Ganita Kaumudi

Ganita Kaumudi ( sánscrito : गणितकौमदी ) es un tratado de matemáticas escrito por el matemático indio Narayana Pandita en 1356. Era un tratado de aritmética junto con otro tratado algebraico llamado "Bijganita Vatamsa" de Narayana Pandit .

Contenido

El Gaṇita Kaumudī contiene alrededor de 475 versos de sūtra (reglas) y 395 versos de udāharaṇa (ejemplos). Está dividido en 14 capítulos ( vyavahāra ): ^[1]

1. Prakīrṇaka-vyavahāra

Pesos y medidas, longitud, área, volumen, etc. Describe suma, resta, multiplicación, división, cuadrado, raíz cuadrada, raíz cúbica y raíz cúbica. Los problemas de ecuaciones lineales y cuadráticas que se describen aquí son más complejos que en trabajos anteriores. ^[2] 63 reglas y 82 ejemplos ^[1]

2. Misraka-vyavahara

Matemáticas de la vida cotidiana: “mezcla de materiales, intereses sobre un capital, pago a plazos, mezcla de objetos de oro de distinta pureza y otros problemas relativos a ecuaciones lineales indeterminadas para muchas incógnitas” ^[2] 42 reglas y 49 ejemplos ^[1]

3. Śreḍhī-vyavahāra

Progresiones, sucesiones y series aritméticas y geométricas. La generalización aquí fue crucial para encontrar la serie infinita de seno y coseno. ^[2] 28 reglas y 19 ejemplos. ^[1]

4. Kṣetra-vyavahāra

Geometría. 149 reglas y 94 ejemplos. ^[1] Incluye material especial sobre cuadrátil cíclicos, como la “tercera diagonal”. ^[2]

5. Khāta-vyavahāra

Excavaciones. 7 reglas y 9 ejemplos. ^[1]

6. Citi-vyavahara

Pilas. 2 reglas y 2 ejemplos. ^[1]

7. Rasi-vyavahara

Montones de grano. 2 reglas y 3 ejemplos. ^[1]

8. Chāyā-vyavahāra

Problemas de sombras. 7 reglas y 6 ejemplos. ^[1]

9. Kuttaka

Ecuaciones enteras lineales. 69 reglas y 36 ejemplos. ^[1]

10. Vargaprakrti

Cuadrática. 17 reglas y 10 ejemplos. ^[1] Incluye una variante del método Chakravala . ^[2] Ganita Kaumudi contiene muchos resultados de fracciones continuas . En el texto, Narayana Pandita utilizó el conocimiento de la fracción continua recurrente simple en las soluciones de ecuaciones indeterminadas del tipo . $nx^{2}+k^{2}=y^{2}$

11. Bhagadana

Contiene el método de factorización, ^[1] 11 reglas y 7 ejemplos. ^[1]

12. Rūpādyaṃśāvatāra

Contiene reglas para escribir una fracción como suma de fracciones unitarias. 22 reglas y 14 ejemplos. ^[1]

Las fracciones unitarias eran conocidas en las matemáticas indias en el período védico: ^[3] los Śulba Sūtras dan una aproximación de √ 2 equivalente a . Las reglas sistemáticas para expresar una fracción como la suma de fracciones unitarias se habían dado previamente en el Gaṇita-sāra-saṅgraha de Mahāvīra ( c. 850 ). ^[3]El Gaṇita-kaumudi de Nārāyaṇa dio algunas reglas más: la sección bhāgajāti en el duodécimo capítulo llamado aṃśāvatāra-vyavahāra contiene ocho reglas. ^[3] Las primeras son: ^[3] $1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}$

Regla 1. Para expresar 1 como suma de n fracciones unitarias: ^[3]

1={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\puntos +{\frac {1}{(n-1)\cdot n}}+{\frac {1}{n}}

Regla 2. Para expresar 1 como suma de n fracciones unitarias: ^[3]

1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\puntos +{\frac {1}{3^{n-2}}}+{\frac {1}{2\cdot 3^{n-2}}}

Regla 3. Para expresar una fracción como suma de fracciones unitarias : ^[3] ${\estilo de visualización p/q}$

Elija un número arbitrario i tal que sea un entero r , escriba

(q+i)/p

{\frac {p}{q}}={\frac {1}{r}}+{\frac {i}{qr}}

y encontrar denominadores sucesivos de la misma manera operando sobre la nueva fracción. Si i siempre se elige como el entero más pequeño, esto es equivalente al algoritmo voraz para fracciones egipcias , pero la regla de Gaṇita-Kaumudī no da un procedimiento único, y en su lugar establece evam iṣṭavaśād bahudhā ("Por lo tanto, hay muchas maneras, según las elecciones de cada uno"). ^[3]

Regla 4. Dados números arbitrarios , ^[3] ${\estilo de visualización n}$ $k_{1},k_{2},\puntos ,k_{n}$

1={\frac {(k_{2}-k_{1})k_{1}}{k_{2}\cdot k_{1}}}+{\frac {(k_{3}-k_{2})k_{1}}{k_{3}\cdot k_{2}}}+\puntos +{\frac {(k_{n}-k_{n-1})k_{1}}{k_{n}\cdot k_{n-1}}}+{\frac {1\cdot k_{1}}{k_{n}}}

Regla 5. Para expresar 1 como suma de fracciones con numeradores dados : ^[3] $a_{1},a_{2},\puntos ,a_{n}$

Calcular como , , , y así sucesivamente, y escribir

i_{1},i_{2},\puntos ,i_{n}

i_{1}=a_{1}+1

i_{2}=a_{2}+i_{1}

i_{3}=a_{3}+i_{2}

1={\frac {a_{1}}{1\cdot i_{1}}}+{\frac {a_{2}}{i_{1}\cdot i_{2}}}+{\frac {a_{3}}{i_{2}\cdot i_{3}}}+\puntos +{\frac {a_{n}}{i_{n-1}\cdot i_{n}}}+{\frac {1}{i_{n}}}

13. Aṅka-pāśa

Combinatoria. 97 reglas y 45 ejemplos. ^[1] Generación de permutaciones (incluidas las de un multiconjunto), combinaciones, particiones enteras , coeficientes binomiales, números de Fibonacci generalizados. ^[2]

Narayana Pandita señaló la equivalencia de los números figurativos y las fórmulas para el número de combinaciones de diferentes cosas tomadas muchas a la vez. ^[4]

El libro contiene una regla para determinar el número de permutaciones de n objetos y un algoritmo clásico para encontrar la siguiente permutación en el orden lexicográfico, aunque los métodos computacionales han avanzado mucho más allá de ese antiguo algoritmo. Donald Knuth describe muchos algoritmos dedicados a la generación eficiente de permutaciones y analiza su historia en su libro El arte de la programación informática . ^[5]

14. Bhadraganita

Cuadrados mágicos. 60 reglas y 17 ejemplos. ^[1]

Ediciones

"Traducción de Ganita Kaumudi con fundamento en matemáticas modernas y notas históricas" por SL Singh, Director, Facultad de Ciencias, Gurukul Kangri Vishwavidyalaya , Haridwar
Ganita Kaumudi, Volumen 1–2, Nārāyana Pandita (Número 57 de Princesa de Gales Sarasvati Bhavana Granthamala : Abhinava nibandhamālā Padmakara Dwivedi Jyautishacharya 1936)

Referencias

Notas

^ abcdefghijklmnop MD Srinivas, Matemáticas en la India , Conferencia 27.
^ abcdef MS Sriram, Matemáticas en la India , Conferencia 25.
^ abcdefghij Kusuba 2004, pag. 497
^ Edwards, AWF El triángulo aritmético de Pascal: la historia de una idea matemática . JHU Press. pág. 16.
^ Knuth, Donald (2006). El arte de la programación informática . Addison-Wesley . pág. 74.

Bibliografía

Kusuba, Takanori (2004), "Reglas indias para la descomposición de fracciones", en Charles Burnett; Jan P. Hogendijk; Kim Plofker ; et al. (eds.), Estudios de la historia de las ciencias exactas en honor a David Pingree , Brill , ISBN 9004132023, ISSN 0169-8729
MD Srinivas, MS Sriram, K. Ramasubramanian, Matemáticas en la India: desde el período védico hasta los tiempos modernos . Conferencias 25-27.

Enlaces externos

Ganita Kaumudi Parte 1 (1936)
Ganita Kaumudi Parte 2 (1942)
Ganita Kaumudi y la Fracción Continua ^{[ enlace muerto permanente ]}