Concepto matemático de disposición de números en un cuadrado.
Un cuadrado mágico asociativo es un cuadrado mágico en el que cada par de números simétricamente opuestos al centro suman el mismo valor. Para un cuadrado n × n , lleno de los números del 1 al n 2 , esta suma común debe ser igual a n 2 + 1. Estos cuadrados también se denominan cuadrados mágicos asociados , cuadrados mágicos regulares , cuadrados regmágicos o cuadrados mágicos simétricos . [1] [2] [3]
Ejemplos
Por ejemplo, el cuadrado Lo Shu (el único cuadrado mágico de 3 × 3) es asociativo, porque cada par de puntos opuestos forma una línea del cuadrado junto con el punto central, por lo que la suma de los dos puntos opuestos es igual a la suma de una línea menos el valor del punto central, independientemente de qué dos puntos opuestos se elijan. [4] El cuadrado mágico de 4 × 4 del grabado Melencolia I de Alberto Durero de 1514 (que también se encuentra en una carta de Benjamin Franklin de 1765 ) también es asociativo, y cada par de números opuestos suma 17. [5]
Existencia y enumeración
El número de posibles cuadrados mágicos asociativos n × n para n = 3,4,5,..., contando dos cuadrados como iguales siempre que difieran solo en una rotación o reflexión, son:
1, 48, 48544, 0, 1125154039419854784, ... (secuencia A081262 en la OEIS )
El número cero para n = 6 es un ejemplo de un fenómeno más general: los cuadrados mágicos asociativos no existen para valores de n que sean simplemente pares (iguales a 2 módulo 4). [3] Cada cuadrado mágico asociativo de orden par forma una matriz singular , pero los cuadrados mágicos asociativos de orden impar pueden ser singulares o no singulares. [4]
Referencias
^ Frierson, LS (1917), "Notas sobre cuadrados mágicos pandiagonales y asociados", en Andrews, WS (ed.), Magic Squares and Cubes (2.ª ed.), Open Court, págs. 229-244
^ Bell, Jordan; Stevens, Brett (2007), "Construcción de cuadrados latinos pandiagonales ortogonales y cuadrados panmágicos a partir de soluciones modulares de reinas", Journal of Combinatorial Designs , 15 (3): 221–234, doi :10.1002/jcd.20143, MR 2311190, S2CID 121149492
^ ab Nordgren, Ronald P. (2012), "Sobre las propiedades de matrices cuadradas mágicas especiales", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 437 (8): 2009–2025, doi : 10.1016/j.laa.2012.05.031 , MR 2950468
^ ab Lee, Michael Z.; Love, Elizabeth; Narayan, Sivaram K.; Wascher, Elizabeth; Webster, Jordan D. (2012), "Sobre cuadrados mágicos regulares no singulares de orden impar", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 437 (6): 1346–1355, doi : 10.1016/j.laa.2012.04.004 , MR 2942355
^ Pasles, Paul C. (2001), "Los cuadrados perdidos del Dr. Franklin: los cuadrados perdidos de Ben Franklin y el secreto del círculo mágico", American Mathematical Monthly , 108 (6): 489–511, doi :10.1080/00029890.2001.11919777, JSTOR 2695704, MR 1840656, S2CID 341378