En matemáticas un número entero par , es decir, un número que es divisible por 2, se llama par o doblemente par si es múltiplo de 4, y imparmente par o simple par si no lo es. Los primeros nombres son tradicionales, derivados de las antiguas matemáticas griegas ; estos últimos se han vuelto comunes en las últimas décadas.
Estos nombres reflejan un concepto básico en teoría de números , el orden 2 de un número entero: cuántas veces el número entero se puede dividir por 2. Específicamente, el orden 2 de un entero distinto de cero n es el valor entero máximo k tal que n / 2k es un número entero . Esto es equivalente a la multiplicidad de 2 en la factorización prima .
La consideración separada de números pares e impares es útil en muchas partes de las matemáticas, especialmente en teoría de números, combinatoria , teoría de codificación (ver códigos pares ), entre otras.
Los términos griegos antiguos "par-veces-par" ( griego antiguo : ἀρτιάκις ἄρτιος ) y "veces pares-impar" ( griego antiguo : ἀρτιάκις περισσός o ἀρτιοπέριττο ς ) recibieron varias definiciones no equivalentes de parte de Euclides y escritores posteriores como Nicómaco . [1] Hoy en día existe un desarrollo estándar de los conceptos. El orden de 2 órdenes o 2 ádico es simplemente un caso especial del orden p -ádico en un número primo general p ; consulte número p -ádico para obtener más información sobre esta amplia área de las matemáticas. Muchas de las siguientes definiciones se generalizan directamente a otros números primos.
Para un número entero n , el orden 2 de n (también llamado valoración ) es el número natural más grande ν tal que 2 ν divide a n . Esta definición se aplica a números n positivos y negativos , aunque algunos autores la restringen a n positivos ; y se puede definir el segundo orden de 0 como infinito (ver también paridad de cero ). [2] El orden 2 de n se escribe ν 2 ( n ) o ord 2 ( n ). No debe confundirse con el orden multiplicativo módulo 2 .
El orden 2 proporciona una descripción unificada de varias clases de números enteros definidos por la uniformidad:
También se puede extender el orden 2 a los números racionales definiendo ν 2 ( q ) como el entero único ν donde
y a y b son ambos impares. Por ejemplo, los semienteros tienen un orden 2 negativo, es decir, −1. Finalmente, definiendo el valor absoluto 2-ádico
estamos en el camino correcto para construir los números 2-ádicos .
El objetivo del juego de dardos es llegar a una puntuación de 0, por lo que el jugador con la puntuación menor está en mejor posición para ganar. Al comienzo de una etapa, "más pequeño" tiene el significado habitual de valor absoluto , y la estrategia básica es apuntar a áreas de alto valor en la diana y sumar tantos puntos como sea posible. Al final de un tramo, dado que es necesario doblar para ganar, el valor absoluto 2-ádico se convierte en la medida relevante. Con cualquier puntuación impar, por pequeña que sea en valor absoluto, se necesitan al menos dos dardos para ganar. Cualquier puntuación par entre 2 y 40 puede satisfacerse con un solo dardo, y 40 es una puntuación mucho más deseable que 2, debido a los efectos de fallar.
Un error común al apuntar al anillo doble es acertar en uno simple y accidentalmente reducir la puntuación a la mitad. Dada una puntuación de 22 (un número simplemente par), uno tiene una oportunidad de juego para el doble 11. Si uno acierta un solo 11, la nueva puntuación es 11, que es impar, y se necesitarán al menos dos dardos más para recuperarse. Por el contrario, cuando se dispara para el doble 12, uno puede cometer el mismo error pero aun así tener 3 tiros seguidos: D12, D6 y D3. Generalmente, con una puntuación de n < 42 , se tienen ν 2 ( n ) de esos tiros de juego. Por eso 32 = 2 5 es una puntuación tan deseable: se divide 5 veces. [4] [5]
La prueba clásica de que la raíz cuadrada de 2 es irracional opera por descendencia infinita . Por lo general, la parte descendente de la prueba se abstrae asumiendo (o demostrando) la existencia de representaciones irreducibles de números racionales . Un enfoque alternativo es aprovechar la existencia del operador ν 2 .
Supongamos por contradicción que
donde a y b son números naturales distintos de cero. Eleva ambos lados de la igualdad y aplica el operador de valoración de segundo orden ν 2 a 2 b 2 = a 2 :
Dado que las valoraciones de 2 órdenes son números enteros, la diferencia no puede ser igual a la racional . Por contradicción, por tanto, √ 2 no es racional.
Más concretamente, dado que la valoración de 2 b 2 es impar, mientras que la valoración de a 2 es par, deben ser números enteros distintos, de modo que . Un cálculo sencillo arroja entonces un límite inferior de para la diferencia , lo que produce una prueba directa de irracionalidad que no se basa en la ley del tercero excluido . [6]
En topología geométrica , muchas propiedades de las variedades dependen únicamente de su dimensión mod 4 o mod 8; por lo tanto, a menudo se estudian variedades de dimensión simple y doblemente par (4 k +2 y 4 k ) como clases. Por ejemplo, las variedades doblemente pares tienen una forma bilineal simétrica no degenerada en su grupo de cohomología de dimensión media , que por lo tanto tiene una firma de valor entero . Por el contrario, las variedades unidimensionales tienen una forma bilineal no degenerada simétrica sesgada en su dimensión media; si se define un refinamiento cuadrático de esto a una forma cuadrática (como en una variedad enmarcada ), se obtiene el invariante Arf como un invariante mod 2. Las variedades de dimensiones impares, por el contrario, no tienen estas invariantes, aunque en la teoría de la cirugía algebraica se pueden definir invariantes más complicadas. Esta periodicidad de 4 y 8 veces en la estructura de las variedades está relacionada con la periodicidad de 4 veces de la teoría L y la periodicidad de 8 veces de la teoría K topológica real , que se conoce como periodicidad de Bott .
Si una variedad compacta de giro suave orientada tiene dimensión n ≡ 4 mod 8 , o ν 2 ( n ) = 2 exactamente, entonces su firma es un múltiplo entero de 16. [7]
Un número par no puede ser un número poderoso . No se puede representar como una diferencia de dos cuadrados . Sin embargo, un número par se puede representar como la diferencia de dos números pronicos o de dos números poderosos. [8]
En teoría de grupos , es relativamente sencillo [9] demostrar que el orden de un grupo finito simple no abeliano no puede ser un número par. De hecho, según el teorema de Feit-Thompson , tampoco puede ser impar, por lo que cada uno de esos grupos tiene un orden doblemente par.
La fracción continua de Lambert para la función tangente da la siguiente fracción continua que involucra números pares positivos: [10]
Esta expresión conduce a representaciones similares de e . [11]
En química orgánica , la regla de Hückel , también conocida como regla 4n + 2, predice que un sistema de enlace π cíclico que contenga un número par único de electrones p será aromático . [12]
Aunque el orden 2 puede detectar cuándo un número entero es congruente con 0 (mod 4) o 2 (mod 4), no puede distinguir entre 1 (mod 4) o 3 (mod 4). Esta distinción tiene algunas consecuencias interesantes, como el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados .
{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )