24 celdas

En geometría de cuatro dimensiones , las 24 celdas son los 4 politopos regulares convexos ^[1] (análogo de cuatro dimensiones de un sólido platónico ) con el símbolo de Schläfli {3,4,3}. También se le llama C ₂₄ , o icositetracoron , ^[2] octaplex (abreviatura de "complejo octaédrico"), icosatetraedroide , ^[3] octacubo , hiperdiamante o polioctaedro , y está construido a partir de células octaédricas .

El límite de las 24 celdas se compone de 24 celdas octaédricas , seis de las cuales se reúnen en cada vértice y tres en cada borde. Juntos tienen 96 caras triangulares, 96 aristas y 24 vértices. La figura del vértice es un cubo . El de 24 celdas es autodual . ^[a] Las 24 celdas y el teseracto son los únicos 4 politopos regulares convexos en los que la longitud del borde es igual al radio. ^[b]

El de 24 celdas no tiene un análogo regular en 3 dimensiones. Es el único de los seis 4 politopos regulares convexos que no es el análogo cuatridimensional de uno de los cinco sólidos platónicos regulares. Es el único politopo regular, en cualquier número de dimensiones, que no tiene análogo regular en la dimensión adyacente, ni debajo ni arriba. ^[4] Sin embargo, puede verse como el análogo de un par de sólidos irregulares: el cuboctaedro y su dual, el dodecaedro rómbico . ^[5]

Las copias traducidas de las 24 celdas pueden colocar un espacio de cuatro dimensiones cara a cara, formando el panal de 24 celdas . Como politopo que puede mosaico por traslación, el de 24 celdas es un ejemplo de paralelotopo , el más simple que no es también un zonótopo . ^[6]

Geometría

El de 24 celdas incorpora las geometrías de todos los politopos regulares convexos en las primeras cuatro dimensiones, excepto los de 5 celdas, aquellos con un 5 en su símbolo Schläfli, [ ^c] y los polígonos regulares con 7 o más lados. Es especialmente útil explorar las 24 celdas, porque se pueden ver las relaciones geométricas entre todos estos politopos regulares en una sola celda de 24 o su panal .

El de 24 celdas es el cuarto en la secuencia de 6 4 politopos regulares convexos (en orden de tamaño y complejidad). ^[d] Se puede deconstruir en 3 instancias superpuestas de su predecesor, el teseracto (8 celdas), del mismo modo que las 8 celdas se pueden deconstruir en 2 instancias superpuestas de su predecesor, el de 16 celdas . ^[8] El procedimiento inverso para construir cada uno de estos a partir de una instancia de su predecesor preserva el radio del predecesor, pero generalmente produce un sucesor con una longitud de borde menor. ^[mi]

Coordenadas

Cuadrícula

Las 24 celdas es el casco convexo de sus vértices que puede describirse como las 24 permutaciones de coordenadas de:

(\pm 1,\pm 1,0,0)\in \mathbb {R} ^{4}.

Esas coordenadas ^[9] se pueden construir como, rectificando el 16 celdas con permutaciones de 8 vértices de (±2,0,0,0). La figura de vértice de una celda de 16 es el octaedro ; por lo tanto, cortar los vértices de las 16 celdas en el punto medio de sus bordes incidentes produce 8 celdas octaédricas. Este proceso ^[10] también rectifica las celdas tetraédricas de las 16 celdas que se convierten en 16 octaedros, dando a las 24 celdas 24 celdas octaédricas.

En este marco de referencia, las 24 celdas tienen bordes de longitud √ 2 y están inscritas en una 3 esferas de radio √ 2 . Sorprendentemente, la longitud del borde es igual al circunradio, como en el hexágono o el cuboctaedro . Estos politopos son radialmente equiláteros . ^[b]

Los 24 vértices forman 18 grandes cuadrados ^[f] (3 conjuntos de 6 cuadrados centrales ortogonales ^[h] ), 3 de los cuales se cruzan en cada vértice. Al observar solo un cuadrado en cada vértice, las 24 celdas pueden verse como los vértices de 3 pares de grandes cuadrados ^[g] completamente ortogonales que se cruzan con ^[k] sin vértices. ^[l]

Hexágonos

El de 24 celdas es autodual y tiene el mismo número de vértices (24) que celdas y el mismo número de aristas (96) que caras.

Si el dual de las 24 celdas anteriores con una longitud de borde √ 2 se toma moviéndolo alternativamente alrededor de su esfera inscrita , se encuentra otra 24 celdas que tiene una longitud de borde y un circunradio 1, y sus coordenadas revelan más estructura. En este marco de referencia, las 24 celdas se encuentran con el vértice hacia arriba y sus vértices se pueden dar de la siguiente manera:

8 vértices obtenidos permutando las coordenadas enteras :

\left(\pm 1,0,0,0\right)

y 16 vértices con coordenadas semienteros de la forma:

\left(\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}\derecha)

los 24 de los cuales se encuentran a una distancia 1 del origen.

Vistos como cuaterniones, ^[m] estos son los cuaterniones unitarios de Hurwitz .

Las 24 celdas tienen un radio unitario y una longitud de borde unitaria ^[b] en este sistema de coordenadas. Nos referimos al sistema como coordenadas de radio unitario para distinguirlo de otros, como las coordenadas de radio √ 2 utilizadas anteriormente. ^[norte]

Los 24 vértices y 96 aristas forman 16 grandes hexágonos no ortogonales, ^[q] cuatro de los cuales se cruzan con ^[k] en cada vértice. ^[s] Al observar solo un hexágono en cada vértice, las 24 celdas pueden verse como los 24 vértices de 4 grandes círculos hexagonales que no se cruzan y que son paralelos a Clifford entre sí. ^[t]

Los 12 ejes y 16 hexágonos de las 24 celdas constituyen una configuración de Reye , que en el lenguaje de las configuraciones se escribe como 12 ₄ 16 ₃ para indicar que cada eje pertenece a 4 hexágonos, y cada hexágono contiene 3 ejes. ^[11]

triangulos

Los 24 vértices forman 32 grandes triángulos equiláteros, de longitud de arista √ 3 en las 24 celdas de radio unitario, ^[w] inscritos en los 16 grandes hexágonos. ^[x] Cada gran triángulo es un anillo que une tres grandes cuadrados ^[y] completamente separados . ^[ab]

acordes hipercúbicos

Los 24 vértices de las 24 celdas están distribuidos ^[12] en cuatro longitudes de cuerda diferentes entre sí: √ 1 , √ 2 , √ 3 y √ 4 .

Cada vértice está unido a otros 8 ^[ac] por una arista de longitud 1, que abarca 60° = $π$ /3de arco. Los siguientes más cercanos son 6 vértices ^[ad] ubicados a 90° = $π$ /2de distancia, a lo largo de una cuerda interior de longitud √ 2 . Otros 8 vértices se encuentran a 120° =2 $π$ /3de distancia, a lo largo de una cuerda interior de longitud √ 3 . ^[ae] El vértice opuesto está a 180° = $π$ de distancia a lo largo de un diámetro de longitud 2. Finalmente, como las 24 celdas son radialmente equiláteras, su centro está a 1 arista de distancia de todos los vértices.

Para visualizar cómo encajan los politopos interiores de las 24 celdas (como se describe a continuación), tenga en cuenta que las cuatro longitudes de cuerda ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) son los diámetros largos de los hipercubos de dimensiones 1. hasta 4: el diámetro largo del cuadrado es √ 2 ; el diámetro largo del cubo es √ 3 ; y el diámetro largo del teseracto es √ 4 . ^[af] Además, el diámetro largo del octaedro es √ 2 como el cuadrado; y el diámetro largo de las 24 celdas es √ 4 como el teseracto. En las 24 celdas, las cuerdas √ 2 son los bordes de los cuadrados centrales y las cuerdas √ 4 son las diagonales de los cuadrados centrales.

Geodésicas

Las cuerdas de vértice de las 24 celdas están dispuestas en polígonos de círculo máximo geodésicos . ^[ah] La distancia geodésica entre dos vértices de 24 celdas a lo largo de un camino de √ 1 aristas es siempre 1, 2 o 3, y es 3 solo para vértices opuestos. ^[ai]

Las aristas √ 1 ocurren en 16 grandes círculos hexagonales (en planos inclinados a 60 grados entre sí), 4 de los cuales se cruzan ^[s] en cada vértice. ^[r] Los 96 bordes distintos √ 1 dividen la superficie en 96 caras triangulares y 24 celdas octaédricas: un total de 24 celdas. Los 16 grandes círculos hexagonales se pueden dividir en 4 conjuntos de 4 geodésicas paralelas de Clifford que no se cruzan , de modo que solo un gran círculo hexagonal en cada conjunto pasa por cada vértice, y los 4 hexágonos de cada conjunto alcanzan los 24 vértices. ^[Alabama]

Las cuerdas √ 2 ocurren en 18 círculos máximos cuadrados (3 conjuntos de 6 planos ortogonales ^[j] ), 3 de los cuales se cruzan en cada vértice. ^[am] Las 72 cuerdas distintas √ 2 no corren en los mismos planos que los grandes círculos hexagonales; no siguen los bordes de las 24 celdas, pasan a través de sus centros de celda octogonales. ^[an] Las cuerdas 72 √ 2 son los 3 ejes ortogonales de las 24 celdas octaédricas, que unen vértices que están separados por 2 √ 1 aristas. Los 18 círculos máximos cuadrados se pueden dividir en 3 conjuntos de 6 geodésicas paralelas de Clifford que no se cruzan, ^[ag] de modo que solo un círculo máximo cuadrado en cada conjunto pasa por cada vértice, y los 6 cuadrados en cada conjunto alcanzan los 24 vértices. ^[Arkansas]

Las cuerdas √ 3 ocurren en 32 grandes círculos triangulares en 16 planos, 4 de los cuales se cruzan en cada vértice. ^[ae] Las 96 cuerdas √ 3^{distintas [w]} corren de vértice a cada otro vértice en los mismos planos que los grandes círculos hexagonales. ^[x] Son las 3 aristas de los 32 grandes triángulos inscritos en los 16 grandes hexágonos, uniendo vértices que están separados por 2 √ 1 aristas en un círculo máximo. ^[v]

Las √ 4 cuerdas ocurren como 12 diámetros de vértice a vértice (3 conjuntos de 4 ejes ortogonales), los 24 radios alrededor del 25º vértice central.

La suma de las longitudes al cuadrado ^[as] de todas estas cuerdas distintas de las 24 celdas es 576 = 24 ² . ^[en] Estos son todos los polígonos centrales que pasan por los vértices, pero en el 4-espacio hay geodésicas en la 3-esfera que no se encuentran en los planos centrales en absoluto. Hay caminos geodésicos más cortos entre dos vértices de 24 celdas que son helicoidales en lugar de simplemente circulares; corresponden a rotaciones isoclínicas diagonales en lugar de rotaciones simples. ^[au]

Las aristas √ 1 se encuentran en 48 pares paralelos, separados por √ 3 . Las cuerdas √ 2 ocurren en 36 pares paralelos, separados por √ 2 . Los acordes √ 3 ocurren en 48 pares paralelos, separados por √ 1 . ^[AV]

Los planos centrales de las 24 celdas se pueden dividir en 4 hiperplanos centrales ortogonales (3 espacios), cada uno de los cuales forma un cuboctaedro . Los grandes hexágonos están separados por 60 grados; las grandes plazas están separadas por 90 grados o 60 grados; un gran cuadrado y un gran hexágono están separados por 90 grados y 60 grados. ^[ax] Cada conjunto de polígonos centrales similares (cuadrados o hexágonos) se puede dividir en 4 conjuntos de polígonos paralelos de Clifford que no se cruzan (de 6 cuadrados o 4 hexágonos). ^[ay] Cada conjunto de grandes círculos paralelos de Clifford es un haz de fibras paralelo que visita los 24 vértices solo una vez.

Cada círculo máximo se cruza con ^[k] con los otros círculos máximos a los que no es paralelo a Clifford en un diámetro √ 4 de las 24 celdas. ^[az] Los grandes círculos que son completamente ortogonales ^[g] o paralelos de Clifford ^[ag] no se cruzan en absoluto: pasan a través de conjuntos disjuntos de vértices. ^{[licenciado en Letras]}

Construcciones

Los triángulos y los cuadrados se unen de manera única en las 24 celdas para generar, como características interiores, ^[bb] todos los politopos convexos regulares de caras triangulares y cuadradas en las primeras cuatro dimensiones (con advertencias para las dimensiones de 5 celdas y 600 ). -celúla ). ^[bc] En consecuencia, existen numerosas formas de construir o deconstruir las 24 celdas.

Construcciones recíprocas de 8 celdas y 16 celdas.

Los 8 vértices enteros (±1, 0, 0, 0) son los vértices de una celda regular de 16 celdas , y los 16 vértices semienteros (±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2) son los vértices de su dual, el teseracto (8 celdas). ^[21] El teseracto proporciona la construcción de Gosset ^[22] de 24 celdas, equivalente a cortar un teseracto en 8 pirámides cúbicas y luego unirlas a las facetas de un segundo teseracto. La construcción análoga en 3 espacios da el dodecaedro rómbico que, sin embargo, no es regular. ^[bd] Las 16 celdas dan la construcción recíproca de las 24 celdas, la construcción de Cesaro, ^[23] equivalente a rectificar una de 16 celdas (truncando sus esquinas en los bordes medios, como se describe arriba). La construcción análoga en 3 espacios da el cuboctaedro (dual del dodecaedro rómbico) que, sin embargo, no es regular. El teseracto y el de 16 celdas son los únicos 4 politopos regulares en el de 24 celdas. ^[24]

Además, podemos dividir los 16 vértices semienteros en dos grupos: aquellos cuyas coordenadas contienen un número par de signos menos (-) y aquellos con un número impar. Cada uno de estos grupos de 8 vértices también define un total de 16 celdas. Esto muestra que los vértices de las 24 celdas se pueden agrupar en tres conjuntos disjuntos de ocho, cada uno de los cuales define un regular de 16 celdas y el complemento define el teseracto dual. ^[25] Esto también muestra que las simetrías de las 16 celdas forman un subgrupo del índice 3 del grupo de simetría de las 24 celdas. ^{[Automóvil club británico]}

Disminuciones

Podemos facetar las 24 celdas cortando ^[be] a través de las celdas interiores delimitadas por cuerdas de vértices para eliminar los vértices, exponiendo las facetas de los 4 politopos interiores inscritos en las 24 celdas. Se puede cortar un bloque de 24 celdas a través de cualquier hexágono plano de 6 vértices, cualquier rectángulo plano de 4 vértices o cualquier triángulo de 3 vértices. Los planos centrales del gran círculo (arriba) son sólo algunos de esos planos. Aquí expondremos algunos de los otros: los planos frontales ^[bf] de politopos interiores. ^[bg]

8 celdas

Comenzando con 24 celdas completas, elimine 8 vértices ortogonales (4 pares opuestos en 4 ejes perpendiculares) y los 8 bordes que irradian desde cada uno, cortando 8 celdas cúbicas delimitadas por √ 1 bordes para eliminar 8 pirámides cúbicas cuyos vértices son los vértices a eliminar. Esto elimina 4 aristas de cada gran círculo hexagonal (reteniendo solo un par de aristas opuestas), por lo que no quedan grandes círculos hexagonales continuos. Ahora 3 aristas perpendiculares se encuentran y forman la esquina de un cubo en cada uno de los 16 vértices restantes, ^[bh] y las 32 aristas restantes dividen la superficie en 24 caras cuadradas y 8 celdas cúbicas: un teseracto . Hay tres formas de hacer esto (elija un conjunto de 8 vértices ortogonales de 24), por lo que hay tres teseractos de este tipo inscritos en las 24 celdas. ^[v] Se superponen entre sí, pero la mayoría de sus conjuntos de elementos están separados: comparten algún número de vértices, pero no la longitud de los bordes, el área de la cara o el volumen de la celda. ^[bi] Comparten 4 contenidos, su núcleo común. ^[bj]

16 celdas

Comenzando con 24 celdas completas, elimine los 16 vértices de un teseracto (conservando los 8 vértices que eliminó anteriormente), cortando 16 celdas tetraédricas limitadas por √ 2 cuerdas para eliminar 16 pirámides tetraédricas cuyos vértices son los vértices que se eliminarán. Esto elimina 12 grandes cuadrados (reteniendo solo un conjunto ortogonal) y todas las aristas √ 1 , exponiendo las cuerdas √ 2 como las nuevas aristas. Ahora los 6 grandes cuadrados restantes se cruzan perpendicularmente, 3 en cada uno de los 8 vértices restantes, ^[bk] y sus 24 aristas dividen la superficie en 32 caras triangulares y 16 celdas tetraédricas: una de 16 celdas . Hay tres formas de hacer esto (eliminar 1 de 3 conjuntos de vértices de teseracto), por lo que hay tres de estas 16 celdas inscritas en las 24 celdas. ^[z] Se superponen entre sí, pero todos sus conjuntos de elementos están separados: ^[y] no comparten ningún número de vértices, longitud de borde, ^[bl] o área de cara, pero sí comparten volumen de celda. También comparten 4-content, su núcleo común. ^[bj]

Construcciones tetraédricas

Las 24 celdas se pueden construir radialmente a partir de 96 triángulos equiláteros de longitud de borde √ 1 que se encuentran en el centro del politopo, cada uno de los cuales contribuye con dos radios y un borde. ^[b] Forman 96 √ 1 tetraedros (cada uno de los cuales contribuye con una cara de 24 celdas), todos compartiendo el vértice del ápice central número 25. Estos forman 24 pirámides octaédricas (medias 16 celdas) con sus vértices en el centro.

Las 24 celdas se pueden construir a partir de 96 triángulos equiláteros de longitud de arista √ 2 , donde los tres vértices de cada triángulo se encuentran a 90° = $π$ /2alejados entre sí en las 3 esferas. Forman 48 √ 2 tetraedros (las celdas de las tres 16 celdas), centrados en los 24 radios del borde medio de las 24 celdas. ^{[licenciado en Derecho]}

El de 24 celdas se puede construir directamente a partir de su característico simplex., el irregular de 5 celdas que es la región fundamental de su grupo de simetría F 4 , por reflejo de ese 4- ortosquema en sus propias celdas (que son 3-ortosquemas). ^[bm]

Relaciones entre politopos interiores.

Los 24 celdas, los tres teseractos y los tres 16 celdas están profundamente entrelazados alrededor de su centro común y se cruzan en un núcleo común. ^[bj] Los teseractos y las 16 celdas están rotados 60° isoclínicamente ^[o] entre sí. Esto significa que los vértices correspondientes de dos teseractos o dos celdas de 16 están separados por √ 3 (120°). ^[v]

Los teseractos están inscritos en las 24 celdas ^[bn] de manera que sus vértices y aristas son elementos exteriores de las 24 celdas, pero sus caras cuadradas y celdas cúbicas se encuentran dentro de las 24 celdas (no son elementos de las 24 celdas). ). Las 16 celdas están inscritas en las 24 celdas ^[bo] de modo que solo sus vértices son elementos exteriores de las 24 celdas: sus bordes, caras triangulares y celdas tetraédricas se encuentran dentro de las 24 celdas. Los bordes interiores ^[pb] de 16 celdas tienen una longitud √ 2 . ^[ab]

Las 16 celdas también están inscritas en los tesseracts: sus √ 2 bordes son las diagonales de las caras del tesseract, y sus 8 vértices ocupan cada dos vértices del tesseract. Cada teseracto tiene dos celdas de 16 inscritas (que ocupan los vértices opuestos y las diagonales de las caras), por lo que cada celda de 16 está inscrita en dos de las tres celdas de 8. ^[29]^[aa] Esto recuerda la forma en que, en 3 dimensiones, dos tetraedros regulares opuestos pueden inscribirse en un cubo, como lo descubrió Kepler. ^[28] De hecho, es la analogía dimensional exacta (los demihipercubos ), y las 48 celdas tetraédricas están inscritas en las 24 celdas cúbicas precisamente de esa manera. ^[30]^[bl]

Las 24 celdas encierran los tres teseractos dentro de su envoltura de facetas octaédricas, dejando un espacio de 4 dimensiones en algunos lugares entre su envoltura y la envoltura de cubos de cada teseracto. Cada teseracto encierra dos de las tres 16 celdas, dejando un espacio de 4 dimensiones en algunos lugares entre su envoltura y la envoltura de tetraedros de cada 16 celdas. Por lo tanto, hay intersticios ^[bq ] de 4 dimensiones ^[7 ] mensurables entre las envolturas de 24 celdas, 8 celdas y 16 celdas. Las formas que llenan estos huecos son 4 pirámides , a las que se alude anteriormente. ^[br]

Celdas límite

A pesar de los intersticios de 4 dimensiones entre las envolturas de 24, 8 y 16 celdas, sus volúmenes tridimensionales se superponen. Las diferentes envolturas están separadas en algunos lugares y en contacto en otros lugares (donde no hay ninguna pirámide 4 entre ellas). Cuando están en contacto, se fusionan y comparten el volumen celular: son la misma triple membrana en esos lugares, no dos capas tridimensionales separadas sino adyacentes. ^[bt] Debido a que hay un total de 7 sobres, hay lugares donde varios sobres se unen y fusionan volumen, y también lugares donde los sobres se interpenetran (se cruzan de adentro hacia afuera entre sí).

Algunas características interiores se encuentran dentro del espacio tridimensional de la envoltura límite (exterior) de las 24 celdas: cada celda octaédrica está dividida en dos por tres cuadrados perpendiculares (uno de cada uno de los teseractos), y las diagonales de esos cuadrados (que cruzan entre sí perpendicularmente en el centro del octaedro) son bordes de 16 celdas (uno de cada 16 celdas). Cada cuadrado divide un octaedro en dos pirámides cuadradas y también une dos celdas cúbicas adyacentes de un teseracto como su cara común. ^[bs]

Como vimos arriba, 16 celdas √ 2 celdas tetraédricas están inscritas en un teseracto √ 1 celdas cúbicas, compartiendo el mismo volumen. Las celdas octaédricas √ 1 de 24 celdas superponen su volumen con √ 1 celdas cúbicas: están divididas por una cara cuadrada en dos pirámides cuadradas, ^[32] cuyos vértices también se encuentran en un vértice de un cubo. ^[bu] Los octaedros comparten volumen no sólo con los cubos, sino también con los tetraedros inscritos en ellos; por lo tanto, las 24 celdas, los teseractos y las 16 celdas comparten algún volumen límite. ^[BT]

Como configuración

Esta matriz de configuración ^[33] representa las 24 celdas. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales indican cuántos de cada elemento se encuentran en las 24 celdas completas. Los números no diagonales dicen cuántos elementos de la columna ocurren en o en el elemento de la fila.

{\begin{bmatrix}{\begin{matrix}24&8&12&6\\2&96&3&3\\3&3&96&2\\6&12&8&24\end{matrix}}\end{bmatrix}}

Dado que las 24 celdas son autoduales, su matriz es idéntica a su rotación de 180 grados.

Simetrías, sistemas de raíces y teselaciones.

Los 24 vectores raíz del sistema de raíces D 4 del grupo de Lie simple SO(8) forman los vértices de un grupo de 24 celdas. Los vértices se pueden ver en 3 hiperplanos , ^[aw] con los 6 vértices de una celda de octaedro en cada uno de los hiperplanos exteriores y 12 vértices de un cuboctaedro en un hiperplano central. Estos vértices, combinados con los 8 vértices de las 16 celdas , representan los 32 vectores raíz de los grupos de Lie simples B ₄ y C ₄ .

Los 48 vértices (o estrictamente hablando sus vectores de radio) de la unión de las 24 celdas y su dual forman el sistema de raíces de tipo F 4 . ^[35] Los 24 vértices de las 24 celdas originales forman un sistema de raíces de tipo D ₄ ; su tamaño tiene la relación √ 2 :1. Esto también es válido para los 24 vértices de su dual. El grupo de simetría completa de las 24 celdas es el grupo Weyl de F ₄ , que se genera por reflexiones a través de los hiperplanos ortogonales a las raíces de F ₄ . Este es un grupo resoluble de orden 1152. El grupo de simetría rotacional de 24 celdas es de orden 576.

Interpretación cuaterniónica

Cuando se interpreta como los cuaterniones , ^{[m] la}red de raíces F ₄ (que es el tramo integral de los vértices de las 24 celdas) está cerrada ante la multiplicación y, por lo tanto, es un anillo . Este es el anillo de cuaterniones integrales de Hurwitz . Los vértices de las 24 celdas forman el grupo de unidades (es decir, el grupo de elementos invertibles) en el anillo del cuaternión de Hurwitz (este grupo también se conoce como grupo tetraédrico binario ). Los vértices de las 24 celdas son precisamente los 24 cuaterniones de Hurwitz con norma al cuadrado 1, y los vértices del dual de 24 celdas son aquellos con norma al cuadrado 2. La red de raíces D _{4 es la}dual de F ₄ y está dada por el subanillo de los cuaterniones de Hurwitz con norma par al cuadrado. ^[37]

Vistos como los cuaterniones de Hurwitz de 24 unidades , las coordenadas del radio unitario de las 24 celdas representan (en pares de antípodas) las 12 rotaciones de un tetraedro regular. ^[38]

Los vértices de otros 4 politopos regulares convexos también forman grupos multiplicativos de cuaterniones, pero pocos de ellos generan una red de raíces. ^[39]

Células de Voronói

Las células de Voronoi de la red de raíces D 4 son regulares de 24 células. La correspondiente teselación de Voronoi proporciona la teselación del espacio euclidiano de 4 dimensiones mediante 24 celdas regulares, el panal de 24 celdas . Las 24 celdas están centradas en los puntos de la red D ₄ (cuaterniones de Hurwitz con norma par al cuadrado) mientras que los vértices están en los puntos de la red F ₄ con norma impar al cuadrado. Cada 24 celdas de este teselado tiene 24 vecinos. Con cada uno de ellos comparte un octaedro. También tiene otros 24 vecinos con los que comparte un solo vértice. Ocho celdas de 24 se encuentran en cualquier vértice dado de este teselado. El símbolo de Schläfli para este teselado es {3,4,3,3}. Es una de las tres únicas teselaciones regulares de R ⁴ .

Las bolas unitarias inscritas en las 24 celdas de este teselado dan lugar al empaquetamiento reticular de hiperesferas más denso conocido en 4 dimensiones. También se ha demostrado que la configuración del vértice de las 24 celdas proporciona el mayor número de besos posible en 4 dimensiones .

Panal radialmente equilátero

La teselación dual del panal de 24 celdas {3,4,3,3} es el panal de 16 celdas {3,3,4,3} . La tercera teselación regular del espacio de cuatro dimensiones es el panal teseractico {4,3,3,4} , cuyos vértices pueden describirse mediante coordenadas cartesianas de 4 enteros. ^[m] Las relaciones congruentes entre estas tres teselaciones pueden ser útiles para visualizar las 24 celdas, en particular la simetría radial equilátera que comparte con el teseracto. ^[b]

Un panal de 24 celdas de longitud de borde unitario se puede superponer sobre un panal de teseractos de longitud de borde unitaria de manera que cada vértice de un teseracto (cada coordenada de 4 números enteros) sea también el vértice de un teseracto de 24 celdas (y los bordes de un teseracto también son 24 celdas). -bordes de celda), y cada centro de un teseracto de 24 celdas es también el centro de un teseracto. ^[40] Las 24 celdas son dos veces más grandes que los teseractos por contenido de 4 dimensiones (hipervolumen), por lo que en general hay dos teseractos por cada 24 celdas, solo la mitad de los cuales están inscritos en 24 celdas. Si esos teseractos son de color negro y sus teseractos adyacentes (con los que comparten una faceta cúbica) son de color rojo, se obtiene un tablero de ajedrez de 4 dimensiones. ^[41] De los 24 radios del centro al vértice ^[bv] de cada 24 celdas, 16 son también los radios de un teseracto negro inscrito en las 24 celdas. Los otros 8 radios se extienden fuera del teseracto negro (a través de los centros de sus facetas cúbicas) hasta los centros de los 8 teseractos rojos adyacentes. Así, el panal de 24 celdas y el panal teseractico coinciden de una manera especial: 8 de los 24 vértices de cada 24 celdas no ocurren en un vértice de un teseracto (en cambio, ocurren en el centro de un teseracto). Cada teseracto negro se corta de un bloque de 24 celdas truncándolo en estos 8 vértices, cortando 8 pirámides cúbicas (como al invertir la construcción de Gosset, ^[22] pero en lugar de eliminarse, las pirámides simplemente se colorean de rojo y se dejan en su lugar). Ocho celdas de 24 se encuentran en el centro de cada teseracto rojo: cada una se encuentra con su opuesto en ese vértice compartido y las otras seis en una celda octaédrica compartida.

Los teseractos rojos son celdas llenas (contienen un vértice central y radios); Los teseractos negros son celdas vacías. El conjunto de vértices de esta unión de dos panales incluye los vértices de todas las 24 celdas y teseractos, además de los centros de los teseractos rojos. Agregar los centros de 24 celdas (que también son los centros de teseracto negros) a este panal produce un panal de 16 celdas, cuyo conjunto de vértices incluye todos los vértices y centros de todas las 24 celdas y teseractos. Los centros anteriormente vacíos de 24 celdas adyacentes se convierten en los vértices opuestos de una unidad de longitud de borde de 16 celdas. 24 medias 16 celdas (pirámides octaédricas) se reúnen en cada centro anteriormente vacío para llenar cada 24 celdas, y sus bases octaédricas son las facetas octaédricas de 6 vértices de las 24 celdas (compartidas con las 24 celdas adyacentes). ^[peso]

Observe la ausencia total de pentágonos en esta unión de tres panales. Al igual que el espacio euclidiano de 24 celdas y 4 dimensiones, está completamente lleno por un complejo de todos los politopos que pueden construirse a partir de triángulos y cuadrados regulares (excepto el de 5 celdas), pero ese complejo no requiere (ni permite) cualquiera de los politopos pentagonales. ^[C]

Rotaciones

Los 4 politopos convexos regulares son una expresión de su simetría subyacente , que se conoce como SO(4) , el grupo de rotaciones ^[42] alrededor de un punto fijo en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. ^[bz]

Las 3 bases cartesianas de las 24 celdas.

Hay tres orientaciones distintas del panal teseractico que podrían hacerse coincidir con el panal de 24 celdas, dependiendo de cuál de los tres conjuntos disjuntos de 8 vértices ortogonales de las 24 celdas (qué conjunto de 4 ejes perpendiculares, o equivalentemente, que inscrito Se eligió ^[p] para alinearlo, de la misma manera que se pueden inscribir tres teseractos en las 24 celdas, girados uno con respecto al otro. ^[v] La distancia de una de estas orientaciones a otra es una rotación isoclínica de 60 grados (una doble rotación de 60 grados en cada par de planos ortogonales invariantes, alrededor de un único punto fijo). ^[ca] Esta rotación se puede ver más claramente en los planos centrales hexagonales, donde cada hexágono gira para cambiar cuál de sus tres diámetros está alineado con un eje del sistema de coordenadas. ^[q]

Planos de rotación

Las rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones pueden verse como la composición de dos rotaciones de 2 dimensiones en planos completamente ortogonales. ^[44] Por lo tanto, la rotación general en el espacio 4 es una rotación doble . ^[45] Hay dos casos especiales importantes, llamados rotación simple y rotación isoclínica . ^[ce]

Rotaciones simples

Una proyección 3D de una celda de 24 que realiza una rotación simple . ^[bg]

En 3 dimensiones, un poliedro giratorio tiene un único plano central de rotación invariante . El plano se llama invariante porque cada punto del plano se mueve en círculo pero permanece dentro del plano. Sólo uno de los planos centrales de un poliedro puede ser invariante durante una rotación particular; la elección del plano central invariante y la distancia angular y la dirección en la que se gira especifican completamente la rotación. Los puntos fuera del plano invariante también se mueven en círculos (a menos que estén en el eje de rotación fijo perpendicular al plano invariante), pero los círculos no se encuentran dentro de un plano central.

Cuando un politopo de 4 gira con un solo plano central invariante, ocurre el mismo tipo de rotación simple que ocurre en 3 dimensiones. Una diferencia es que en lugar de un eje de rotación fijo, hay todo un plano central fijo en el que los puntos no se mueven. El plano fijo es el plano central que es completamente ortogonal ^[g] al plano invariante de rotación. En las 24 celdas, hay una rotación simple que llevará cualquier vértice directamente a cualquier otro vértice, moviendo también la mayoría de los otros vértices pero dejando al menos 2 y como máximo 6 otros vértices fijos (los vértices que el plano central fijo cruza ). El vértice se mueve a lo largo de un círculo máximo en el plano invariante de rotación entre vértices adyacentes de un gran hexágono, un gran cuadrado o un gran digon , y el plano fijo completamente ortogonal es un digon, un cuadrado o un hexágono, respectivamente. ^{[licenciado en Letras]}

Rotaciones dobles

Una proyección 3D de un dispositivo de 24 celdas realizando una doble rotación .

Los puntos en el plano central completamente ortogonal no están obligados a ser fijos. También es posible que giren en círculos, como un segundo plano invariante, a una velocidad independiente de la rotación del primer plano invariante: una doble rotación en dos planos de rotación perpendiculares que no se cruzan ^[i] a la vez. ^[cd] En una doble rotación no hay plano ni eje fijo: cada punto se mueve excepto el punto central. La distancia angular girada puede ser diferente en los dos planos centrales completamente ortogonales, pero ambos siempre son invariantes: sus puntos que se mueven circularmente permanecen dentro del plano mientras todo el plano se inclina hacia los lados en la rotación completamente ortogonal. Una rotación en 4 espacios siempre tiene (al menos) dos planos de rotación invariantes completamente ortogonales, aunque en una rotación simple el ángulo de rotación en uno de ellos es 0.

Las rotaciones dobles vienen en dos formas quirales : rotaciones hacia la izquierda y hacia la derecha . ^[cf] En una doble rotación cada vértice se mueve en espiral a lo largo de dos grandes círculos ortogonales a la vez. ^{[cb] O el camino tiene}rosca a la derecha (como la mayoría de los tornillos y pernos), moviéndose a lo largo de los círculos en las "mismas" direcciones, o tiene rosca a la izquierda (como un perno con rosca inversa), moviéndose a lo largo de los círculos. en lo que convencionalmente decimos que son direcciones "opuestas" (de acuerdo con la regla de la mano derecha por la cual convencionalmente decimos qué dirección está "arriba" en cada uno de los 4 ejes de coordenadas). ^[47]

En las rotaciones dobles de las 24 celdas que llevan vértices a vértices, un plano de rotación invariante contiene un gran hexágono, un gran cuadrado o solo un eje (dos vértices, un gran digon). El plano de rotación invariante completamente ortogonal contendrá necesariamente un gran digón, un gran cuadrado o un gran hexágono, respectivamente. La selección de un plano de rotación invariante, una dirección de rotación y un ángulo con el que rotarlo, y una dirección de rotación y un ángulo con el que rotar su plano completamente ortogonal, determina completamente la naturaleza del desplazamiento rotacional. En el modelo de 24 celdas hay varios tipos notables de doble rotación permitidos por estos parámetros. ^[48]

Rotaciones isoclínicas

Cuando los ángulos de rotación en los dos planos invariantes son exactamente iguales, se produce una transformación notablemente simétrica : ^[49] todos los planos del círculo máximo Clifford paralelos ^[ag] a los planos invariantes se convierten en planos de rotación invariantes, a través de ese mismo ángulo, y el politopo de 4 gira isoclínicamente en muchas direcciones a la vez. ^[50] Cada vértice se mueve una distancia igual en cuatro direcciones ortogonales al mismo tiempo. ^[o] En las 24 celdas, cualquier rotación isoclínica de 60 grados en un plano hexagonal lleva cada vértice a un vértice a dos longitudes de arista de distancia, gira los 16 hexágonos 60 grados y toma cada polígono del círculo máximo (cuadrado, ^[ao] hexágono o triángulo) a un polígono de círculo máximo paralelo a Clifford del mismo tipo a 120 grados de distancia. Una rotación isoclínica también se llama desplazamiento de Clifford , en honor a su descubridor . ^[California]

Las 24 celdas en la animación de doble rotación parecen darse la vuelta. ^[ci] Parece que, porque en realidad lo hace, invierte la quiralidad de todo el politopo de 4 de la misma manera que el espejo de su baño invierte la quiralidad de su imagen mediante un reflejo de 180 grados. Cada rotación isoclínica de 360 grados es como si la superficie de 24 celdas hubiera sido arrancada como un guante y volteada del revés, convirtiendo un guante de la mano derecha en un guante de la mano izquierda (o viceversa). ^[51]

En una rotación simple de las 24 celdas en un plano hexagonal, cada vértice del plano gira primero a lo largo de un borde hasta un vértice adyacente a 60 grados de distancia. Pero en una rotación isoclínica en dos planos completamente ortogonales, uno de los cuales es un gran hexágono, ^[ba] cada vértice gira primero hacia un vértice a dos longitudes de arista de distancia ( √ 3 y 120° de distancia). Las geodésicas helicoidales de la doble rotación de 60 grados pasan a través de cada dos vértices, sin pasar por los vértices intermedios. ^[u] Cada cuerda √ 3 de la geodésica helicoidal ^[co] cruza entre dos planos centrales hexagonales paralelos de Clifford y se encuentra en otro plano central hexagonal que los intersecta a ambos. ^[ct] Las cuerdas √ 3 se encuentran en un ángulo de 60°, pero como se encuentran en planos diferentes, forman una hélice , no un triángulo. Tres cuerdas √ 3 y 360° de rotación llevan el vértice a un vértice adyacente, no a sí mismo. La hélice de √ 3 cuerdas se cierra en un bucle solo después de seis √ 3 cuerdas: una rotación de 720° dos veces alrededor de las 24 celdas ^[cc] en un hexagrama sesgado con √ 3 aristas. ^[cs] Aunque los 24 vértices y todos los hexágonos giran a la vez, una rotación isoclínica de 360 grados mueve cada vértice solo a la mitad de su circuito. Después de 360 grados, cada hélice se ha apartado de 3 vértices y ha alcanzado un cuarto vértice adyacente al vértice original, pero no ha regresado exactamente al vértice del que partió. Cada plano central (cada hexágono o cuadrado en las 24 celdas) ha girado 360 grados y se ha inclinado lateralmente 360 grados hasta su posición original (como una moneda que se lanza dos veces), pero la orientación de las 24 celdas en las 4 -El espacio en el que está incrustado ahora es diferente. ^[53] Debido a que las 24 celdas ahora están al revés, si la rotación isoclínica continúa en la misma dirección durante otros 360 grados, los 24 vértices móviles pasarán por la otra mitad de los vértices que se omitieron en la primera revolución ( (los 12 vértices antípodas de los 12 que fueron impactados la primera vez), y cada geodésica isoclínica regresará al vértice del que partió, formando un bucle helicoidal cerrado de seis cuerdas. Se necesita una rotación isoclínica de 720 grados para que cada geodésica hexagrama2 complete un circuito a través de cada segundo vértice de sus seis vértices enrollandoalrededor de las 24 celdas dos veces, devolviendo las 24 celdas a su orientación quiral original. ^[db]

La trayectoria sinuosa hexagonal que toma cada vértice al dar dos vueltas alrededor de las 24 celdas forma una doble hélice doblada en un anillo de Möbius , de modo que las dos hebras de la doble hélice forman una sola hebra continua en un bucle cerrado. ^[cv] En la primera revolución, el vértice atraviesa una hebra de 3 cuerdas de la doble hélice; en la segunda revolución, atraviesa el segundo hilo de 3 cuerdas, moviéndose en la misma dirección de rotación con la misma lateralidad (doblando hacia la izquierda o hacia la derecha) en todo momento. Aunque este anillo isoclínico de Möbius es una espiral cerrada y no un círculo bidimensional, al igual que un círculo máximo es una geodésica porque es el camino más corto de un vértice a otro. ^[au]

Politopos paralelos de Clifford

Dos planos también se llaman isoclínicos si una rotación isoclínica los une. ^[ax] Los planos isoclínicos son precisamente aquellos planos centrales con grandes círculos geodésicos paralelos a Clifford. ^[55] Los círculos máximos paralelos de Clifford no se cruzan, ^[ag] por lo que los polígonos de círculo máximo isoclínicos tienen vértices disjuntos. En las 24 celdas, cada plano central hexagonal es isoclínico con respecto a otros tres, y cada plano central cuadrado es isoclínico con respecto a otros cinco. Podemos seleccionar 4 grandes hexágonos mutuamente isoclínicos (paralelos de Clifford) (cuatro formas diferentes) que cubren los 24 vértices de las 24 celdas solo una vez (una fibración hexagonal). ^[al] Podemos seleccionar 6 grandes cuadrados ^[ck] mutuamente isoclínicos (paralelo de Clifford) (tres formas diferentes) que cubren los 24 vértices de las 24 celdas solo una vez (una fibración cuadrada). ^[ar] Cada rotación isoclínica que lleva vértices a vértices corresponde a una fibración discreta. ^[df]

Los polígonos de círculo máximo bidimensionales no son los únicos politopos de 24 celdas que son paralelos en el sentido de Clifford. ^[57] Se puede decir que los politopos congruentes de 2, 3 o 4 dimensiones son paralelos de Clifford en 4 dimensiones si sus vértices correspondientes están todos a la misma distancia. Las tres celdas de 16 inscritas en las de 24 celdas son paralelos de Clifford. Los politopos paralelos de Clifford son politopos completamente separados . ^[y] Una rotación isoclínica de 60 grados en planos hexagonales lleva cada 16 celdas a 16 celdas disjuntas. Como todas las rotaciones dobles, las rotaciones isoclínicas vienen en dos formas quirales : hay una de 16 celdas disjunta a la izquierda de cada 16 celdas y otra a su derecha . ^[z]

Todos los 4 politopos paralelos de Clifford están relacionados por una rotación isoclínica, ^{[ ca ]} pero no todos los politopos isoclínicos son paralelos de Clifford (completamente disjuntos). ^[dg] Las tres celdas de 8 en las 24 celdas son isoclínicas pero no paralelas a Clifford. Al igual que las 16 celdas, están rotadas 60 grados isoclínicamente entre sí, pero sus vértices no son todos disjuntos (y, por lo tanto, no todos equidistantes). Cada vértice ocurre en dos de las tres 8 celdas (ya que cada 16 celdas ocurre en dos de las tres 8 celdas). ^[v]

Las rotaciones isoclínicas relacionan los 4 politopos regulares convexos entre sí. Una rotación isoclínica de una sola celda de 16 generará ^[dh] una de 24 celdas. Una simple rotación de una sola celda de 16 no lo hará, porque sus vértices no alcanzarán ninguno de los vértices de las otras dos celdas de 16 en el curso de la rotación. Una rotación isoclínica de las 24 celdas generará las 600 celdas, y una rotación isoclínica de las 600 celdas generará las 120 celdas. (O todos pueden generarse directamente mediante una rotación isoclínica de las 16 celdas, generando copias isoclínicas de sí mismas). Los 4 politopos regulares convexos anidan uno dentro del otro y se esconden uno al lado del otro en los espacios paralelos de Clifford que comprenden el 3 esferas. ^[58] Para un objeto de más de una dimensión, la única forma de alcanzar estos subespacios paralelos directamente es mediante rotación isoclínica. ^[di]

Anillos

En el de 24 celdas hay conjuntos de anillos de seis tipos diferentes, que se describen por separado en detalle en otras secciones de este artículo. Esta sección describe cómo se entrelazan los diferentes tipos de anillos.

Las 24 celdas contienen cuatro tipos de fibras geodésicas (anillos poligonales que atraviesan los vértices): cuadrados de círculo máximo y sus octagramas de hélice isoclínica , ^[ar] y hexágonos de círculo máximo y sus hexagramas de hélice isoclínica. ^[al] También contiene dos tipos de anillos de células (cadenas de octaedros doblados formando un anillo en la cuarta dimensión): cuatro octaedros conectados vértice a vértice y doblados formando un cuadrado, y seis octaedros conectados cara a cara y doblados en un hexágono.

anillos de 4 celdas

Se pueden conectar cuatro octaedros de longitud unitaria de arista de vértice a vértice a lo largo de un eje común de longitud 4 √ 2 . Luego, el eje se puede doblar en un cuadrado de longitud de borde √ 2 . Aunque es posible hacer esto en un espacio de sólo tres dimensiones, no es así como ocurre en el de 24 celdas. Aunque los √ 2 ejes de los cuatro octaedros ocupan el mismo plano, formando uno de los 18 √ 2 grandes cuadrados de las 24 celdas, cada octaedro ocupa un hiperplano tridimensional diferente, ^[dj] y se utilizan las cuatro dimensiones. Las 24 celdas se pueden dividir en 6 anillos de 4 celdas (de tres maneras diferentes), interconectados entre sí como eslabones adyacentes en una cadena (pero todos estos eslabones tienen un centro común). Una rotación isoclínica en el plano del gran cuadrado por un múltiplo de 90° lleva cada octaedro del anillo a un octaedro del anillo.

anillos de 6 celdas

Se pueden conectar seis octaedros regulares cara a cara a lo largo de un eje común que pasa por sus centros de volumen, formando una pila o columna con solo caras triangulares. En un espacio de cuatro dimensiones, el eje se puede doblar 60° en la cuarta dimensión en cada uno de los seis centros del octaedro, en un plano ortogonal a los tres planos centrales ortogonales de cada octaedro, de modo que las caras triangulares superior e inferior de la columna se vuelve coincidente. La columna se convierte en un anillo alrededor de un eje hexagonal. Las 24 celdas se pueden dividir en 4 de estos anillos (de cuatro formas diferentes), interconectados entre sí. Debido a que el eje hexagonal une los centros de las celdas (no los vértices), no es un gran hexágono de 24 celdas. ^[dm] Sin embargo, se pueden encontrar seis grandes hexágonos en el anillo de seis octaedros, que corren a lo largo de los bordes de los octaedros. En la columna de seis octaedros (antes de doblarla formando un anillo) hay seis trayectorias espirales a lo largo de los bordes que suben por la columna: tres hélices paralelas que giran en espiral en el sentido de las agujas del reloj y tres hélices paralelas que giran en espiral en el sentido contrario a las agujas del reloj. Cada hélice en el sentido de las agujas del reloj intersecta cada hélice en el sentido contrario a las agujas del reloj en dos vértices separados por tres longitudes de arista. Doblar la columna formando un anillo transforma estas hélices en hexágonos de círculo máximo. ^[dk] El anillo tiene dos conjuntos de tres grandes hexágonos, cada uno en tres grandes círculos paralelos de Clifford. ^[hacer] Los grandes hexágonos en cada conjunto paralelo de tres no se cruzan, pero cada uno intersecta a los otros tres grandes hexágonos (a los que no es paralelo de Clifford) en dos vértices antípodas.

Una simple rotación en cualquiera de los grandes planos del hexágono por un múltiplo de 60° gira sólo ese hexágono de forma invariante, llevando cada vértice de ese hexágono a un vértice del mismo hexágono. Una rotación isoclínica de 60 ° en cualquiera de los seis grandes planos hexagonales gira los tres grandes hexágonos paralelos de Clifford de forma invariante y lleva cada octaedro del anillo a un octaedro no adyacente del anillo. ^[dq]

Cada octaedro isoclínicamente desplazado también gira. Después de una rotación isoclínica de 360°, cada octaedro vuelve a la misma posición, pero con una orientación diferente. En una rotación isoclínica de 720°, sus vértices vuelven a su orientación original .

Cuatro grandes hexágonos paralelos de Clifford comprenden un haz de fibras discreto que cubre los 24 vértices en una fibración de Hopf . Cuatro anillos de 6 células separados por células comprenden la misma fibración discreta. Las 24 celdas tienen cuatro fibraciones hexagonales discretas, y cada una es el dominio (contenedor) de un par único de rotaciones isoclínicas de izquierda a derecha (haces de fibras de Hopf izquierda y derecha). Cada gran hexágono pertenece a una sola fibración, ^[60] pero cada anillo de 6 celdas pertenece a tres fibraciones. El de 24 celdas contiene 16 grandes hexágonos, divididos en cuatro fibraciones, cada una de las cuales es un conjunto de cuatro anillos de 6 celdas, pero el de 24 celdas tiene solo cuatro anillos distintos de 6 celdas. Cada anillo de 6 celdas contiene 3 de los grandes hexágonos en cada una de las tres fibraciones: sólo 3 de los 4 hexágonos paralelos de Clifford de cada una de las tres fibraciones, y sólo 18 de los 24 vértices. ^[df]

Hexagramas helicoidales y sus isoclinas 4𝝅

Otro tipo de fibra geodésica, las isoclinas hexagrama helicoidales, se pueden encontrar dentro de un anillo de octaedros de 6 células. Cada una de estas geodésicas pasa por cada segundo vértice de un hexagrama sesgado ₂ , que en el radio unitario y longitud de arista unitaria de 24 celdas tiene seis aristas √ 3 . El hexagrama no se encuentra en un solo plano central, sino que está compuesto por seis cuerdas √ 3 unidas de los seis grandes círculos hexagonales diferentes en el anillo de 6 celdas. La fibra geodésica isoclina es el camino de una rotación isoclínica, ^[au] un camino helicoidal en lugar de simplemente circular alrededor de las 24 celdas que une los vértices con dos longitudes de borde separados y, en consecuencia, debe rodear dos veces las 24 celdas antes de completar sus seis vértices. bucle. ^[ch] En lugar de un hexágono plano, forma un hexagrama sesgado a partir de dos medios bucles de 360 grados de tres lados: triángulos abiertos unidos de extremo a extremo entre sí en un bucle de Möbius de seis lados. ^[CV]

Cada anillo de 6 celdas contiene seis isoclinas de hexagrama, tres negras y tres blancas, que conectan vértices pares e impares respectivamente. ^[dn] Cada uno de los tres pares de isoclinas blanco-negro pertenece a una de las tres fibraciones en las que se produce el anillo de 6 células. La rotación derecha (o izquierda) de cada fibración atraviesa dos isoclinas negras y dos isoclinas blancas en paralelo, rotando los 24 vértices. ^[tú]

Comenzando en cualquier vértice en un extremo de la columna de seis octaedros, podemos seguir un camino isoclínico de √ 3 cuerdas de una isoclina de octaedro a octaedro. En las 24 celdas, las aristas √ 1 son aristas de gran hexágono (y aristas de octaedro); en la columna de seis octaedros vemos seis grandes hexágonos recorriendo los bordes del octaedro. Las cuerdas √ 3 son diagonales de gran hexágono, que unen los vértices de gran hexágono con dos aristas de √ 1 de distancia. Los encontramos en el anillo de seis octaedros que van desde un vértice de un octaedro hasta un vértice del siguiente octaedro, pasando por la cara compartida por los dos octaedros (pero sin tocar ninguno de los 3 vértices de la cara). Cada cuerda √ 3 es una cuerda de un solo gran hexágono (una arista de un gran triángulo inscrita en ese gran hexágono), pero las cuerdas √ 3 sucesivas pertenecen a grandes hexágonos diferentes. ^[ct] En cada vértice, la trayectoria isoclínica de √ 3 cuerdas se curva 60 grados en dos planos centrales ^[dr] a la vez: 60 grados alrededor del gran hexágono al que pertenece la cuerda antes del vértice, y 60 grados en el plano de un plano diferente. gran hexágono en su totalidad, al que pertenece la cuerda después del vértice. ^[du] Por lo tanto, el camino sigue un gran hexágono de cada octaedro al siguiente, pero cambia a otro de los seis grandes hexágonos en el siguiente eslabón del camino del hexagrama ₂ . Siguiendo a lo largo de la columna de seis octaedros (y "alrededor del extremo" donde la columna se dobla formando un anillo), el camino puede al principio parecer zigzaguear entre tres planos centrales hexagonales paralelos adyacentes (como un polígono de Petrie ), pero no lo es: cualquier trayectoria isoclínica que podamos distinguir siempre zigzaguea entre dos conjuntos de tres planos centrales hexagonales paralelos adyacentes, intersectando sólo cada vértice par (o impar) y nunca cambiando su inherente paridad par/impar, ya que visita los seis. los grandes hexágonos en el anillo de 6 celdas en rotación. ^[cg] Cuando ha atravesado una cuerda de cada uno de los seis grandes hexágonos, después de 720 grados de rotación isoclínica (ya sea hacia la izquierda o hacia la derecha), cierra su hexagrama sesgado y comienza a repetirse, dando vueltas nuevamente a través del negro (o blanco) vértices y celdas.

En cada vértice, hay cuatro grandes hexágonos ^[dw] y cuatro isoclinas de hexagrama (todas negras o todas blancas) que se cruzan en el vértice. ^[dx] Cuatro isoclinas de hexagrama (dos negras y dos blancas) comprenden un haz de fibras único (izquierdo o derecho) de isoclinas que cubre los 24 vértices en cada rotación isoclínica distinta (izquierda o derecha). Cada fibración tiene una rotación isoclina izquierda y derecha única, y correspondientes haces de isoclinas de fibras izquierda y derecha únicos. ^[dy] Hay 16 isoclinas de hexagrama distintas en las 24 celdas (8 negras y 8 blancas). ^{[dz] Cada isoclina es un}polígono sesgado de Clifford sin quiralidad inherente, pero actúa como una isoclina izquierda (o derecha) cuando es atravesada por una rotación izquierda (o derecha) en diferentes fibraciones. ^[ch]

Octagramas helicoidales y sus isoclinas de 8𝝅

Las 24 celdas contienen 18 isoclinas de octagrama helicoidales , 9 para zurdos y 9 para diestros. En cada una de las tres celdas inscritas se encuentran tres pares de hélices de borde de octagrama de izquierda a derecha, descritas en otra parte como la construcción helicoidal de las 16 celdas . En resumen, cada 16 celdas se puede descomponer (de tres maneras diferentes) en un par de anillos de 8 celdas de izquierda a derecha de √ celdas tetraédricas de 2 bordes. Cada anillo de 8 celdas gira hacia la izquierda o hacia la derecha alrededor de una hélice octagrama axial de ocho cuerdas. En cada 16 celdas hay exactamente 6 hélices distintas, octagramas idénticos que rodean cada uno de los ocho vértices. Cada uno actúa como una hélice izquierda o una hélice derecha o un polígono de Petrie en cada una de las seis rotaciones isoclínicas distintas (tres a la izquierda y tres a la derecha), y no tiene quiralidad inherente excepto con respecto a una rotación particular. Las cuerdas de estas isoclinas conectan vértices opuestos de celdas tetraédricas unidas por caras, que también son vértices opuestos (vértices antípodas) de las 16 celdas, por lo que son √ 4 cuerdas.

En el de 24 celdas, estas 18 isoclinas de octagrama helicoidales se pueden encontrar dentro de los seis anillos ortogonales de octaedros de 4 celdas. Cada anillo de 4 celdas tiene celdas unidas de vértice a vértice alrededor de un gran eje cuadrado, y encontramos vértices antípodas en vértices opuestos del gran cuadrado. Una cuerda √ 4 (la diagonal del gran cuadrado) los conecta; esta es una cuerda de cada rotación isoclínica cuadrada distinta. Las celdas límite describen cómo los √ 2 ejes de las celdas octaédricas de 24 celdas son los bordes de las celdas tetraédricas de 16 celdas, cada tetraedro está inscrito en un cubo (teseracto) y cada octaedro está inscrito en un par de cubos (de diferentes teseractos), uniéndolos. ^[bs] Los octaedros unidos por vértices del anillo de 4 celdas también se encuentran en diferentes teseractos. ^[bi] En las 24 celdas, las cuerdas isoclinas de las 16 celdas describen un octagrama _12{2} con √ 4 aristas que van desde el vértice de un cubo, un octaedro y un tetraedro, hasta el vértice de otro cubo, un octaedro y un tetraedro. (en un teseracto diferente), directamente a través del centro de las 24 celdas en uno de los 12 √ 4 ejes.

Los octaedros en los anillos de 4 celdas están unidos por vértices a más de otros dos octaedros, porque tres anillos de 4 celdas (y sus tres grandes cuadrados axiales, que pertenecen a diferentes 16 celdas) se cruzan a 90 ° en cada vértice de enlace. En ese vértice, el octagrama hace dos giros en ángulo recto a la vez: 90° alrededor del gran cuadrado y 90° ortogonalmente en un anillo completamente diferente de 4 celdas. El arco de 180° de cada cuerda √ 4 del octagrama pasa por los volúmenes y vértices opuestos de dos tetraedros √ 2 unidos por caras (en las mismas 16 celdas), que también son los vértices opuestos de dos octaedros unidos por vértices en diferentes Anillos de 4 celdas (y diferentes teseractos). El arco no toca ningún vértice de esos dos octaedros excepto los puntos finales de la cuerda; en particular, pasa por alto el vértice cerca del punto medio de la cuerda donde los dos octaedros están unidos por vértices. La isoclina del octagrama de 720° pasa por un vértice de un octaedro en seis anillos diferentes de 4 celdas (de los 18 anillos de 4 celdas en el de 24 celdas) y a través de los volúmenes de 16 tetraedros. En cada vértice, hay tres grandes cuadrados y seis isoclinas de octagrama (tres pares de izquierda a derecha) que se cruzan en el vértice. ^[ck]

Cada una de las 3 fibraciones de los 18 grandes cuadrados de las 24 celdas corresponde a una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta en planos invariantes de grandes cuadrados. Cada paso de 60° de la rotación lleva 6 grandes cuadrados disjuntos (2 de cada 16 celdas) a grandes cuadrados en una de 16 celdas vecina, en isoclinas helicoidales de 8 cuerdas características de las 16 celdas . ^[ea]

Esta es la rotación característica de las 16 celdas, no la rotación característica de las 24 celdas, y no une 16 celdas enteras de las 24 celdas entre sí como lo hace la rotación de las 24 celdas en grandes planos hexagonales. ^[eb]

Ortoesquema característico

Cada 4 politopo regular tiene su característico 4 ortosquema , un 5 células irregulares . ^[bm] Las 5 celdas características de las 24 celdas regulares están representadas por el diagrama de Coxeter-Dynkin. , que puede leerse como una lista de los ángulos diédricos entre sus facetas especulares. ^[ed] Es una pirámide tetraédrica irregular basada en el tetraedro característico del octaedro regular . Las 24 celdas regulares están subdivididas por sus hiperplanos de simetría en 1152 instancias de sus características 5 celdas que se encuentran en su centro. ^[70]

El característico de 5 celdas (4-ortosquema) tiene cuatro aristas más que su base tetraedro característico (3-ortosquema), uniendo los cuatro vértices de la base a su vértice (el quinto vértice del 4-ortosquema, en el centro del normal de 24 celdas). ^[ee] Si el elemento regular de 24 celdas tiene radio y longitud de arista 𝒍 = 1, sus diez aristas características de 5 celdas tienen longitudes , , alrededor de su cara exterior del triángulo rectángulo (las aristas opuestas a los ángulos característicos 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[ec] más ,, ( los otros tres bordes del exterior de 3 ortosquemas facetan el tetraedro característico, que son los radios característicos del octaedro), más ,,, (bordes que son los radios característicos de las 24 celdas) . El camino de 4 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es , , , , primero desde un vértice de 24 celdas hasta un centro de arista de 24 celdas, luego gira 90° hasta un centro de cara de 24 celdas y luego gira 90° hasta un centro de cara de 24 celdas. -centro de celda octaédrico, luego girando 90° hacia el centro de 24 celdas. ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{12}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {3}{4}}}$ ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{12}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$

Reflexiones

El de 24 celdas se puede construir mediante los reflejos de sus característicos de 5 celdas en sus propias facetas (sus paredes de espejo tetraédricas). ^[ef] Las reflexiones y las rotaciones están relacionadas: una reflexión en un número par de espejos que se cruzan es una rotación. ^[71] En consecuencia, los politopos regulares pueden generarse mediante reflexiones o rotaciones. Por ejemplo, cualquier rotación isoclínica de 720° de las 24 celdas en un plano invariante hexagonal lleva cada uno de los 24 vértices hacia y a través de otros 5 vértices y de regreso a sí mismo, en una isoclina geodésica hexagrama2 sesgada que gira dos veces alrededor de las 3 esferas en cada segundo vértice del hexagrama. Cualquier conjunto de cuatro pares ortogonales de vértices antípodas (los 8 vértices de una de las tres 16 celdas inscritas) que realicen la mitad de dicha órbita visita 3 * 8 = 24 vértices distintos y genera las 24 celdas secuencialmente en 3 pasos de un solo 360. ° rotación isoclínica, así como cualquier característica única de 5 celdas que se refleja en sus propias paredes de espejo genera los 24 vértices simultáneamente por reflexión.

Trazar la órbita de uno de esos vértices de 16 celdas durante la rotación isoclínica de 360° revela más sobre la relación entre reflexiones y rotaciones como operaciones generativas. ^[eh] El vértice sigue una isoclina (un círculo geodésico de doble curvatura) en lugar de cualquiera de los círculos geodésicos de curva simple que son los segmentos del círculo máximo sobre cada cuerda √ 3 de la rotación. ^[ct] La isoclina conecta vértices a dos longitudes de aristas de distancia, pero se curva alejándose de la trayectoria del círculo máximo sobre las dos aristas que conectan esos vértices, perdiendo el vértice intermedio. ^[co] Aunque la isoclina no sigue ningún gran círculo, está contenida dentro de un anillo de otro tipo: en el de 24 celdas permanece dentro de un anillo de 6 celdas de celdas esféricas ^[73] octaédricas, que cruzan un vértice en cada celda, y pasando a través del volumen de dos celdas adyacentes cerca del vértice omitido.

Operaciones de simetría quiral

Una operación de simetría es una rotación o reflexión que deja al objeto en la misma orientación, indistinguible de sí mismo antes de la transformación. Las 24 celdas tienen 1152 operaciones de simetría distintas (576 rotaciones y 576 reflexiones). Cada rotación equivale a dos reflexiones, en un par distinto de planos especulares no paralelos. ^[eh]

En la imagen se muestran conjuntos de polígonos de círculo máximo separados, cada uno en un plano central distinto de las 24 celdas. Por ejemplo, {24/4}=4{6} es una proyección ortogonal de las 24 celdas que representa 4 de sus [16] grandes planos hexagonales. ^[t] Los 4 planos se encuentran en Clifford paralelos al plano de proyección y entre sí, y sus grandes polígonos constituyen colectivamente una fibración de Hopf discreta de 4 grandes círculos que no se cruzan y que visitan los 24 vértices solo una vez.

Cada fila de la tabla describe una clase de rotaciones distintas. Cada clase de rotación lleva los planos izquierdos mostrados a los planos derechos correspondientes mostrados. ^[ej] Los vértices de los planos móviles se mueven en paralelo a lo largo de las trayectorias isoclinas poligonales que se muestran. Por ejemplo, la clase de rotación consta de [32] desplazamientos rotacionales distintos por una distancia de arco de $[32]R_{q7,q8}$ 2𝝅/3= 120° entre 16 grandes planos hexagonales representados por un grupo de cuaterniones y un conjunto correspondiente de 16 grandes planos hexagonales representados por un grupo de cuaterniones . ^[el] Una de las [32] rotaciones distintas de esta clase mueve la coordenada de vértice representativa a la coordenada de vértice . ^[ellos] $q7$ $q8$ $({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$ $({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})$

En una clase de rotación, cada grupo de cuaterniones puede ser representativo no sólo de su propia fibración de planos paralelos de Clifford ^[el] sino también de otras fibraciones congruentes. ^[t] Por ejemplo, la clase de rotación toma los 4 planos hexagonales de a cuyos 4 planos hexagonales están a 120° de distancia, en una rotación isoclínica. Pero en una rotación rígida de este tipo, ^[ep] todos los [16] planos hexagonales se mueven en desplazamientos rotacionales congruentes, por lo que esta clase de rotación también incluye , y . El nombre es la representación convencional de todos los [16] desplazamientos planos congruentes. $[d]{R_{ql,qr}}$ $\pm {q_{n}}$ $[4]R_{q7,q8}$ $q7$ $q8$ $[4]R_{-q7,-q8}$ $[4]R_{q8,q7}$ $[4]R_{-q8,-q7}$ $[16]R_{q7,q8}$

Todas estas clases de rotación son subclases de las cuales tienen [32] desplazamientos de rotación distintos en lugar de [16] porque hay dos formas quirales de realizar cualquier clase de rotaciones, denominadas rotaciones a la izquierda y rotaciones a la derecha . Los [16] desplazamientos hacia la izquierda de esta clase no son congruentes con los [16] desplazamientos hacia la derecha, sino enantiomorfos como un par de zapatos. ^[fd] Cada rotación isoclínica izquierda (o derecha) toma [16] planos izquierdos a [16] planos derechos, pero los planos izquierdo y derecho se corresponden de manera diferente en las rotaciones izquierda y derecha. Los desplazamientos rotacionales hacia la izquierda y hacia la derecha del mismo plano izquierdo lo llevan a planos derechos diferentes. $[32]R_{q7,q8}$

Cada clase de rotación (fila de la tabla) describe una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta, o un conjunto distinto de rotaciones simples paralelas izquierda (y derecha). Las rotaciones hacia la izquierda (o hacia la derecha) llevan los planos izquierdos a los planos derechos a través de un ángulo de rotación característico. ^[ax] Por ejemplo, la rotación mueve [16] planos por $[32]R_{q7,q8}$ 2𝝅/3= 120° cada uno. Repetida 6 veces, esta rotación isoclínica izquierda (o derecha) mueve cada plano 720° y regresa a sí mismo en la misma orientación , pasando por los 4 planos del conjunto izquierdo y los 4 planos del conjunto derecho una vez cada uno. ^[ek] La imagen en la columna de isoclina representa esta unión de los conjuntos de planos izquierdo y derecho. En el ejemplo, se puede ver como un conjunto de 4 hexagramas sesgados paralelos de Clifford , cada uno de los cuales tiene un borde en cada gran plano hexagonal y sesgado hacia la izquierda (o derecha) en cada vértice a lo largo de la rotación isoclínica izquierda (o derecha). ^[cf] $q7$ $q8$ $[32]R_{q7,q8}$

Visualización

Escultura de acero Octacube en la Universidad Estatal de Pensilvania

Anillos de celda

Las 24 celdas están delimitadas por 24 celdas octaédricas . Para fines de visualización, es conveniente que el octaedro tenga caras paralelas opuestas (rasgo que comparte con las celdas del teseracto y el de 120 celdas ). Se pueden apilar octaedros cara a cara en una línea recta doblada en la cuarta dirección formando un círculo máximo con una circunferencia de 6 celdas. ^[75]^[76] Las ubicaciones de las células se prestan a una descripción hiperesférica . Elija una celda arbitraria y etiquétela como " Polo Norte ". Ocho meridianos del gran círculo (de dos celdas de largo) se irradian en 3 dimensiones y convergen en la tercera celda del " Polo Sur ". Este esqueleto representa 18 de las 24 células (2 + 8 × 2 ). Vea la tabla a continuación.

Hay otro gran círculo relacionado en las 24 celdas, el dual del de arriba. Un camino que atraviesa 6 vértices únicamente a lo largo de las aristas reside en el dual de este politopo, que es en sí mismo ya que es auto dual. Estas son las geodésicas hexagonales descritas anteriormente. ^[al] Uno puede seguir fácilmente este camino en una representación de la sección transversal del cuboctaedro ecuatorial.

Comenzando en el Polo Norte, podemos construir las 24 células en 5 capas latitudinales. Con la excepción de los polos, cada capa representa una 2-esfera separada, siendo el ecuador una gran 2-esfera. ^[aq] Las celdas etiquetadas como ecuatoriales en la siguiente tabla son intersticiales con respecto a las celdas del meridiano del gran círculo. Las células intersticiales "ecuatoriales" tocan las células de los meridianos en sus caras. Se tocan entre sí y las células polares en sus vértices. Este último subconjunto de ocho celdas polares y no meridianas tiene la misma posición relativa entre sí que las celdas de un teseracto (8 celdas), aunque se tocan en sus vértices en lugar de en sus caras.

Las 24 celdas se pueden dividir en conjuntos de celdas disjuntas de cuatro de estos anillos de gran círculo de 6 celdas, formando una fibración de Hopf discreta de cuatro anillos entrelazados. ^[df] Un anillo es "vertical" y abarca las celdas polares y cuatro celdas meridianas. Los otros tres anillos abarcan cada uno de ellos dos células ecuatoriales y cuatro células meridianas, dos del hemisferio norte y dos del sur. ^[77]

Tenga en cuenta que esta trayectoria del círculo máximo del hexágono implica que el ángulo interior/diédrico entre celdas adyacentes es 180 - 360/6 = 120 grados. Esto sugiere que puede apilar exactamente tres celdas de 24 celdas en un plano y formar un panal 4-D de 24 celdas como se describió anteriormente.

También se puede seguir una ruta de gran círculo, a través de los vértices opuestos de los octaedros, es decir, de cuatro celdas de largo. Estas son las geodésicas cuadradas a lo largo de cuatro cuerdas √ 2 descritas anteriormente. Este camino corresponde a atravesar diagonalmente los cuadrados de la sección transversal del cuboctaedro. El de 24 celdas es el único politopo regular en más de dos dimensiones donde se puede atravesar un gran círculo únicamente a través de los vértices opuestos (y el interior) de cada celda. Este gran círculo es auto dual. Este camino se mencionó anteriormente con respecto al conjunto de 8 celdas polares y no meridianas (ecuatoriales).

Las 24 celdas se pueden equiparticionar en tres subconjuntos de 8 celdas, cada uno con la organización de un teseracto. Cada uno de estos subconjuntos se puede equiparticionar aún más en dos cadenas de círculo máximo entrelazadas, de cuatro celdas de largo. En conjunto, estos tres subconjuntos ahora producen otra fibración de Hopf discreta de seis anillos.

Proyecciones paralelas

La proyección paralela del primer vértice de las 24 celdas en un espacio tridimensional tiene una envoltura dodecaédrica rómbica . Doce de las 24 células octaédricas se proyectan en pares sobre seis bipirámides cuadradas que se encuentran en el centro del dodecaedro rómbico. Las 12 células octaédricas restantes se proyectan sobre las 12 caras rómbicas del dodecaedro rómbico.

La proyección paralela de la primera celda de las 24 celdas en el espacio tridimensional tiene una envoltura cuboctaédrica . Dos de las celdas octaédricas, la más cercana y la más alejada del observador a lo largo del eje w , se proyectan sobre un octaedro cuyos vértices se encuentran en el centro de las caras cuadradas del cuboctaedro. Alrededor de este octaedro central se encuentran las proyecciones de otras 16 celdas, con 8 pares, cada una de las cuales se proyecta a uno de los 8 volúmenes que se encuentran entre una cara triangular del octaedro central y la cara triangular más cercana del cuboctaedro. Las 6 células restantes se proyectan sobre las caras cuadradas del cuboctaedro. Esto se corresponde con la descomposición del cuboctaedro en un octaedro regular y 8 octaedros irregulares pero iguales, cada uno de los cuales tiene la forma del casco convexo de un cubo al que se le han eliminado dos vértices opuestos.

La proyección paralela de primer borde tiene una envoltura bipiramidal hexagonal alargada , y la proyección paralela de primera cara tiene una envoltura biantiprismática hexagonal no uniforme .

Proyecciones en perspectiva

La proyección en perspectiva del primer vértice de las 24 celdas en un espacio tridimensional tiene una envoltura tetrakis hexaédrica . El diseño de las celdas en esta imagen es similar a la imagen bajo proyección paralela.

La siguiente secuencia de imágenes muestra la estructura de la proyección en perspectiva de la primera celda de las 24 celdas en 3 dimensiones. El punto de vista 4D se coloca a una distancia de cinco veces el radio del centro del vértice de las 24 celdas.

Politopos relacionados

Tres construcciones del grupo Coxeter

Hay dos formas de simetría inferior de 24 celdas, derivadas como de 16 celdas rectificadas , con simetría B ₄ o [3,3,4] dibujada en color bicolor con 8 y 16 celdas octaédricas . Por último, se puede construir a partir de simetría D ₄ o [3 ^1,1,1 ] y dibujarlo en color tricolor con 8 octaedros cada uno.

Polígonos complejos relacionados

El polígono regular complejo ₄ {3} ₄ ,oContiene los 24 vértices de las 24 celdas y 24 4 aristas que corresponden a cuadrados centrales de 24 de 48 celdas octaédricas. Su simetría es ₄ [3] ₄ , orden 96. ^[78]

El politopo complejo regular ₃ {4} ₃ ,o, tiene una representación real como 24 celdas en un espacio de 4 dimensiones. ₃ {4} ₃ tiene 24 vértices y 24 3 aristas. Su simetría es ₃ [4] ₃ , orden 72. $\mathbb {C} ^{2}$

4 politopos relacionados

Se pueden derivar varios 4 politopos uniformes a partir de las 24 celdas mediante truncamiento :

truncar a 1/3 de la longitud del borde produce 24 celdas truncadas ;
truncar a la mitad de la longitud del borde produce las 24 celdas rectificadas ;
y truncar a la mitad de la profundidad a las 24 celdas duales produce las 24 celdas bitruncadas , que son transitivas de celda .

Los 96 bordes de las 24 celdas se pueden dividir en la proporción áurea para producir los 96 vértices de las 24 celdas chatas . Esto se hace colocando primero vectores a lo largo de los bordes de las 24 celdas de manera que cada cara bidimensional esté delimitada por un ciclo, luego dividiendo de manera similar cada borde en la proporción áurea a lo largo de la dirección de su vector. Una modificación análoga a un octaedro produce un icosaedro o " octaedro chato ".

El de 24 celdas es el único politopo euclidiano regular autodual convexo que no es ni un polígono ni un simplex . Relajar la condición de convexidad admite dos figuras más: la gran de 120 celdas y la gran estrellada de 120 celdas . Consigo mismo, puede formar un compuesto politopo : el compuesto de dos células de 24.

Politopos uniformes relacionados

El de 24 celdas también se puede derivar como un de 16 celdas rectificado:

Ver también

Notas

^ El de 24 celdas es uno de los tres únicos politopos euclidianos regulares autoduales que no son ni un polígono ni un simplex . Los otros dos también son de 4 politopos, pero no convexos: el gran estrellado de 120 células y el gran de 120 células . El de 24 celdas es casi único entre los politopos convexos regulares autoduales en el sentido de que él y los polígonos pares son los únicos politopos donde una cara no está opuesta a un borde.
^ abcdefghi El radio largo (del centro al vértice) de las 24 celdas es igual a la longitud de su borde; por lo tanto, su diámetro largo (de vértice a vértice opuesto) es de 2 longitudes de arista. Sólo unos pocos politopos uniformes tienen esta propiedad, incluidos el teseracto y de 24 celdas de cuatro dimensiones , el cuboctaedro tridimensional y el hexágono bidimensional . (El cuboctaedro es la sección transversal ecuatorial del cuboctaedro de 24 celdas, y el hexágono es la sección transversal ecuatorial del cuboctaedro). Los politopos radialmente equiláteros son aquellos que se pueden construir, con sus radios largos, a partir de triángulos equiláteros que se encuentran en el centro. del politopo, cada uno de los cuales aporta dos radios y un borde.
^ ab Los politopos regulares convexos en las primeras cuatro dimensiones con un 5 en su símbolo Schläfli son el pentágono {5}, el icosaedro {3, 5}, el dodecaedro {5, 3}, el de 600 celdas {3,3, 5} y el {5,3,3} de 120 celdas . En otras palabras, el de 24 celdas posee todas las características triangulares y cuadradas que existen en cuatro dimensiones, excepto el de 5 celdas normal, pero ninguna de las características pentagonales. (El {3, 3, 3} de 5 celdas también es pentagonal en el sentido de que su polígono de Petrie es el pentágono).
^ Los 4 politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida de contenido de 4 dimensiones (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor de la secuencia es más redondo que su predecesor y encierra más contenido ^[7] dentro del mismo radio. El 4-simplex (5 celdas) es el caso límite más pequeño y el de 120 celdas es el más grande. La complejidad (medida comparando matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden. Esto proporciona un esquema de nomenclatura numérica alternativa para politopos regulares en el que las 24 celdas son los 4 politopos de 24 puntos: el cuarto en la secuencia ascendente que va desde los 4 politopos de 5 puntos hasta los 4 politopos de 600 puntos.
^ La longitud del borde siempre será diferente a menos que el predecesor y el sucesor sean radialmente equiláteros, es decir, la longitud del borde es la misma que su radio (por lo que ambos se conservan). Dado que los politopos radialmente equiláteros ^[b] son raros, parece que la única construcción de este tipo (en cualquier dimensión) es desde las 8 celdas hasta las 24 celdas, lo que convierte al de 24 celdas en el único politopo regular (en cualquier dimensión) que tiene la misma longitud de borde que su predecesor del mismo radio.
^ Los bordes de seis de los cuadrados están alineados con las líneas de la cuadrícula del sistema de coordenadas de radio √ 2 . Por ejemplo:
( 0, −1, 1, 0) ( 0, 1, 1, 0)
( 0, −1, −1, 0) ( 0, 1, −1, 0)
es el cuadrado en el plano xy . Las aristas de los cuadrados no son aristas de 24 celdas, son cuerdas interiores que unen dos vértices distantes 90 ^o entre sí; por lo que los cuadrados son simplemente configuraciones invisibles de cuatro de los vértices de las 24 celdas, no características visibles de las 24 celdas.
^ abcdefghijk Dos planos A y B de un espacio euclidiano de cuatro dimensiones se llaman completamente ortogonales si y solo si cada línea en A es ortogonal a cada línea en B. En ese caso, los planos A y B se cruzan en un solo punto O, de modo que si una línea en A se cruza con una línea en B, se cruzan en O. A y B son perpendiculares y Clifford paralelos. ^[j]
^ Hasta 6 planos pueden ser mutuamente ortogonales en 4 dimensiones. El espacio tridimensional admite solo 3 ejes perpendiculares y 3 planos perpendiculares que pasan por un solo punto. En un espacio de 4 dimensiones podemos tener 4 ejes perpendiculares y 6 planos perpendiculares que pasan por un punto (por la misma razón que el tetraedro tiene 6 aristas, no 4): hay 6 formas de tomar 4 dimensiones, 2 a la vez. Tres de esos planos perpendiculares (pares de ejes) se encuentran en cada vértice de las 24 celdas (por la misma razón que tres aristas se encuentran en cada vértice del tetraedro). Cada uno de los 6 planos es completamente ortogonal ^[g] a solo uno de los otros planos: el único con el que no comparte recta (por la misma razón que cada arista del tetraedro es ortogonal a solo una de las otras aristas : el único con el que no comparte punto). Dos planos completamente ortogonales son perpendiculares y opuestos entre sí, como dos aristas del tetraedro son perpendiculares y opuestas.
^ ab Para visualizar cómo dos planos pueden cruzarse en un solo punto en un espacio de cuatro dimensiones, considere el espacio euclidiano (w, x, y, z) e imagine que la dimensión w representa el tiempo en lugar de una dimensión espacial. El plano central xy (donde w=0, z=0) no comparte eje con el plano central wz (donde x=0, y=0). El plano xy existe en un solo instante en el tiempo (w=0); el plano wz (y en particular el eje w) existe todo el tiempo. Por tanto, su único momento y lugar de intersección es en el punto de origen (0,0,0,0).
^ abcdef En un espacio de 4 dimensiones podemos construir 4 ejes perpendiculares y 6 planos perpendiculares que pasan por un punto. Sin pérdida de generalidad, podemos tomarlos como los ejes y planos centrales ortogonales de un sistema de coordenadas cartesiano (w, x, y, z). En 4 dimensiones tenemos los mismos 3 planos ortogonales (xy, xz, yz) que tenemos en 3 dimensiones, y también otros 3 más (wx, wy, wz). Cada uno de los 6 planos ortogonales comparte eje con 4 de los demás, y es completamente ortogonal a sólo uno de los demás: el único con el que no comparte eje. Así, hay 3 pares de planos completamente ortogonales: xy y wz se cruzan sólo en el origen; xz y wy se cruzan sólo en el origen; yz y wx se cruzan sólo en el origen.
^ abcde Dos planos en un espacio de 4 dimensiones pueden tener cuatro posiciones recíprocas posibles: (1) pueden coincidir (ser exactamente el mismo plano); (2) pueden ser paralelos (la única forma en que no pueden cruzarse); (3) pueden cruzarse en una sola línea, como lo hacen dos planos no paralelos en un espacio tridimensional; o (4) pueden intersectarse en un solo punto ^[i] (y deben hacerlo , si son completamente ortogonales). ^[gramo]
^ abcde
Las 24 celdas como un compuesto de seis grandes cuadrados que no se cruzan {24/6}=6{4}.
Hay 3 conjuntos de 6 grandes cuadrados separados en las 24 celdas (de un total de [18] grandes cuadrados distintos), ^[eu] designados , y . Cada conjunto con nombre ^[ev] de 6 cuadrados paralelos de Clifford ^[ag] comprende una fibración discreta que cubre los 24 vértices. $\pm q1$ $\pm q2$ $\pm q3$
^ abcd En geometría euclidiana de cuatro dimensiones , un cuaternión es simplemente una coordenada cartesiana (w, x, y, z). Hamilton no los vio como tales cuando descubrió los cuaterniones . Schläfli sería el primero en considerar el espacio euclidiano de cuatro dimensiones , publicando su descubrimiento de los poliesquemas regulares en 1852, pero Hamilton nunca se dejaría influenciar por ese trabajo, que permaneció oscuro hasta el siglo XX. Hamilton encontró los cuaterniones cuando se dio cuenta de que, en cierto sentido, sería necesaria una cuarta dimensión para modelar rotaciones en el espacio tridimensional. ^[36] Aunque describió un cuaternión como un múltiplo ordenado de cuatro elementos de números reales , los cuaterniones eran para él una extensión de los números complejos, no un espacio euclidiano de cuatro dimensiones.
^ Los bordes de los grandes cuadrados ortogonales no están alineados con las líneas de la cuadrícula del sistema de coordenadas de radio unitario . Seis de los cuadrados se encuentran en los 6 planos ortogonales de este sistema de coordenadas, pero sus aristas son las √ 2 diagonales de cuadrados de longitud unitaria de arista de la red de coordenadas. Por ejemplo:
(   0,   0,   1,   0)
(   0, −1,   0,   0)    (   0,   1,   0,   0)
(   0,   0, −1,   0)
es el cuadrado en el plano xy . Observe que las 8 coordenadas enteras comprenden los vértices de los 6 cuadrados ortogonales.
^ abcdefg En una rotación isoclínica, cada punto en cualquier lugar del politopo de 4 se mueve una distancia igual en cuatro direcciones ortogonales a la vez, en una diagonal de 4 dimensiones . El punto se desplaza una distancia pitagórica total igual a la raíz cuadrada de cuatro veces el cuadrado de esa distancia. Todos los vértices se desplazan a un vértice que está al menos a dos longitudes de arista de distancia. ^[u] Por ejemplo, cuando las 24 celdas de radio unitario gira isoclínicamente 60° en un plano invariante hexagonal y 60° en su plano invariante completamente ortogonal, ^[ba] cada vértice se desplaza a otro vértice √ 3 (120°) de distancia , moviéndose √ 3/4 ≈ 0,866 en cuatro direcciones ortogonales.
^ abc Cada gran hexágono de las 24 celdas contiene un eje (un par de vértices antípodas) que pertenece a cada una de las tres 16 celdas inscritas. Las 24 celdas contienen tres celdas inscritas disjuntas, rotadas 60° isoclínicamente ^[o] entre sí (por lo que sus vértices correspondientes están separados por 120° = √ 3 ). Una base ortonormal de 16 celdas para un sistema de coordenadas de 4 dimensiones, porque sus 8 vértices definen los cuatro ejes ortogonales. En cualquier elección de un sistema de coordenadas de vértice hacia arriba (como las coordenadas de radio unitario utilizadas en este artículo), una de las tres 16 celdas inscritas es la base del sistema de coordenadas, y cada hexágono tiene solo un eje que es una coordenada. eje del sistema.
^ abcde Los hexágonos están inclinados (inclinados) a 60 grados con respecto a los planos ortogonales del sistema de coordenadas de radio unitario. Cada plano hexagonal contiene sólo uno de los 4 ejes del sistema de coordenadas. ^[p] El hexágono consta de 3 pares de vértices opuestos (tres diámetros de 24 celdas): un par opuesto de vértices de coordenadas enteros (uno de los cuatro ejes de coordenadas) y dos pares opuestos de vértices de coordenadas semienteros (no ejes de coordenadas) ). Por ejemplo:
(   0,   0,   1,   0)
(  1/2, -1/2,  1/2, -1/2)    (  1/2,  1/2,  1/2,  1/2)
(-1/2, -1/2, -1/2, -1/2)    (-1/2,  1/2, -1/2,  1/2)
(   0,   0, −1,   0)
es un hexágono en el eje y . A diferencia de los cuadrados √ 2 , los hexágonos en realidad están hechos de bordes de 24 celdas, por lo que son características visibles de las 24 celdas.
^ abc Ocho √ 1 aristas convergen en un espacio tridimensional curvo desde las esquinas de la figura del vértice cúbico de 24 celdas ^[aj] y se encuentran en su centro (el vértice), donde forman 4 líneas rectas que se cruzan allí. Los 8 vértices del cubo son los otros ocho vértices más cercanos de las 24 celdas. Las líneas rectas son geodésicas: dos segmentos de √ 1 longitud de una línea aparentemente recta (en el espacio 3 de la superficie curva de 24 celdas) que se dobla en la cuarta dimensión en un hexágono de círculo máximo (en el espacio 4). Imaginadas desde el interior de este 3-espacio curvo, las curvas en los hexágonos son invisibles. Desde afuera (si pudiéramos ver las 24 celdas en 4 espacios), se vería que las líneas rectas se doblan en la 4ta dimensión en los centros del cubo, porque el centro se desplaza hacia afuera en la 4ta dimensión, fuera del hiperplano definido. por los vértices del cubo. Así, el cubo de vértices es en realidad una pirámide cúbica . A diferencia de un cubo, parece ser radialmente equilátero (como el teseracto y el propio cubo de 24 celdas): su "radio" es igual a la longitud de su arista. ^[Alaska]
^ abcd No es difícil visualizar cuatro planos hexagonales que se cruzan a 60 grados entre sí, incluso en tres dimensiones. Cuatro planos centrales hexagonales se cruzan a 60 grados en el cuboctaedro . Cuatro de los 16 planos centrales hexagonales de las 24 celdas (que se encuentran en el mismo hiperplano tridimensional) se cruzan en cada uno de los vértices de las 24 celdas exactamente de la misma manera que lo hacen en el centro de un cuboctaedro. Pero las aristas alrededor del vértice no se encuentran como lo hacen los radios en el centro de un cuboctaedro; el de 24 celdas tiene 8 aristas alrededor de cada vértice, no 12, por lo que su figura de vértice es el cubo, no el cuboctaedro. Las 8 aristas se encuentran exactamente de la misma manera que lo hacen las 8 aristas en el vértice de una pirámide cúbica canónica . ^[r]
^ abcdefghij
Las 24 celdas como un compuesto de cuatro grandes hexágonos que no se cruzan {24/4}=4{6}.
Hay 4 conjuntos de 4 grandes hexágonos separados en las 24 celdas (de un total de [16] grandes hexágonos distintos), denominados , y . ^[ek] Cada conjunto con nombre de 4 hexágonos ^[ag] paralelos de Clifford comprende una fibración discreta que cubre los 24 vértices. $q7$ $-q7$ $q8$ $-q8$
^ abcdefghij En una rotación isoclínica los vértices se mueven en diagonal, como los alfiles en el ajedrez . Los vértices en una rotación isoclínica no pueden alcanzar ninguno de sus vértices vecinos más cercanos porque no giran directamente hacia ellos; ^[ac] se mueven diagonalmente entre ellos, omitiendolos, hasta un vértice más alejado en una capa de vértices circundante de mayor radio, ^[ae] la forma en que los alfiles están confinados a las casillas blancas o negras del tablero de ajedrez y no pueden alcanzar las casillas del tablero. color opuesto, incluso aquellos inmediatamente adyacentes. ^[cn] Las cosas que se mueven en diagonal se mueven más de 1 unidad de distancia en cada paso de movimiento ( √ 2 en el tablero de ajedrez, √ 3 en las 24 celdas), pero a costa de perder la mitad de los destinos. ^[cc] Sin embargo, en una rotación isoclínica de un cuerpo rígido, todos los vértices giran a la vez, por lo que cada destino será alcanzado por algún vértice.
^ abcdefghij Las 24 celdas contienen 3 8 celdas distintas (teseractos), giradas 60 ° isoclínicamente entre sí. Los vértices correspondientes de dos celdas de 8 están separados por √ 3 (120°). Cada 8 celdas contiene 8 celdas cúbicas y cada cubo contiene cuatro cuerdas √ 3 (sus diámetros largos). Las 8 celdas no están completamente separadas (comparten vértices), ^[y] pero cada cubo y cada cuerda √ 3 pertenece a una sola 8 celdas. Los √ 3 acordes que unen los vértices correspondientes de dos 8 celdas pertenecen al tercer 8 celdas. ^[ae]
^ ab Los bordes de longitud √ 3 de estos triángulos son las diagonales ^[u] de celdas cúbicas de longitud de borde unitaria que se encuentran dentro de las 24 celdas, pero esas celdas cúbicas (tesseract) ^[v] no son celdas de la red de coordenadas de radio unitario.
^ ab Estos triángulos se encuentran en los mismos planos que contienen los hexágonos; ^[q] dos triángulos de longitud de arista √ 3 están inscritos en cada hexágono. Por ejemplo, en coordenadas de radio unitario:
(   0,   0,   1,   0)
(  1/2, -1/2,  1/2, -1/2)    (  1/2,  1/2,  1/2,  1/2)
(-1/2, -1/2, -1/2, -1/2)    (-1/2,  1/2, -1/2,  1/2)
(   0,   0, −1,   0)
son dos triángulos centrales opuestos en el eje y , con cada triángulo formado por los vértices en filas alternas. A diferencia de los hexágonos, los triángulos √ 3 no están hechos de aristas reales de 24 celdas, por lo que son características invisibles de los 24 celdas, como los cuadrados √ 2 .
^ abcdef Los politopos son completamente disjuntos si todos sus conjuntos de elementos son disjuntos: no comparten ningún vértice, arista, cara o celda. Es posible que todavía se superpongan en el espacio, compartiendo contenido, volumen, área o linaje.
^ abc Visualice las tres celdas de 16 inscritas en las 24 celdas (izquierda, derecha y central) y la rotación que las acerca entre sí. Los vértices de las 16 celdas del medio se encuentran en los ejes de coordenadas (w, x, y, z); ^[j] los otros dos están girados 60° isoclínicamente hacia su izquierda y su derecha. Las 24 celdas de 24 vértices son un compuesto de tres 16 celdas, cuyos tres conjuntos de 8 vértices se distribuyen simétricamente alrededor de las 24 celdas; cada vértice está rodeado por otros 8 (en el espacio tridimensional de la superficie de 24 celdas de 4 dimensiones ), de la misma manera que los vértices de un cubo rodean su centro. ^[r] Los 8 vértices circundantes (las esquinas del cubo) se encuentran en otras 16 celdas: 4 en las otras 16 celdas a la izquierda y 4 en las otras 16 celdas a la derecha. Son los vértices de dos tetraedros inscritos en el cubo, uno perteneciente (como celda) a cada 16 celdas. Si los bordes de las 16 celdas son √ 2 , cada vértice del compuesto de tres celdas de 16 está a √ 1 de sus 8 vértices circundantes en otras 16 celdas. Ahora visualiza esas distancias √ 1 como los bordes de las 24 celdas (mientras continúas visualizando las 16 celdas disjuntas). Los bordes √ 1 forman grandes hexágonos de 6 vértices que recorren las 24 celdas en un plano central. Cuatro hexágonos se cruzan en cada vértice (y su vértice antípoda), inclinados 60° entre sí. ^[s] Los hexágonos no son perpendiculares entre sí, ni a los planos centrales cuadrados perpendiculares de las 16 celdas. ^[q] Las 16 celdas izquierda y derecha forman un teseracto. ^[aa] Dos celdas de 16 tienen pares de vértices que están separados por un borde √ 1 (un borde hexagonal). Pero una simple rotación de 60° no llevará una celda entera de 16 a otra de 16 celdas, porque sus vértices están separados por 60° en diferentes direcciones, y una rotación simple tiene solo un plano de rotación hexagonal. Una de 16 celdas se puede llevar a otra de 16 celdas mediante una rotación isoclínica de 60°, porque una rotación isoclínica es simétrica en 3 esferas : cuatro planos hexagonales paralelos de Clifford giran juntos, pero en cuatro direcciones de rotación diferentes, ^[ca] tomando cada 16 celdas. -celda a otra de 16 celdas. Pero dado que una rotación isoclínica de 60° es una rotación diagonal de 60° en dos grandes círculos ortogonales a la vez, ^[au] los vértices correspondientes de las 16 celdas y de las 16 celdas a las que se considera están separados por 120°: dos √ 1 bordes hexagonales (o una cuerda hexagonal √ 3 ) separados, no uno √ 1borde (60°) de separación. ^[o] Por la naturaleza diagonal quiral de las rotaciones isoclínicas, las 16 celdas no pueden alcanzar las 16 celdas adyacentes (cuyos vértices están a un √ 1 borde de distancia) girando hacia ellas; ^[u] solo puede alcanzar las 16 celdas más allá (a 120° de distancia). Pero, por supuesto, las 16 celdas más allá de las 16 celdas a su derecha son las 16 celdas a su izquierda. Entonces, una rotación isoclínica de 60° llevará cada 16 celdas a otras 16 celdas: una rotación isoclínica a la derecha de 60° llevará las 16 celdas del medio a las 16 celdas que originalmente pudimos haber visualizado como las 16 celdas izquierdas , y una La rotación isoclínica izquierda de 60° llevará las 16 celdas del medio a las 16 celdas que visualizamos como las 16 celdas derechas . (Si es así, ese fue nuestro error en la visualización; las 16 celdas a la "izquierda" es de hecho la alcanzada por la rotación isoclínica izquierda, ya que ese es el único sentido en el que las dos 16 celdas están a la izquierda o a la derecha de entre sí.) ^[cf]
^ abcd Cada par de las tres 16 celdas inscritas en las 24 celdas forma un hipercubo de 4 dimensiones (un teseracto u 8 celdas) , en analogía dimensional con la forma en que dos tetraedros forman un cubo: los dos 8 vértices 16- Las células están inscritas en el tesseract de 16 vértices, ocupando sus vértices alternos. La tercera celda de 16 no se encuentra dentro del teseracto; sus 8 vértices sobresalen de los lados del teseracto, formando una pirámide cúbica en cada una de las celdas cúbicas del teseracto (como en la construcción de Gosset de las 24 celdas). Los tres pares de 16 células forman tres teseractos. ^[v] Los teseractos comparten vértices, pero las 16 celdas están completamente separadas. ^[y]
^ ab Los 18 grandes cuadrados de las 24 celdas se presentan como tres conjuntos de 6 grandes cuadrados ortogonales, ^[j] cada uno de los cuales forma un 16 celdas . ^[z] Las tres celdas de 16 están completamente separadas (y son paralelas a Clifford): cada una tiene sus propios 8 vértices (en 4 ejes ortogonales) y sus propios 24 bordes (de longitud √ 2 ). Los 18 grandes círculos cuadrados están atravesados por 16 grandes círculos hexagonales; cada hexágono tiene un eje (2 vértices) en cada 16 celdas. ^[q] Los dos grandes triángulos inscritos en cada gran hexágono (que ocupan sus vértices alternos y con aristas que son sus √ 3 cuerdas) tienen un vértice en cada 16 celdas. Así, cada gran triángulo es un anillo que une las tres celdas de 16 completamente separadas . Hay cuatro formas diferentes (cuatro fibraciones diferentes de las 24 celdas) en las que los 8 vértices de las 16 celdas se corresponden por ser triángulos de vértices separados por √ 3 : hay 32 triángulos de enlace distintos. Cada par de 16 células forma un teseracto (8 células). ^[aa] Cada gran triángulo tiene un borde √ 3 en cada teseracto, por lo que también es un anillo que une los tres teseractos.
^ ab Los 8 vértices vecinos más cercanos rodean el vértice (en el espacio tridimensional curvo de la superficie límite de las 24 celdas) de la misma manera que las 8 esquinas de un cubo rodean su centro. (La figura del vértice de las 24 celdas es un cubo).
^ Los 6 segundos vértices vecinos más cercanos rodean el vértice en un espacio tridimensional curvo de la misma manera que las 6 esquinas de un octaedro rodean su centro.
^ abcd Ocho √ 3 cuerdas convergen desde las esquinas de la figura del vértice cúbico de 24 celdas ^[aj] y se encuentran en su centro (el vértice), donde forman 4 líneas rectas que se cruzan allí. Cada una de las ocho cuerdas √ 3 va desde el centro de este cubo hasta el centro de un cubo diagonalmente adyacente (unido por vértices), ^[u] que es otro vértice de las 24 celdas: uno ubicado a 120° de distancia en una tercera capa concéntrica de ocho √ 3 -vértices distantes que rodean la segunda capa de seis √ 2 -vértices distantes que rodean la primera capa de ocho √ 1 -vértices distantes.
^ Por lo tanto ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) son las longitudes de las cuerdas de vértice del teseracto y de las 24 celdas. También son los diámetros del teseracto (de corto a largo), aunque no del de 24 celdas.
^ abcdefghijklmnopq
Dos grandes círculos paralelos de Clifford atravesados por un anillo retorcido .
Los paralelos de Clifford son líneas curvas que no se cruzan y que son paralelas en el sentido de que la distancia perpendicular (más corta) entre ellas es la misma en cada punto. ^[14] Una doble hélice es un ejemplo del paralelismo de Clifford en el espacio euclidiano tridimensional ordinario. En los 4 espacios, los paralelos de Clifford ocurren como grandes círculos geodésicos en las 3 esferas . ^[15] Mientras que en el espacio tridimensional, dos grandes círculos geodésicos cualesquiera en la 2 esfera siempre se cruzarán en dos puntos antípodas, en el espacio tetradimensional no todos los círculos máximos se cruzan; En las 3 esferas se pueden encontrar varios conjuntos de grandes círculos geodésicos paralelos de Clifford que no se cruzan. Quizás el ejemplo más simple es que se pueden dibujar seis círculos máximos mutuamente ortogonales en la 3-esfera, como tres pares de círculos máximos completamente ortogonales. ^[j] Cada par completamente ortogonal es paralelo a Clifford. Los dos círculos no pueden cruzarse en absoluto, porque se encuentran en planos que se cruzan en un solo punto: el centro de las 3 esferas. ^[ap] Debido a que son perpendiculares y comparten un centro común, ^[aq] los dos círculos obviamente no son paralelos y están separados en la forma habitual de los círculos paralelos en 3 dimensiones; más bien están conectados como eslabones adyacentes de una cadena, cada uno pasando a través del otro sin cruzarse en ningún punto, formando un eslabón de Hopf .
^ Un gran círculo geodésico se encuentra en un plano bidimensional que pasa por el centro del politopo. Observe que en 4 dimensiones este plano central no divide el politopo en dos partes del mismo tamaño, como lo haría en 3 dimensiones, del mismo modo que un diámetro (una línea central) divide un círculo pero no una esfera. Otra diferencia es que en 4 dimensiones no todos los pares de círculos máximos se cruzan en dos puntos, como ocurre en 3 dimensiones; algunos pares lo hacen, pero algunos pares de círculos máximos son paralelos de Clifford que no se cruzan. ^[ag]
^ ab Si la distancia pitagórica entre dos vértices cualesquiera es √ 1 , su distancia geodésica es 1; pueden ser dos vértices adyacentes (en el espacio tridimensional curvo de la superficie), o un vértice y el centro (en el espacio tridimensional). Si su distancia pitagórica es √ 2 , su distancia geodésica es 2 (ya sea a través de 3 espacios o 4 espacios, porque el camino a lo largo de los bordes es la misma línea recta con una curva de 90 ^o como camino a través del centro). Si su distancia pitagórica es √ 3 , su distancia geodésica sigue siendo 2 (ya sea en un gran círculo hexagonal más allá de una curva de 60 ^o , o como una línea recta con una curva de 60 ^o que pasa por el centro). Finalmente, si su distancia pitagórica es √ 4 , su distancia geodésica sigue siendo 2 en 4 espacios (directamente a través del centro), pero llega a 3 en 3 espacios (pasando hasta la mitad de un gran círculo hexagonal).
^ abcde La figura del vértice es la faceta que se forma truncando un vértice; canónicamente, en los bordes medios incidentes al vértice. Pero se pueden hacer figuras de vértices similares de diferentes radios truncando en cualquier punto a lo largo de esos bordes, hasta truncar en los vértices adyacentes para crear una figura de vértice de tamaño completo . Stillwell define la figura de vértice como "la cáscara convexa de los vértices vecinos de un vértice dado". ^[13] Eso es lo que sirve aquí para el propósito ilustrativo.
^ El cubo no es radialmente equilátero en el espacio tridimensional euclidiano , pero una pirámide cúbica es radialmente equilátero en el espacio tridimensional curvo de la superficie de 24 celdas, las 3 esferas . En el 4-espacio, las 8 aristas que irradian desde su vértice no son en realidad sus radios: el vértice de la pirámide cúbica no es en realidad su centro, solo uno de sus vértices. Pero en el espacio tridimensional curvo, los bordes que irradian simétricamente desde el vértice son radios, por lo que el cubo es radialmente equilátero en ese espacio tridimensional curvo . En el espacio cuádruple euclidiano, 24 aristas que irradian simétricamente desde un punto central forman las 24 celdas radialmente equiláteras, ^[b] y un subconjunto simétrico de 16 de esas aristas forman el teseracto radialmente equilátero . $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {S} ^{3}$ $\mathbb {S} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{4}$
^ abcdefg Las 24 celdas tienen cuatro conjuntos de 4 grandes círculos paralelos ^[ag]de Clifford que no se cruzan , cada uno de los cuales pasa por 6 vértices (un gran hexágono), con solo un gran hexágono en cada conjunto pasando por cada vértice, y los 4 hexágonos en cada conjunto alcanza los 24 vértices. ^[t] Cada conjunto constituye una fibración de Hopf discreta de grandes círculos entrelazados. Las 24 celdas también se pueden dividir (ocho formas diferentes) en 4 subconjuntos separados de 6 vértices (hexagramas) que no se encuentran en un plano central hexagonal, formando cada hexagrama sesgado una geodésica isoclina o isoclina que es el círculo de rotación atravesado por esos 6 vértices en una rotación isoclínica particular hacia la izquierda o hacia la derecha. Cada uno de estos conjuntos de cuatro isoclinas paralelas de Clifford pertenece a una de las cuatro fibraciones discretas de Hopf de grandes círculos hexagonales. ^[Delaware]
^ Seis cuerdas √ 2 convergen en 3 espacios desde los centros de las caras de la figura del vértice cúbico de 24 celdas ^[aj] y se encuentran en su centro (el vértice), donde forman 3 líneas rectas que se cruzan allí perpendicularmente. Los 8 vértices del cubo son los otros ocho vértices más cercanos de las 24 celdas, y ocho aristas √ 1 convergen desde allí, pero ignorémoslas ahora, ya que es confuso visualizar 7 líneas rectas que se cruzan en el centro al mismo tiempo. Cada una de las seis cuerdas √ 2 va desde el centro de este cubo (el vértice) a través del centro de una cara hasta el centro de un cubo adyacente (unido por las caras), que es otro vértice de las 24 celdas: no es un vértice más cercano (en el esquinas del cubo), pero uno ubicado a 90° de distancia en una segunda capa concéntrica de seis √ 2 -vértices distantes que rodea la primera capa de ocho √ 1 -vértices distantes. El centro de la cara por el que pasa la cuerda √ 2 es el punto medio de la cuerda √ 2 , por lo que se encuentra dentro de las 24 celdas.
^ Se pueden cortar las 24 celdas a través de 6 vértices (en cualquier plano del gran círculo hexagonal) o a través de 4 vértices (en cualquier plano del gran círculo cuadrado). Se puede ver esto en el cuboctaedro (el hiperplano central de las 24 celdas), donde hay cuatro grandes círculos hexagonales (a lo largo de los bordes) y seis grandes círculos cuadrados (a lo largo de las caras cuadradas en diagonal).
^ abcd En las 16 celdas, los 6 grandes cuadrados ortogonales forman 3 pares de grandes círculos completamente ortogonales; cada par es paralelo de Clifford. En el de 24 celdas, las 3 celdas de 16 inscritas se encuentran rotadas 60 grados isoclínicamente ^[o] entre sí; en consecuencia, sus vértices correspondientes están separados por 120 grados en un gran círculo hexagonal. Al emparejar sus vértices que están separados por 90 grados, se revelan los círculos máximos cuadrados correspondientes que son paralelos a Clifford. Cada uno de los 18 grandes círculos cuadrados es paralelo a Clifford no sólo a otro gran círculo cuadrado en las mismas 16 celdas (el completamente ortogonal), sino también a dos grandes círculos cuadrados (que son completamente ortogonales entre sí) en cada uno de los otros dos de 16 celdas. (Los círculos máximos completamente ortogonales son paralelos de Clifford, pero no todos los paralelos de Clifford son ortogonales. ^[ap] ) Una rotación isoclínica de 60 grados de las 24 celdas en planos invariantes hexagonales lleva cada círculo máximo cuadrado a un paralelo de Clifford (pero no ortogonal) gran círculo cuadrado en 16 celdas diferentes.
^ ab Cada plano cuadrado es isoclínico (paralelo de Clifford) a otros cinco planos cuadrados, pero completamente ortogonal ^[g] a solo uno de ellos. ^[ao] Cada par de planos completamente ortogonales tiene círculos máximos paralelos de Clifford, pero no todos los círculos máximos paralelos de Clifford son ortogonales (por ejemplo, ninguna de las geodésicas hexagonales en las 24 celdas es mutuamente ortogonal).
^ abc En 4 espacios, dos círculos máximos pueden ser perpendiculares y compartir un centro común que es su único punto de intersección , porque hay más de una gran 2 esferas en la 3 esferas . La estructura dimensionalmente análoga a un círculo máximo (una gran 1 esfera) es una gran 2 esfera, ^[16] que es una esfera ordinaria que constituye un límite ecuatorial que divide la 3 esfera en dos mitades iguales, tal como un círculo máximo divide las 2 esferas. Aunque dos grandes círculos paralelos de Clifford ^[ag] ocupan la misma 3 esferas, se encuentran en diferentes grandes 2 esferas. Las grandes 2 esferas son objetos tridimensionales paralelos a Clifford, desplazados entre sí por una distancia fija d en la cuarta dimensión. Sus puntos correspondientes (en sus dos superficies) están separados por d . Las 2 esferas (con lo que nos referimos a sus superficies) no se cruzan en absoluto, aunque tienen un punto central común en el 4 espacio. El desplazamiento d entre un par de sus puntos correspondientes es la cuerda de un círculo máximo que cruza ambas 2 esferas, por lo que d puede representarse de manera equivalente como una distancia cordal lineal o como una distancia angular.
^ abcd Las 24 celdas tienen tres conjuntos de 6 grandes círculos paralelos de Clifford que no se cruzan, cada uno de los cuales pasa por 4 vértices (un gran cuadrado), con solo un gran cuadrado en cada conjunto pasando por cada vértice, y los 6 cuadrados de cada conjunto alcanzan los 24 vértices. ^[l] Cada conjunto constituye una fibración de Hopf discreta de 6 grandes cuadrados entrelazados, que es simplemente el compuesto de las tres fibraciones de Hopf discretas de 16 celdas inscritas de 2 grandes cuadrados entrelazados. Las 24 celdas también se pueden dividir (seis maneras diferentes) en 3 subconjuntos separados de 8 vértices (octagramas) que no se encuentran en un plano central cuadrado, sino que comprenden 16 celdas y se encuentran en un octagrama3 sesgado que forma una geodésica isoclínica o isoclina que es el círculo de rotación atravesado por esos 8 vértices en una rotación isoclínica particular izquierda o derecha a medida que rotan posiciones dentro de las 16 celdas.
^ La suma de 1・96 + 2・72 + 3・96 + 4・12 es 576.
^ La suma de las longitudes al cuadrado de todas las cuerdas distintas de cualquier n-politopo convexo regular de radio unitario es el cuadrado del número de vértices. ^[17]
^ abcdefghijkl Un punto bajo rotación isoclínica atraviesa la línea recta diagonal ^[o] de una única geodésica isoclínica , llegando a su destino directamente, en lugar de la línea doblada de dos geodésicas simples sucesivas . ^[cd] Una geodésica es el camino más corto a través de un espacio (intuitivamente, se tira de una cuerda entre dos puntos). Las geodésicas simples son círculos máximos que se encuentran en un plano central (el único tipo de geodésicas que ocurren en 3 espacios en 2 esferas). Las geodésicas isoclínicas son diferentes: no se encuentran en un solo plano; son espirales de 4 dimensiones en lugar de simples círculos de 2 dimensiones. ^{[cb] Pero tampoco son como}roscas de tornillos tridimensionales , porque forman un bucle cerrado como cualquier círculo. ^[cv] Las geodésicas isoclínicas son círculos máximos de 4 dimensiones , y son tan circulares como los círculos de 2 dimensiones: de hecho, dos veces más circulares, porque se curvan en dos círculos máximos ortogonales a la vez. ^[cw] Son círculos verdaderos, ^[cc] e incluso forman fibraciones como los grandes círculos bidimensionales ordinarios. ^[al]^[ar] Estas isoclinas son líneas geodésicas unidimensionales incrustadas en un espacio de 4 dimensiones. En las 3 esferas ^[cx] siempre aparecen en pares ^[cz] como círculos de Villarceau en el toro de Clifford , los caminos geodésicos atravesados por vértices en una rotación isoclínica . Son hélices dobladas en un bucle de Möbius en la cuarta dimensión, tomando una ruta sinuosa diagonal alrededor de las 3 esferas a través de los vértices no adyacentes ^{[u] de un}polígono de Clifford sesgado de 4 politopos . ^[ch]
^ Cada par de aristas paralelas √ 1 une un par de cuerdas paralelas √ 3 para formar uno de los 48 rectángulos (inscritos en los 16 hexágonos centrales), y cada par de cuerdas paralelas √ 2 une otro par de cuerdas paralelas √ 2 para formar uno de las 18 plazas centrales.
^ abcd Una forma de visualizar los hiperplanos n -dimensionales es como los n espacios que pueden definirse por n + 1 puntos. Un punto es el espacio 0 que está definido por 1 punto. Una línea es el 1-espacio que está definido por 2 puntos que no son coincidentes. Un plano es el 2-espacio que está definido por 3 puntos que no son colineales (cualquier triángulo). En el 4 espacio, un hiperplano tridimensional es el 3 espacio que está definido por 4 puntos que no son coplanares (cualquier tetraedro). En el espacio de 5, un hiperplano de 4 dimensiones es el espacio de 4 que está definido por 5 puntos que no son cocelulares (cualquier 5 celdas). Estas figuras simplex dividen el hiperplano en dos partes (dentro y fuera de la figura), pero además dividen el espacio circundante en dos partes (encima y debajo del hiperplano). Los n puntos limitan una figura simplex finita (desde el exterior) y definen un hiperplano infinito (desde el interior). ^[34] Estas dos divisiones son ortogonales, por lo que el simplex definitorio divide el espacio en seis regiones: dentro del simplex y en el hiperplano, dentro del simplex pero por encima o por debajo del hiperplano, fuera del simplex pero en el hiperplano, y fuera del simplex arriba o debajo del hiperplano.
^ abcdefghi Se requieren dos ángulos para fijar las posiciones relativas de dos planos en 4 espacios. ^[18] Dado que todos los planos en el mismo hiperplano ^[aw] están separados por 0 grados en uno de los dos ángulos, solo se requiere un ángulo en el espacio tridimensional. Los grandes hexágonos en diferentes hiperplanos están separados por 60 grados en ambos ángulos. Los grandes cuadrados en diferentes hiperplanos están separados por 90 grados en ambos ángulos (completamente ortogonales) ^[g] o por 60 grados en ambos ángulos. ^[ao] Los planos que están separados por dos ángulos iguales se llaman isoclínicos . Los planos que son isoclínicos tienen círculos máximos paralelos a Clifford . ^[ag] Un gran cuadrado y un gran hexágono en diferentes hiperplanos pueden ser isoclínicos, pero a menudo están separados por un ángulo de 90 grados y un ángulo de 60 grados.
^ Cada par de polígonos paralelos de Clifford se encuentra en dos hiperplanos diferentes (cuboctaedros). Los 4 hexágonos paralelos de Clifford se encuentran en 4 cuboctaedros diferentes.
^ Dos grandes cuadrados o grandes hexágonos que se cruzan comparten dos vértices opuestos, pero los cuadrados o hexágonos de los grandes círculos paralelos de Clifford no comparten vértices. Dos grandes triángulos que se cruzan comparten un solo vértice, ya que carecen de vértices opuestos.
^ abcd En las 24 celdas, cada gran plano cuadrado es completamente ortogonal ^[g] a otro gran plano cuadrado, y cada gran plano hexagonal es completamente ortogonal a un plano que cruza solo dos vértices antípodas: un gran plano digon .
^ abc Las características interiores no se consideran elementos del politopo. Por ejemplo, el centro de una celda de 24 es una característica digna de mención (al igual que sus largos radios), pero estas características interiores no cuentan como elementos en su matriz de configuración, que cuenta sólo características elementales (que no son interiores a ninguna otra característica). incluido el propio politopo). Las características interiores no se representan en la mayoría de los diagramas e ilustraciones de este artículo (normalmente son invisibles). En las ilustraciones que muestran características interiores, siempre dibujamos los bordes interiores como líneas discontinuas para distinguirlos de los bordes elementales.
^ El de 600 celdas es más grande que el de 24 celdas y contiene el de 24 celdas como característica interior. ^[19] El politopo regular de 5 celdas no se encuentra en el interior de ningún politopo regular convexo de 4 celdas, excepto el de 120 celdas , ^[20] aunque cada politopo convexo de 4 celdas se puede deconstruir en 5 celdas irregulares.
^
Construcción de un dodecaedro rómbico a partir de un cubo.
Esta animación muestra la construcción de un dodecaedro rómbico a partir de un cubo, invirtiendo las pirámides de centro a cara de un cubo. La construcción de Gosset de un teseracto de 24 celdas es el análogo tetradimensional de este proceso, invirtiendo las pirámides de centro a celda de un teseracto de 8 celdas. ^[22]
^ Podemos cortar un vértice de un polígono con un instrumento de corte de dimensión 0 (como la punta de un cuchillo o la cabeza de una cremallera) barriéndolo a lo largo de una línea unidimensional, exponiendo un nuevo borde. Podemos cortar un vértice de un poliedro con un filo unidimensional (como un cuchillo) barriéndolo a través de un plano de cara bidimensional, exponiendo una nueva cara. Podemos cortar un vértice de un policorón (un politopo de 4) con un plano de corte bidimensional (como un quitanieves), barriéndolo a través de un volumen de celda tridimensional, exponiendo una nueva celda. Observe que, como dentro de la nueva longitud del borde del polígono o la nueva área de la cara del poliedro, cada punto dentro del nuevo volumen de celda ahora está expuesto en la superficie del policorón.
^ El plano de la cara de cada celda se cruza con los otros planos de la cara de su tipo con los que no es completamente ortogonal o paralelo en su borde de cuerda de vértice característico. Los planos de caras adyacentes de celdas con caras ortogonales (como cubos) se cruzan en un borde ya que no son completamente ortogonales. ^[k] Aunque su ángulo diédrico es de 90 grados en el límite del espacio tridimensional, se encuentran en el mismo hiperplano ^[aw] (son coincidentes en lugar de perpendiculares en la cuarta dimensión); por lo tanto, se cruzan en una línea, como lo hacen los planos no paralelos en cualquier espacio tridimensional.
^ ab Los únicos planos que pasan exactamente por 6 vértices de las 24 celdas (sin contar el vértice central) son los 16 grandes círculos hexagonales . No hay planos que pasen exactamente por 5 vértices. Hay varios tipos de planos que pasan por exactamente 4 vértices: los 18 √ 2 círculos máximos cuadrados, las 72 √ 1 caras cuadradas (teseracto) y los 144 √ 1 por √ 2 rectángulos. Los planos que pasan por exactamente 3 vértices son las caras del triángulo equilátero de 96 √ 2 (16 celdas) y las caras del triángulo equilátero de 96 √ 1 (24 celdas) . Hay un número infinito de planos centrales que pasan exactamente por dos vértices ( digónes del gran círculo ); Se distinguen 16, ya que cada uno es completamente ortogonal ^[g] a uno de los 16 grandes círculos hexagonales. Sólo los polígonos compuestos por aristas de 24 celdas √ 1 son visibles en las proyecciones y animaciones giratorias que ilustran este artículo; los demás contienen acordes interiores invisibles. ^{[cama y desayuno]}
↑ La figura del vértice cúbico ^[aj] de las 24 celdas se ha truncado a una figura de vértice tetraédrica (ver el dibujo de Kepler). El cubo de vértices ha desaparecido, y ahora solo quedan 4 esquinas de la figura de vértice donde antes había 8. Cuatro aristas del teseracto convergen desde los vértices del tetraedro y se encuentran en su centro, donde no se cruzan (ya que el tetraedro no tiene polos opuestos). vértices).
^ abc Dos teseractos comparten solo vértices, no aristas, caras, cubos (con tetraedros inscritos) u octaedros (cuyos planos cuadrados centrales son caras cuadradas de cubos). Un octaedro que toca a otro octaedro en un vértice (pero no en un borde o una cara) está tocando un octaedro en otro teseracto, y un par de cubos adyacentes en el otro teseracto cuyo cuadrado común mira al octaedro, y un tetraedro inscrito en cada uno de esos cubos.
^ abcd El núcleo común de las 24 celdas y sus 8 celdas y 16 celdas inscritas es el radio unitario de 24 celdas duales inscritas en la esfera de 24 celdas de longitud de borde y radio 1/2. ^[26] Rectificar cualquiera de las tres celdas de 16 revela esta celda más pequeña de 24, que tiene un contenido de 4 de solo 1/8 (1/16 del de las 24 celdas de radio unitario). Sus vértices se encuentran en los centros de las celdas octaédricas de las 24 celdas, que también son los centros de las caras cuadradas de los teseractos, y también son los centros de los bordes de las 16 celdas. ^[27]
^ La figura del vértice cúbico ^[aj] de las 24 celdas se ha truncado a una figura del vértice octaédrico. El cubo de vértice ha desaparecido, y ahora solo hay 6 esquinas de la figura de vértice donde antes había 8. Las cuerdas 6 √ 2 que antes convergían desde los centros de las caras del cubo ahora convergen desde los vértices del octaedro; pero igual que antes, se encuentran en el centro donde 3 líneas rectas se cruzan perpendicularmente. Los vértices del octaedro están ubicados a 90° fuera del cubo desaparecido, en los nuevos vértices más cercanos; antes del truncamiento, esos eran vértices de 24 celdas en el segundo capa de vértices circundantes.
^ abcd Cada una de las 72 √ 2 cuerdas en las 24 celdas es una cara diagonal en dos celdas cúbicas distintas (de diferentes 8 celdas) y una arista de cuatro celdas tetraédricas (en solo una de 16 celdas).
^ ab Un ortosquema es un simplex quiral irregular con caras de triángulo rectángulo que es característico de algún politopo si llena exactamente ese politopo con los reflejos de sí mismo en sus propias facetas (sus paredes de espejo ). Cada politopo regular puede diseccionarse radialmente en instancias de su ortosquema característico que rodea su centro. El ortosquema característico tiene la forma descrita por el mismo diagrama de Coxeter-Dynkin que el politopo regular sin el anillo del punto generador .
^ Los 24 vértices de las 24 celdas, cada uno usado dos veces, son los vértices de tres teseractos de 16 vértices.
^ Los 24 vértices de las 24 celdas, cada uno de los cuales se usa una vez, son los vértices de tres 16 celdas de 8 vértices. ^[pag]
^ Los bordes de las 16 celdas no se muestran en ninguna de las representaciones de este artículo; si quisiéramos mostrar los bordes interiores, podríamos dibujarlos como líneas discontinuas. Los bordes de los teseracts inscritos siempre son visibles, porque también son bordes de las 24 celdas.
^ El contenido de 4 dimensiones del teseracto de longitud de borde unitario es 1 (por definición). El contenido de la unidad de longitud de borde de 24 celdas es 2, por lo que la mitad de su contenido está dentro de cada teseracto y la otra mitad está entre sus sobres. Cada 16 celdas (longitud del borde √ 2 ) encierra un contenido de 2/3, dejando 1/3 de un teseracto adjunto entre sus sobres.
^ Entre la envoltura de 24 celdas y la envoltura de 8 celdas, tenemos las 8 pirámides cúbicas de la construcción de Gosset. Entre la envoltura de 8 celdas y la envoltura de 16 celdas, tenemos 16 pirámides tetraédricas rectas , con sus vértices llenando las esquinas del teseracto.
^ abc Considere los tres diámetros largos perpendiculares √ 2 de la celda octaédrica. ^[31] Cada uno de ellos es un borde de 16 celdas diferentes. Dos de ellas son las diagonales de la cara cuadrada entre dos cubos; cada uno es una cuerda √ 2 que conecta dos vértices de esos cubos de 8 celdas a través de una cara cuadrada, conecta dos vértices de dos tetraedros de 16 celdas (inscritos en los cubos) y conecta dos vértices opuestos de un octaedro de 24 celdas (en diagonal). a través de dos de las tres secciones centrales cuadradas ortogonales). ^[bl] El tercer diámetro largo perpendicular del octaedro hace exactamente lo mismo (por simetría); por lo que también conecta dos vértices de un par de cubos a través de su cara cuadrada común: pero un par de cubos diferente, de uno de los otros teseractos de las 24 celdas. ^[bi]
^ abc Debido a que hay tres teseractos superpuestos inscritos en las 24 celdas, ^[v] cada celda octaédrica se encuentra en una celda cúbica de un teseracto (en la pirámide cúbica basada en el cubo, pero no en el volumen del cubo), y en dos celdas cúbicas de cada uno de los otros dos teseractos (celdas cúbicas que se extienden y comparten su volumen). ^[bs]
^ Esto podría parecer al principio angularmente imposible y, de hecho, sería en un espacio plano de sólo tres dimensiones. Si dos cubos descansan cara a cara en un espacio tridimensional ordinario (por ejemplo, en la superficie de una mesa en una habitación tridimensional ordinaria), un octaedro encajará dentro de ellos de modo que cuatro de sus seis vértices estén en los cuatro. esquinas de la cara cuadrada entre los dos cubos; pero entonces los otros dos vértices octaédricos no estarán en una esquina del cubo (caerán dentro del volumen de los dos cubos, pero no en un vértice del cubo). ¡En cuatro dimensiones esto no es menos cierto! Los otros dos vértices octaédricos no se encuentran en una esquina del cubo adyacente con caras unidas en el mismo teseracto. Sin embargo, en las 24 celdas no hay solo un teseracto inscrito (de 8 cubos), hay tres teseractos superpuestos (de 8 cubos cada uno). Los otros dos vértices octaédricos se encuentran en las esquinas de un cubo: pero un cubo en otro teseracto (superpuesto). ^[bt]
^ Es importante visualizar los radios solo como características interiores invisibles de las 24 celdas (líneas discontinuas), ya que no son bordes del panal. De manera similar, el centro de las 24 celdas está vacío (no es un vértice del panal).
^ A diferencia del de 24 celdas y el tesseract, el de 16 celdas no es radialmente equilátero; por lo tanto, en el panal de longitud unitaria de borde se encuentran 16 celdas de dos tamaños diferentes (longitud de borde unitaria versus radio unitario). Las veinticuatro 16 celdas que se encuentran en el centro de cada 24 celdas tienen una longitud de borde unitaria y un radio√ 2/2. Las tres celdas de 16 inscritas en cada celda de 24 tienen una longitud de borde √ 2 y un radio unitario.
^ Se producen rotaciones tridimensionales alrededor de una línea de eje. Pueden ocurrir rotaciones de cuatro dimensiones alrededor de un plano. Así, en tres dimensiones podemos doblar planos alrededor de una línea común (como cuando doblamos una red plana de 6 cuadrados en un cubo), y en cuatro dimensiones podemos doblar celdas alrededor de un plano común (como cuando doblamos una red plana de 8 cubos). hasta formar un teseracto ). Doblar alrededor de una cara cuadrada es simplemente doblar alrededor de dos de sus aristas ortogonales al mismo tiempo ; no hay suficiente espacio en tres dimensiones para hacer esto, del mismo modo que no hay suficiente espacio en dos dimensiones para doblar alrededor de una línea (sólo suficiente para doblar alrededor de un punto).
^ Hay (al menos) dos tipos de analogías dimensionales correctas : el tipo habitual entre la dimensión n y la dimensión n + 1, y el tipo mucho más raro y menos obvio entre la dimensión n y la dimensión n + 2. Un ejemplo de este último es que las rotaciones en 4 espacios pueden tener lugar alrededor de un solo punto, al igual que las rotaciones en 2 espacios. Otra es la regla de las n -esferas según la cual el área de la superficie de la esfera incrustada en n +2 dimensiones es exactamente 2 π r veces el volumen encerrado por la esfera incrustada en n dimensiones, siendo los ejemplos más conocidos que la circunferencia de un círculo es 2 π r por 1, y el área de superficie de la esfera ordinaria es 2 π r por 2 r . Coxeter cita ^[43] esto como un caso en el que la analogía dimensional puede fallarnos como método, pero en realidad es nuestra incapacidad para reconocer si una analogía unidimensional o bidimensional es el método apropiado.
^ Las rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones pueden ocurrir alrededor de un plano, como cuando las celdas adyacentes se pliegan alrededor de su plano de intersección (por analogía con la forma en que las caras adyacentes se pliegan alrededor de su línea de intersección). ^[bx] Pero en cuatro dimensiones hay otra forma en la que pueden ocurrir rotaciones, llamada doble rotación . Las rotaciones dobles son un fenómeno emergente en la cuarta dimensión y no tienen analogía en las tres dimensiones: plegar caras cuadradas y plegar celdas cúbicas son ejemplos de rotaciones simples , el único tipo que ocurre en menos de cuatro dimensiones. En rotaciones tridimensionales, los puntos de una línea permanecen fijos durante la rotación, mientras que todos los demás puntos se mueven. En rotaciones simples de 4 dimensiones, los puntos en un plano permanecen fijos durante la rotación, mientras que todos los demás puntos se mueven. En rotaciones dobles de 4 dimensiones, un punto permanece fijo durante la rotación y todos los demás puntos se mueven (¡como en una rotación de 2 dimensiones!). ^[por]
^ abcde En un desplazamiento de Clifford , también conocido como rotación isoclínica , todos los planos invariantes paralelos ^[ag] de Clifford se desplazan en cuatro direcciones ortogonales a la vez: se giran en el mismo ángulo y, al mismo tiempo, se inclinan hacia los lados por ese mismo ángulo en la rotación completamente ortogonal. ^[cc] Un desplazamiento de Clifford es una diagonal de 4 dimensiones . ^[o] Cada plano que es paralelo a Clifford a uno de los planos completamente ortogonales (incluido en este caso un conjunto completo de 4 hexágonos paralelos a Clifford, pero no los 16 hexágonos) es invariante bajo la rotación isoclínica: todos los puntos en el plano giran en círculos pero permanece en el plano, incluso cuando todo el avión se inclina hacia los lados. ^[ch] Los 16 hexágonos giran en el mismo ángulo (aunque sólo 4 de ellos lo hacen invariablemente). Los 16 hexágonos están girados 60 grados y también desplazados lateralmente 60 grados hasta un hexágono paralelo de Clifford. Todos los demás polígonos centrales (por ejemplo, cuadrados) también se desplazan a un polígono paralelo de Clifford a 60 grados de distancia.
^ abc En una doble rotación se puede decir que cada vértice se mueve a lo largo de dos grandes círculos completamente ortogonales al mismo tiempo, pero no permanece dentro del plano central de ninguno de esos grandes círculos originales; más bien, se mueve a lo largo de una geodésica helicoidal que atraviesa diagonalmente entre grandes círculos. Se dice que los dos planos de rotación completamente ortogonales son invariantes porque los puntos de cada uno permanecen en sus lugares en el plano a medida que éste se mueve , girando e inclinándose hacia los lados según el ángulo en que gira el otro plano.
^ abcdefg Una rotación isoclínica de 60 ° son dos rotaciones simples de 60 ° al mismo tiempo. ^[cu] Mueve todos los vértices 120° al mismo tiempo, en varias direcciones diferentes. Seis incrementos de rotación diagonales sucesivos, de 60°x60° cada uno, mueven cada vértice a través de 720° en un doble bucle de Möbius llamado isoclina , dos veces alrededor de las 24 celdas y de regreso a su punto de origen, al mismo tiempo (seis unidades de rotación). ) que se necesitaría una simple rotación para tomar el vértice una vez alrededor de las 24 celdas en un círculo máximo ordinario. ^[cv] La isoclina helicoidal de doble bucle 4𝝅 es simplemente otro tipo de círculo completo único , del mismo intervalo de tiempo y período (6 cuerdas) que el círculo máximo simple. La isoclina es un círculo verdadero, ^[cw] tan perfectamente redondo y geodésico como el círculo máximo simple, incluso aunque sus cuerdas son √ 3 más largas, su circunferencia es 4𝝅 en lugar de 2𝝅, ^[cy] gira en cuatro dimensiones en lugar de dos, ^[cz] y actúa en dos formas quirales (izquierda y derecha) aunque todos esos círculos de la misma circunferencia son directamente congruentes. ^[ch] Sin embargo, para evitar confusiones siempre nos referimos a ella como isoclina y reservamos el término círculo máximo para un círculo máximo ordinario en el plano. ^[da]
^ abcde Cualquier rotación doble (incluida una rotación isoclínica) puede verse como la composición de dos rotaciones simples a y b : la doble rotación izquierda como a luego b , y la doble rotación derecha como b luego a . Las rotaciones simples no son conmutativas; Las rotaciones izquierda y derecha (en general) llegan a destinos diferentes. La diferencia entre una doble rotación y las dos rotaciones simples que la componen es que la doble rotación es una diagonal de 4 dimensiones: cada vértice en movimiento llega a su destino directamente sin pasar por el punto intermedio tocado por a y luego b , o por el otro punto intermedio tocado por b. luego a , girando sobre una sola geodésica helicoidal (por lo que es el camino más corto). ^[cb] Por el contrario, cualquier rotación simple puede verse como la composición de dos rotaciones dobles de ángulos iguales (una rotación isoclínica izquierda y una rotación isoclínica derecha), ^[cc] como lo descubrió Cayley ; Quizás sea sorprendente que esta composición sea conmutativa y también sea posible para cualquier doble rotación. ^[46]
^ Una rotación en 4 espacios se caracteriza completamente al elegir un plano invariante y un ángulo y dirección (izquierda o derecha) a través del cual gira, y otro ángulo y dirección a través del cual gira su plano invariante completamente ortogonal. Dos desplazamientos rotacionales son idénticos si tienen el mismo par de planos de rotación invariantes, a través de los mismos ángulos en las mismas direcciones (y por tanto también el mismo par de direcciones quirales). Así, la rotación general en el 4 espacio es una rotación doble , caracterizada por dos ángulos. Una rotación simple es un caso especial en el que un ángulo de rotación es 0. ^[cd] Una rotación isoclínica es un caso especial diferente, similar pero no idéntico a dos rotaciones simples a través del mismo ángulo. ^[California]
^ abcd Los adjetivos izquierda y derecha se usan comúnmente en dos sentidos diferentes, para distinguir dos tipos distintos de emparejamiento. Pueden referirse a direcciones alternativas: la mano del lado izquierdo del cuerpo frente a la mano del lado derecho. O pueden referirse a un par de objetos enantiomorfos quirales : una mano izquierda es la imagen especular de una mano derecha (como un guante al revés). En el caso de las manos, el sentido buscado rara vez es ambiguo, porque, por supuesto, la mano del lado izquierdo es la imagen especular de la mano del lado derecho: una mano es izquierda o derecha en ambos sentidos. Pero en el caso de objetos de 4 dimensiones con doble rotación, sólo se aplica adecuadamente un sentido de izquierda versus derecha: el sentido enantiomorfo, en el que la rotación izquierda y derecha son imágenes especulares de adentro hacia afuera entre sí. Hay dos direcciones, que podemos llamar positivas y negativas, en las que los vértices en movimiento pueden estar girando sobre sus isoclinas, pero sería ambiguo etiquetar esas direcciones circulares como "derecha" e "izquierda", ya que la dirección de una rotación y su quiralidad son Propiedades independientes: una rotación hacia la derecha (o hacia la izquierda) puede girar en dirección positiva o negativa. La rotación izquierda no gira "hacia la izquierda", la rotación derecha no gira "hacia la derecha" y, a diferencia de las manos izquierda y derecha, las rotaciones dobles no se encuentran en el lado izquierdo o derecho del politopo de 4. Si las rotaciones dobles deben compararse con las manos izquierda y derecha, es mejor pensarlas como un par de manos entrelazadas, centradas en el cuerpo, porque, por supuesto, tienen un centro común.
^ abc El polígono de Petrie de 24 celdas es un dodecágono sesgado {12} y también (ortogonalmente) un dodecagrama sesgado {12/5} que zigzaguea 90 ° hacia la izquierda y hacia la derecha como los bordes que dividen los cuadrados blancos y negros en el tablero de ajedrez . ^[63] Por el contrario, la isoclina sesgada del hexagrama ₂ no zigzaguea y permanece en un lado o en el otro de la línea divisoria entre blanco y negro, como los caminos de los obispos a lo largo de las diagonales de los cuadrados blancos o negros de el tablero de ajedrez. ^[u] El dodecágono de Petrie es una hélice circular de √ 1 aristas que zigzaguean 90° hacia la izquierda y hacia la derecha a lo largo de 12 aristas de 6 octaedros diferentes (con 3 aristas consecutivas en cada octaedro) en una rotación de 360°. En contraste, el hexagrama isoclínico ₂ tiene √ 3 aristas que se doblan hacia la izquierda o hacia la derecha en cada segundo vértice a lo largo de una espiral geodésica de ambas quiralidades (izquierda y derecha) ^[ch] pero solo de un color (blanco o negro), ^[cn] visitando un vértice de cada uno de esos mismos 6 octaedros en una rotación de 720°.
^ abcdefghijklm La trayectoria de cuerda de una isoclina (la geodésica a lo largo de la cual se mueve un vértice bajo rotación isoclínica) puede denominarse polígono de Clifford de 4 politopos , ya que es la forma poligonal sesgada de los círculos de rotación atravesados por los vértices de los 4 politopos en su característico desplazamiento Clifford . ^[62] La isoclina es un doble bucle helicoidal de Möbius que invierte su quiralidad dos veces en el transcurso de un doble circuito completo. Los dos bucles están completamente contenidos dentro del mismo anillo de celdas, donde ambos siguen cuerdas que conectan vértices pares (impares): típicamente vértices opuestos de celdas adyacentes, separados por dos longitudes de borde. ^[cn] Ambas "mitades" del bucle doble pasan a través de cada celda en el anillo de celdas, pero intersectan solo dos vértices pares (impares) en cada celda par (impar). Cada par de vértices intersecados en una celda par (impar) se encuentran uno frente al otro en la franja de Möbius , exactamente a una longitud de borde de distancia. Así, cada célula tiene ambas hélices que la atraviesan, que son paralelos de Clifford ^[ag] de quiralidad opuesta en cada par de puntos paralelos. Globalmente estas dos hélices son un único círculo conectado de ambas quiralidades, sin torsión neta . Una isoclina actúa como una isoclina izquierda (o derecha) cuando la atraviesa una rotación izquierda (o derecha) (de diferentes fibraciones). ^[cc]
^ Que una doble rotación puede darle la vuelta a un politopo de 4 es aún más notable en la doble rotación del teseracto .
^ Como es difícil colorear puntos y líneas de blanco, a veces usamos negro y rojo en lugar de blanco y negro. En particular, las cuerdas de isoclina a veces se muestran como líneas discontinuas negras o rojas. ^{[cama y desayuno]}
^ abc Cada gran plano cuadrado es isoclínico (paralelo de Clifford) a otros cinco planos cuadrados, pero completamente ortogonal ^[g] a solo uno de ellos. ^[ao] Cada par de planos completamente ortogonales tiene círculos máximos paralelos de Clifford, pero no todos los círculos máximos paralelos de Clifford son ortogonales (por ejemplo, ninguna de las geodésicas hexagonales en las 24 celdas es mutuamente ortogonal). También hay otra forma en la que los planos completamente ortogonales se encuentran en una categoría distinguida de planos paralelos de Clifford: no son quirales , o estrictamente hablando poseen ambas quirales. Un par de planos isoclínicos (paralelo de Clifford) es un par izquierdo o un par derecho , a menos que estén separados por dos ángulos de 90° (planos completamente ortogonales) o 0° (planos coincidentes). ^[56] La mayoría de los planos isoclínicos se unen sólo mediante una rotación isoclínica izquierda o una rotación isoclínica derecha, respectivamente. Los planos completamente ortogonales son especiales: el par de planos es a la vez izquierdo y derecho, por lo que una rotación isoclínica izquierda o derecha los unirá. Esto ocurre porque los planos cuadrados isoclínicos están separados por 180° en todos los pares de vértices: no sólo paralelos a Clifford sino completamente ortogonales. Las isoclinas (trayectorias de vértices quirales) ^[au] de rotaciones isoclínicas de 90° son especiales por la misma razón. Las isoclinas izquierda y derecha recorren el mismo conjunto de vértices antípodas (llegando a ambos extremos de cada eje de 16 celdas ), en lugar de recorrer subconjuntos separados izquierdo y derecho de vértices antípodas blancos o negros (llegando solo a un extremo de cada eje), como las isoclinas izquierda y derecha de todas las demás fibraciones lo hacen.
^ La quiralidad y la paridad par/impar son sabores distintos. Las cosas que tienen paridad de coordenadas pares/impares son blancas o negras: los cuadrados del tablero de ajedrez , las celdas ^[cj] , los vértices y las isoclinas que los conectan mediante rotación isoclínica. ^[au] Todo lo demás es blanco y negro: por ejemplo, pares de celdas unidas por caras adyacentes , o bordes y cuerdas que son negros en un extremo y blancos en el otro. Las cosas que tienen quiralidad vienen en formas enantiomorfas derecha o izquierda : rotaciones isoclínicas y objetos quirales que incluyen ortoesquemas característicos , pares de grandes planos poligonales paralelos de Clifford , ^[ck]haces de fibras de círculos paralelos de Clifford (sean o no los círculos mismos quirales), y los anillos de células quirales que se encuentran en los de 16 y 600 células . Las cosas que no tienen paridad par/impar ni quiralidad incluyen todos los bordes y caras (compartidos por celdas blancas y negras), polígonos de círculo máximo y sus fibraciones , y anillos de células no quirales, como los anillos de octaedros de 24 células. Algunas cosas tienen una paridad par/impar y una quiralidad: las isoclinas son blancas o negras porque conectan vértices que son todos del mismo color, y actúan como objetos quirales de izquierda o derecha cuando son trayectorias de vértices en una rotación hacia la izquierda o hacia la derecha. , aunque ellos mismos no tienen quiralidad inherente. Cada rotación hacia la izquierda (o hacia la derecha) atraviesa un número igual de isoclinas blancas y negras. ^[ch]
^ Las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha dividen las 24 celdas (y los 24 vértices) en blanco y negro de la misma manera. ^[41] Las rotaciones de todas las fibraciones del mismo tipo de gran polígono utilizan el mismo tablero de ajedrez, que es una convención del sistema de coordenadas basado en coordenadas pares e impares. La izquierda y la derecha no son colores: en una rotación hacia la izquierda (o hacia la derecha), la mitad de los vértices en movimiento son negros, corren a lo largo de isoclinas negras a través de vértices negros, y la otra mitad son vértices blancos, que también giran entre sí. ^[cl]
^ abcdefgh Las rotaciones isoclínicas ^[au] dividen las 24 celdas (y los 24 vértices) de las 24 celdas en dos subconjuntos separados de 12 celdas (y 12 vértices), pares e impares (o blanco y negro), que cambian de lugar entre sí. , de una manera dimensionalmente análoga a la forma en que los movimientos diagonales de los alfiles ^[u] los restringen a las casillas blancas o negras del tablero de ajedrez . ^[cm]
^ ab Aunque los vértices adyacentes en la geodésica isoclínica están separados por una cuerda √ 3 , un punto en un cuerpo rígido bajo rotación no viaja a lo largo de una cuerda: se mueve a lo largo de un arco entre los dos puntos finales de la cuerda (una distancia más larga). En una rotación simple entre dos vértices separados por √ 3 , el vértice se mueve a lo largo del arco de un gran círculo hexagonal hasta un vértice a dos grandes bordes del hexágono de distancia y pasa a través del vértice del hexágono intermedio a mitad de camino. Pero en una rotación isoclina entre dos vértices separados por √ 3 , el vértice se mueve a lo largo de un arco helicoidal llamado isoclina (no un gran círculo plano), ^[au] que no pasa por un vértice intermedio: no pasa por el vértice más cercano a su punto medio. ^[tú]
^ P ₀ y P ₁ se encuentran en el mismo hiperplano (el mismo cuboctaedro central), por lo que su otro ángulo de separación es 0. ^[ax]
^ V ₀ y V ₂ están separados por dos cuerdas √ 3 en el camino geodésico de esta isoclina rotacional, pero ese no es el camino geodésico más corto entre ellos. En las 24 celdas, es imposible que dos vértices estén más distantes que una cuerda de √ 3 , a menos que estén separados por vértices antípodas de √ 4 . ^[ai] V ₀ y V ₂ están separados por una cuerda √ 3 en alguna otra isoclina, y a solo √ 1 en algún gran hexágono. Entre V ₀ y V ₂ , la rotación isoclínica ha recorrido el largo camino alrededor de las 24 celdas sobre dos cuerdas √ 3 para alcanzar un vértice que estaba a solo √ 1 de distancia. De manera más general, las isoclinas son geodésicas porque la distancia entre sus vértices adyacentes es la distancia más corta entre esos dos vértices en alguna rotación que los conecta, pero en las 3 esferas puede haber otra rotación que sea más corta. Un camino entre dos vértices a lo largo de una geodésica no siempre es la distancia más corta entre ellos (incluso en geodésicas de gran círculo ordinarias).
^ P ₀ y P ₂ están separados 60° en ambos ángulos de separación. ^[ax] Los planos paralelos de Clifford son isoclínicos (lo que significa que están separados por dos ángulos iguales) y sus vértices correspondientes están todos a la misma distancia. Aunque V ₀ y V ₂ están separados por dos cuerdas √ 3^[cq] , P ₀ y P ₂ están separados por solo una arista √ 1 (en cada par de vértices más cercanos ).
^ abcd Cada mitad de un hexagrama sesgado es un triángulo abierto de tres cuerdas √ 3 , cuyos dos extremos abiertos están separados por un borde de √ 1 longitud. Las dos mitades, como toda la isoclina, no tienen quiralidad inherente sino el mismo color de paridad (blanco o negro). Las mitades son los dos "bordes" opuestos de una tira de Möbius de √ 1 de ancho; en realidad tiene sólo una arista, que es un único círculo continuo con 6 cuerdas.
^ abc Partiendo de cualquier vértice V ₀ en el gran plano hexagonal original de rotación isoclínica P ₀ , el primer vértice alcanzado V ₁ está a 120 grados a lo largo de una cuerda √ 3 que se encuentra en un plano hexagonal diferente P ₁ . P ₁ está inclinado hacia P ₀ en un ángulo de 60°. ^[cp] El segundo vértice alcanzado V ₂ está 120 grados más allá de V ₁ a lo largo de una segunda cuerda √ 3_{que se encuentra en otro plano hexagonal P 2} que es paralelo a Clifford a P ₀ . ^[cr] (Observe que V ₁ se encuentra en ambos planos de intersección, P ₁ y P ₂ , ya que V ₀ se encuentra tanto en P ₀ como en P _1. Pero P ₀ y P ₂no tienen vértices en común; no se cruzan). El tercer vértice alcanzado V ₃ está 120 grados más allá de V ₂ a lo largo de una tercera cuerda √ 3_{que se encuentra en otro plano hexagonal P 3} que es paralelo a Clifford a P ₁ . V ₀ y V ₃ son vértices adyacentes, separados por √ 1 . ^[cs] Los tres acordes √ 3 se encuentran en diferentes 8 celdas. ^[v] V ₀ a V ₃ es una rotación isoclínica de 360° y la mitad del polígono de Clifford del hexagrama ₂ de doble bucle de 24 celdas . ^[ch]
^ La composición de dos rotaciones simples de 60 ° en un par de planos invariantes completamente ortogonales es una rotación isoclínica de 60 ° en cuatro pares de planos invariantes completamente ortogonales. ^[cd] Por lo tanto, la rotación isoclínica es el compuesto de cuatro rotaciones simples, y los 24 vértices giran en planos hexagonales invariantes, frente a solo 6 vértices en una rotación simple.
^ abcd Debido a que la geodésica hexagrama ₂ helicoidal de 24 celdas está doblada en un anillo retorcido en la cuarta dimensión como una tira de Möbius , la rosca de su tornillo se duplica sobre sí misma en cada revolución, invirtiendo su quiralidad ^[ch] pero sin cambiar nunca su par/ paridad impar de rotación (blanco o negro). ^[cn] La trayectoria isoclínica de 6 vértices forma un doble bucle de Möbius, como una doble hélice tridimensional con los extremos de sus dos hélices paralelas de 3 vértices conectados entre sí. Esta isoclina de 60° ^[dd] es una instancia sesgada del polígono compuesto regular denotado {6/2}=2{3} o hexagrama ₂ . ^[cs]Los √ 3 bordes sucesivos pertenecen a diferentes 8 celdas, ya que la rotación isoclínica de 720° lleva cada hexágono a través de los seis hexágonos en el anillo de 6 celdas, y cada 8 celdas a través de las tres 8 celdas dos veces. ^[v]
^ ab Las geodésicas isoclínicas o isoclinas son círculos máximos de 4 dimensiones en el sentido de que son líneas geodésicas de 1 dimensión que se curvan en 4 espacios en dos círculos máximos ortogonales a la vez. ^[cx] No deben confundirse con las grandes 2 esferas , ^[16] que son los análogos de 4 dimensiones de los grandes círculos (grandes 1 esferas). ^[aq] Las isoclinas discretas son polígonos; ^[ch] las 2 grandes esferas discretas son poliedros.
^ abcd Todas las isoclinas son geodésicas , y las isoclinas en las 3 esferas son círculos (curvándose igualmente en cada dimensión), pero no todas las isoclinas en las 3 variedades en el 4 espacio son círculos.
^ ab Todas las isoclinas de 3 esferas de la misma circunferencia son círculos directamente congruentes. ^[cx] Un círculo máximo ordinario es una isoclina de circunferencia 2𝝅; Las rotaciones simples tienen lugar en isoclinas de 2𝝅. Las rotaciones dobles pueden tener isoclinas de hasta 8 de circunferencia. Debido a que las rotaciones características de varios 4 politopos regulares tienen lugar en los mismos planos invariantes (los planos hexagonales de las 24 celdas), todas esas rotaciones tienen isoclinas congruentes de circunferencia 4𝝅. Los 4 politopos regulares que giran característicamente en isoclinas de 4𝝅 (cuando giran en los planos isoclínicos invariantes que contienen sus bordes) son los de 5 celdas, los de 8 celdas, los de 24 celdas y los de 120 celdas.
^ abc Las isoclinas en las 3 esferas ocurren en pares que no se cruzan de paridad de coordenadas pares/impares. ^[cn] Una sola isoclina negra o blanca forma un bucle de Möbius llamado nudo toro {1,1} o círculo de Villarceau ^[54] en el que cada uno de los dos "círculos" unidos en un bucle de "figura de ocho" de Möbius atraviesa las cuatro dimensiones. . ^[ch] El doble bucle es un círculo verdadero en cuatro dimensiones. ^[cc] Las isoclinas pares e impares también están unidas, no en un bucle de Möbius sino como un enlace de Hopf de dos círculos que no se cruzan, ^[ag] al igual que todas las isoclinas paralelas de Clifford de un haz de fibras de Hopf .
^ abcd Una isoclina es la trayectoria geodésica circular que toma un vértice que se encuentra en un plano de rotación invariante, durante una revolución completa. En una rotación isoclínica, cada vértice se encuentra en un plano de rotación invariante, y la isoclina sobre la que gira es un círculo geodésico helicoidal que recorre las cuatro dimensiones, no un simple gran círculo geodésico en el plano. En una rotación simple solo hay un plano de rotación invariante, y cada vértice que se encuentra en él gira sobre un gran círculo geodésico simple en el plano. Tanto la isoclina geodésica helicoidal de una rotación isoclina como la isoclina geodésica simple de una rotación simple son círculos máximos, pero para evitar confusión entre ellas generalmente reservamos el término isoclina para la primera y reservamos el término círculo máximo para la segunda, un círculo ordinario. gran círculo en el avión. Sin embargo, estrictamente, esta última es una isoclina de circunferencia y la primera es una isoclina de circunferencia mayor que . ^[au] $2\pi r$ $2\pi r$
^ En una rotación isoclínica de 720 ° de un rígido de 24 celdas, los 24 vértices giran a lo largo de cuatro bucles geodésicos del hexagrama ₂ paralelos de Clifford separados (seis vértices dando vueltas en cada bucle) y regresan a sus posiciones originales. ^[cz]
^ La longitud de una tira se puede medir en su línea central o cortando la tira de Möbius resultante perpendicularmente a su límite para que forme un rectángulo.
^ Una tira de papel puede formar una tira de Möbius aplanada en el plano doblándola en ángulos de modo que su línea central quede a lo largo de un triángulo equilátero y uniendo los extremos. La tira más corta posible consiste en tres triángulos de papel equiláteros, doblados en los bordes donde se unen dos triángulos. Dado que el bucle atraviesa ambos lados de cada triángulo de papel, es un bucle hexagonal sobre seis triángulos equiláteros. Su relación de aspecto (la relación entre la longitud de la tira ^[dc] y su ancho) es . $60^{\circ }$ ${\sqrt {3}}\approx 1.73$
^ Cada conjunto de polígonos de círculo máximo paralelo de Clifford es un haz de fibras diferente al conjunto correspondiente de poligramas de isoclina ^[au] paralelos de Clifford , pero los dos haces de fibras juntos constituyen la misma fibración de Hopf discreta , porque enumeran los 24 vértices juntos por su intersección en la misma rotación isoclínica distinta (izquierda o derecha). Son la urdimbre y la trama del mismo tejido que es la fibración.
^ abc La elección de una partición de un politopo regular de 4 en anillos de células (una fibración) es arbitraria, porque todas sus células son idénticas. No se distingue ninguna fibración particular, a menos que el politopo 4 esté rotando. Cada fibración corresponde a un par de rotaciones isoclínicas de izquierda a derecha en un conjunto particular de planos de rotación centrales invariantes paralelos de Clifford. En el modelo de 24 celdas, distinguir una fibración hexagonal ^[al] significa elegir un conjunto de celdas disjuntas de cuatro anillos de 6 celdas que es el contenedor único de un par de rotaciones isoclínicas de izquierda a derecha en cuatro planos invariantes hexagonales paralelos de Clifford. Las rotaciones izquierda y derecha tienen lugar en subespacios quirales de ese contenedor, ^[61] pero la fibración y los anillos de células octaédricas en sí no son objetos quirales. ^[dn]
^ Todos los planos isoclínicos son paralelos de Clifford (completamente separados). ^[y] Los objetos cocéntricos de tres y cuatro dimensiones pueden intersectarse (compartiendo elementos) pero aún estar relacionados mediante una rotación isoclínica. Los poliedros y los 4 politopos pueden ser isoclínicos y no disjuntos, si todos sus planos correspondientes son paralelos a Clifford, cocelulares (en el mismo hiperplano) o coincidentes (el mismo plano).
^ Por generar queremos decir simplemente que algún vértice del primer politopo visitará cada vértice del politopo generado en el curso de la rotación.
^ Como una llave que acciona una cerradura de cuatro dimensiones, un objeto debe girar en dos cilindros giratorios completamente perpendiculares para moverse la corta distancia entre los subespacios paralelos de Clifford.
^ Así como cada cara de un poliedro ocupa un plano de cara diferente (bidimensional), cada celda de un policorón ocupa un hiperplano de celda diferente (tridimensional) . ^[ay]
^ ab Hay una variedad de planos en los cuales doblar la columna en un anillo, pero son equivalentes en el sentido de que producen anillos congruentes. Cualquiera que sea el plano de plegado elegido, cada una de las seis hélices une sus dos extremos y forma un hexágono circular máximo simple. Estos hexágonos no son hélices: se encuentran sobre grandes círculos planos ordinarios. Tres de ellos son paralelos de Clifford ^[ag] y pertenecen a una fibración hexagonal. Se cruzan con los otros tres, que pertenecen a otra fibración hexagonal. Los tres grandes círculos paralelos de cada fibración giran entre sí en el sentido de que forman un vínculo de tres círculos ordinarios, pero no están retorcidos: el anillo de 6 celdas no tiene torsión , ni en el sentido de las agujas del reloj ni en el sentido contrario a las agujas del reloj. ^[dn]
^ Cuando los octaedros de arista unitaria se colocan cara a cara, la distancia entre sus centros de volumen es √ 2/3 ≈ 0,816. ^[59] Cuando 24 octaedros unidos por caras se doblan en una celda de 24 que se encuentra en la 3 esfera, los centros de los octaedros están más juntos en el 4 espacio. Dentro del espacio de superficie tridimensional curvo lleno por las 24 celdas, los centros de las celdas todavía están separados √ 2/3 a lo largo de las geodésicas curvas que los unen. Pero en las cuerdas rectas que los unen, que se sumergen dentro de las 3 esferas, están separadas solo por la mitad de la longitud del borde.
^ El hexágono axial del anillo de 6 octaedros no cruza ningún vértice o borde de las 24 celdas, pero sí golpea las caras. En una celda de 24 celdas de longitud de arista unitaria, tiene aristas de longitud 1/2. ^[dl] Debido a que une seis centros de celdas, el hexágono axial es un gran hexágono del dual más pequeño de 24 celdas que se forma al unir los centros de 24 celdas. ^[bj]
^ abcde Sólo existe un tipo de anillo de 6 células, no dos tipos quirales diferentes (diestros y zurdos), porque los octaedros tienen caras opuestas y forman anillos de células sin torcer. Además de dos conjuntos de tres grandes hexágonos paralelos ^[ag] de Clifford , tres geodésicas de hexagramas isoclínicas negras y tres blancas atraviesan el anillo de 6 celdas. ^[al] Cada uno de estos hexagramas quirales sesgados se encuentra en un tipo diferente de círculo llamado isoclina , ^[cx] un círculo helicoidal que recorre las cuatro dimensiones en lugar de estar en un solo plano. ^[au] Estos grandes círculos helicoidales ocurren en haces de fibras paralelas de Clifford tal como lo hacen los grandes círculos planos ordinarios. En el anillo de 6 celdas, los hexagramas blancos y negros pasan por vértices pares e impares respectivamente, y pasan por alto los vértices intermedios, por lo que las isoclinas son disjuntas. ^[cn]
^ Los tres grandes hexágonos son paralelos de Clifford, que es diferente al paralelismo ordinario. ^[ag] Los grandes hexágonos paralelos de Clifford se atraviesan entre sí como eslabones adyacentes de una cadena, formando un eslabón de Hopf . A diferencia de los eslabones de una cadena tridimensional, comparten el mismo punto central. En las 24 celdas, los grandes hexágonos paralelos de Clifford aparecen en conjuntos de cuatro, no de tres. El cuarto hexágono paralelo se encuentra completamente fuera del anillo de 6 celdas; sus 6 vértices están completamente separados de los 18 vértices del anillo.
^ En la columna de 6 celdas octaédricas, numeramos las celdas del 0 al 5 en la columna. También etiquetamos cada vértice con un número entero del 0 al 5 según la longitud de los bordes que tiene en la columna.
^ Una rotación isoclínica de un múltiplo de 60 ° lleva los octaedros pares del anillo a octaedros pares y los octaedros impares a octaedros impares. ^[dp] Es imposible que un octaedro par alcance un octaedro impar, o viceversa, mediante una rotación isoclínica izquierda o derecha únicamente. ^[cn]
^ Dos planos centrales en los que el camino se dobla 60 ° en el vértice son (a) el plano del gran hexágono al que pertenece la cuerda antes del vértice, y (b) el plano del gran hexágono al que pertenece la cuerda después del vértice. El plano (b) contiene la cuerda isoclina de 120° que une el vértice original a un vértice en el plano del gran hexágono (c), Clifford paralelo a (a); el vértice se mueve sobre esta cuerda hasta el siguiente vértice. El ángulo de inclinación entre los grandes planos hexagonales paralelos (isoclínicos) de Clifford (a) y (c) también es de 60°. En este intervalo de 60° de la rotación isoclínica, el gran plano hexagonal (a) gira 60° dentro de sí mismo y se inclina 60° en un plano ortogonal (no en el plano (b)) para convertirse en el gran plano hexagonal (c). Los tres grandes planos hexagonales (a), (b) y (c) no son ortogonales (están inclinados 60° entre sí), pero (a) y (b) son dos hexágonos centrales en el mismo cuboctaedro, y ( b) y (c) igualmente en un cuboctaedro ortogonal. ^[s]
^ Cada vértice del anillo de 6 celdas está intersectado por dos hexagramas sesgados de la misma paridad (blanco o negro) que pertenecen a diferentes fibraciones. ^[dn]
^ ab Cada vértice de un anillo de 6 celdas pasa por alto las dos mitades del mismo hexagrama de doble bucle de Möbius ^[du] , que se curvan a ambos lados.
^ abc En cada vértice solo hay un gran plano hexagonal adyacente en el que la isoclina puede doblarse 60 grados: la trayectoria isoclínica es determinista en el sentido de que es lineal, no ramificada, porque cada vértice en el anillo de celdas es un lugar donde justo dos de los seis grandes hexágonos contenidos en el anillo celular se cruzan. Si a cada gran hexágono se le asignan aristas y cuerdas de un color particular (como en la ilustración del anillo de 6 celdas), podemos nombrar cada gran hexágono por su color y cada tipo de vértice con un nombre de dos colores con guión. El anillo de celdas contiene 18 vértices nombrados por las 9 combinaciones únicas de dos colores; cada vértice y su vértice antípoda tienen los mismos dos colores en su nombre, ya que cuando dos grandes hexágonos se cruzan lo hacen en los vértices antípodas. Cada hexagrama sesgado isoclínico ^[cs] contiene un acorde √ 3 de cada color y visita 6 de los 9 pares de vértices de colores diferentes. ^[ds] Cada anillo de 6 celdas contiene seis de estos hexagramas sesgados isoclínicos, tres negros y tres blancos. ^[dt]
^ El acorde √ 3 pasa por el borde medio de uno de los radios √ 1 de las 24 celdas . Dado que las 24 celdas pueden construirse, con sus radios largos, a partir de √ 1 triángulos que se encuentran en su centro, ^[b] este es el borde medio de uno de los seis √ 1 triángulos en un gran hexágono, como se ve en la diagrama de acordes.
^ Cada par de aristas adyacentes de un gran hexágono tiene solo una isoclina que se curva a su lado, ^[dt] falta el vértice entre las dos aristas (pero no de la misma manera que la arista √ 3 del gran triángulo inscrita en el gran hexágono no alcanza el vértice, ^[dv] porque la isoclina es un arco en la superficie, no una cuerda). Si numeramos los vértices alrededor del hexágono del 0 al 5, el hexágono tiene tres pares de aristas adyacentes que conectan vértices pares (un gran triángulo inscrito) y tres pares que conectan vértices impares (el otro gran triángulo inscrito). Los pares de aristas pares e impares tienen el arco de una isoclina negra y blanca, respectivamente, curvándose a lo largo. ^[cn] Las tres isoclinas negras y las tres blancas pertenecen al mismo anillo de 6 células de la misma fibración. ^[du]
^ ab Cada isoclina de hexagrama golpea solo un extremo de un eje, a diferencia de un círculo máximo que golpea ambos extremos. Los pares paralelos de Clifford de isoclinas en blanco y negro del mismo par de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha (la misma fibración) no se cruzan, pero golpean vértices opuestos (antipodales) de uno de los 12 ejes de las 24 celdas.
^ Las isoclinas en sí no son de izquierda ni de derecha, solo lo son los haces. Cada isoclina es de izquierda y de derecha. ^[ch]
^ Los 12 pares blanco-negro de isoclinas de hexagrama en cada fibración ^[dx] y las 16 isoclinas de hexagrama distintas en las 24 celdas forman una configuración de Reye 12 ₄ 16 ₃ , tal como lo hacen los 12 ejes y 16 hexágonos de las 24 celdas. Cada uno de los 12 pares blanco-negro ocurre en un anillo de celdas de cada fibración de 4 isoclinas de hexagrama, y cada anillo de celda contiene 3 pares blanco-negro de las 16 isoclinas de hexagrama.
^ ab Como en el de 16 celdas, la isoclina es un octagrama que cruza solo 8 vértices, aunque el de 24 celdas tiene más vértices más juntos que el de 16 celdas. La curva isoclina omite los vértices adicionales intermedios. Al igual que en las 16 celdas, donde pasa por alto los vértices más cercanos a √ 2 de distancia, el primer vértice que cruza es el vértice antípoda. El de 24 celdas emplea más isoclinas de octagrama (3 en cada rotación) que el de 16 celdas (1 en cada rotación). Las 3 isoclinas helicoidales son paralelas a Clifford; ^[ag] forman espirales entre sí en una triple hélice, con los pares de vértices correspondientes de las hélices disjuntas unidos por √ 4 cuerdas. Los bordes de las hélices de 3 octagramas también son √ 4 cuerdas; toda la triple hélice de 3 isoclinas consta de 96 √ 4 aristas y 24 vértices, y es isomorfa a las 24 celdas completas.
^ La rotación isoclínica de las 600 celdas en grandes planos cuadrados lleva 16 celdas completas a otras 16 celdas en diferentes 24 celdas.
^ ab (Coxeter 1973) usa la letra griega (phi) para representar uno de los tres ángulos característicos 𝟀, 𝝓, 𝟁 de un politopo regular. Debido a que 𝝓 se usa comúnmente para representar la constante de proporción áurea ≈ 1.618, para la cual Coxeter usa 𝝉 (tau), invertimos las convenciones de Coxeter y usamos 𝝉 para representar el ángulo característico.
^ Para un k -politopo regular , el diagrama de Coxeter-Dynkin del ortoesquema k característico es el diagrama del k -politopo sin el anillo del punto generador . El k- politopo regular se subdivide por sus elementos de simetría ( k -1) en g instancias de su k -ortosquema característico que rodean su centro, donde g es el orden del grupo de simetría del k -politopo . ^[69]
^ Los cuatro bordes de cada 4-ortosquema que se encuentran en el centro del 4-politopo regular son de longitud desigual, porque son los cuatro radios característicos del 4-politopo regular: un radio de vértice, un radio del centro del borde, una cara radio central y un radio central de celda. Los cinco vértices del 4-ortosquema siempre incluyen un vértice regular de 4 politopos, un centro de borde regular de 4 politopos, un centro de cara regular de 4 politopos, un centro de celda regular de 4 politopos y el centro regular de 4 politopos. Esos cinco vértices (en ese orden) comprenden un camino a lo largo de cuatro bordes mutuamente perpendiculares (que forman tres giros en ángulo recto), el rasgo característico de un 4-ortosquema. El 4-ortosquema tiene cinco facetas diferentes del 3-ortosquema.
^ La superficie reflectante de un poliedro (tridimensional) consta de caras bidimensionales; la superficie reflectante de un policorón (de 4 dimensiones) consta de células tridimensionales.
^ Cayley demostró que cualquier rotación en el 4 espacio se puede descomponer en dos rotaciones isoclínicas, ^[cd] lo que intuitivamente podríamos ver se deriva del hecho de que cualquier transformación de un sistema de referencia inercial a otro se puede expresar como una rotación en euclidiano de 4 dimensiones. espacio .
^ ab Sea Q una rotación, R una reflexión, T una traslación, y sea Q ^q R ^r T un producto de varias de estas transformaciones, todas conmutativas entre sí. Entonces RT es una reflexión de deslizamiento (en dos o tres dimensiones), QR es una reflexión rotativa, QT es un desplazamiento de tornillo y Q ² es una rotación doble (en cuatro dimensiones). Cada transformación ortogonal se puede expresar como
Q ^q R ^r
donde 2 q + r ≤ n , el número de dimensiones. Las transformaciones que involucran una traducción se pueden expresar como
Q ^q R ^r T
donde 2 q + r + 1 ≤ n .
Para n = 4 en particular, cada desplazamiento es una doble rotación Q ² o un desplazamiento de tornillo QT (donde el componente de rotación Q es una rotación simple). [Si asumimos el principio galileano de la relatividad , cada desplazamiento en el 4-espacio puede verse como cualquiera de esos, porque podemos ver cualquier QT como un Q ² en un marco de referencia que se mueve linealmente (traslativo). Por lo tanto, cualquier transformación de un sistema de referencia inercial a otro se puede expresar como Q ² . Por el mismo principio, podemos ver cualquier QT o Q ^{2 como un Q}² isoclínico (equiángulo) mediante la elección adecuada del marco de referencia. ^{[p. ej.]} Es decir, la relación de Coxeter es una declaración matemática del principio de relatividad, sobre bases de teoría de grupos.] Cada transformación enantiomorfa en 4 espacios (quiralidad invertida) es un QRT. ^[72]
^ En una rotación isoclínica , el plano izquierdo es Clifford paralelo al plano derecho al que se mueve y no se cruzan en ningún momento. En una rotación simple , el plano izquierdo intersecta al plano derecho en una línea y se mueve hacia él girando alrededor de esa línea.
^ Los planos de la izquierda son paralelos a Clifford y los planos de la derecha son paralelos a Clifford; cada conjunto de planos es una fibración. Cada plano izquierdo puede ser paralelo a Clifford con su correspondiente plano derecho, ^[ei] pero los dos conjuntos de planos no son todos mutuamente paralelos a Clifford; son fibraciones diferentes, excepto en las filas de la tabla donde los planos izquierdo y derecho son el mismo conjunto.
^ ab Los conjuntos de planos y no son separados; la unión de dos cualesquiera de estos conjuntos es un conjunto de 6 planos. La rotación isoclínica izquierda (versus derecha) de cada una de estas clases de rotación (filas de la tabla) visita una secuencia circular izquierda (versus derecha) distinta del mismo conjunto de 6 planos paralelos de Clifford. $\pm q7$ $\pm q8$
^ abcde Un grupo de cuaterniones corresponde a un conjunto distinto de polígonos de círculo máximo paralelos de Clifford, por ejemplo, corresponde a un conjunto de cuatro grandes hexágonos disjuntos. ^[t] Tenga en cuenta que y generalmente son conjuntos distintos. Los vértices correspondientes de los planos y los planos están separados por 180°. ^[hacha] $\pm {q_{n}}$ $q7$ $q_{n}$ $-{q_{n}}$ $q_{n}$ $-{q_{n}}$
^ ab Una coordenada cartesiana de cuaternión designa un vértice unido a un vértice superior por una instancia de una cuerda distinta. El vértice superior convencional de un politopo de 4 radios unitarios en orientación estándar (vértice arriba) es el "polo norte" cartesiano. Así, por ejemplo, designa una cuerda √ 1 con una longitud de arco de 60°. Cada una de estas cuerdas distintas es un borde de un polígono de círculo máximo distinto, en este ejemplo un gran hexágono, que cruza los polos norte y sur. Los polígonos de círculo máximo ocurren en conjuntos de planos centrales paralelos de Clifford, cada conjunto de círculos máximos disjuntos comprende una fibración de Hopf discreta que cruza cada vértice solo una vez. Un polígono de círculo máximo en cada conjunto cruza los polos norte y sur. Esta coordenada de cuaternión es, por lo tanto, representativa de los 4 grandes hexágonos separados que se muestran en la imagen, un grupo de cuaterniones ^[el] que comprende una fibración distinta de los [16] grandes hexágonos (cuatro fibraciones de grandes hexágonos) que ocurren en las 24 celdas. ^[t] $(0,0,1,0)$ $({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$ $({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$
^ Cada hexágono se desplaza sobre solo tres isoclinas de hexagrama sesgado, no seis, porque los vértices opuestos de cada hexágono se desplazan sobre rieles opuestos del mismo hexagrama de Clifford, en la misma dirección de rotación (no opuesta). ^[ch]
^ En esta proyección ortogonal del dodecagrama de 24 puntos y 24 celdas a {12/4}=4{3} , cada punto representa dos vértices y cada línea representa múltiples cuerdas √ 3 . Cada triángulo disjunto puede verse como un hexagrama sesgado {6/2} con √ 3 aristas: dos triángulos sesgados abiertos con sus extremos opuestos conectados en un bucle de Möbius con una circunferencia de 4𝝅. El hexagrama se proyecta como un solo triángulo en dos dimensiones porque sesga en las cuatro dimensiones. Esas 4 isoclinas de hexagrama sesgado disjunto 4 son las trayectorias de vértices circulares paralelas de Clifford de la rotación isoclínica izquierda (y derecha) característica de la fibración. ^[au] Los 4 grandes hexágonos paralelos de Clifford de la fibración ^[t] son planos invariantes de esta rotación. Los grandes hexágonos giran en desplazamientos incrementales de 120° (60° como ruedas y 60° como monedas al lanzarse al aire) a medida que sus vértices se mueven a lo largo de trayectorias isoclinas helicoidales paralelas a través de sucesivos planos hexagonales paralelos de Clifford. ^[es] Alternativamente, los 4 triángulos pueden verse como 8 triángulos disjuntos: 4 pares de grandes triángulos paralelos de Clifford, donde dos grandes triángulos opuestos se encuentran en el mismo plano central del gran hexágono, por lo que se representa una fibración de 4 grandes planos del hexágono paralelos de Clifford , como en los 4 planos izquierdos de esta clase de rotación (fila de la tabla). ^[t] Esto ilustra que las 4 isoclinas del hexagrama también corresponden a una fibración distinta, de hecho, la misma fibración que 4 grandes hexágonos.
^ abc En esta rotación isoclínica, todos los planos se mueven juntos, permanecen paralelos a Clifford mientras se mueven y llevan todos sus puntos consigo mientras se mueven: son planos invariantes. Debido a que el conjunto de 4 polígonos centrales es una fibración que cubre todos los vértices, cada vértice es un punto transportado en un plano invariante. $q7$ $q7$
^ Esta clase de desplazamientos rotacionales (esta fila de la tabla) corresponde a una única rotación isoclínica rígida izquierda (y derecha) en múltiples planos invariantes al mismo tiempo. ^[ep] La Isoclina (el camino seguido por un vértice) ^[da] es un círculo geodésico helicoidal que no se encuentra en ningún plano central. Cada desplazamiento rotacional lleva un plano izquierdo invariante al plano derecho invariante correspondiente , y todos los desplazamientos izquierdo (o derecho) tienen lugar simultáneamente. Cada plano izquierdo está separado del plano derecho correspondiente por dos ángulos iguales, cada uno igual a la mitad del arco-ángulo por el cual se desplaza cada vértice, que aparece a continuación en la columna de la tabla Clase de rotación . ^[hacha]
^ ab En esta proyección ortogonal del dodecagrama de 24 puntos y 24 celdas a {12/4}=4{3} , cada punto representa dos vértices y cada línea representa múltiples cuerdas √ 3 . Los 4 triángulos se pueden ver como 8 triángulos disjuntos: 4 pares de grandes triángulos paralelos de Clifford, donde dos grandes triángulos opuestos se encuentran en el mismo plano central del gran hexágono, por lo que se representa una fibración de 4 planos del gran hexágono paralelos de Clifford, como en los 4 planos izquierdos de esta clase de rotación (fila de la tabla). ^[t]
^ Cada uno de estos desplazamientos rotacionales corresponde a una rotación simple en un único plano invariante, con un plano fijo completamente ortogonal que no se mueve. En una rotación simple, la Isoclina (el camino seguido por un vértice que se encuentra en un plano invariante) ^[da] es un círculo máximo simple en el plano invariante. Cada desplazamiento rotacional corresponde a una rotación simple distinta que lleva un plano izquierdo invariante al plano derecho invariante correspondiente , pero no hay una rotación rígida que lleve todos los planos izquierdos a sus correspondientes planos derechos simultáneamente, como ocurre en una rotación isoclínica. Cada plano izquierdo está separado del plano derecho correspondiente por el ángulo que aparece debajo en la columna de la tabla Clase de rotación y por el ángulo 0°. ^[hacha]
^ Esta clase de rotación y la clase de rotación anterior son subclases de la rotación isoclínica izquierda (derecha) completa entre planos invariantes hexagonales, que pueden denotarse . ^[ep] Estas dos clases de desplazamientos rotacionales forman una superclase porque tienen lugar en el mismo conjunto de isoclinas; todos los desplazamientos son segmentos rotacionales de exactamente la misma rotación isoclínica, que es la rotación hexagonal característica de las 24 celdas. ^[cy] $[32]R_{q7,q7}$ $[32]R_{q7,q8}$ $[64]R_{q7,q8}$
^ El de 24 celdas tiene 18 grandes cuadrados, en 3 conjuntos disjuntos de 6 grandes cuadrados mutuamente ortogonales que comprenden un de 16 celdas. ^[j] Dentro de cada 16 celdas hay 3 conjuntos de 2 grandes cuadrados completamente ortogonales, por lo que cada gran cuadrado está separado no solo de todos los grandes cuadrados de las otras dos 16 celdas, sino también de otro gran cuadrado en las mismas 16 celdas. -celúla. Cada gran cuadrado está separado de otros 13 y comparte dos vértices (un eje) con otros 4 (en las mismas 16 celdas).
^ Debido a que en las 24 celdas cada gran cuadrado es completamente ortogonal a otro gran cuadrado, los grupos de cuaterniones y (por ejemplo) corresponden al mismo conjunto de planos de grandes cuadrados. Ese conjunto distinto de 6 grandes cuadrados disjuntos tiene dos nombres, utilizados en el contexto de rotación izquierda (o derecha), porque constituye una fibración de grandes cuadrados tanto izquierda como derecha. $q1$ $-{q1}$ $\pm q1$
^ Los bordes y las 8𝝅 rotaciones características de las 16 celdas se encuentran en los planos centrales del gran cuadrado. Las rotaciones de este tipo son una expresión del grupo de simetría . Los bordes y las rotaciones características 4𝝅 de las 24 celdas se encuentran en los planos centrales del gran hexágono (gran triángulo). Las rotaciones de este tipo son una expresión del grupo de simetría . $B_{4}$ $F_{4}$
^ Dos polígonos de círculo máximo se cruzan en un eje común o son paralelos a Clifford (isoclínicos) y no comparten vértices. ^[ax] Tres grandes cuadrados y cuatro grandes hexágonos se cruzan en cada vértice de 24 celdas. Cada gran hexágono intersecta 9 grandes cuadrados distintos, 3 en cada uno de sus 3 ejes, y se encuentra Clifford paralelo a los otros 9 grandes cuadrados. Cada gran cuadrado intersecta 8 grandes hexágonos distintos, 4 en cada uno de sus 2 ejes, y se encuentra Clifford paralelo a los otros 8 grandes hexágonos.
^ Esta rotación isoclínica híbrida lleva los dos tipos de planos centrales entre sí: grandes planos cuadrados característicos de las 16 celdas y planos de gran hexágono (gran triángulo) característicos de las 24 celdas. ^[ew] Esto es posible porque algunos grandes planos hexagonales se encuentran en Clifford paralelos a algunos grandes planos cuadrados. ^[ex]
^ En esta proyección ortogonal del dodecagrama de 24 puntos y 24 celdas a {12/3}=3{4} , cada punto representa dos vértices y cada línea representa múltiples cuerdas √ 2 . Cada cuadrado disjunto puede verse como un octagrama sesgado {8/3} con √ 2 aristas: dos cuadrados sesgados abiertos con sus extremos opuestos conectados en un bucle de Möbius con una circunferencia de 8𝝅. El octagrama se proyecta como un solo cuadrado en dos dimensiones porque sesga en las cuatro dimensiones. Esas 3 isoclinas de octagrama sesgado disjuntas son las trayectorias de vértices circulares características de una rotación isoclínica en grandes planos cuadrados, en las que los 6 grandes cuadrados paralelos de Clifford son planos de rotación invariantes. Los grandes cuadrados giran 180° (90° como ruedas y 90° como monedas al lanzarse al aire) a medida que cada vértice intercambia lugares con su vértice antípoda. Cada isoclina de octagrama circula a través de los 8 vértices de una celda disjunta de 16. Alternativamente, los 3 cuadrados pueden verse como una fibración de 6 cuadrados paralelos de Clifford, como en los planos (izquierdo) de esta clase de rotación (fila de la tabla). ^[l] Esto ilustra que las isoclinas de 3 octagramos también corresponden a una fibración distinta, de hecho, la misma fibración que 6 cuadrados.
^ Una coordenada cartesiana de cuaternión designa un vértice unido a un vértice superior por una instancia de una cuerda distinta. El vértice superior convencional de un politopo de 4 radios unitarios en orientación de primera celda es . Así, por ejemplo, designa una cuerda √ 2 con una longitud de arco de 90°. Cada una de estas cuerdas distintas es un borde de un polígono de círculo máximo distinto, en este ejemplo un gran cuadrado, que cruza el vértice superior. Los polígonos de círculo máximo ocurren en conjuntos de planos centrales paralelos de Clifford, cada conjunto de círculos máximos disjuntos comprende una fibración de Hopf discreta que cruza cada vértice solo una vez. Un polígono de círculo máximo en cada conjunto intersecta el vértice superior. Esta coordenada de cuaternión es, por lo tanto, representativa de los 6 grandes cuadrados disjuntos que se muestran en la imagen, un grupo de cuaterniones ^[el] que comprende una fibración distinta de los [18] grandes cuadrados (tres fibraciones de grandes cuadrados) que ocurren en las 24 celdas. ^[l] $(0,0,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}})$ $({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)$ $({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)$
^ La coordenada representativa no es un vértice de las 24 celdas de radio unitario en orientación estándar (vértice arriba), es el centro de una celda octaédrica. Algunos de los ejes de simetría de las 24 células (los "círculos reflectantes" de Coxeter) pasan por los centros de las células en lugar de por los vértices, y el grupo de cuaterniones corresponde a un conjunto de ellos. Sin embargo, también corresponde al conjunto de grandes cuadrados que se muestran en la imagen, que se encuentran ortogonales a esas celdas (completamente separados de la celda). ^[fa] $({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)$ $q6$ $q6$
^ Esta es la rotación isoclínica característica de las 16 celdas en 90 ° en los [18] grandes planos cuadrados de las 3 16 celdas inscritas, que mueve sus vértices 180 °. En las 24 celdas, la superclase de rotación de esta característica de rotación de 8𝝅 de las 16 celdas también incluye todos los desplazamientos rotacionales de las clases de rotación anteriores: isoclínica de 60° (se mueve 120°), isoclínica de 180° (se mueve 360°) , isoclínica de 90° (se mueve 180°) e isoclínica de 180° (se mueve 360°). Estas clases de desplazamientos rotacionales forman una superclase porque tienen lugar en el mismo conjunto de isoclinas y juntas comprenden el conjunto de desplazamientos rotacionales distintos (operaciones de simetría) que ocurren en las 3 rotaciones isoclínicas izquierdas (y 3 derechas) del sistema 24- celda en sus planos invariantes del gran cuadrado. $[16]R_{q7,-q1}$ $[36]R_{q6,q6}$ $[36]R_{q6,-q6}$ $[72]R_{q4,q4}$
^ Una rotación a la derecha se realiza girando los planos izquierdo y derecho en la "misma" dirección, y una rotación a la izquierda se realiza girando los planos izquierdo y derecho en direcciones "opuestas", de acuerdo con la regla de la mano derecha por la cual convencionalmente decimos cuál El camino está "arriba" en cada uno de los 4 ejes de coordenadas. Las rotaciones hacia la izquierda y hacia la derecha son formas enantiomorfas quirales (como un par de zapatos), no direcciones de rotación opuestas . Tanto las rotaciones hacia la izquierda como hacia la derecha se pueden realizar en dirección de rotación positiva o negativa (de los planos izquierdo a los planos derechos, o de los planos derechos a los planos izquierdos), pero esa es una distinción adicional. ^[cf]

Citas

^ Coxeter 1973, pag. 118, Capítulo VII: Politopos ordinarios en el espacio superior.
^ Johnson 2018, pag. 249, 11.5.
^ Ghyka 1977, pag. 68.
^ Coxeter 1973, pag. 289, Epílogo; "Otra peculiaridad del espacio de cuatro dimensiones es la aparición de las 24 celdas {3,4,3}, que está completamente aislada y no tiene análogo arriba ni abajo".
^ Coxeter 1995, pag. 25, (Documento 3) Dos aspectos de las 24 celdas regulares en cuatro dimensiones .
^ Coxeter 1968, pag. 70, §4.12 La clasificación de zonoedros.
^ ab Coxeter 1973, págs. 292–293, Tabla I (ii): Los dieciséis politopos regulares { p,q,r } en cuatro dimensiones; Una tabla invaluable que proporciona las 20 métricas de cada 4 politopos en unidades de longitud de borde. Deben convertirse algebraicamente para comparar politopos de radio unitario.
^ Coxeter 1973, pag. 302, Tabla VI (ii): 𝐈𝐈 = {3,4,3}: ver columna Resultado
^ Coxeter 1973, pag. 156, §8.7. Coordenadas cartesianas.
^ Coxeter 1973, págs. 145-146, §8.1 Los truncamientos simples del politopo regular general.
^ Waegell & Aravind 2009, págs. 4–5, §3.4 Las 24 celdas: puntos, líneas y configuración de Reye; En las 24 celdas, los "puntos" y las "líneas" de Reye son ejes y hexágonos, respectivamente.
^ Coxeter 1973, pag. 298, Tabla V: Distribución de vértices de politopos de cuatro dimensiones en secciones sólidas paralelas (§13.1); (i) Secciones de {3,4,3} (arista 2) que comienzan con un vértice; ver columna a .
^ Stillwell 2001, pag. 17.
^ Tyrrell y Semple 1971, págs. 5–6, §3. La definición original de paralelismo de Clifford.
^ Kim & Rote 2016, págs. 8-10, Relaciones con el paralelismo de Clifford.
^ ab Stillwell 2001, pág. 24.
^ Copher 2019, pag. 6, §3.2 Teorema 3.4.
^ Kim y Rote 2016, pag. 7, §6 Ángulos entre dos planos en 4 espacios; "En cuatro (y más) dimensiones, necesitamos dos ángulos para fijar la posición relativa entre dos planos. (De manera más general, k ángulos se definen entre k subespacios dimensionales)".
^ Coxeter 1973, pag. 153, 8.5. Construcción de Gosset para {3,3,5}: "De hecho, los vértices de {3,3,5}, cada uno tomado 5 veces, son los vértices de 25 {3,4,3}".
^ Coxeter 1973, pag. 304, Tabla VI(iv) II={5,3,3}: Facetar {5,3,3}[120𝛼 ₄ ]{3,3,5} de las 120 celdas revela 120 5 celdas regulares.
^ Egan 2021, animación de 24 celdas giratorias: vértices rojos medio enteros (tesseract), vértices enteros amarillos y negros (16 celdas).
^ abc Coxeter 1973, pag. 150, Gosset.
^ Coxeter 1973, pag. 148, §8.2. Construcción de Cesaro para {3, 4, 3}..
^ Coxeter 1973, pag. 302, Tabla VI(ii) II={3,4,3}, columna de resultados.
^ Coxeter 1973, págs. 149-150, §8.22. ver ilustraciones Fig. 8.2 A y Fig. 8.2 B
^ Coxeter 1995, pag. 29, (Documento 3) Dos aspectos de las 24 celdas regulares en cuatro dimensiones ; "El contenido común del cubo de 4 y del cubo de 16 es un {3,4,3} más pequeño cuyos vértices son las permutaciones de [(±1/2, ±1/2, 0, 0)]".
^ Coxeter 1973, pag. 147, §8.1 Los truncamientos simples del politopo regular general; "En un punto de contacto, [los elementos de un politopo regular y los elementos de su dual en el que está inscrito de alguna manera] se encuentran en subespacios completamente ortogonales ^[g] del hiperplano tangente a la esfera [de reciprocidad], por lo que su único El punto común es el propio punto de contacto ^[k] .... De hecho, los [diversos] radios ₀ 𝑹, ₁ 𝑹, ₂ 𝑹, ... determinan los politopos ... cuyos vértices son los centros de los elementos 𝐈𝐈 ₀ , 𝐈𝐈 ₁ , 𝐈𝐈 ₂ , ... del politopo original."
^ ab Kepler 1619, pág. 181.
^ van Ittersum 2020, págs. 73–79, §4.2.
^ Coxeter 1973, pag. 269, §14.32. "Por ejemplo, en el caso de ..." $\gamma _{4}[2\beta _{4}]$
^ van Ittersum 2020, pag. 79.
^ Coxeter 1973, pag. 150: "Así, las 24 celdas del {3, 4, 3} son bipirámides basadas en los 24 cuadrados del . (Sus centros son los puntos medios de los 24 bordes del .)" $\gamma _{4}$ $\beta _{4}$
^ Coxeter 1973, pag. 12, §1.8. Configuraciones.
^ Coxeter 1973, pag. 120, §7.2.: "... cualesquiera n +1 puntos que no se encuentren en un espacio ( n -1) son los vértices de un simplex n -dimensional ... Por lo tanto, el simplex general puede definirse alternativamente como una región finita de n -espacio encerrada por n +1 hiperplanos o ( n -1)-espacios".
^ van Ittersum 2020, pag. 78, §4.2.5.
^ Stillwell 2001, pag. 18-21.
^ Egan 2021; cuaterniones, el grupo tetraédrico binario y el grupo octaédrico binario, con ilustraciones rotativas.
^ Stillwell 2001, pag. 22.
^ Koca, Al-Ajmi y Koc 2007.
^ Coxeter 1973, pag. 163: Coxeter señala que Thorold Gosset fue aparentemente el primero en ver que las celdas del panal de 24 celdas {3,4,3,3} son concéntricas con celdas alternas del panal teseractico {4,3,3,4}, y que esta observación permitió el método de construcción de Gosset del conjunto completo de politopos y panales regulares.
^ ab Coxeter 1973, pág. 156: "... el tablero de ajedrez tiene un análogo n-dimensional".
^ Mamone, Pileio y Levitt 2010, págs. 1438-1439, §4.5 4 politopos convexos regulares; las 24 celdas tienen 1152 operaciones de simetría (rotaciones y reflexiones) como se enumeran en la Tabla 2, grupo de simetría 𝐹 ₄ .
^ Coxeter 1973, pag. 119, §7.1. Analogía dimensional: "Por ejemplo, viendo que la circunferencia de un círculo es 2 π r , mientras que la superficie de una esfera es 4 π r ² ,... es poco probable que el uso de la analogía, sin la ayuda del cálculo, alguna vez conduzca Nos llevamos a la expresión correcta [para la hipersuperficie de una hiperesfera], 2 π ²r ³ ".
^ Kim y Rote 2016, pag. sesenta y cinco. Rotaciones en cuatro dimensiones.
^ Pérez-Gracia y Thomas 2017, §7. Conclusiones; "Las rotaciones en tres dimensiones están determinadas por un eje de rotación y el ángulo de rotación alrededor de él, donde el eje de rotación es perpendicular al plano en el que se giran los puntos. La situación en cuatro dimensiones es más complicada. En este caso, las rotaciones están determinadas por dos planos ortogonales y dos ángulos, uno para cada plano. Cayley demostró que una rotación general 4D siempre se puede descomponer en dos rotaciones 4D, estando cada una de ellas determinada por dos ángulos de rotación iguales hasta un cambio de signo."
^ Pérez-Gracia y Thomas 2017.
^ Pérez-Gracia y Thomas 2017, págs. 12-13, §5. Un mapeo útil.
^ Coxeter 1995, págs. 30–32, (Documento 3) Dos aspectos de las 24 celdas normales en cuatro dimensiones ; §3. El Aspecto Dodecagonal; ^[cg] Coxeter considera la doble rotación de 150°/30° del período 12 que ubica 12 de las 225 celdas distintas inscritas en las 120 celdas , un politopo regular de 4 con 120 celdas dodecaédricas que es el casco convexo del compuesto. de 25 24 celdas separadas.
^ Pérez-Gracia y Thomas 2017, págs. 2-3, §2. Rotaciones isoclínicas.
^ Kim & Rote 2016, págs. 7-10, §6. Ángulos entre dos planos en 4 espacios.
^ Coxeter 1973, pag. 141, §7.x. Comentarios históricos; " Ya en 1827, Möbius se dio cuenta de que para hacer coincidir dos sólidos enantiomorfos sería necesaria una rotación cuatridimensional. Esta idea fue claramente desarrollada por HG Wells en La historia de Plattner ."
^ Feynman y Weinberg 1987, El motivo de las antipartículas.
^ Mebius 2015, págs. 2-3, Motivación; "Esta investigación se originó a partir... del deseo de construir una implementación por computadora de un movimiento específico del brazo humano, conocido entre los expertos en danza folclórica como la danza del vino filipina o Binasuan y realizado por el fallecido físico Richard P. Feynman durante su homenaje a Dirac . conferencia de 1986 ^[52] para demostrar que una sola rotación (2𝝅) no es equivalente en todos los aspectos a ninguna rotación, mientras que una doble rotación (4𝝅) sí lo es."
^ Dorst 2019, pag. 44, §1. Círculos de Villarceau; "En matemáticas, el camino que traza el nudo (1, 1) en el toroide también se conoce como círculo de Villarceau . Los círculos de Villarceau generalmente se presentan como dos círculos que se cruzan y que son la sección transversal de un toroide por un plano bien elegido. cortándolo. Escogiendo uno de esos círculos y girándolo alrededor del eje del toro, la familia de círculos resultante se puede usar para gobernar el toro. Al anidar los toros de manera inteligente, la colección de todos esos círculos forma una fibración de Hopf ... preferimos considerar el círculo de Villarceau como el nudo toroidal (1, 1) en lugar de como un corte plano".
^ Kim & Rote 2016, págs. 8–9, Relaciones con el paralelismo de Clifford.
^ Kim y Rote 2016, pag. 8, Pares de planos isoclínicos izquierdo y derecho.
^ Tyrrell y Semple 1971, págs. 1 a 9, §1. Introducción.
^ Tyrrell & Semple 1971, págs. 20-33, Clifford Parallel Spaces y Clifford Reguli.
^ Coxeter 1973, págs. 292-293, Tabla I (i): Octaedro.
^ Kim & Rote 2016, págs. 14-16, §8.3 Propiedades de la fibración de Hopf; Corolario 9. Cada círculo máximo pertenece a un único haz de Hopf derecho [(e izquierdo)].
^ Kim y Rote 2016, pag. 12, §8 La construcción de fibraciones de Hopf; 3.
^ Tyrrell & Semple 1971, págs. 34–57, Sistemas lineales de paralelos de Clifford.
^ Coxeter 1973, págs. 292–293, Tabla I (ii); h ₁ de 24 celdas es {12}, h ₂ es {12/5} .
^ Coxeter 1973, págs. 292–293, Tabla I (ii); El polígono de Petrie de 24 celdas h ₁ es {12}.
^ Coxeter 1973, págs. 292–293, Tabla I (ii); El polígono de Petrie ortogonal h ₂ de 24 celdas es {12/5} , la mitad de {24/5} ya que cada polígono de Petrie es la mitad de las 24 celdas.
^ Coxeter 1973, págs. 292-293, Tabla I (ii); "24 celdas".
^ Coxeter 1973, pag. 139, §7.9 La característica simplex.
^ Coxeter 1973, pag. 290, Cuadro I(ii); "ángulos diédricos".
^ Coxeter 1973, págs. 130-133, §7.6 El grupo de simetría del politopo regular general.
^ Kim & Rote 2016, págs. 17-20, §10 Clasificación Coxeter de grupos de puntos cuatridimensionales.
^ Coxeter 1973, págs. 33–38, §3.1 Transformaciones congruentes.
^ Coxeter 1973, págs. 217-218, §12.2 Transformaciones congruentes.
^ Coxeter 1973, pag. 138; "Permitimos que el símbolo de Schläfli {p,..., v} tenga tres significados diferentes: un politopo euclidiano, un politopo esférico y un panal esférico. Esto no tiene por qué causar ninguna confusión, siempre que la situación se reconozca francamente. Las diferencias se ven claramente en el concepto de ángulo diédrico."
^ Mamone, Pileio y Levitt 2010, págs. 1438-1439, §4.5 4 politopos convexos regulares, Tabla 2, Operaciones de simetría.
^ Coxeter 1970, pag. 18, §8. El simplex, el cubo, el politopo cruzado y el de 24 celdas; Coxeter estudió los anillos de células en el caso general de su geometría y teoría de grupos , identificando cada anillo de células como un politopo por derecho propio que llena una variedad tridimensional (como la de 3 esferas ) con su correspondiente panal . Encontró que los anillos celulares siguen polígonos de Petrie ^[cg] y algunos (pero no todos) los anillos celulares y sus panales están retorcidos , presentándose en formas quirales izquierdas y derechas . Específicamente, descubrió que dado que las células octaédricas de 24 celdas tienen caras opuestas, los anillos de celdas de 24 celdas son del tipo no quiral (directamente congruente). ^[dn] Cada uno de los anillos de celdas de 24 celdas tiene su panal correspondiente en el espacio euclidiano (en lugar de hiperbólico), por lo que las 24 celdas tejan el espacio euclidiano de 4 dimensiones por traducción para formar el panal de 24 celdas .
^ Banchoff 2013, estudió la descomposición de 4 politopos regulares en panales de tori que forman el toro de Clifford , mostró cómo los panales corresponden a fibraciones de Hopf e hizo un estudio particular de los 4 anillos de 6 celdas octaédricas de 24 celdas con ilustraciones.
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Referencias

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enlaces externos

animaciones de 24 celdas
24 celdas en proyecciones estereográficas.
Descripción y diagramas de 24 celdas Archivado el 15 de julio de 2007 en Wayback Machine.
Dodecágonos de Petrie en 24 celdas: software de matemáticas y animación