Las matemáticas indias surgieron en el subcontinente indio [1] desde el año 1200 a. C. [2] hasta finales del siglo XVIII. En el período clásico de las matemáticas indias (400 d. C. a 1200 d. C.), eruditos como Aryabhata , Brahmagupta , Bhaskara II , Varāhamihira y Madhava hicieron importantes contribuciones . El sistema numérico decimal que se utiliza hoy en día [3] se registró por primera vez en las matemáticas indias. [4] Los matemáticos indios hicieron contribuciones tempranas al estudio del concepto de cero como número, [5] números negativos , [6] aritmética y álgebra . [7] Además, la trigonometría [8]
avanzó aún más en la India y, en particular, allí se desarrollaron las definiciones modernas de seno y coseno . [9] Estos conceptos matemáticos se transmitieron a Oriente Medio, China y Europa [7] y condujeron a nuevos desarrollos que ahora forman la base de muchas áreas de las matemáticas.
Las obras matemáticas indias antiguas y medievales, todas compuestas en sánscrito , generalmente consistían en una sección de sutras en la que se enunciaban con gran economía en verso un conjunto de reglas o problemas para ayudar a la memorización por parte del estudiante. A esto le siguió una segunda sección que consistía en un comentario en prosa (a veces múltiples comentarios de diferentes académicos) que explicaba el problema con más detalle y justificaba la solución. En la sección de prosa, la forma (y por tanto su memorización) no se consideraba tan importante como las ideas involucradas. [1] [10] Todos los trabajos matemáticos se transmitieron oralmente hasta aproximadamente el 500 a. C.; posteriormente, se transmitieron tanto de forma oral como manuscrita. El documento matemático existente más antiguo producido en el subcontinente indio es el manuscrito Bakhshali de corteza de abedul , descubierto en 1881 en el pueblo de Bakhshali , cerca de Peshawar (hoy Pakistán ) y probablemente data del siglo VII d.C. [11] [12]
Un hito posterior en las matemáticas indias fue el desarrollo de las expansiones en serie para funciones trigonométricas (seno, coseno y arcotangente ) por matemáticos de la escuela de Kerala en el siglo XV d.C. Su trabajo, completado dos siglos antes de la invención del cálculo en Europa, proporcionó lo que ahora se considera el primer ejemplo de una serie de potencias (aparte de las series geométricas). [13] Sin embargo, no formularon una teoría sistemática de diferenciación e integración , ni hay ninguna evidencia directa de que sus resultados se transmitieran fuera de Kerala . [14] [15] [16] [17]
Prehistoria
Las excavaciones en Harappa , Mohenjo-daro y otros sitios de la civilización del valle del Indo han descubierto pruebas del uso de "matemáticas prácticas". Los habitantes de la civilización del valle del Indo fabricaban ladrillos cuyas dimensiones estaban en la proporción 4:2:1, considerada favorable para la estabilidad de una estructura de ladrillo. Utilizaron un sistema estandarizado de pesos basado en las proporciones: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 y 500, con la unidad peso equivalente aproximadamente a 28 gramos (y aproximadamente igual a la onza inglesa o uncia griega). Produjeron en masa pesas en formas geométricas regulares , que incluían hexaedros , barriles , conos y cilindros , demostrando así conocimientos de geometría básica . [18]
Los habitantes de la civilización del Indo también intentaron estandarizar la medición de la longitud con un alto grado de precisión. Diseñaron una regla, la regla de Mohenjo-daro , cuya unidad de longitud (aproximadamente 3,4 centímetros o 1,32 pulgadas) se dividió en diez partes iguales. Los ladrillos fabricados en la antigua Mohenjo-daro a menudo tenían dimensiones que eran múltiplos integrales de esta unidad de longitud. [19] [20]
Se ha demostrado que los objetos cilíndricos huecos hechos de concha y encontrados en Lothal (2200 a. C.) y Dholavira tienen la capacidad de medir ángulos en un plano, así como de determinar la posición de las estrellas para la navegación. [21]
período védico
Samhitas y Brahmanas
Los textos religiosos del período védico proporcionan evidencia del uso de grandes números . En la época del Yajurvedasaṃhitā- (1200-900 a. C.), en los textos se incluían números tan altos como 10 12 . [2] Por ejemplo, el mantra (recitación sagrada) al final del annahoma ("rito de oblación de alimentos") realizado durante el aśvamedha , y pronunciado justo antes, durante y después del amanecer, invoca poderes de diez de de cien a un billón: [2]
Saludo a śata ("cien", 10 2 ), saludo a sahasra ("mil", 10 3 ), saludo a ayuta ("diez mil", 10 4 ), saludo a niyuta ("cien mil", 10 5 ), saludo a Prayuta ("millones", 10 6 ), saludo a arbuda ("diez millones", 10 7 ), saludo a nyarbuda ("cien millones", 10 8 ), saludo a samudra ("mil millones", 10 9 , literalmente "océano"), saludo a madhya ("diez mil millones", 10 10 , literalmente "medio"), saludo a anta ("cien mil millones", 10 11 , iluminado., "fin"), saludo a parārdha ("un billón" ," 10 12 lit., "más allá de las partes"), saludo al uṣas (amanecer), saludo al vyuṣṭi (crepúsculo), saludo a udeṣyat (el que va a elevarse), saludo a udyat (el que está levantándose), saludo udita (al que acaba de resucitar), saludo a svarga (el cielo), saludo a martya (el mundo), saludo a todos. [2]
La solución a la fracción parcial era conocida por el Pueblo Rigvédico como estados en el purush Sukta (RV 10.90.4):
Con tres cuartas partes Puruṣa subió: una cuarta parte de él nuevamente estaba aquí.
El Satapatha Brahmana ( c. siglo VII a. C.) contiene reglas para construcciones geométricas rituales que son similares a los Sulba Sutras. [22]
Śulba Sutras
Los Śulba Sūtras (literalmente, "Aforismos de las cuerdas" en sánscrito védico ) (c. 700-400 a. C.) enumeran reglas para la construcción de altares de fuego de sacrificio. [23] La mayoría de los problemas matemáticos considerados en los Śulba Sūtras surgen de "un único requisito teológico", [24] el de construir altares de fuego que tengan diferentes formas pero ocupen la misma área. Los altares debían construirse con cinco capas de ladrillos cocidos, con la condición adicional de que cada capa constara de 200 ladrillos y que no hubiera dos capas adyacentes que tuvieran disposiciones de ladrillos congruentes. [24]
Según Hayashi, los Śulba Sūtras contienen "la expresión verbal más antigua existente del teorema de Pitágoras en el mundo, aunque ya era conocida por los antiguos babilonios ".
La cuerda diagonal ( akṣṇayā-rajju ) de un oblongo (rectángulo) produce ambas, las cuales el flanco ( pārśvamāni ) y las <cuerdas> horizontales ( tiryaṇmānī ) producen por separado." [25]
Dado que la declaración es un sūtra , está necesariamente comprimida y no se detalla lo que producen las cuerdas, pero el contexto implica claramente las áreas cuadradas construidas en sus longitudes, y así se lo habría explicado el maestro al estudiante. [25]
Contienen listas de ternas pitagóricas , [26] que son casos particulares de ecuaciones diofánticas . [27] También contienen declaraciones (que en retrospectiva sabemos que son aproximadas) sobre la cuadratura del círculo y "dar vueltas alrededor del cuadrado". [28]
Baudhayana (c. siglo VIII a. C.) compuso el Baudhayana Sulba Sutra , el Sulba Sutra más conocido , que contiene ejemplos de ternas pitagóricas simples, como: (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8 , 15, 17) , (7, 24, 25) y (12, 35, 37) , [29] así como un enunciado del teorema de Pitágoras para los lados de un cuadrado: "La cuerda que se estira a través del La diagonal de un cuadrado produce un área del doble del tamaño del cuadrado original." [29] [30] También contiene el enunciado general del teorema de Pitágoras (para los lados de un rectángulo): "La cuerda estirada a lo largo de la diagonal de un rectángulo forma un área que los lados verticales y horizontales forman juntos. " [29] Baudhayana da una expresión para la raíz cuadrada de dos : [31]
La expresión tiene una precisión de hasta cinco decimales, siendo el valor verdadero 1,41421356... [32] Esta expresión es similar en estructura a la expresión encontrada en una tablilla mesopotámica [33] del período de la antigua Babilonia (1900-1600 a. C. ): [31]
que expresa √ 2 en el sistema sexagesimal, y que además tiene una precisión de hasta 5 decimales.
Según el matemático SG Dani, la tablilla cuneiforme babilónica Plimpton 322 escrita c. 1850 a. C. [34] "contiene quince ternas pitagóricas con entradas bastante grandes, incluida (13500, 12709, 18541), que es una terna primitiva, [35] que indica, en particular, que había una comprensión sofisticada sobre el tema" en Mesopotamia en 1850 antes de Cristo. "Dado que estas tablillas son anteriores al período Sulbasutras por varios siglos, teniendo en cuenta la apariencia contextual de algunos de los triples, es razonable esperar que una comprensión similar hubiera existido en la India". [36] Dani continúa diciendo:
Como el objetivo principal de los Sulvasutras era describir las construcciones de los altares y los principios geométricos involucrados en ellos, el tema de los triples pitagóricos, incluso si hubiera sido bien comprendido, es posible que todavía no haya aparecido en los Sulvasutras . La aparición de los triples en los Sulvasutras es comparable a las matemáticas que uno puede encontrar en un libro introductorio sobre arquitectura u otra área aplicada similar, y no correspondería directamente al conocimiento general sobre el tema en ese momento. Dado que, lamentablemente, no se han encontrado otras fuentes contemporáneas, es posible que nunca sea posible resolver esta cuestión satisfactoriamente. [36]
En total, se compusieron tres Sulba Sutras . Los dos restantes, el Manava Sulba Sutra compuesto por Manava (fl. 750–650 a. C.) y el Apastamba Sulba Sutra , compuesto por Apastamba (c. 600 a. C.), contenían resultados similares al Baudhayana Sulba Sutra .
Entre los eruditos del período posvédico que contribuyeron a las matemáticas, el más notable es Pingala ( piṅgalá ) ( fl. 300-200 a. C.), un teórico musical autor del Chhandas Shastra ( chandaḥ-śāstra , también Chhandas Sutra chhandaḥ-sūtra). ), un tratado sánscrito sobre prosodia . La obra de Pingala también contiene las ideas básicas de los números de Fibonacci (llamados maatraameru ). Aunque el sutra Chandah no ha sobrevivido en su totalidad, sí lo ha hecho un comentario de Halāyudha del siglo X. Halāyudha, quien se refiere al triángulo de Pascal como Meru -prastāra (literalmente "la escalera al Monte Meru"), dice lo siguiente:
Dibuja un cuadrado. Comenzando en la mitad del cuadrado, dibuja otros dos cuadrados similares debajo; debajo de estos dos, otros tres cuadrados, y así sucesivamente. El marcado debe iniciarse poniendo 1 en el primer cuadrado. Pon 1 en cada uno de los dos cuadrados de la segunda línea. En la tercera línea pon 1 en los dos cuadrados de los extremos y, en el cuadrado del medio, la suma de los dígitos de los dos cuadrados que están encima. En la cuarta línea pon 1 en los dos cuadrados de los extremos. En los del medio pon la suma de los dígitos en los dos cuadrados encima de cada uno. Proceda de esta manera. De estos versos, el segundo da las combinaciones de una sílaba, el tercero las combinaciones de dos sílabas,... [39]
El texto también indica que Pingala era consciente de la identidad combinatoria : [40]
katyayana
Kātyāyana (c. siglo III a. C.) se destaca por ser el último de los matemáticos védicos. Escribió el Katyayana Sulba Sutra , que presentaba mucha geometría , incluido el teorema general de Pitágoras y un cálculo de la raíz cuadrada de 2 con una precisión de cinco decimales.
Matemáticas jainistas (400 a. C. - 200 d. C.)
Aunque el jainismo como religión y filosofía es anterior a su exponente más famoso, el gran Mahaviraswami (siglo VI a. C.), la mayoría de los textos jainistas sobre temas matemáticos se compusieron después del siglo VI a. C. Los matemáticos jainistas son importantes históricamente como vínculos cruciales entre las matemáticas del período védico y las del "período clásico".
Una importante contribución histórica de los matemáticos jainistas residió en liberar a las matemáticas indias de sus limitaciones religiosas y rituales. En particular, su fascinación por la enumeración de números muy grandes e infinitos los llevó a clasificar los números en tres clases: enumerables, innumerables e infinitos . No contentos con una simple noción de infinito, sus textos definen cinco tipos diferentes de infinito: el infinito en una dirección, el infinito en dos direcciones, el infinito en el área, el infinito en todas partes y el infinito perpetuamente. Además, los matemáticos jainistas idearon notaciones para potencias simples (y exponentes) de números como cuadrados y cubos, lo que les permitió definir ecuaciones algebraicas simples ( bījagaṇita samīkaraṇa ). Al parecer, los matemáticos jainistas también fueron los primeros en utilizar la palabra shunya (literalmente vacío en sánscrito ) para referirse al cero. Esta palabra es el origen etimológico último de la palabra inglesa "zero" , ya que fue calcada al árabe como ṣifr y luego tomada prestada al latín medieval como zephirum , llegando finalmente al inglés después de pasar por una o más lenguas romances (cf. francés zéro , Cero italiano ). [41]
Además de Surya Prajnapti , importantes obras jainistas sobre matemáticas incluyeron el Sthānāṅga Sūtra (c. 300 a. C. – 200 d. C.); el Anuyogadwara Sutra (c. 200 a. C. - 100 d. C.), que incluye la descripción más antigua conocida de factoriales en matemáticas indias; [42] y el Ṣaṭkhaṅḍāgama (c. siglo II d.C.). Importantes matemáticos jainistas incluyeron a Bhadrabahu (muerto en 298 a. C.), autor de dos obras astronómicas, el Bhadrabahavi-Samhita y un comentario sobre el Surya Prajinapti ; Yativrisham Acharya (c. 176 a. C.), autor de un texto matemático llamado Tiloyapannati ; y Umasvati (c. 150 a. C.), quien, aunque más conocido por sus influyentes escritos sobre filosofía y metafísica jainistas , compuso una obra matemática llamada Tattvārtha Sūtra .
Tradición oral
Los matemáticos de la India antigua y medieval temprana eran casi todos pandits sánscritos ( paṇḍita "hombre erudito"), [43] que estaban formados en lengua y literatura sánscritas y poseían "un acervo común de conocimientos en gramática ( vyākaraṇa ), exégesis ( mīmāṃsā ) y lógica ( nyāya )." [43] La memorización de "lo que se escucha" ( śruti en sánscrito) a través de la recitación jugó un papel importante en la transmisión de textos sagrados en la antigua India. La memorización y la recitación también se utilizaron para transmitir obras filosóficas y literarias, así como tratados sobre rituales y gramática. Los eruditos modernos de la antigua India han observado los "logros verdaderamente notables de los pandits indios que han preservado oralmente textos enormemente voluminosos durante milenios". [44]
Estilos de memorización
La antigua cultura india dedicó una energía prodigiosa a garantizar que estos textos se transmitieran de generación en generación con una fidelidad desmesurada. [45] Por ejemplo, la memorización de los Vedas sagrados incluía hasta once formas de recitación del mismo texto. Posteriormente, los textos fueron "revisados" comparando las diferentes versiones recitadas. Las formas de recitación incluían jaṭā-pāṭha (literalmente "recitación en malla") en la que cada dos palabras adyacentes en el texto se recitaban primero en su orden original, luego se repetían en orden inverso y finalmente se repetían en el orden original. [46] La recitación prosiguió así:
En otra forma de recitación, dhvaja-pāṭha [46] (literalmente "recitación de bandera") se recitó (y memorizó) una secuencia de N palabras emparejando las dos primeras y las dos últimas palabras y luego procediendo como:
palabra 1 palabra 2 , palabra N − 1 palabra N ; palabra 2 palabra 3 , palabra N - 2 palabra N - 1 ; ..; palabra N - 1 palabra N , palabra 1 palabra 2 ;
La forma más compleja de recitación, ghana-pāṭha (literalmente "recitación densa"), según Filliozat, [46] tomó la forma:
Que estos métodos han sido efectivos lo atestigua la preservación del texto religioso indio más antiguo, el Ṛgveda (c. 1500 a. C.), como un texto único, sin ninguna lectura variante. [46] Se utilizaron métodos similares para memorizar textos matemáticos, cuya transmisión permaneció exclusivamente oral hasta el final del período védico (c. 500 a. C.).
ElSutragénero
La actividad matemática en la antigua India comenzó como parte de una "reflexión metodológica" sobre los sagrados Vedas , que tomó la forma de obras llamadas Vedāṇgas , o "Auxiliares del Veda" (siglos VII-IV a. C.). [47] La necesidad de conservar el sonido del texto sagrado mediante el uso de śikṣā ( fonética ) y chhandas ( métrica ); conservar su significado mediante el uso de vyākaraṇa ( gramática ) y nirukta ( etimología ); y realizar correctamente los ritos en el momento correcto mediante el uso de kalpa ( ritual ) y jyotiṣa ( astrología ), dio lugar a las seis disciplinas de los Vedāṇgas . [47] Las matemáticas surgieron como parte de las dos últimas disciplinas, el ritual y la astronomía (que también incluía la astrología). Dado que los Vedāṇgas precedieron inmediatamente al uso de la escritura en la antigua India, formaron la última literatura exclusivamente oral. Se expresaron en una forma mnemotécnica muy comprimida, el sūtra (literalmente, "hilo"):
Los conocedores del sūtra saben que tiene pocos fonemas, que está desprovisto de ambigüedad, que contiene la esencia, que se enfrenta a todo, que es sin pausa e inobjetable. [47]
Se logró una brevedad extrema a través de múltiples medios, que incluyeron el uso de puntos suspensivos "más allá de la tolerancia del lenguaje natural", [47] el uso de nombres técnicos en lugar de nombres descriptivos más largos, la abreviación de listas mencionando solo la primera y la última entrada y el uso de marcadores y variables. [47] Los sūtras crean la impresión de que la comunicación a través del texto era "sólo una parte de toda la instrucción. El resto de la instrucción debe haber sido transmitida por el llamado Guru-shishya parampara , 'sucesión ininterrumpida del maestro ( gurú )' al estudiante ( śisya ),' y no estaba abierto al público en general" y tal vez incluso se mantuvo en secreto. [48] La brevedad lograda en un sūtra se demuestra en el siguiente ejemplo del Baudhāyana Śulba Sūtra (700 a. C.).
El diseño del altar del fuego doméstico en el Śulba Sūtra
El ritual requería que el altar del fuego doméstico en el período védico tuviera una base cuadrada y estuviera constituido por cinco capas de ladrillos con 21 ladrillos en cada capa. Un método para construir el altar era dividir un lado del cuadrado en tres partes iguales usando una cuerda o cuerda, para luego dividir el lado transversal (o perpendicular) en siete partes iguales y así subdividir el cuadrado en 21 rectángulos congruentes. . Luego se diseñaron los ladrillos para que tuvieran la forma del rectángulo constituyente y se creó la capa. Para formar la siguiente capa se utilizó la misma fórmula, pero los ladrillos se dispusieron de forma transversal. [49] El proceso se repitió tres veces más (con direcciones alternas) para completar la construcción. En el Baudhāyana Śulba Sūtra , este procedimiento se describe con las siguientes palabras:
II.64. Después de dividir el cuadrilátero en siete, se divide el [cordón] transversal en tres. II.65. En otra capa se colocan los [ladrillos] apuntando al norte. [49]
Según Filliozat, [50] el oficiante que construye el altar sólo tiene a su disposición unas pocas herramientas y materiales: una cuerda (sánscrito, rajju , f.), dos clavijas (sánscrito, śanku , m.) y arcilla para hacer el altar. ladrillos (sánscrito, iṣṭakā , f.). La concisión se logra en el sūtra , al no mencionar explícitamente lo que califica el adjetivo "transversal"; sin embargo, de la forma femenina del adjetivo (sánscrito) utilizado, se infiere fácilmente que califica "cordón". De manera similar, en la segunda estrofa, los "ladrillos" no se mencionan explícitamente, sino que se infieren nuevamente por la forma femenina plural de "North-pointing". Finalmente, la primera estrofa nunca dice explícitamente que la primera capa de ladrillos esté orientada en dirección este-oeste, pero eso también está implícito en la mención explícita de "apuntar al norte" en la segunda estrofa; porque, si la orientación fuera la misma en las dos capas, no se mencionaría en absoluto o sólo se mencionaría en la primera estrofa. Todas estas inferencias las hace el oficiante mientras recuerda la fórmula de su memoria. [49]
La tradición escrita: comentario en prosa
Con la creciente complejidad de las matemáticas y otras ciencias exactas, se requería tanto la escritura como la computación. En consecuencia, muchos trabajos matemáticos comenzaron a plasmarse en manuscritos que luego fueron copiados y recopiados de generación en generación.
Se estima que hoy en día la India tiene unos treinta millones de manuscritos, el mayor conjunto de material de lectura escrito a mano del mundo. La cultura alfabetizada de la ciencia india se remonta al menos al siglo V a. C.... como lo demuestran los elementos de la literatura de presagios y la astronomía mesopotámica que entraron en la India en ese momento y (fueron) definitivamente no... conservados oralmente. [51]
El primer comentario matemático en prosa fue el de la obra Āryabhaṭīya (escrito en 499 d.C.), una obra sobre astronomía y matemáticas. La porción matemática del Āryabhaṭīya estaba compuesta por 33 sūtras (en forma de verso) que consistían en declaraciones o reglas matemáticas, pero sin ninguna prueba. [52] Sin embargo, según Hayashi, [53] "esto no significa necesariamente que sus autores no los probaron. Probablemente fue una cuestión de estilo de exposición". Desde la época de Bhaskara I (600 d.C. en adelante), los comentarios en prosa comenzaron a incluir cada vez más algunas derivaciones ( upapatti ). El comentario de Bhaskara I sobre el Āryabhaṭīya , tenía la siguiente estructura: [52]
Aclaración de la regla (las derivaciones todavía eran raras entonces, pero se volvieron más comunes más tarde)
Ejemplo ( uddeśaka ) normalmente en verso.
Configuración ( nyāsa/sthāpanā ) de los datos numéricos.
Trabajo ( karana ) de la solución.
Verificación ( pratyayakaraṇa , literalmente "hacer convicción") de la respuesta. Estos se volvieron raros en el siglo XIII, y para entonces se favorecieron las derivaciones o pruebas. [52]
Normalmente, para cualquier tema matemático, los estudiantes de la antigua India primero memorizaban los sūtras , que, como se explicó anteriormente, eran "deliberadamente inadecuados" [51] en detalles explicativos (para transmitir concisamente las reglas matemáticas básicas). Luego, los estudiantes trabajaron en los temas del comentario en prosa escribiendo (y dibujando diagramas) en pizarrones con tiza y polvo ( es decir, pizarrones cubiertos de polvo). Esta última actividad, un elemento básico del trabajo matemático, impulsó más tarde al matemático y astrónomo Brahmagupta ( f. Siglo VII d. C.) a caracterizar los cálculos astronómicos como "trabajo en polvo" (sánscrito: dhulikarman ). [54]
Los números y el sistema numérico decimal.
Es bien sabido que el sistema de valor posicional decimal que se utiliza hoy en día se registró por primera vez en la India, luego se transmitió al mundo islámico y, finalmente, a Europa. [55] El obispo sirio Severus Sebokht escribió a mediados del siglo VII EC sobre los "nueve signos" de los indios para expresar números. [55] Sin embargo, no está tan claro cómo, cuándo y dónde se inventó el sistema de valor posicional del primer decimal. [56]
La escritura existente más antigua utilizada en la India fue la escritura Kharoṣṭhī utilizada en la cultura Gandhara del noroeste. Se cree que es de origen arameo y estuvo en uso desde el siglo IV a.C. hasta el siglo IV d.C. Casi al mismo tiempo, otra escritura, la escritura Brāhmī , apareció en gran parte del subcontinente y más tarde se convertiría en la base de muchas escrituras del sur y sudeste asiático. Ambas escrituras tenían símbolos numéricos y sistemas de numeración, que inicialmente no se basaban en un sistema de valor posicional. [57]
La evidencia más antigua que se conserva de números con valor posicional decimal en la India y el sudeste asiático data de mediados del primer milenio d.C. [58] Una placa de cobre de Gujarat, India, menciona la fecha 595 EC, escrita en notación de valor decimal, aunque existen algunas dudas sobre la autenticidad de la placa. [58] También se han encontrado números decimales que registran los años 683 EC en inscripciones en piedra en Indonesia y Camboya, donde la influencia cultural india fue sustancial. [58]
Hay fuentes textuales más antiguas, aunque las copias manuscritas existentes de estos textos son de fechas mucho posteriores. [59] Probablemente la fuente más antigua de este tipo sea la obra del filósofo budista Vasumitra que data probablemente del siglo I d.C. [59] Al hablar de los pozos de conteo de los comerciantes, Vasumitra comenta: "Cuando [la misma] pieza de arcilla para contar está en lugar de unidades, se denota como uno, cuando está en centenas, cien". [59] Aunque tales referencias parecen implicar que sus lectores tenían conocimiento de una representación de valor decimal, la "brevedad de sus alusiones y la ambigüedad de sus fechas, sin embargo, no establecen sólidamente la cronología del desarrollo de este concepto". [59]
Se empleó una tercera representación decimal en una técnica de composición en verso, más tarde denominada Bhuta-sankhya (literalmente, "números de objeto") utilizada por los primeros autores sánscritos de libros técnicos. [60] Dado que muchas de las primeras obras técnicas se compusieron en verso, los números a menudo estaban representados por objetos del mundo natural o religioso que les correspondían; esto permitió una correspondencia de muchos a uno para cada número y facilitó la composición de versos. [60] Según Plofker, [61] el número 4, por ejemplo, podría representarse con la palabra " Veda " (ya que había cuatro de estos textos religiosos), el número 32 con la palabra "dientes" (ya que conjunto consta de 32), y el número 1 por "luna" (ya que sólo hay una luna). [60] Entonces, Veda/dientes/luna correspondería al número decimal 1324, ya que la convención para los números era enumerar sus dígitos de derecha a izquierda. [60] La referencia más antigua que emplea números de objetos es una c. 269 CE Texto sánscrito, Yavanajātaka (literalmente "horoscopia griega") de Sphujidhvaja, una versificación de una adaptación en prosa india anterior (c. 150 CE) de una obra perdida de astrología helenística. [62] Tal uso parece demostrar que a mediados del siglo III d.C., el sistema de valor decimal era familiar, al menos para los lectores de textos astronómicos y astrológicos en la India. [60]
Se ha planteado la hipótesis de que el sistema de valor posicional decimal indio se basaba en los símbolos utilizados en los tableros de conteo chinos desde mediados del primer milenio antes de Cristo. [63] Según Plofker, [61]
Estos tableros de conteo, al igual que los pozos de conteo indios,..., tenían una estructura de valor posicional decimal... Es muy posible que los indios hayan aprendido acerca de estos "números de varilla" con valor posicional decimal de los peregrinos budistas chinos u otros viajeros, o pueden haber desarrollado el concepto independientemente de su anterior sistema de valor no posicional; no sobrevive ninguna evidencia documental que confirme ninguna de las conclusiones." [63]
Manuscrito de Bakhshali
El manuscrito matemático más antiguo que se conserva en la India es el Manuscrito Bakhshali , un manuscrito de corteza de abedul escrito en "sánscrito híbrido budista" [12] en la escritura Śāradā , que se utilizó en la región noroeste del subcontinente indio entre los siglos VIII y XII d.C. [64] El manuscrito fue descubierto en 1881 por un granjero mientras excavaba en un recinto de piedra en el pueblo de Bakhshali, cerca de Peshawar (entonces en la India británica y ahora en Pakistán ). De autoría desconocida y ahora conservado en la Biblioteca Bodleian de la Universidad de Oxford , el manuscrito ha sido fechado recientemente como 224 d.C.-383 d.C. [sesenta y cinco]
El manuscrito superviviente tiene setenta hojas, algunas de las cuales están fragmentadas. Su contenido matemático consta de reglas y ejemplos, escritos en verso, junto con comentarios en prosa, que incluyen soluciones a los ejemplos. [64] Los temas tratados incluyen aritmética (fracciones, raíces cuadradas, pérdidas y ganancias, interés simple, regla de tres y regula falsi ) y álgebra (ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas simultáneas ) y progresiones aritméticas. Además, hay un puñado de problemas geométricos (incluidos problemas sobre volúmenes de sólidos irregulares). El manuscrito de Bakhshali también "emplea un sistema de valor posicional decimal con un punto para el cero". [64] Muchos de sus problemas pertenecen a una categoría conocida como "problemas de ecualización" que conducen a sistemas de ecuaciones lineales. Un ejemplo del Fragmento III-5-3v es el siguiente:
Un comerciante tiene siete caballos asava , un segundo tiene nueve caballos haya y un tercero tiene diez camellos. Están igualmente bien en el valor de sus animales si cada uno da dos animales, uno a cada uno de los demás. Encuentre el precio de cada animal y el valor total de los animales que posee cada comerciante. [66]
El comentario en prosa que acompaña al ejemplo resuelve el problema convirtiéndolo en tres ecuaciones (infradeterminadas) con cuatro incógnitas y suponiendo que todos los precios son números enteros. [66]
En 2017, se demostró mediante datación por radiocarbono que tres muestras del manuscrito provenían de tres siglos diferentes: del 224 al 383 d.C., del 680 al 779 d.C. y del 885 al 993 d.C. No se sabe cómo llegaron a empaquetarse fragmentos de diferentes siglos. [67] [68] [69]
Período clásico (400-1300)
Este período se conoce a menudo como la edad de oro de las matemáticas indias. En este período, matemáticos como Aryabhata , Varahamihira , Brahmagupta , Bhaskara I , Mahavira , Bhaskara II , Madhava de Sangamagrama y Nilakantha Somayaji dieron una forma más amplia y clara a muchas ramas de las matemáticas. Sus contribuciones se extenderían a Asia, Oriente Medio y, finalmente, a Europa. A diferencia de las matemáticas védicas, sus trabajos incluyeron contribuciones tanto astronómicas como matemáticas. De hecho, las matemáticas de ese período estaban incluidas en la 'ciencia astral' ( jyotiḥśāstra ) y constaban de tres subdisciplinas: ciencias matemáticas ( gaṇita o tantra ), astrología del horóscopo ( horā o jātaka ) y adivinación (saṃhitā). [54] Esta división tripartita se ve en la compilación de Varāhamihira del siglo VI, Pancasiddhantika [70] (literalmente panca , "cinco", siddhānta , "conclusión de la deliberación", fechada en 575 EC ), de cinco obras anteriores, Surya Siddhanta , Romaka Siddhanta , Paulisa Siddhanta , Vasishtha Siddhanta y Paitamaha Siddhanta , que fueron adaptaciones de obras aún anteriores de la astronomía mesopotámica, griega, egipcia, romana e india. Como se explicó anteriormente, los textos principales fueron compuestos en verso sánscrito y fueron seguidos de comentarios en prosa. [54]
Matemáticos indios posteriores como Aryabhata hicieron referencias a este texto, mientras que las traducciones árabes y latinas posteriores fueron muy influyentes en Europa y Oriente Medio.
Aryabhata (476–550) escribió el Aryabhatiya. Describió los importantes principios fundamentales de las matemáticas en 332 shlokas . El tratado contenía:
La fórmula para la suma de los cubos , que supuso un paso importante en el desarrollo del cálculo integral. [72]
Varahamihira
Varahamihira (505–587) produjo el Pancha Siddhanta ( Los cinco cánones astronómicos ). Hizo importantes contribuciones a la trigonometría, incluidas tablas de senos y cosenos con precisión de 4 decimales y las siguientes fórmulas que relacionan funciones seno y coseno :
En el siglo VII, comenzaron a surgir en las matemáticas indias dos campos separados, la aritmética (que incluía la medición ) y el álgebra . Los dos campos se llamarían más tarde pāṭī-gaṇita (literalmente "matemáticas de algoritmos") y bīja-gaṇita (literalmente "matemáticas de semillas", donde las "semillas", como las semillas de las plantas, representan incógnitas con el potencial de generar, en este caso, las soluciones de ecuaciones). [73] Brahmagupta , en su obra astronómica Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628 EC), incluyó dos capítulos (12 y 18) dedicados a estos campos. El capítulo 12, que contiene 66 versos en sánscrito, se dividió en dos secciones: "operaciones básicas" (incluidas raíces cúbicas, fracciones, razones y proporciones y trueque) y "matemáticas prácticas" (incluidas mezclas, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y apilado de grano). [74] En la última sección, expuso su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico : [74]
Teorema de Brahmagupta: si un cuadrilátero cíclico tiene diagonales perpendiculares entre sí, entonces la línea perpendicular trazada desde el punto de intersección de las diagonales hasta cualquier lado del cuadrilátero siempre biseca el lado opuesto.
El capítulo 12 también incluyó una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Heron ), así como una descripción completa de los triángulos racionales ( es decir, triángulos con lados racionales y áreas racionales).
Fórmula de Brahmagupta: El área, A , de un cuadrilátero cíclico con lados de longitudes a , b , c , d , respectivamente, está dada por
Teorema de Brahmagupta sobre triángulos racionales: Un triángulo con lados racionales y área racional tiene la forma:
para algunos números racionales y . [75]
El capítulo 18 contenía 103 versos sánscritos que comenzaban con reglas para operaciones aritméticas que implicaban cero y números negativos [74] y se considera el primer tratamiento sistemático del tema. Las reglas (que incluían y ) eran todas correctas, con una excepción :. [74] Más adelante en el capítulo, dio la primera solución explícita (aunque todavía no completamente general) de la ecuación cuadrática :
Al número absoluto multiplicado por cuatro veces el [coeficiente del] cuadrado, se le suma el cuadrado del [coeficiente del] término medio; la raíz cuadrada del mismo, menos el [coeficiente del] término medio, quedando dividido por el doble del [coeficiente del] cuadrado es el valor. [76]
Esto equivale a:
También en el capítulo 18, Brahmagupta pudo avanzar en la búsqueda de soluciones (integrales) de la ecuación de Pell , [77]
donde es un número entero no cuadrado. Lo hizo descubriendo la siguiente identidad: [77]
Identidad de Brahmagupta:
que era una generalización de una identidad anterior de Diofanto : [77] Brahmagupta usó su identidad para probar el siguiente lema: [77]
Lema (Brahmagupta): Si es una solución de y, es una solución de , entonces:
es una solución de
Luego usó este lema para generar infinitas soluciones (integrales) de la ecuación de Pell, dada una solución, y establecer el siguiente teorema:
Teorema (Brahmagupta): Si la ecuación tiene una solución entera para cualquiera de las ecuaciones de Pell:
también tiene una solución entera. [78]
Brahmagupta en realidad no demostró el teorema, sino que elaboró ejemplos utilizando su método. El primer ejemplo que presentó fue: [77]
Una fórmula para calcular el seno de un ángulo agudo sin el uso de una tabla, con precisión de dos decimales.
Siglos IX al XII
virasena
Virasena (siglo VIII) fue un matemático jainista en la corte del rey Rashtrakuta Amoghavarsha de Manyakheta , Karnataka. Escribió el Dhavala , un comentario sobre las matemáticas jainistas, que:
Trata el concepto de ardhaccheda , el número de veces que un número podría reducirse a la mitad, y enumera varias reglas que implican esta operación. Esto coincide con el logaritmo binario cuando se aplica a potencias de dos , [79] [80] pero difiere en otros números, asemejándose más al orden 2-ádico .
Virasena también dio:
La derivación del volumen de un tronco mediante una especie de procedimiento infinito.
Se cree que gran parte del material matemático del Dhavala se puede atribuir a escritores anteriores, especialmente Kundakunda, Shamakunda, Tumbulura, Samantabhadra y Bappadeva, y datan de quienes escribieron entre 200 y 600 d.C. [80]
Mahavira
Mahavira Acharya (c. 800–870) de Karnataka , el último de los matemáticos jainistas notables, vivió en el siglo IX y fue patrocinado por el rey Rashtrakuta Amoghavarsha. Escribió un libro titulado Ganit Saar Sangraha sobre matemáticas numéricas y también escribió tratados sobre una amplia gama de temas matemáticos. Estos incluyen las matemáticas de:
El Pati Ganita es una obra sobre aritmética y medida . Se ocupa de diversas operaciones, entre ellas:
Operaciones elementales
Extracción de raíces cuadradas y cúbicas.
Fracciones.
Ocho reglas dadas para operaciones que involucran cero.
Métodos de sumatoria de diferentes series aritméticas y geométricas, que se convertirían en referencias habituales en trabajos posteriores.
Manjula
Las ecuaciones de Aryabhata fueron elaboradas en el siglo X por Manjula (también Munjala ), quien se dio cuenta de que la expresión [81]
podría expresarse aproximadamente como
Esto fue elaborado por su predecesor Bhaskara II, encontrando así la derivada del seno. [81]
Aryabhata II
Aryabhata II (c. 920-1000) escribió un comentario sobre Shridhara y un tratado astronómico Maha-Siddhanta . El Maha-Siddhanta tiene 18 capítulos y analiza:
Matemáticas numéricas ( Ank Ganit ).
Álgebra.
Soluciones de ecuaciones indeterminadas ( kuttaka ).
Sripati
Shripati Mishra (1019-1066) escribió los libros Siddhanta Shekhara , una obra importante sobre astronomía en 19 capítulos, y Ganit Tilaka , un tratado de aritmética incompleto en 125 versos basado en una obra de Shridhara. Trabajó principalmente en:
Nemichandra Siddhanta Chakravati (c. 1100) fue autor de un tratado matemático titulado Gome-mat Saar .
Bhaskara II
Bhāskara II (1114-1185) fue un matemático y astrónomo que escribió varios tratados importantes, a saber, Siddhanta Shiromani , Lilavati , Bijaganita , Gola Addhaya , Griha Ganitam y Karan Kautoohal . Varias de sus contribuciones se transmitieron posteriormente a Oriente Medio y Europa. Sus contribuciones incluyen:
Matemáticas medievales y modernas tempranas (1300-1800)
Navya-Nyaya
La Navya-Nyāya o darśana (escuela) neológica de filosofía india fue fundada en el siglo XIII por el filósofo Gangesha Upadhyaya de Mithila . [83] Fue un desarrollo del clásico Nyāya darśana. Otras influencias en Navya-Nyāya fueron el trabajo de los filósofos anteriores Vācaspati Miśra (900–980 d. C.) y Udayana (finales del siglo X).
El libro de Gangesa Tattvacintāmaṇi ("Pensamiento-Joya de la Realidad") fue escrito en parte en respuesta al Khandanakhandakhādya de Śrīharśa, una defensa del Advaita Vedānta , que había ofrecido una serie de críticas exhaustivas a las teorías Nyāya del pensamiento y el lenguaje. [84] Navya-Nyāya desarrolló un lenguaje sofisticado y un esquema conceptual que le permitió plantear, analizar y resolver problemas de lógica y epistemología. Implica nombrar cada objeto a analizar, identificar una característica distintiva del objeto nombrado y verificar la idoneidad de la característica definitoria utilizando pramanas . [85]
La escuela de astronomía y matemáticas de Kerala fue fundada por Madhava de Sangamagrama en Kerala, sur de la India e incluía entre sus miembros a: Parameshvara , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati , Melpathur Narayana Bhattathiri y Achyuta Panikkar. Floreció entre los siglos XIV y XVI y los descubrimientos originales de la escuela parecen haber terminado con Narayana Bhattathiri (1559-1632). Al intentar resolver problemas astronómicos, los astrónomos de la escuela de Kerala crearon de forma independiente una serie de conceptos matemáticos importantes. Los resultados más importantes, la expansión de series para funciones trigonométricas , se dieron en verso sánscrito en un libro de Neelakanta llamado Tantrasangraha y un comentario sobre este trabajo llamado Tantrasangraha-vakhya de autoría desconocida. Los teoremas se enunciaron sin demostración, pero un siglo después se proporcionaron pruebas de las series de seno , coseno y tangente inversa en la obra Yuktibhāṣā (c.1500-c.1610), escrita en malayalam , por Jyesthadeva . [86]
Aplicaciones de ideas de (lo que se convertiría en) cálculo diferencial e integral para obtener series infinitas (Taylor-Maclaurin) para sen x, cos x y arctan x. [87] El Tantrasangraha-vakhya da la serie en verso, que cuando se traduce a notación matemática, se puede escribir como: [86]
donde, para r = 1, la serie se reduce a la serie de potencias estándar para estas funciones trigonométricas, por ejemplo:
y
Uso de la rectificación (cálculo de la longitud) del arco de un círculo para dar una prueba de estos resultados. ( No se utilizó el último método de Leibniz, que utilizaba la cuadratura, es decir, el cálculo del área bajo el arco del círculo .) [86]
Una aproximación racional del error para la suma finita de sus series de intereses. Por ejemplo, el error , (para n impar y i = 1, 2, 3) para la serie:
Manipulación del término de error para derivar una serie convergente más rápida para : [86]
Utilizando la serie mejorada para derivar una expresión racional, [86] 104348/33215 para π corrige hasta nueve decimales, es decir, 3,141592653.
Uso de una noción intuitiva de límite para calcular estos resultados. [86]
Un método semirriguroso (ver comentario sobre los límites arriba) para derivar algunas funciones trigonométricas. [72] Sin embargo, no formularon la noción de función , ni tenían conocimiento de las funciones exponenciales o logarítmicas.
Los trabajos de la escuela de Kerala fueron escritos por primera vez para el mundo occidental por el inglés CM Whish en 1835. Según Whish, los matemáticos de Kerala habían " sentado las bases para un sistema completo de fluxiones " y estos trabajos abundaban " en formas y series fluxionales". no se encuentra en ninguna obra de países extranjeros " [89]
Sin embargo, los resultados de Whish fueron casi completamente ignorados, hasta más de un siglo después, cuando C. Rajagopal y sus asociados investigaron nuevamente los descubrimientos de la escuela de Kerala. Su trabajo incluye comentarios sobre las pruebas de la serie arctan en Yuktibhāṣā dadas en dos artículos, [90] [91] un comentario sobre la prueba de Yuktibhāṣā de las series seno y coseno [92] y dos artículos que proporcionan los versos sánscritos de el Tantrasangrahavakhya para la serie de arctan, pecado y coseno (con traducción y comentario al inglés). [93] [94]
Parameshvara (c. 1370-1460) escribió comentarios sobre las obras de Bhaskara I , Aryabhata y Bhaskara II. Su Lilavati Bhasya , un comentario sobre Lilavati de Bhaskara II , contiene uno de sus descubrimientos importantes: una versión del teorema del valor medio . Nilakantha Somayaji (1444-1544) compuso el Tantra Samgraha (que 'generó' un comentario anónimo posterior Tantrasangraha-vyakhya y un comentario adicional con el nombre Yuktidipaika , escrito en 1501). Elaboró y amplió las contribuciones de Madhava.
Citrabhanu (c. 1530) fue un matemático de Kerala del siglo XVI que dio soluciones enteras a 21 tipos de sistemas de dos ecuaciones algebraicas simultáneas con dos incógnitas. Estos tipos son todos los pares posibles de ecuaciones de las siguientes siete formas:
Para cada caso, Citrabhanu dio una explicación y justificación de su gobierno, así como un ejemplo. Algunas de sus explicaciones son algebraicas, mientras que otras son geométricas. Jyesthadeva (c. 1500-1575) fue otro miembro de la Escuela de Kerala. Su obra clave fue el Yukti-bhāṣā (escrito en malayalam, una lengua regional de Kerala). Jyesthadeva presentó pruebas de la mayoría de los teoremas matemáticos y series infinitas descubiertas anteriormente por Madhava y otros matemáticos de la escuela de Kerala.
Otros
Narayana Pandit fue un matemático del siglo XIV que compuso dos importantes obras matemáticas, un tratado de aritmética, Ganita Kaumudi , y un tratado algebraico, Bijganita Vatamsa . Ganita Kaumudi es uno de los trabajos más revolucionarios en el campo de la combinatoria al desarrollar un método para la generación sistemática de todas las permutaciones de una secuencia determinada. En su Ganita Kaumudi Narayana propuso el siguiente problema en un rebaño de vacas y terneros:
Una vaca produce una cría cada año. A partir del cuarto año, cada ternero produce un ternero al inicio de cada año. ¿Cuántas vacas y terneros habrá en total después de 20 años?
norte norte = norte norte-1 + norte norte-3 para norte > 2 ,
con valores iniciales
norte 0 = norte 1 = norte 2 = 1 .
Los primeros términos son 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88,... (secuencia A000930 en el OEIS ). La relación límite entre términos consecutivos es la proporción superáurea . . También se cree que Narayana es el autor de un elaborado comentario de Lilavati de Bhaskara II , titulado Ganita Kaumudia (o Karma-Paddhati ). [95]
Acusaciones de eurocentrismo
Se ha sugerido que las contribuciones indias a las matemáticas no han recibido el debido reconocimiento en la historia moderna y que muchos descubrimientos e invenciones de los matemáticos indios se atribuyen actualmente culturalmente a sus homólogos occidentales , como resultado del eurocentrismo . Según la visión de GG Joseph sobre " Etnomatemáticas ":
[Su trabajo] incorpora algunas de las objeciones planteadas sobre la trayectoria eurocéntrica clásica. Es muy probable que la conciencia [de las matemáticas indias y árabes] se vea atenuada por rechazos desdeñosos de su importancia en comparación con las matemáticas griegas. Las contribuciones de otras civilizaciones, sobre todo China e India, se perciben como prestatarias de fuentes griegas o como contribuciones menores al desarrollo matemático dominante. Lamentablemente, falta una apertura a los resultados de investigaciones más recientes, especialmente en el caso de las matemáticas indias y chinas" [96]
El historiador de las matemáticas, Florian Cajori , sugirió que él y otros "sospechan que Diofanto vislumbró por primera vez el conocimiento algebraico en la India". [97] Sin embargo, también escribió que "es seguro que partes de las matemáticas hindúes son de origen griego". [98]
Más recientemente, como se analizó en la sección anterior, las series infinitas de cálculo para funciones trigonométricas (redescubiertas por Gregory, Taylor y Maclaurin a finales del siglo XVII) fueron descritas en la India por matemáticos de la escuela de Kerala , sorprendentemente unos dos siglos antes. . Algunos estudiosos han sugerido recientemente que el conocimiento de estos resultados podría haber sido transmitido a Europa a través de la ruta comercial desde Kerala por parte de comerciantes y misioneros jesuitas . [99] Kerala estuvo en contacto continuo con China y Arabia y, desde alrededor de 1500, con Europa. La existencia de vías de comunicación y una cronología adecuada ciertamente hacen posible dicha transmisión. Sin embargo, no hay evidencia directa, a través de manuscritos relevantes, de que tal transmisión realmente haya tenido lugar. [99] Según David Bressoud , "no hay evidencia de que la obra india de series fuera conocida más allá de la India, o incluso fuera de Kerala, hasta el siglo XIX". [87] [100]
Tanto los eruditos árabes como los indios hicieron descubrimientos antes del siglo XVII que ahora se consideran parte del cálculo. [72] Sin embargo, como lo hicieron Newton y Leibniz , no "combinaron muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral , no mostraron la conexión entre los dos y convirtieron el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que utilizamos". tengo hoy." [72] Las carreras intelectuales de Newton y Leibniz están bien documentadas y no hay indicios de que su trabajo no sea el suyo; [72] sin embargo, no se sabe con certeza si los predecesores inmediatos de Newton y Leibniz, "incluidos, en particular, Fermat y Roberval, conocieron algunas de las ideas de los matemáticos islámicos e indios a través de fuentes que ahora desconocemos. " [72] Ésta es un área activa de investigación actual, especialmente en las colecciones de manuscritos de España y Magreb . Esta investigación se lleva a cabo, entre otros lugares, en el CNRS . [72]
Llegada de la India a las matemáticas modernas.
Ashutosh Mukherjee ha sido reconocido como el primer matemático indio moderno en ingresar al campo de la investigación matemática y fundó la Sociedad Matemática de Calcuta en 1908. Entre sus contribuciones matemáticas, Mukherjee determinó varias derivaciones cruciales de la respuesta de Gaspare Mainardi para determinar la trayectoria oblicua de un sistema de elipses confocales. También hizo contribuciones duraderas en geometría diferencial , desarrollando métodos analíticos para simplificar la interpretación de Gaspard Monge de su ecuación diferencial general para cónicas. [101] [102]
Srinivasa Ramanujan [a] (22 de diciembre de 1887 - 26 de abril de 1920) fue un matemático indio. Aunque casi no tenía formación formal en matemáticas puras, hizo contribuciones sustanciales al análisis matemático, la teoría de números, las series infinitas y las fracciones continuas, incluidas soluciones a problemas matemáticos que entonces se consideraban irresolubles.
CR Rao fue un matemático y estadístico indio-estadounidense. [103] Fue profesor emérito en la Universidad Estatal de Pensilvania y profesor de investigación en la Universidad de Buffalo . Rao fue honrado con numerosos coloquios, títulos honoríficos y festschrifts y recibió la Medalla Nacional de Ciencias de EE. UU. en 2002. [104] La Asociación Estadounidense de Estadística lo ha descrito como "una leyenda viviente " cuyo trabajo ha influido no sólo en las estadísticas, sino que también ha tuvo implicaciones de gran alcance para campos tan variados como la economía, la genética, la antropología, la geología, la planificación nacional, la demografía, la biometría y la medicina". [104] The Times of India incluyó a Rao como uno de los 10 mejores científicos indios de todos los tiempos. [ 105]
^ (Ifrah 2000, p. 346): "La medida del genio de la civilización india, a la que debemos nuestro moderno sistema (numérico), es tanto mayor cuanto que fue la única en toda la historia que logró este triunfo. Algunas culturas lograron, antes que la india, descubrir una o, en el mejor de los casos, dos de las características de esta hazaña intelectual, pero ninguna logró reunir en un sistema completo y coherente las condiciones necesarias y suficientes para un sistema numérico con. el mismo potencial que el nuestro."
^ (Plofker 2009, págs. 44-47)
^ (Bourbaki 1998, p. 46): "... nuestro sistema decimal, que (por mediación de los árabes) se deriva de las matemáticas hindúes, donde su uso está atestiguado ya desde los primeros siglos de nuestra era. Debe ser Observó además que la concepción del cero como número y no como simple símbolo de separación) y su introducción en los cálculos, también cuentan entre las aportaciones originales de los hindúes."
^ (Bourbaki 1998, p. 49): La aritmética moderna se conocía durante la época medieval como "Modus Indorum" o método de los indios. Leonardo de Pisa escribió que, comparado con el método de los indios, todos los demás métodos son un error. Este método de los indios no es otro que nuestra muy simple aritmética de suma, resta, multiplicación y división. Las reglas para estos cuatro procedimientos simples fueron escritas por primera vez por Brahmagupta durante el siglo VII d.C. "A este respecto, los hindúes ya son conscientes de la interpretación que los números negativos deben tener en ciertos casos (una deuda en un problema comercial, por ejemplo). En los siglos siguientes, a medida que se produce una difusión en Occidente (por mediación de los árabes) de los métodos y resultados de las matemáticas griegas e hindúes, uno se acostumbra más al manejo de estos números y comienza a tener otras "representaciones" para ellos que son geométricas o dinámicas".
^ ab "álgebra" 2007. Enciclopedia Británica Concisa Archivado el 29 de septiembre de 2007 en Wayback Machine . Encyclopædia Britannica en línea. 16 de mayo de 2007. Cita: "Ciertamente existía en la India un sistema posicional decimal completo en el siglo IX (d.C.), pero muchas de sus ideas centrales se habían transmitido mucho antes de esa época a China y al mundo islámico. Aritmética india, Además, desarrolló reglas consistentes y correctas para operar con números positivos y negativos y para tratar al cero como cualquier otro número, incluso en contextos problemáticos como la división. Pasaron varios cientos de años antes de que los matemáticos europeos integraran completamente tales ideas en la disciplina en desarrollo del álgebra.
^ (Pingree 2003, p. 45) Cita: "La geometría, y su rama trigonométrica, eran las matemáticas que los astrónomos indios usaban con más frecuencia. Los matemáticos griegos usaban la cuerda completa y nunca imaginaron la media cuerda que usamos hoy. La media cuerda se usó por primera vez de Aryabhata, que hizo la trigonometría mucho más simple. De hecho, los astrónomos indios del siglo III o IV, utilizando una tabla de cuerdas griega preptolemaica, produjeron tablas de senos y versinos, de las cuales era trivial derivar los cosenos. El sistema de trigonometría, producido en la India, fue transmitido a los árabes a finales del siglo VIII y por ellos, en forma ampliada, al Occidente latino y al Oriente bizantino en el siglo XII.
↑ (Bourbaki 1998, p. 126): "En cuanto a la trigonometría, es desdeñada por los geómetras y abandonada a los topógrafos y astrónomos; son estos últimos ( Aristarco , Hiparco , Ptolomeo ) quienes establecen las relaciones fundamentales entre los lados y los ángulos de una triángulo rectángulo (plano o esférico) y elaboramos las primeras tablas (consisten en tablas que indican la cuerda del arco cortado por un ángulo en un círculo de radio r , es decir, el número ; la introducción del seno, más fácil de manejar, se debe a los matemáticos hindúes de la Edad Media).
^ (Filliozat 2004, págs. 140-143)
^ (Hayashi 1995)
^ ab (Kim Plofker 2007, pág.6)
^ (Stillwell 2004, pag.173)
^ (Bressoud 2002, p. 12) Cita: "No hay evidencia de que el trabajo indio en series fuera conocido más allá de la India, o incluso fuera de Kerala, hasta el siglo XIX. Gold y Pingree afirman [4] que en el momento en que estas series fueron redescubiertas en Europa, a todos los efectos prácticos se habían perdido en la India. Las expansiones del seno, el coseno y el arco tangente se habían transmitido a través de varias generaciones de discípulos, pero seguían siendo observaciones estériles que nadie podía encontrar. de mucha utilidad."
^ (Plofker 2001, p. 293) Cita: "No es inusual encontrar en discusiones sobre matemáticas indias afirmaciones como que" el concepto de diferenciación se entendió [en la India] desde la época de Manjula (... en el siglo X). siglo)" [Joseph 1991, 300], o que "podemos considerar a Madhava como el fundador del análisis matemático" (Joseph 1991, 293), o que Bhaskara II puede afirmar ser "el precursor de Newton y Leibniz en el descubrimiento del principio del cálculo diferencial" (Bag 1979, 294). ... Los puntos de semejanza, particularmente entre el cálculo europeo temprano y el trabajo de Keralese sobre series de potencias, incluso han inspirado sugerencias de una posible transmisión de ideas matemáticas desde Costa de Malabar en o después del siglo XV al mundo académico latino (por ejemplo, en (Bag 1979, 285)... Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que tal énfasis en la similitud del sánscrito (o malayalam) y las matemáticas latinas corren el riesgo de disminuir nuestra capacidad de ver y comprender plenamente las primeras. Hablar del "descubrimiento indio del principio del cálculo diferencial" oscurece un poco el hecho de que las técnicas indias para expresar cambios en el seno mediante el coseno o viceversa, como en los ejemplos que hemos visto, permanecían dentro de esa disciplina trigonométrica específica. contexto. El "principio" diferencial no se generalizó a funciones arbitrarias; de hecho, la noción explícita de una función arbitraria, por no mencionar la de su derivada o un algoritmo para tomar la derivada, es irrelevante aquí".
^ (Pingree 1992, p. 562) Cita: "Un ejemplo que puedo darle se relaciona con la demostración del indio Mādhava, alrededor del año 1400 d. C., de la serie de potencias infinitas de funciones trigonométricas utilizando argumentos geométricos y algebraicos. Cuando esto se describió por primera vez en Inglés por Charles Matthew Whish , en la década de 1830, fue anunciado como el descubrimiento del cálculo por parte de los indios. Esta afirmación y los logros de Mādhava fueron ignorados por los historiadores occidentales, presumiblemente al principio porque no podían admitir que un indio descubriera el cálculo, pero más tarde. porque ya nadie leyó las Transacciones de la Royal Asiatic Society , en las que se publicó el artículo de Whish. El asunto resurgió en la década de 1950, y ahora tenemos los textos en sánscrito correctamente editados y entendemos la forma inteligente en que Mādhava derivó la serie sin el. cálculo; pero muchos historiadores todavía encuentran imposible concebir el problema y su solución en términos de algo más que el cálculo y proclaman que el cálculo es lo que encontró Mādhava. En este caso, la elegancia y la brillantez de las matemáticas de Mādhava están siendo distorsionadas al quedar enterradas bajo la solución matemática actual a un problema para el cual él descubrió una solución alternativa y poderosa."
^ (Katz 1995, págs. 173-174) Cita: "¿Qué tan cerca estuvieron los eruditos islámicos e indios de inventar el cálculo? Los eruditos islámicos casi desarrollaron una fórmula general para encontrar integrales de polinomios en el año 1000 d. C., y evidentemente pudieron encontrar esa fórmula Pero, al parecer, no estaban interesados en ningún polinomio de grado superior a cuatro, al menos en el material que nos ha llegado, por otra parte, sí lo estaban. hacia 1600 pudieron utilizar la fórmula de suma de ibn al-Haytham para potencias integrales arbitrarias al calcular series de potencias para las funciones que les interesaban. Al mismo tiempo, también sabían cómo calcular las diferenciales de estas funciones. Las ideas del cálculo se conocían en Egipto y la India muchos siglos antes que Newton. Sin embargo, no parece que ni los matemáticos islámicos ni los indios vieran la necesidad de conectar algunas de las ideas dispares que incluimos bajo el nombre de cálculo. Aparentemente sólo estaban interesados en casos específicos en los que estas ideas eran necesarias. ... Por lo tanto, no hay peligro de que tengamos que reescribir los textos de historia para eliminar la afirmación de que Newton y Leibniz inventaron el cálculo. Ciertamente fueron ellos quienes fueron capaces de combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral, mostrar la conexión entre ellos y convertir el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy".
^ Sergent, Bernard (1997), Genèse de l'Inde (en francés), París: Payot, p. 113, ISBN 978-2-228-89116-5
^ Coppa, A.; et al. (6 de abril de 2006), "Tradición odontológica del Neolítico temprano: las puntas de pedernal eran sorprendentemente efectivas para perforar el esmalte dental en una población prehistórica", Nature , 440 (7085): 755–6, Bibcode :2006Natur.440..755C, doi : 10.1038/440755a, PMID 16598247, S2CID 6787162.
^ Bisht, RS (1982), "Excavaciones en Banawali: 1974–77", en Possehl, Gregory L. (ed.), Civilización Harappa: una perspectiva contemporánea , Nueva Delhi: Oxford e IBH Publishing Co., págs. 124
^ Rao, SR (julio de 1992). "Un instrumento de navegación de los marineros de Harappa" (PDF) . Arqueología Marina . 3 : 61–62. Archivado desde el original (PDF) el 8 de agosto de 2017.
^ A. Seidenberg, 1978. El origen de las matemáticas. Archivo de Historia de las Ciencias Exactas, vol 18.
^ (Stal 1999)
^ ab (Hayashi 2003, pág.118)
^ ab (Hayashi 2005, pág.363)
^ Las ternas pitagóricas son ternas de números enteros (a, b, c) con la propiedad: a 2 +b 2 = c 2 . Así, 3 2 +4 2 = 5 2 , 8 2 +15 2 = 17 2 , 12 2 +35 2 = 37 2 , etc.
^ (Cooke 2005, p. 198): "El contenido aritmético de los Śulva Sūtras consiste en reglas para encontrar ternas pitagóricas como (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8, 15, 17) , y (12, 35, 37) . No se sabe con certeza qué uso práctico tenían estas reglas aritméticas. La mejor conjetura es que formaban parte de un ritual religioso. Se requería que hubiera tres fuegos encendidos en tres altares diferentes. tres altares debían tener formas diferentes, pero los tres debían tener la misma área. Estas condiciones condujeron a ciertos problemas "diofánticos", un caso particular de los cuales es la generación de ternas pitagóricas, para hacer un entero cuadrado igual a. la suma de otros dos."
↑ (Cooke 2005, págs. 199-200): "El requisito de tres altares de áreas iguales pero de formas diferentes explicaría el interés en la transformación de áreas. Entre otros problemas de transformación de áreas, los hindúes consideraron en particular el problema de la cuadratura del círculo. El Bodhayana Sutra plantea el problema inverso de construir un círculo igual a un cuadrado dado. La siguiente construcción aproximada se da como solución... este resultado es sólo aproximado. Sin embargo, los autores no hicieron distinción entre los dos resultados. En términos que podemos apreciar, esta construcción da un valor para π de 18 (3 − 2 √ 2 ), que es aproximadamente 3,088."
^ a B C (José 2000, pag. 229)
^ "Detalle completo de las matemáticas védicas". ALLEN IntelliBrain . Consultado el 22 de octubre de 2022 .
^ ab (Cooke 2005, pág.200)
^ El valor de esta aproximación, 577/408, es el séptimo de una secuencia de aproximaciones cada vez más precisas 3/2, 7/5, 17/12,... a √ 2 , cuyos numeradores y denominadores se conocían como " números de lado y diámetro" para los antiguos griegos, y en las matemáticas modernas se llaman números de Pell . Si x / y es un término en esta secuencia de aproximaciones, el siguiente es ( x + 2 y )/( x + y ). Estas aproximaciones también se pueden derivar truncando la representación de fracción continua de √ 2 .
^ Neugebauer, O. y A. Sachs. 1945. Textos cuneiformes matemáticos , New Haven, CT, Yale University Press. pag. 45.
^ Departamento de Matemáticas, Universidad de Columbia Británica, The Babylonian presentó Plimpton 322 Archivado el 17 de junio de 2020 en Wayback Machine .
^ Tres números enteros positivos forman un triple pitagórico primitivo si c 2 = a 2 +b 2 y si el máximo común divisor de a, b, c es 1. En el ejemplo particular de Plimpton322, esto significa que 13500 2 +12709 2 = 18541 2 y que los tres números no tienen factores comunes. Sin embargo, algunos eruditos han cuestionado la interpretación pitagórica de esta tablilla; consulte Plimpton 322 para obtener más detalles.
^ ab (Dani 2003)
^ Ingerman, Peter Zilahy (1 de marzo de 1967). ""Forma Pānini-Backus "sugerida". Comunicaciones de la ACM . 10 (3): 137. doi : 10.1145/363162.363165 . ISSN 0001-0782. S2CID 52817672.
^ "Panini-Backus". fundacióninfinity.com . Consultado el 16 de marzo de 2018 .
^ (Fowler 1996, pag.11)
^ (Singh 1936, págs. 623–624)
^
Harper, Douglas (2011). "Cero". Diccionario de etimología Etymonline . Archivado desde el original el 3 de julio de 2017. cifra que no significa nada en la notación árabe, "también" la ausencia de toda cantidad considerada como cantidad ", c. 1600, del francés cero o directamente del italiano cero, del latín medieval zephirum, Del árabe sifr "cifrado", traducción del sánscrito sunya-m "lugar vacío, desierto, nada".
Menninger, Karl (1992). Palabras numéricas y símbolos numéricos: una historia cultural de los números. Publicaciones de Courier Dover. págs. 399–404. ISBN 978-0-486-27096-8. Consultado el 5 de enero de 2016 .
"cero, norte." DEO en línea . Prensa de la Universidad de Oxford . Diciembre de 2011. Archivado desde el original el 7 de marzo de 2012 . Consultado el 4 de marzo de 2012 . Zéro francés (1515 en Hatzfeld & Darmesteter) o su origen italiano zero, para *zefiro, < árabe çifr
^ Datta, Bibhutibhusan; Singh, Awadhesh Narayan (2019). "Uso de permutaciones y combinaciones en la India". En Kolachana, Aditya; Mahesh, K.; Ramasubramanian, K. (eds.). Estudios en matemáticas y astronomía de la India: artículos seleccionados de Kripa Shankar Shukla . Fuentes y Estudios en Historia de las Matemáticas y las Ciencias Físicas. Springer Singapur. págs. 356–376. doi :10.1007/978-981-13-7326-8_18. S2CID 191141516.. Revisado por KS Shukla a partir de un artículo en Indian Journal of History of Science 27 (3): 231–249, 1992, MR MR1189487. Ver pág. 363.
^ "Iluminando la India: protagonizada por los orígenes más antiguos registrados de 'cero', el manuscrito Bakhshali".
^ ab Anton, Howard y Chris Rorres. 2005. Álgebra lineal elemental con aplicaciones. 9ª edición. Nueva York: John Wiley and Sons. 864 páginas. ISBN 0-471-66959-8 .
^ Devlin, Hannah (13 de septiembre de 2017). "Mucho ruido y pocas nueces: el texto indio antiguo contiene el símbolo cero más antiguo". El guardián . ISSN 0261-3077 . Consultado el 14 de septiembre de 2017 .
^ Mason, Robyn (14 de septiembre de 2017). "La Unidad Aceleradora de Radiocarbono de Oxford data el origen del símbolo cero registrado más antiguo del mundo". Escuela de Arqueología, Universidad de Oxford . Archivado desde el original el 14 de septiembre de 2017 . Consultado el 14 de septiembre de 2017 .
^ "La datación por carbono encuentra que el manuscrito de Bakhshali contiene los orígenes más antiguos registrados del símbolo 'cero'". Biblioteca Bodleiana . 14 de septiembre de 2017 . Consultado el 14 de septiembre de 2017 .
^ (Neugebauer y Pingree 1970)
^ Cooke, Roger (1997), "Las matemáticas de los hindúes", La historia de las matemáticas: un curso breve , Wiley-Interscience, p. 197, ISBN978-0-471-18082-1La palabra Siddhanta significa aquello que está probado o establecido . Los Sulva Sutras son de origen hindú, pero los Siddhantas contienen tantas palabras de origen extranjero que sin duda tienen raíces en Mesopotamia y Grecia.
^ abcdefgh (Katz 1995)
^ (Hayashi 2005, pág.369)
^ abcd (Hayashi 2003, págs. 121-122)
^ (Stillwell 2004, pag.77)
^ (Stillwell 2004, pag.87)
^ abcdef (Stillwell 2004, págs. 72–73)
^ (Stillwell 2004, págs. 74-76)
^ Gupta, RC (2000), "Historia de las matemáticas en la India", en Hoiberg, Dale; Ramchandani, Indu (eds.), Students' Britannica India: ensayos seleccionados , Popular Prakashan, p. 329
^ ab Singh, AN, Matemáticas de Dhavala, Universidad de Lucknow, archivado desde el original el 11 de mayo de 2011 , consultado el 31 de julio de 2010
^ ab José (2000), pág. 298–300.
^ Cooke, Roger (1997). La historia de las matemáticas: un curso breve. Archivo de Internet. Nueva York: Wiley. ISBN978-0-471-18082-1.
^ Vidyabhusana, Satis Chandra (1920). Una historia de la lógica india: escuelas antiguas, medievales y modernas. Delhi: Motilal Banarsidass. págs. 405–6. ISBN9788120805651.
^ Satis Chandra Vidyabhusana (1920). Una historia de la lógica india: escuelas antiguas, medievales y modernas. Delhi: Motilal Banarsidas. pag. 405.ISBN9788120805651.
^ Ganeri, Jonardon (2023), "Filosofía analítica en la India moderna temprana", en Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2023), Metaphysics Research Lab, Universidad de Stanford , consultado el 23 de enero de 2024.
^ abcdefghi (Roy 1990)
^ a B C (Bressoud 2002)
^ (Singh 1936)
^ (Deseo 1835)
^ Rajagopal, C.; Rangachari, MS (1949), "Un capítulo olvidado de las matemáticas hindúes", Scripta Mathematica , 15 : 201–209.
^ Rajagopal, C.; Rangachari, MS (1951), "Sobre la prueba hindú de la serie de Gregory", Scripta Mathematica , 17 : 65–74.
^ Rajagopal, C.; Venkataraman, A. (1949), "Las series de potencias seno y coseno en las matemáticas hindúes", Revista de la Real Sociedad Asiática de Bengala (Ciencia) , 15 : 1–13.
^ Rajagopal, C.; Rangachari, MS (1977), "Sobre una fuente sin explotar de matemáticas medievales de Keralesa", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 18 (2): 89–102, doi :10.1007/BF00348142, S2CID 51861422.
^ Rajagopal, C.; Rangachari, MS (1986), "Sobre las matemáticas medievales de Kerala", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 35 (2): 91–99, doi :10.1007/BF00357622, S2CID 121678430.
^ Divakaran, PP (2018), "De 500 a. C. a 500 d. C.", Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas , Singapur: Springer Singapore, págs. 143-173, ISBN978-981-13-1773-6, consultado el 18 de junio de 2024
^ Joseph, GG 1997. "Fundamentos del eurocentrismo en matemáticas". En Etnomatemáticas: Desafiando el eurocentrismo en la educación matemática (Eds. Powell, AB et al.). Prensa SUNY. ISBN 0-7914-3352-8 . págs.67-68.
^ Cajori, Florian (1893), "The Hindoos", A History of Mathematics P 86 , Macmillan & Co., En álgebra, probablemente hubo un dar y recibir mutuo [entre Grecia y la India]. Sospechamos que Diofanto vislumbró por primera vez el conocimiento algebraico en la India.
^ Florián Cajori (2010). " Una historia de las matemáticas elementales: con sugerencias sobre métodos de enseñanza ". pág.94. ISBN 1-4460-2221-8
^ ab Almeida, DF; Juan, JK; Zadorozhnyy, A. (2001), "Matemáticas de Keralesa: su posible transmisión a Europa y las consiguientes implicaciones educativas", Journal of Natural Geometry , 20 : 77–104.
^ Oro, D.; Pingree, D. (1991), "Un trabajo sánscrito hasta ahora desconocido sobre la derivación de Madhava de la serie de potencias para seno y coseno", Historia Scientiarum , 42 : 49–65.
^ Error de cita: la referencia nombrada Asutosh_mathsse invocó pero nunca se definió (consulte la página de ayuda ).
^ Error de cita: la referencia nombrada Asutosh_lifese invocó pero nunca se definió (consulte la página de ayuda ).
^ "Los números". Cresta del tiempo . 1 de octubre de 2001. Archivado desde el original el 23 de marzo de 2016 . Consultado el 14 de marzo de 2016 .
^ ab "Estadísticos de la historia: Calyampudi R. Rao". Asociación Estadounidense de Estadística . 30 de noviembre de 2016. Archivado desde el original el 3 de marzo de 2016 . Consultado el 4 de octubre de 2009 .
^ "CRRao en Noticias". CRRao Instituto Avanzado de Matemáticas, Estadística e Informática.
^ Error de cita: la referencia nombrada frsse invocó pero nunca se definió (consulte la página de ayuda ).
^ Agarwal, Ravi P.; Sen, Syamal K. (11 de noviembre de 2014). Creadores de las Ciencias Matemáticas y Computacionales. Saltador. ISBN978-3-319-10870-4.
^ Varadarajan, VS (1984). "Harish-Chandra (1923-1983)". El inteligente matemático . 6 (3): 9–13. doi :10.1007/BF03024122. S2CID 122014700.
^ Ramachandran, R. (7 a 20 de abril de 2007). "Ciencia del azar". Primera línea . India. Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2007.
^ "2007: Srinivasa SR Varadhan | El Premio Abel". abelprize.no .
^ "Indian gana el premio Abel de Matemáticas de Noruega". Tiempos del Indostán . 23 de marzo de 2007.
^ "Medalla Fields 2014" (Presione soltar). Unión Matemática Internacional . Consultado el 10 de febrero de 2021 .
^ "Comunicado de prensa: Manjul Bhargava" (PDF) . Unión Matemática Internacional . 10 de febrero de 2021.
^ "Premiados por Fields Medalists 2014 con breves citas | Unión Matemática Internacional (IMU)". www.mathunion.org . Consultado el 9 de febrero de 2021 .
^ "Subhash Khot - Foro de Laureados de Heidelberg". - Foro de Laureados de Heidelberg . Consultado el 3 de julio de 2024 .
^ "Subhash Khot - Fundación MacArthur".
^ "Profesor Subhash Khot" . Consultado el 27 de julio de 2024 .
Boyer, CB; Merzback (fwd. de Isaac Asimov), UC (1991), Historia de las Matemáticas, Nueva York: John Wiley and Sons, 736 páginas, ISBN 978-0-471-54397-8.
Bressoud, David (2002), "¿Se inventó el cálculo en la India?", The College Mathematics Journal , 33 (1): 2–13, doi :10.2307/1558972, JSTOR 1558972.
Bronkhorst, Johannes (2001), "Panini y Euclides: Reflexiones sobre la geometría india", Journal of Indian Philosophy , 29 (1–2), Springer Países Bajos: 43–80, doi :10.1023/A:1017506118885, S2CID 115779583.
Burnett, Charles (2006), "La semántica de los números indios en árabe, griego y latín", Journal of Indian Philosophy , 34 (1–2), Springer-Netherlands: 15–30, doi :10.1007/s10781-005-8153 -z, S2CID 170783929.
Burton, David M. (1997), La historia de las matemáticas: una introducción , The McGraw-Hill Companies, Inc., págs..
Cooke, Roger (2005), La historia de las matemáticas: un curso breve , Nueva York: Wiley-Interscience, 632 páginas, ISBN 978-0-471-44459-6.
Dani, SG (25 de julio de 2003), "Sobre las ternas pitagóricas en los Śulvasūtras" (PDF) , Current Science , 85 (2): 219–224.
Datta, Bibhutibhusan (diciembre de 1931), "Evidencia literaria temprana del uso del cero en la India", The American Mathematical Monthly , 38 (10): 566–572, doi :10.2307/2301384, JSTOR 2301384.
De Young, Gregg (1995), "Geometría euclidiana en la tradición matemática de la India islámica", Historia Mathematica , 22 (2): 138–153, doi : 10.1006/hmat.1995.1014.
Kim Plofker (2007), "matemáticas, sur de Asia", Encyclopaedia Britannica Online , págs. 1-12 , consultado el 18 de mayo de 2007.
Filliozat, Pierre-Sylvain (2004), "Matemáticas sánscritas antiguas: una tradición oral y una literatura escrita", en Chemla, Karine ; Cohen, Robert S.; Renn, Jürgen; et al. (eds.), Historia de la ciencia, Historia del texto (Serie Boston sobre filosofía de la ciencia) , Dordrecht: Springer Países Bajos, 254 páginas, págs. 137–157, págs. 360–375, doi :10.1007/1-4020- 2321-9_7, ISBN 978-1-4020-2320-0.
Fowler, David (1996), "Función de coeficiente binomial", The American Mathematical Monthly , 103 (1): 1–17, doi :10.2307/2975209, JSTOR 2975209.
Hayashi, Takao (1995), El manuscrito Bakhshali, un antiguo tratado matemático indio , Groningen: Egbert Forsten, 596 páginas, ISBN 978-90-6980-087-5.
Hayashi, Takao (1997), "Regla de Aryabhata y tabla de diferencias sinusoidales", Historia Mathematica , 24 (4): 396–406, doi : 10.1006/hmat.1997.2160.
Hayashi, Takao (2003), "Indian Mathematics", en Grattan-Guinness, Ivor (ed.), Enciclopedia complementaria de historia y filosofía de las ciencias matemáticas , vol. 1, Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, págs. 118-130, ISBN 978-0-8018-7396-6.
Hayashi, Takao (2005), "Indian Mathematics", en Flood, Gavin (ed.), The Blackwell Companion to Hinduism , Oxford: Basil Blackwell, 616 páginas, págs. 360–375, págs. 360–375, ISBN 978-1-4051-3251-0.
Henderson, David W. (2000), "Raíces cuadradas en los Sulba Sutras", en Gorini, Catherine A. (ed.), Geometry at Work: Papers in Applied Geometry , vol. 53, Washington DC: Notas de la Asociación Matemática de América , págs. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.
Ifrah, Georges (2000). Una historia universal de los números: de la prehistoria a las computadoras . Nueva York: Wiley. ISBN 0471393401.
Joseph, GG (2000), La cresta del pavo real: las raíces no europeas de las matemáticas, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, 416 páginas, ISBN 978-0-691-00659-8.
Katz, Victor J. (1995), "Ideas de cálculo en el Islam y la India", Revista de Matemáticas , 68 (3): 163–174, doi :10.2307/2691411, JSTOR 2691411.
Katz, Víctor J., ed. (2007), Las matemáticas de Egipto, Mesopotamia, China, India e Islam: un libro de consulta , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, págs. 385–514, ISBN 978-0-691-11485-9.
Keller, Agathe (2005), "Hacer que los diagramas hablen, en el comentario de Bhāskara I sobre Aryabhaṭīya" (PDF) , Historia Mathematica , 32 (3): 275–302, doi :10.1016/j.hm.2004.09.001.
Kichenassamy, Satynad (2006), "Regla de Baudhāyana para la cuadratura del círculo", Historia Mathematica , 33 (2): 149–183, doi : 10.1016/j.hm.2005.05.001.
Neugebauer, Otto ; Pingree, David , eds. (1970), La Pañcasiddhāntikā de Varāhamihira , Copenhague{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link). Nueva edición con traducción y comentario, (2 Vols.).
Pingree, David (1971), "Sobre el origen griego del modelo planetario indio que emplea un doble epiciclo", Journal of Historical Astronomy , 2 (1): 80–85, Bibcode : 1971JHA.....2...80P , doi :10.1177/002182867100200202, S2CID 118053453.
Pingree, David (1973), "El origen mesopotámico de la astronomía matemática india temprana", Revista de astronomía histórica , 4 (1): 1–12, Bibcode :1973JHA.....4....1P, doi :10.1177 /002182867300400102, S2CID 125228353.
Pingree, David , ed. (1978), The Yavanajātaka of Sphujidhvaja , Harvard Oriental Series 48 (2 vols.), editado, traducido y comentado por D. Pingree, Cambridge, MA{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link).
Pingree, David (1988), "Trabajo(s) revisado(s): La fidelidad de la tradición oral y los orígenes de la ciencia por Frits Staal", Revista de la Sociedad Oriental Americana , 108 (4): 637–638, doi :10.2307/603154 , JSTOR 603154.
Pingree, David (1992), "Hellenophilia versus the History of Science", Isis , 83 (4): 554–563, Bibcode :1992Isis...83..554P, doi :10.1086/356288, JSTOR 234257, S2CID 68570164
Pingree, David (2003), "La lógica de la ciencia no occidental: descubrimientos matemáticos en la India medieval", Daedalus , 132 (4): 45–54, doi : 10.1162/001152603771338779 , S2CID 57559157.
Plofker, Kim (1996), "Un ejemplo del método secante de aproximación iterativa en un texto sánscrito del siglo XV", Historia Mathematica , 23 (3): 246–256, doi : 10.1006/hmat.1996.0026.
Plofker, Kim (2001), "El "error" en la "aproximación de la serie de Taylor" india al seno", Historia Mathematica , 28 (4): 283–295, doi : 10.1006/hmat.2001.2331.
Plofker, K. (2007), "Mathematics of India", en Katz, Victor J. (ed.), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, págs. 385–514, ISBN 978-0-691-11485-9.
Price, John F. (2000), "Geometría aplicada de los Sulba Sutras" (PDF) , en Gorini, Catherine A. (ed.), Geometry at Work: Papers in Applied Geometry , vol. 53, Washington DC: Notas de la Asociación Matemática de América, págs. 46–58, ISBN 978-0-88385-164-7, archivado desde el original (PDF) el 27 de septiembre de 2007 , consultado el 20 de mayo de 2007.
Roy, Ranjan (1990), "Descubrimiento de la fórmula en serie de Leibniz, Gregory y Nilakantha", Revista de Matemáticas , 63 (5): 291–306, doi :10.2307/2690896, JSTOR 2690896.
Singh, AN (1936), "Sobre el uso de series en matemáticas hindúes", Osiris , 1 (1): 606–628, doi :10.1086/368443, JSTOR 301627, S2CID 144760421
Staal, Frits (1986), "La fidelidad de la tradición oral y los orígenes de la ciencia", Mededelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie von Wetenschappen, Afd. Letterkunde , Nueva Serie, 49 (8), Ámsterdam: North Holland Publishing Company.
Staal, Frits (1995), "El sánscrito de la ciencia", Journal of Indian Philosophy , 23 (1), Springer Holanda: 73–127, doi :10.1007/BF01062067, S2CID 170755274.
Staal, Frits (1999), "Greek and Vedic Geometry", Journal of Indian Philosophy , 27 (1–2): 105–127, doi :10.1023/A:1004364417713, S2CID 170894641.
Staal, Frits (2001), "Cuadrados y oblongos en el Veda", Journal of Indian Philosophy , 29 (1–2), Springer Holanda: 256–272, doi :10.1023/A:1017527129520, S2CID 170403804.
Staal, Frits (2006), "Lenguajes artificiales a través de las ciencias y las civilizaciones", Journal of Indian Philosophy , 34 (1), Springer Países Bajos: 89–141, doi :10.1007/s10781-005-8189-0, S2CID 170968871.
Stillwell, John (2004), Las matemáticas y su historia , Textos universitarios en matemáticas (2 ed.), Springer, Berlín y Nueva York, 568 páginas, doi :10.1007/978-1-4684-9281-1, ISBN 978-0-387-95336-6.
Thibaut, George (1984) [1875], Matemáticas en proceso en la antigua India: reimpresiones de 'Sobre los Sulvasutras' y 'Baudhyayana Sulva-sutra', Calcuta y Delhi: KP Bagchi and Company (orig. Revista de la Sociedad Asiática de Bengala), 133 páginas.
van der Waerden, BL (1988), "Sobre Romaka-Siddhānta", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 38 (1): 1–11, doi :10.1007/BF00329976, S2CID 189788738
van der Waerden, BL (1988), "Reconstrucción de una tabla de acordes griega", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 38 (1): 23–38, Bibcode :1988AHES...38...23V, doi :10.1007 /BF00329978, S2CID 189793547
Van Nooten, B. (1993), "Números binarios en la antigüedad india", Journal of Indian Philosophy , 21 (1), Springer Holanda: 31–50, doi :10.1007/BF01092744, S2CID 171039636
Whish, Charles (1835), "Sobre la cuadratura hindú del círculo y la serie infinita de la proporción de la circunferencia al diámetro exhibida en los cuatro S'ástras, el Tantra Sangraham, Yucti Bháshá, Carana Padhati y Sadratnamála" , Transacciones de la Real Sociedad Asiática de Gran Bretaña e Irlanda , 3 (3): 509–523, doi :10.1017/S0950473700001221, JSTOR 25581775
Yano, Michio (2006), "Transmisión oral y escrita de las ciencias exactas en sánscrito", Journal of Indian Philosophy , 34 (1–2), Springer Holanda: 143–160, doi :10.1007/s10781-005-8175-6 , S2CID 170679879
Otras lecturas
Libros de consulta en sánscrito
Keller, Agathe (2006), Exponiendo la semilla matemática. vol. 1: La traducción: una traducción de Bhaskara I sobre el capítulo matemático de Aryabhatiya , Basilea, Boston y Berlín: Birkhäuser Verlag, 172 páginas, ISBN 978-3-7643-7291-0.
Keller, Agathe (2006), Exponiendo la semilla matemática. vol. 2: Los suplementos: una traducción de Bhaskara I sobre el capítulo matemático de Aryabhatiya , Basilea, Boston y Berlín: Birkhäuser Verlag, 206 páginas, ISBN 978-3-7643-7292-7.
Sarma, KV , ed. (1976), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa con el comentario de Sūryadeva Yajvan , editado críticamente con Introducción y Apéndices, Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.
Sen, SN; Bolsa, AK, eds. (1983), Los Śulbasūtras de Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana y Mānava , con texto, traducción al inglés y comentarios, Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.
Shukla, KS, ed. (1976), Āryabhaṭīya de Āryabhaṭa con el comentario de Bhāskara I y Someśvara , editado críticamente con introducción, traducción al inglés, notas, comentarios e índices, Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.
Shukla, KS, ed. (1988), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa , editado críticamente con introducción, traducción al inglés, notas, comentarios e índices, en colaboración con KV Sarma , Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.
enlaces externos
Wikiquote tiene citas relacionadas con las matemáticas indias .
Índice de matemáticas de la India antigua, Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews, 2004.
Matemáticas indias: restablecer el equilibrio, proyectos de estudiantes en historia de las matemáticas. Ian Pearce. Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews, 2002.
InSIGHT 2009, un taller sobre ciencias tradicionales indias para escolares realizado por el departamento de Ciencias de la Computación de la Universidad Anna, Chennai, India.