Mahāvīra (matemático)

Matemático indio del siglo IX

Mahāvīra (o Mahaviracharya , «Mahavira el Maestro») fue un matemático jainista indio del siglo IX, nacido posiblemente en Mysore , en la India . ^{[1] [2] [3]} Fue autor del Gaṇita-sāra-saṅgraha ( Ganita Sara Sangraha ) o Compendio sobre la esencia de las matemáticas en el año 850 d. C. ^[4] Fue patrocinado por el emperador rashtrakuta Amoghavarsha . ^[4] Separó la astrología de las matemáticas. Es el primer texto indio dedicado enteramente a las matemáticas. ^[5] Expuso sobre los mismos temas sobre los que discutieron Aryabhata y Brahmagupta , pero los expresó con mayor claridad. Su obra es un enfoque altamente sincopado del álgebra y el énfasis en gran parte de su texto está en el desarrollo de las técnicas necesarias para resolver problemas algebraicos. ^[6] Es muy respetado entre los matemáticos indios, debido a su establecimiento de terminología para conceptos como triángulo equilátero e isósceles, rombo, círculo y semicírculo. ^[7] La ​​eminencia de Mahāvīra se extendió por todo el sur de la India y sus libros resultaron inspiradores para otros matemáticos del sur de la India . ^[8] Fue traducido al idioma telugu por Pavuluri Mallana como Saara Sangraha Ganitamu . ^[9]

Descubrió identidades algebraicas como a ³ = a ( a + b ) ( a − b ) + b ² ( a − b ) + b ³ . ^[3] También descubrió la fórmula para ⁿ C _r como
[ n ( n − 1) ( n − 2) ... ( n − r + 1)] / [ r ( r − 1) ( r − 2) ... 2 * 1]. ^[10] Ideó una fórmula que aproximaba el área y los perímetros de las elipses y encontró métodos para calcular el cuadrado de un número y las raíces cúbicas de un número. ^[11] Afirmó que la raíz cuadrada de un número negativo no existe. ^[12] Las operaciones aritméticas utilizadas en sus obras, como Gaṇita-sāra-saṅgraha (Ganita Sara Sangraha), utilizan el sistema decimal de valores posicionales e incluyen el uso del cero . Sin embargo, afirma erróneamente que un número dividido por cero permanece inalterado. ^[13]

Reglas para descomponer fracciones

El Gaṇita-sāra-saṅgraha de Mahāvīra dio reglas sistemáticas para expresar una fracción como la suma de fracciones unitarias . ^[14] Esto sigue el uso de fracciones unitarias en las matemáticas indias en el período védico y los Śulba Sūtras ' que dan una aproximación de √ 2 equivalente a . ^[14] ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3\cdot 4}}-{\tfrac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}}$

En el Gaṇita-sāra-saṅgraha (GSS), la segunda sección del capítulo sobre aritmética se llama kalā-savarṇa-vyavahāra (lit. "la operación de reducción de fracciones"). En ella, la sección bhāgajāti (versos 55-98) da reglas para lo siguiente: ^[14]

• Para expresar 1 como la suma de n fracciones unitarias (GSS kalāsavarṇa 75, ejemplos en 76): ^[14]

rūpāṃśakarāśīnāṃ rūpādyās triguṇitā harāḥ kramaśaḥ /
dvidvitryaṃśābhyastāv ādimacaramau phale rūpe //

Cuando el resultado es uno, los denominadores de las cantidades que tienen como numerador uno son los números que comienzan por uno y se multiplican por tres, en orden. El primero y el último se multiplican por dos y dos tercios [respectivamente].

${\displaystyle 1={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{3^{n-2}}}+{\frac {1}{{\frac {2}{3}}\cdot 3^{n-1}}}}$

• Para expresar 1 como la suma de un número impar de fracciones unitarias (GSS kalāsavarṇa 77): ^[14]

${\displaystyle 1={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 1/2}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 1/2}}+\dots +{\frac {1}{(2n-1)\cdot 2n\cdot 1/2}}+{\frac {1}{2n\cdot 1/2}}}$

• Para expresar una fracción unitaria como la suma de otras n fracciones con numeradores dados (GSS kalāsavarṇa 78, ejemplos en 79): ${\displaystyle 1/q}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {a_{1}}{q(q+a_{1})}}+{\frac {a_{2}}{(q+a_{1})(q+a_{1}+a_{2})}}+\dots +{\frac {a_{n-1}}{(q+a_{1}+\dots +a_{n-2})(q+a_{1}+\dots +a_{n-1})}}+{\frac {a_{n}}{a_{n}(q+a_{1}+\dots +a_{n-1})}}}$

• Para expresar cualquier fracción como suma de fracciones unitarias (GSS kalāsavarṇa 80, ejemplos en 81): ^[14] ${\displaystyle p/q}$

Elija un entero i tal que sea un entero r , luego escriba ${\displaystyle {\tfrac {q+i}{p}}}$

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {1}{r}}+{\frac {i}{r\cdot q}}}$

y repita el proceso para el segundo término, recursivamente. (Tenga en cuenta que si i siempre se elige como el entero más pequeño , esto es idéntico al algoritmo codicioso para fracciones egipcias ).

• Para expresar una fracción unitaria como la suma de otras dos fracciones unitarias (GSS kalāsavarṇa 85, ejemplo en 86): ^[14]

${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\frac {1}{p\cdot n}}+{\frac {1}{\frac {p\cdot n}{n-1}}}}$donde se debe elegir tal que sea un entero (para el cual debe ser un múltiplo de ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\frac {p\cdot n}{n-1}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle {\frac {1}{a\cdot b}}={\frac {1}{a(a+b)}}+{\frac {1}{b(a+b)}}}$

• Para expresar una fracción como la suma de otras dos fracciones con numeradores dados y (GSS kalāsavarṇa 87, ejemplo en 88): ^[14] ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {a}{{\frac {ai+b}{p}}\cdot {\frac {q}{i}}}}+{\frac {b}{{\frac {ai+b}{p}}\cdot {\frac {q}{i}}\cdot {i}}}}$donde se debe elegir tal que divida ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle ai+b}$

Se dieron algunas reglas adicionales en el Gaṇita-kaumudi de Nārāyaṇa en el siglo XIV. ^[14]

Véase también

• Lista de matemáticos indios

Notas

1. Pingree 1970.
2. O'Connor y Robertson 2000.
3. Tabak 2009, pág. 42.
4. Puttaswamy 2012, pág. 231.
5. El libro de las matemáticas: desde Pitágoras hasta la dimensión 57, 250 hitos en el ... por Clifford A. Pickover: página 88
6. Álgebra: conjuntos, símbolos y el lenguaje del pensamiento, de John Tabak: pág. 43
7. Geometría en la India antigua y medieval por TA Sarasvati Amma: página 122
8. Hayashi 2013.
9. Censo de las ciencias exactas en sánscrito por David Pingree: página 388
10. Tabak 2009, pág. 43.
11. Krebs 2004, pág. 132.
12. Selin 2008, pág. 1268.
13. Una breve historia de la ciencia en la India (Eds.) DM Bose, SN Sen y BV Subbarayappa. Academia Nacional de Ciencias de la India. 15 de octubre de 1971. pág. 167.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: fecha y año ( enlace )
14. Kusuba 2004, págs. 497–516

Referencias

• Bibhutibhusan Datta y Avadhesh Narayan Singh (1962). Historia de las matemáticas hindúes: un libro de consulta .
• Pingree, David (1970). "Mahāvīra". Diccionario de biografía científica . Nueva York: Charles Scribner's Sons. ISBN 978-0-684-10114-9.(Disponible, junto con muchas otras entradas de otras enciclopedias para otros Mahāvīra-s, en línea.)
• Selin, Helaine (2008), Enciclopedia de la historia de la ciencia, la tecnología y la medicina en culturas no occidentales, Springer, Bibcode :2008ehst.book.....S, ISBN 978-1-4020-4559-2
• Hayashi, Takao (2013), "Mahavira", Encyclopædia Britannica
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2000), "Mahavira", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
• Tabak, John (2009), Álgebra: conjuntos, símbolos y el lenguaje del pensamiento, Infobase Publishing, ISBN 978-0-8160-6875-3
• Krebs, Robert E. (2004), Experimentos científicos innovadores, inventos y descubrimientos de la Edad Media y el Renacimiento, Greenwood Publishing Group, ISBN 978-0-313-32433-8
• Puttaswamy, TK (2012), Logros matemáticos de los matemáticos indios premodernos, Newnes, ISBN 978-0-12-397938-4
• Kusuba, Takanori (2004), "Reglas indias para la descomposición de fracciones", en Charles Burnett; Jan P. Hogendijk; Kim Plofker ; et al. (eds.), Estudios de la historia de las ciencias exactas en honor a David Pingree , Brill , ISBN 9004132023, ISSN  0169-8729