un cuadrado mágico nm × nm a partir de un cuadrado mágico n × n y un cuadrado mágico m × m . ^[77] El "producto" de dos cuadrados mágicos crea un cuadrado mágico de orden superior a los dos multiplicandos. Sean los dos cuadrados mágicos de orden m y n . El cuadrado final será de orden m × n . Divida el cuadrado de orden m × n en subcuadrados m × m , de modo que haya un total de n ² subcuadrados de este tipo. En el cuadrado de orden n , reduce en 1 el valor de todos los números. Multiplique estos valores reducidos por m ² y coloque los resultados en los subcuadrados correspondientes del cuadrado entero m × n . Los cuadrados de orden m se suman n ² veces a los subcuadrados del cuadrado final. La peculiaridad de este método de construcción es que cada subcuadrado mágico tendrá sumas mágicas diferentes. El cuadrado formado por tales sumas mágicas de cada subcuadrado mágico volverá a ser un cuadrado mágico. A continuación se muestra el cuadrado mágico compuesto más pequeño de orden 9, compuesto por dos cuadrados de orden 3.

Dado que cada uno de los subcuadrados de 3 × 3 se puede rotar de forma independiente y reflejarse en 8 cuadrados diferentes, de este único cuadrado compuesto de 9 × 9 podemos derivar 8 ⁹ = 134,217,728 cuadrados compuestos de 9 × 9 esencialmente diferentes. También se pueden derivar muchos más cuadrados mágicos compuestos si seleccionamos números no consecutivos en los subcuadrados mágicos, como en la versión de Yang Hui del cuadrado mágico compuesto de 9 × 9. A continuación se muestran los siguientes cuadrados mágicos compuestos más pequeños de orden 12, compuestos por cuadrados mágicos de orden 3 y 4.

Para los cuadrados base, solo hay un cuadrado de tercer orden esencialmente diferente, mientras que hay 880 cuadrados de cuarto orden esencialmente diferentes entre los que podemos elegir. Cada pareja puede producir dos cuadrados compuestos diferentes. Dado que cada subcuadrado mágico en cada cuadrado compuesto se puede expresar en 8 formas diferentes debido a rotaciones y reflexiones, puede haber 1×880×8 ⁹ + 880×1×8 ¹⁶ ≈ 2.476×10 ¹⁷ compuestos de 12×12 esencialmente diferentes cuadrados mágicos creados de esta manera, con números consecutivos en cada subcuadrado. En general , si hay cm _m y c _n cuadrados mágicos esencialmente diferentes de orden m y n , entonces podemos formar cm _× c _n × (8 ^{m 2} + 8 ^{n 2} ) cuadrados compuestos de orden mn , siempre que m ≠ n . Si m = n , entonces podemos formar ( cm ) 2 _× ⁸ m ^{2 cuadrados} compuestos de orden m ² .

Para cuadrados de orden doblemente par

Cuando los cuadrados son de orden doblemente par, podemos construir un cuadrado mágico compuesto de una manera más elegante que el proceso anterior, en el sentido de que cada subcuadrado mágico tendrá la misma constante mágica. Sea n el orden del cuadrado principal ym el orden de los subcuadrados iguales. Los subcuadrados se llenan uno por uno, en cualquier orden, con una secuencia continua de m ² /2 números más pequeños (es decir, números menores o iguales a n ² /2) junto con sus complementos a n ² + 1. Cada subcuadrado como un todo producirá la misma suma mágica. La ventaja de este tipo de cuadrados compuestos es que cada subcuadrado se rellena de la misma forma y su disposición es arbitraria. Así, el conocimiento de una sola construcción de orden par será suficiente para llenar todo el cuadrado. Además, si los subcuadrados se rellenan en la secuencia natural, el cuadrado resultante será pandiagonal. La suma mágica de los subcuadrados está relacionada con la suma mágica de todo el cuadrado por donde n = km . ^[24] ${\displaystyle M_{m}={\frac {M_{n}}{k}}}$

En los ejemplos siguientes, hemos dividido el cuadrado de orden 12 en nueve subcuadrados de orden 4 llenos cada uno con ocho números más pequeños y, en las celdas del alfil correspondientes (dos celdas en diagonal, incluidas las envolventes, en el subcuadrado de 4 × 4), sus complementos a n ² + 1 = 145. Cada subcuadrado es pandiagonal con constante mágica 290; mientras que todo el cuadrado de la izquierda también es pandiagonal con constante mágica 870.

En otro ejemplo a continuación, hemos dividido el cuadrado de orden 12 en cuatro cuadrados de orden 6. Cada uno de los cuadrados del orden 6 se llena con dieciocho números pequeños y sus complementos utilizando la técnica de borde dada por al-Antaki. Si eliminamos los bordes sombreados de los subcuadrados de orden 6 y formamos un cuadrado de orden 8, entonces este cuadrado de orden 8 es nuevamente un cuadrado mágico. En toda su generalidad, podemos tomar cualquier número m ² /2 más pequeño junto con sus complementos a n ² + 1 para llenar los subcuadrados, no necesariamente en secuencia continua.

Método Medjig para cuadrados de orden par 2norte, dóndenorte> 2

En este método, un cuadrado mágico se "multiplica" por un cuadrado medjig para crear un cuadrado mágico más grande. El homónimo de este método deriva del juego matemático llamado medjig creado por Willem Barink en 2006, aunque el método en sí es mucho más antiguo. ^{[ cita necesaria ]} Un ejemplo temprano de un cuadrado mágico construido usando este método ocurre en el texto de Yang Hui para el cuadrado mágico de orden 6. ^{[ cita necesaria ]} El método LUX para construir cuadrados mágicos pares individuales es un caso especial del método medjig, donde solo se utilizan 3 de 24 patrones para construir el cuadrado medjig. ^{[ cita necesaria ]}

Las piezas del rompecabezas medjig son cuadrados de 2×2 sobre los que se colocan los números 0, 1, 2 y 3. Hay tres patrones básicos mediante los cuales los números 0, 1, 2 y 3 se pueden colocar en un cuadrado de 2×2, donde el 0 está en la esquina superior izquierda:

Cada patrón se puede reflejar y rotar para obtener 8 patrones equivalentes, dándonos un total de 3×8 = 24 patrones. El objetivo del rompecabezas es tomar n ² piezas de medjig y organizarlas en un cuadrado de medjig de n × n de tal manera que cada fila, columna, junto con las dos diagonales largas formadas por el cuadrado de medjig sumen 3 n , el Constante mágica del cuadrado medjig. Un cuadrado medjig de n × n puede crear un cuadrado mágico de 2 n × 2 n donde n > 2.

Dado un cuadrado medjig de n × n y una base de cuadrado mágico de n × n , se puede construir un cuadrado mágico de orden 2 n × 2 n de la siguiente manera:

• Cada celda de un cuadrado mágico de n × n está asociada con un subcuadrado correspondiente de 2 × 2 del cuadrado medjig.
• Llene cada subcuadrado de 2 × 2 del cuadrado medjig con los cuatro números del 1 al 4 n ² que igualan el número original módulo n ² , es decir, x + n ² y donde x es el número correspondiente del cuadrado mágico e y es un número de 0 a 3 en los subcuadrados de 2×2.

Suponiendo que tenemos una base de cuadrado mágico inicial, el desafío radica en construir un cuadrado medjig. Como referencia, las sumas de cada pieza de medjig a lo largo de las filas, columnas y diagonales, indicadas en cursiva, son:

Cuadrados doblemente pares : El cuadrado medjig par más pequeño es de orden 2 con constante mágica 6. Si bien es posible construir un cuadrado medjig de 2 × 2, no podemos construir un cuadrado mágico de 4 × 4 a partir de él, ya que se requieren cuadrados mágicos de 2 × 2. "multiplicar" no existe. Sin embargo, vale la pena construir estos cuadrados medjig de 2×2. La constante mágica 6 se puede dividir en dos partes de tres maneras como 6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 3 + 3. Existen 96 cuadrados medjig de 2 × 2. ^{[ cita necesaria ]} En los ejemplos siguientes, cada cuadrado medjig de 2 × 2 se fabrica combinando diferentes orientaciones de una sola pieza medjig.

Podemos usar los cuadrados medjig de 2 × 2 para construir cuadrados medjig más grandes, incluso ordenados. Un posible enfoque es simplemente combinar los cuadrados medjig de 2 × 2. Otra posibilidad es envolver un núcleo cuadrado medjig más pequeño con un borde medjig. Las piezas de un cuadrado medjig de 2×2 pueden formar las esquinas del borde. Otra posibilidad más es añadir una fila y una columna a un cuadrado medjig ordenado impar. A continuación se construye un ejemplo de un cuadrado mágico de 8 × 8 combinando cuatro copias del cuadrado medjig de 2 × 2 situado más a la izquierda que se muestra arriba:

El siguiente ejemplo se construye bordeando un núcleo cuadrado medjig de 2×2.

Cuadrados pares individuales : el cuadrado Medjig de orden 1 no existe. Como tal, el cuadrado medjig ordenado impar más pequeño es de orden 3, con constante mágica 9. Sólo hay 7 formas de dividir el número entero 9, nuestra constante mágica, en tres partes. ^{[ cita necesaria ]} Si estas tres partes corresponden a tres de las piezas medjig en una fila, columna o diagonal, entonces las particiones relevantes para nosotros son:

9 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 3 + 4 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3.

Se puede construir un cuadrado medjig de 3 × 3 con algo de prueba y error, como en el cuadrado más a la izquierda a continuación. Otro enfoque es agregar una fila y una columna a un cuadrado medjig de 2 × 2. En el cuadrado central de abajo, se agregó una columna izquierda y una fila inferior, creando un borde medjig en forma de L, a un cuadrado medjig de 2×2 dado anteriormente. El cuadrado más a la derecha a continuación es esencialmente igual que el cuadrado del medio, excepto que la fila y la columna se agregaron en el medio para formar una cruz mientras que las piezas del cuadrado medjig de 2 × 2 se colocan en las esquinas.

Una vez construido un cuadrado medjig de 3×3, se puede convertir en un cuadrado mágico de 6×6. Por ejemplo, usando el cuadrado medjig de 3 × 3 más a la izquierda que se muestra arriba:

Hay 1.740.800 de estos cuadrados medjig de 3 × 3. ^[78] Un método sencillo para construir un cuadrado medjig impar de orden superior es envolver un cuadrado medjig impar ordenado más pequeño con un borde medjig, al igual que con los cuadrados medjig pares. Otro método consiste en añadir una fila y una columna a un cuadrado medjig ordenado par. También se pueden utilizar enfoques como el método LUX. En el siguiente ejemplo, se crea un cuadrado medjig de 5×5 envolviendo un borde medjig alrededor de un cuadrado medjig de 3×3 dado anteriormente:

Resolver cuadrados mágicos parcialmente completados

Resolver cuadrados mágicos parcialmente completados es un pasatiempo matemático popular. Las técnicas necesarias son similares a las utilizadas en los Sudoku o KenKen , e implican deducir los valores de los cuadrados vacíos utilizando la lógica y la teoría de grupos de permutación (las cuadrículas de Sudoku no son cuadrados mágicos, pero se basan en una idea relacionada llamada cuadrados grecolatinos ). ^[67]

Variaciones del cuadrado mágico

Restricciones adicionales

Cuadrado mágico de números primos

Se pueden imponer ciertas restricciones adicionales a los cuadrados mágicos.

Si elevando cada número a la enésima potencia se obtiene otro cuadrado mágico, el resultado es un cuadrado bimágico (n = 2), un trimágico (n = 3) o, en general, un cuadrado multimágico .

Un cuadrado mágico en el que el número de letras del nombre de cada número del cuadrado genera otro cuadrado mágico se llama cuadrado alfamágico .

Hay cuadrados mágicos formados enteramente por números primos. Rudolf Ondrejka (1928-2001) descubrió el siguiente cuadrado mágico de números primos de 3×3 , en este caso nueve primos de Chen :

El teorema de Green-Tao implica que existen cuadrados mágicos arbitrariamente grandes formados por números primos.

El siguiente "cuadrado mágico reversible" tiene una constante mágica de 264 tanto al revés como hacia arriba: ^[79]

Construcción del cuadrado mágico de Ramanujan a partir de un cuadrado latino con diagonales distintas y valores de día (D), mes (M), siglo (C) y año (Y), y ejemplo del cumpleaños de Ramanujan.

Cuando la restricción adicional es mostrar alguna fecha, especialmente una fecha de nacimiento, estos cuadrados mágicos se denominan cuadrados mágicos de cumpleaños. Srinivasa Ramanujan creó uno de los primeros ejemplos de este cuadrado mágico de cumpleaños . Creó un cuadrado de 4 × 4 en el que ingresó su fecha de nacimiento en formato D – M – CY en la fila superior y la magia ocurrió con sumas y restas de números en cuadrados. No sólo las filas, columnas y diagonales suman el mismo número, sino que las cuatro esquinas, los cuatro cuadrados del medio (17, 9, 24, 89), la primera y la última fila, dos números del medio (12, 18, 86). , 23), y la primera y la última columna, dos números del medio (88, 10, 25, 16), suman la suma de 139.

Cuadrados mágicos multiplicativos

En lugar de sumar los números de cada fila, columna y diagonal, se puede aplicar alguna otra operación. Por ejemplo, un cuadrado mágico multiplicativo tiene un producto constante de números. Un cuadrado mágico multiplicativo se puede derivar de un cuadrado mágico aditivo elevando 2 (o cualquier otro número entero) a la potencia de cada elemento, porque el logaritmo del producto de 2 números es la suma de los logaritmos de cada uno. Alternativamente, si 3 números cualesquiera en una línea son 2 ^a , 2 ^b y 2 ^c , su producto es 2 ^{a + b + c} , que es constante si a + b + c es constante, como lo serían si a , b y c fueron tomados del cuadrado mágico ordinario (aditivo). ^[80] Por ejemplo, el cuadrado mágico original de Lo-Shu se convierte en:

Otros ejemplos de cuadrados mágicos multiplicativos incluyen:

Cuadrados mágicos multiplicativos de números complejos.

Aún utilizando el método no iterativo de Ali Skalli, es posible producir una infinidad de cuadrados mágicos multiplicativos de números complejos ^[81] pertenecientes a un conjunto. En el siguiente ejemplo, las partes real e imaginaria son números enteros, pero también pueden pertenecer al conjunto completo de los números reales . El producto es: −352.507.340.640 − 400.599.719.520 i . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Cuadrados mágicos y semimágicos aditivos-multiplicativos

Los cuadrados mágicos aditivos-multiplicativos y los cuadrados semimágicos satisfacen las propiedades de los cuadrados mágicos y semimágicos tanto ordinarios como multiplicativos, respectivamente. ^[82]

Se desconoce si existe algún cuadrado mágico aditivo-multiplicativo menor que 7 × 7, pero se ha demostrado que no existen cuadrados mágicos aditivos-multiplicativos de 3 × 3 o 4 × 4 ni cuadrados semimágicos aditivos-multiplicativos de 3 × 3. ^[83]

Cuadrados mágicos geométricos

Un cuadrado mágico geométrico.

Se pueden construir cuadrados mágicos que contengan formas geométricas en lugar de números. Estos cuadrados, conocidos como cuadrados mágicos geométricos , fueron inventados y nombrados por Lee Sallows en 2001. ^[84]

In the example shown the shapes appearing are two dimensional. It was Sallows' discovery that all magic squares are geometric, the numbers that appear in numerical magic squares can be interpreted as a shorthand notation which indicates the lengths of straight line segments that are the geometric 'shapes' occurring in the square. That is, numerical magic squares are that special case of a geometric magic square using one dimensional shapes.^[85]

Area magic squares

The first linear area magic square

In 2017, following initial ideas of William Walkington and Inder Taneja, the first linear area magic square (L-AMS) was constructed by Walter Trump.^[86]

Other magic shapes

Other two dimensional shapes than squares can be considered. The general case is to consider a design with N parts to be magic if the N parts are labeled with the numbers 1 through N and a number of identical sub-designs give the same sum. Examples include magic circles, magic rectangles, magic triangles^[87] magic stars, magic hexagons, magic diamonds. Going up in dimension results in magic spheres, magic cylinders, magic cubes, magic parallelepiped, magic solids, and other magic hypercubes.

Possible magic shapes are constrained by the number of equal-sized, equal-sum subsets of the chosen set of labels. For example, if one proposes to form a magic shape labeling the parts with {1, 2, 3, 4}, the sub-designs will have to be labeled with {1,4} and {2,3}.^[87]

Related problems

A semimagic square (its diagonals do not sum to its magic constant, 260) also forming a knight's tour – no fully magic tours exist.^[88]

n-Queens problem

In 1992, Demirörs, Rafraf, and Tanik published a method for converting some magic squares into n-queens solutions, and vice versa.^[89]

Magic squares in occultism

Magic squares of order 3 through 9, assigned to the seven planets, and described as means to attract the influence of planets and their angels (or demons) during magical practices, can be found in several manuscripts all around Europe starting at least since the 15th century. Among the best known, the Liber de Angelis, a magical handbook written around 1440, is included in Cambridge Univ. Lib. MS Dd.xi.45.^[90] The text of the Liber de Angelis is very close to that of De septem quadraturis planetarum seu quadrati magici, another handbook of planetary image magic contained in the Codex 793 of the Biblioteka Jagiellońska (Ms BJ 793).^[91] The magical operations involve engraving the appropriate square on a plate made with the metal assigned to the corresponding planet,^[92] as well as performing a variety of rituals. For instance, the 3×3 square, that belongs to Saturn, has to be inscribed on a lead plate. It will, in particular, help women during a difficult childbirth.

In about 1510 Heinrich Cornelius Agrippa wrote De Occulta Philosophia, drawing on the Hermetic and magical works of Marsilio Ficino and Pico della Mirandola. In its 1531 edition, he expounded on the magical virtues of the seven magical squares of orders 3 to 9, each associated with one of the astrological planets, much in the same way as the older texts did. This book was very influential throughout Europe until the counter-reformation, and Agrippa's magic squares, sometimes called kameas, continue to be used within modern ceremonial magic in much the same way as he first prescribed.^[93]

The derivation of the sigil of Hagiel, the planetary intelligence of Venus, drawn on the magic square of Venus. Each Hebrew letter provides a numerical value, giving the vertices of the sigil.

The most common use for these kameas is to provide a pattern upon which to construct the sigils of spirits, angels or demons; the letters of the entity's name are converted into numbers, and lines are traced through the pattern that these successive numbers make on the kamea. In a magical context, the term magic square is also applied to a variety of word squares or number squares found in magical grimoires, including some that do not follow any obvious pattern, and even those with differing numbers of rows and columns. They are generally intended for use as talismans. For instance the following squares are: The Sator square, one of the most famous magic squares found in a number of grimoires including the Key of Solomon; a square "to overcome envy", from The Book of Power;^[94] and two squares from The Book of the Sacred Magic of Abramelin the Mage, the first to cause the illusion of a superb palace to appear, and the second to be worn on the head of a child during an angelic invocation:

Magic squares in popular culture

Macau stamp featuring geometric magic square

• In Goethe's Faust, the witch's spell used to make a youth elixir for Faust, the Hexen-Einmal-Eins [de], has been interpreted as a construction of a magic square.^[95][96]
• The English composer Peter Maxwell Davies has used magic squares to structure many of his compositions. For example, his 1975 Ave Maris Stella uses the 9×9 magic square of Moon while his 1977 A Mirror of Whitening Light uses the 8×8 magic square of Mercury to create the entire set of notes and durations for the piece. His other works that employ magic squares include The Lighthouse (1979), Resurrection (1987), Strathclyde Concerto No. 3 for Horn and Trumpet (1989), as well as many of his symphonies.^[97][98] According to Davies' own account:

A magic square in a musical composition is not a block of numbers – it is a generating principle, to be learned and known intimately, perceived inwardly as a multi-dimensional projection into that vast (chaotic!) area of the internal ear – the space/time crucible – where music is conceived. ... Projected onto the page, a magic square is a dead, black conglomeration of digits; tune in, and one hears a powerful, orbiting dynamo of musical images, glowing with numen and lumen.^[98]

• Magic squares, including Benjamin Franklin's, appear as clues to the mystery in Katherine Neville's novels The Eight and The Fire.
• Magic squares play a role in Steve Martin's 2003 novel The Pleasure of My Company.
• Dürer's magic square and his Melencolia I both also played large roles in Dan Brown's 2009 novel, The Lost Symbol.
• In the 2011 Korean television drama Deep Rooted Tree, King Sejong is shown attempting to construct a 33×33 magic square using lunch boxes. He ultimately discovers the "pyramid method" and completes the magic square with the help of an army of court attendants. This inspires him to create a more just form of government ruled by reason and words rather than military might.
• On October 9, 2014, the post office of Macao in the People's Republic of China issued a series of stamps based on magic squares.^[99] The figure below shows the stamps featuring the nine magic squares chosen to be in this collection.^[100]
• The metallic artifact at the center of The X-Files episode "Biogenesis" is alleged by Chuck Burks to be a magic square.^[101][102]
• Mathematician Matt Parker attempted to create a 3×3 magic square using square numbers in a YouTube video on the Numberphile channel. His failed attempt is known as the Parker square.
• The first season Stargate Atlantis episode "Brotherhood" involves completing a magic square as part of a puzzle guarding a powerful Ancient artefact.
• Magic Squares are also featured in the 2019 Spanish film Vivir dos veces.

See also

• Antimagic square
• Arithmetic sequence
• Associative magic square
• Combinatorial design
• Freudenthal magic square
• John R. Hendricks
• Hexagonal tortoise problem
• Latin square
• Magic circle
• Magic cube classes
• Magic polygon
• Magic series
• Most-perfect magic square
• Nasik magic hypercube
• Prime reciprocal magic square
• Room square
• Square matrices
• Sigil (magic)
• Sriramachakra
• Sudoku
• Unsolved problems in mathematics
• Vedic square

Notes

1. Miller, Jeff (September 3, 2016). "Earlier Known Uses of Some of the Words of Mathematics (M)".
2. Schwartzman, Steven (1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. MAA. p. 130.
3. Wolfram MathWorld: Magic Square Weisstein, Eric W.
4. The most famous Arabic book on magic, named "Shams Al-ma'arif (Arabic: كتاب شمس المعارف), for Ahmed bin Ali Al-boni, who died about 1225 (622 AH). Reprinted in Beirut in 1985
5. Yoke, Ho Peng (2008). "Magic Squares in China". Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Encyopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (2 ed.). Springer. pp. 1252–1259. doi:10.1007/978-1-4020-4425-0_9350. ISBN 978-1-4020-4559-2.
6. Andrews, William Symes (1917). Magic Squares and Cubes (2nd ed.). Open Court Publishing Company. p. 122.
7. Cammann, Schuyler (April 1960). "The Evolution of Magic Squares in China" (PDF). Journal of the American Oriental Society. 80 (2): 116–124. doi:10.2307/595587. JSTOR 595587.
8. Swetz, Frank J. (2008). The Legacy of the Luoshu (2nd ed.). A.K. Peters/CRC Press.
9. O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. "Yang Hui". MacTutor History of Mathematics Archive. Retrieved 15 March 2018.
10. The Influence of Chinese Mathematical Arts on Seki Kowa by Shigeru Jochi, MA, School of Oriental and African Studies, University of London, 1993
11. Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio (1914). A history of Japanese mathematics. Open Court Publishing Company. p. 69–75. Isomura Kittoku.
12. Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio (1914). A history of Japanese mathematics. Open Court Publishing Company. p. 79–80. Isomura Kittoku.
13. Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio (1914). A history of Japanese mathematics. Open Court Publishing Company. p. 116–122. Isomura Kittoku.
14. Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio (1914). A history of Japanese mathematics. Open Court Publishing Company. p. 178. Isomura Kittoku.
15. Michiwaki, Yoshimasa (2008). "Magic Squares in Japanese Mathematics". Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Encyopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (2 ed.). Springer. pp. 1252–1259. doi:10.1007/978-1-4020-4425-0_9154. ISBN 978-1-4020-4559-2.
16. Mikami, Yoshio (1917). Magic squares in Japanese mathematics (in Japanese). Tokyo: Imperial Academy of Science.
17. Hayashi, Takao (2008). "Magic Squares in Indian Mathematics". Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (2 ed.). Springer. pp. 1252–1259. doi:10.1007/978-1-4020-4425-0_9778. ISBN 978-1-4020-4559-2.
18. Datta, Bibhutibhusan; Singh, Awadhesh Narayan (1992). "Magic Squares in India" (PDF). Indian Journal of History of Science. 27 (1): 51–120. Archived from the original (PDF) on 2018-01-17. Retrieved 2018-01-16.
19. Hayashi, Takao (1987). "Varahamihira's Pandiagonal Magic Square of the Order Four" (PDF). Historia Mathematica. 14 (2): 159–166. doi:10.1016/0315-0860(87)90019-X.
20. J. P. Hogendijk, A. I. Sabra, The Enterprise of Science in Islam: New Perspectives, Published by MIT Press, 2003, ISBN 0-262-19482-1, p. xv.
21. Helaine Selin, Ubiratan D'Ambrosio, Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, Published by Springer, 2001, ISBN 1-4020-0260-2, p. 160.
22. Sesiano, Jacques (November 2003). "Construction of magic squares using the knight's move in Islamic mathematics" (PDF). Archive for History of Exact Sciences. 58 (1): 1–20. doi:10.1007/s00407-003-0071-4. S2CID 123219466.
23. Sesiano, Jacques (1997). "Magic squares in Islamic mathematics". Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. pp. 1259–1260.
24. Sesiano, Jacques (2007). Magic squares in the tenth century: Two Arabic treatises by Antaki and Buzjani. Springer.
25. Sesiano, J., Abūal-Wafā\rasp's treatise on magic squares (French), Z. Gesch. Arab.-Islam. Wiss. 12 (1998), 121–244.
26. Cammann, Schuyler (February 1969). "Islamic and Indian Magic Squares, Part I". History of Religions. 8 (3): 181–209. doi:10.1086/462584. S2CID 162095408.
27. Sesiano, Jacques (2004). "Quelques methodes arabes de construction des carres magiques impairs (some Arabic construction methods of odd magical squares)". Bulletin de la Société Vaudoise des Sciences Naturelles (in French). 83 (1): 51–76.
28. Peter, J. Barta, The Seal-Ring of Proportion and the magic rings (2016), pp. 6–9.
29. Needham, Joseph (1987). Theoretical Influences of China on Arabic Alchemy. UC Biblioteca Geral 1.
30. Jābir ibn Hayyān, Book of the Scales. French translation in: Marcelin Berthelot (1827–1907), Histoire de sciences. La chimie au moyen âge, Tom. III: L'alchimie arabe. Paris, 1893. [rprt.. Osnabruck: O. Zeller, 1967], pp. 139–162, in particular: pp. 150–151
31. al-Ghazālī, Deliverance From Error (al-munqidh min al-ḍalāl ) ch. 145. Arabic: al-Munkidh min al-dalal. ed. J. Saliba – K. Ayyad. Damascus: Maktab al-Nashr al-'Arabi, 1934, p. 79. English tr.: Richard Joseph McCarthy, Freedom and Fulfillment: An annotated translation of al-Ghazali's al-Munkidh min al-Dalal and other relevant works of al-Ghazali. Boston, Twayer, 1980. He refers a book titled 'The Marvels of Special Properties' as his source. This square was named in the Orient as the Seal of Ghazali after him.
32. Comes, Rosa (2016). "The Transmission of Azarquiel's Magic Squares in Latin Europe". In Wallis, Faith; Wisnovsky, Robert (eds.). Medieval Textual Cultures: Agents of Transmission, Translation and Transformation. Judaism, Christianity, and Islam – Tension, Transmission, Transformation. Vol. 6. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. pp. 159–198. ISBN 978-3-11-046730-7.
33. The Latin version is Liber de septem figuris septem planetarum figurarum Geberi regis Indorum. This treatise is the identified source of Dürer and Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim. Cf. Peter, J. Barta, The Seal-Ring of Proportion and the magic rings (2016), pp. 8–9, n. 10
34. Sesiano, Jacques (2004). Les carrés magiques dans les pays islamiques (in French). PPUR presses polytechniques.
35. Schimmel, Annemarie (1993). The mystery of numbers. New York: Oxford University Press.
36. "The Magic Squares of Manuel Moschopoulos - Introduction | Mathematical Association of America". www.maa.org.
37. Cammann, Schuyler (May 1969). "Islamic and Indian Magic Squares, part II". History of Religions. 8 (4): 271–299. doi:10.1086/462589. JSTOR 1062018. S2CID 224806255.
38. presently in the Biblioteca Vaticana (cod. Reg. Lat. 1283a)
39. See Alfonso X el Sabio, Astromagia (Ms. Reg. lat. 1283a), a cura di A.D'Agostino, Napoli, Liguori, 1992
40. Mars magic square appears in figure 1 of "Saturn and Melancholy: Studies in the History of Natural Philosophy, Religion, and Art" by Raymond Klibansky, Erwin Panofsky and Fritz Saxl, Basic Books (1964)
41. The squares can be seen on folios 20 and 21 of MS. 2433, at the Biblioteca Universitaria of Bologna. They also appear on folio 69rv of Plimpton 167, a manuscript copy of the Trattato dell'Abbaco from the 15th century in the Library of Columbia University.
42. In a 1981 article ("Zur Frühgeschichte der magischen Quadrate in Westeuropa" i.e. "Prehistory of Magic Squares in Western Europe", Sudhoffs Archiv Kiel (1981) vol. 65, pp. 313–338) German scholar Menso Folkerts lists several manuscripts in which the "Trattato d'Abbaco" by Dagomari contains the two magic square. Folkerts quotes a 1923 article by Amedeo Agostini in the Bollettino dell'Unione Matematica Italiana: "A. Agostini in der Handschrift Bologna, Biblioteca Universitaria, Ms. 2433, f. 20v–21r; siehe Bollettino della Unione Matematica Italiana 2 (1923), 77f. Agostini bemerkte nicht, dass die Quadrate zur Abhandlung des Paolo dell'Abbaco gehören und auch in anderen Handschriften dieses Werks vorkommen, z. B. New York, Columbia University, Plimpton 167, f. 69rv; Paris, BN, ital. 946, f. 37v–38r; Florenz, Bibl. Naz., II. IX. 57, f. 86r, und Targioni 9, f. 77r; Florenz, Bibl. Riccard., Ms. 1169, f. 94–95."
43. This manuscript text (circa 1496–1508) is also at the Biblioteca Universitaria in Bologna. It can be seen in full at the address http://www.uriland.it/matematica/DeViribus/Presentazione.html Archived 2012-03-01 at the Wayback Machine
44. Pacioli states: A lastronomia summamente hanno mostrato li supremi di quella commo Ptolomeo, al bumasar ali, al fragano, Geber et gli altri tutti La forza et virtu de numeri eserli necessaria (Masters of astronomy, such as Ptolemy, Albumasar, Alfraganus, Jabir and all the others, have shown that the force and the virtue of numbers are necessary to that science) and then goes on to describe the seven planetary squares, with no mention of magical applications.
45. Muurinen, Ismo (2020). Fermat, magic squares and the idea of self-supporting blocks (PDF) (MSc). University of Helsinki.
46. Chabert, Jean-Luc (1999). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. p. 524. ISBN 978-3540633693.
47. O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. "Benjamin Franklin". MacTutor History of Mathematics Archive. Retrieved 15 December 2018.
48. Rouse Ball, W.W. "Magic Squares". Mathematical Recreations and Essays (4 ed.). London: Mac Millan and Co., Limited. pp. 122–142.
49. Andrews, William Symes (1917). Magic Squares and Cubes (2nd ed.). Open Court Publishing Company. pp. 124–126.
50. "Virtual Home of Paul Muljadi". Archived from the original on 2005-11-09. Retrieved 2005-03-18.
51. "Magic cube with Dürer's square" Ali Skalli's magic squares and magic cubes
52. "The magic square on the Passion façade: keys to understanding it". 7 February 2018.
53. Letters: The Mathematical Intelligencer; 2003; 25; 4: pp. 6–7.
54. Skalli, Ali (14 October 2009). "Magic cube with Gaudi's square". Archived from the original on 15 December 2021.
55. Cain, Onno (2019). "Gaussian Integers, Rings, Finite Fields, and the Magic Square of Squares". arXiv:1908.03236 [math.RA]. Some 'near misses' have been found such as the Parker Square [2]
56. Boyer, Christian. "Latest research on the "3x3 magic square of squares" problem". multimagie. Retrieved 16 June 2019. The two corresponding prizes are still to be won!
57. Haran, Brady. "The Parker Square". Brady Haran Blog. Retrieved 16 June 2019. The Parker Square is a mascot for people who give it a go but ultimately fall short.
58. Gardner, Martin (January 1996). "The magic of 3x3" (PDF). Quantum. 6 (3): 24–26. ISSN 1048-8820. Retrieved 6 January 2024.
59. Gardner, Martin (March 1996). "The latest magic" (PDF). Quantum. 6 (4): 60. ISSN 1048-8820. Retrieved 6 January 2024.
60. Boyer, Christian (12 November 2008). "Some Notes on the Magic Squares of Squares Problem". The Mathematical Intelligencer. 27 (2): 52–64. doi:10.1007/BF02985794.
61. Adler, Allan; Alejandre, Suzanne. "Why there are no 2x2 magic squares". mathforum.org. Archived from the original on 2018-03-02.
62. Loly, Peter (March 2004) [1 August 2016]. "The invariance of the moment of inertia of magic squares" (PDF). Mathematical Gazette. 88 (511): 151–153. CiteSeerX 10.1.1.552.7296. doi:10.1017/S002555720017456X. S2CID 125989925. Archived from the original (PDF) on 14 November 2017. Retrieved 5 June 2017.
63. Marcus, M.; Ree, R. (1959). "Diagonals of doubly stochastic matrices". The Quarterly Journal of Mathematics. 10 (1): 296–302. doi:10.1093/qmath/10.1.296.
64. Pinn, K.; Wieczerkowski, C. (1998). "Number of Magic Squares From Parallel Tempering Monte Carlo". Int. J. Mod. Phys. C. 9 (4): 541. arXiv:cond-mat/9804109. Bibcode:1998IJMPC...9..541P. doi:10.1142/s0129183198000443. S2CID 14548422.
65. "Number of Magic Squares From Parallel Tempering Monte Carlo, arxiv.org, April 9, 1998. Retrieved November 2, 2013.
66. How many magic squares are there? by Walter Trump, Nürnberg, January 11, 2001
67. Anything but square: from magic squares to Sudoku by Hardeep Aiden, Plus Magazine, March 1, 2006
68. Kitajima, Akimasa; Kikuchi, Macoto; Altmann, Eduardo G. (14 May 2015). "Numerous but Rare: An Exploration of Magic Squares". PLOS ONE. 10 (5): e0125062. Bibcode:2015PLoSO..1025062K. doi:10.1371/journal.pone.0125062. PMC 4431883. PMID 25973764.
69. Kraitchik, Maurice (1953). "Magic Squares". Mathematical Recreations (2nd ed.). New York: Dover Publications, Inc. pp. 142–192. ISBN 9780486201634.
70. Sallows, Lee (Fall 1997) [9 January 2009]. "The lost theorem". The Mathematical Intelligencer. 19 (4): 51–54. doi:10.1007/BF03024415. S2CID 122385051.
71. White, S. Harry. "Associative Magic Squares". budshaw.ca.
72. Hawley, Del (2011). "Magic Squares II". nrich.maths.org. University of Cambridge.
73. Mathematical Circles Squared By Phillip E. Johnson, Howard Whitley Eves, p. 22
74. http://oz.nthu.edu.tw/~u9621110/IT2010/txt/0929/canterburypuzzle00dudeuoft.pdf The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems, Henry Ernest Dudeney, 1907
75. http://budshaw.ca/howMany.html, Bordered Square Numbers, S. Harry White, 2009
76. http://www.law05.si/iwms/presentations/Styan.pdf Some illustrated comments on 5×5 golden magic matrices and on 5×5 Stifelsche Quadrate, George P. H. Styan, 2014.
77. Hartley, M. "Making Big Magic Squares".
78. http://budshaw.ca/2xNComposite.html, 2N Composite Squares, S. Harry White, 2009
79. Karl Fulves, Self-working Number Magic (Dover Magic Books)
80. Stifel, Michael (1544), Arithmetica integra (in Latin), pp. 29–30.
81. "8x8 multiplicative magic square of complex numbers" Ali Skalli's magic squares and magic cubes
82. "Multimagie.com – Additive-Multiplicative magic squares, 8th and 9th-order". Retrieved 26 August 2015.
83. "Multimagie.com – Smallest additive-multiplicative magic square". Retrieved 16 January 2024.
84. Magic squares are given a whole new dimension, The Observer, April 3, 2011
85. Les carrés magiques géométriques by Jean-Paul Delahaye, Pour La Science No. 428, June 2013
86. "Area Magic Squares". Futility Closet. 2017-01-19. Retrieved 2017-06-12.
87. Magic Designs, Robert B. Ely III, Journal of Recreational Mathematics volume 1 number 1, January 1968
88. "MathWorld News: There Are No Magic Knight's Tours on the Chessboard".
89. Demirörs, O.; Rafraf, N.; Tanik, M. M. "Obtaining n-queens solutions from magic squares and constructing magic squares from n-queens solutions". Journal of Recreational Mathematics. 24 (272–280): 1992.
90. See Juris Lidaka, The Book of Angels, Rings, Characters and Images of the Planets in Conjuring Spirits, C. Fangier ed. (Pennsylvania State University Press, 1994)
91. Benedek Láng, Demons in Krakow, and Image Magic in a Magical Handbook, in Christian Demonology and Popular Mythology, Gábor Klaniczay and Éva Pócs eds. (Central European University Press, 2006)
92. According to the correspondence principle, each of the seven planets is associated to a given metal: lead to Saturn, iron to Mars, gold to the Sun, etc.
93. Drury, Nevill (1992). Dictionary of Mysticism and the Esoteric Traditions. Bridport, Dorset: Prism Press. ISBN 978-1-85327-075-8.
94. "The Book of Power: Cabbalistic Secrets of Master Aptolcater, Mage of Adrianople", transl. 1724. In Shah, Idries (1957). The Secret Lore of Magic. London: Frederick Muller Ltd.
95. Holger Vietor: Das Hexen-Einmaleins – der Weg zur Entschlüsselung. In: Goethe-Jahrbuch 122. Wallstein Verlag, Göttingen 2005, ISBN 3-8353-2195-1, S. 325–327 (German).
96. Norbert Herrmann: Mathematik und Gott und die Welt. 3-te Auflage, Springer, Berlin/ Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-56387-8, S. 27–31 (German).
97. Gareth E. Roberts (March 23, 2015). "Composing with Numbers: Sir Peter Maxwell Davies and Magic Squares" (PDF). Retrieved December 25, 2018.
98. Roberts, Gareth E. (2016). "8 Mathematical Modern Music". From Music to Mathematics: Exploring the Connections. JHU Press. ISBN 9781421419183.
99. Macau Post Office web site Archived 2014-11-11 at the Wayback Machine
100. Macau's magic square stamps just made philately even more nerdy The Guardian Science, November 3, 2014
101. Michelle Erica Green (June 15, 1997). "Biogenesis on The X-Files". littlereview.com. The Little Review. Retrieved March 25, 2017. Moreover, it's a magic square, a pattern in which God supposedly instructed the early Hebrews to gain power from names or their numeric equivalents.
102. Zack Handlen (November 17, 2012). "The X-Files: "Biogenesis" / Millennium: "Goodbye To All That"". The A.V. Club. The Onion, Inc. Retrieved March 25, 2017. I love when they bring the nerdy FBI guy in to explain the concept of "the magic square", which he does by telling us that magic squares have been around for a while, and then nothing else. Unless I missed something, all I have at this point is that magic squares are squares that people once thought were magic.

References

• Weisstein, Eric W. "Magic Square". MathWorld.
• Magic Squares at Convergence

• John Lee Fults, Magic Squares. (La Salle, Illinois: Open Court, 1974).
• Cliff Pickover, The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars (Princeton, New Jersey: Princeton University Press)
• Leonhard Euler, On magic squares
• Leonhard Euler, Investigations on new type of magic square
• William H. Benson and Oswald Jacoby, "New Recreations with Magic Squares". (New York: Dover, 1976).

Further reading

• Andrews, W.S. (1917). Magic Squares and Cubes (2nd ed.). Open Court Publishing. p. 428.
• Block, Seymour (2009). Before Sudoku: The World of Magic Squares. Oxford University Press. ISBN 978-0195367904.
• Schinz, Alfred (1996). The Magic Square: Cities in Ancient China. Edition Axel Menges. p. 428. ISBN 9783930698028.
• McCranie, Judson (November 1988). "Magic Squares of All Orders". Mathematics Teacher. 81 (8): 674–78. doi:10.5951/MT.81.8.0674.
• Ollerenshaw, Kathleen; Bree, David (October 1998). Most perfect pandiagonal magic squares: their construction and enumeration. The Institute of Mathematics and its Applications. ISBN 978-0905091068.
• Benjamin, Arthur T.; Brown, Ethan J. (November 2014). "Challenging Magic Squares for Magicians" (PDF). The College Mathematics Journal. 45 (2): 92–100. doi:10.4169/college.math.j.45.2.092. S2CID 125255312.

External links

• Magic square at Curlie