El Octacube es una gran escultura de acero inoxidable que se exhibe en el departamento de matemáticas de la Universidad Estatal de Pensilvania en State College, PA . La escultura representa un objeto matemático llamado 24 celdas u "octacubo". Debido a que un verdadero 24 celdas es de cuatro dimensiones , la obra de arte es en realidad una proyección al mundo tridimensional.
Octacube tiene una simetría intrínseca muy alta , que coincide con características de la química ( simetría molecular ) y la física ( teoría cuántica de campos ).
La escultura fue diseñada por Adrian Ocneanu , profesor de matemáticas en la Universidad Estatal de Pensilvania . El taller de maquinaria de la universidad pasó más de un año completando el complejo trabajo en metal. Octacube fue financiado por una alumna en memoria de su esposo, Kermit Anderson, quien murió en los ataques del 11 de septiembre .
El esqueleto metálico del Octacube mide aproximadamente 1,8 metros (6 pies) en las tres dimensiones. Es una disposición compleja de bridas triangulares sin pintar. La base es un bloque de granito de 0,91 metros (3 pies) de altura, con algunos grabados. [1]
La obra de arte fue diseñada por Adrian Ocneanu, profesor de matemáticas de Penn State. Suministró las especificaciones para las 96 piezas triangulares de acero inoxidable de la escultura y para su montaje. La fabricación fue realizada por el taller de máquinas de Penn State, dirigido por Jerry Anderson. El trabajo duró más de un año e incluyó doblar, soldar y cortar. Hablando de la construcción, Ocneanu dijo: [1]
Es muy difícil lograr que 12 láminas de acero se unan perfectamente (y conformemente) en cada uno de los 23 vértices, sin que quede ningún rastro de soldadura. Las personas que lo construyeron son realmente expertos y perfeccionistas de talla mundial: artistas del acero.
Debido al metal reflectante en diferentes ángulos, la apariencia es agradablemente extraña. En algunos casos, las superficies tipo espejo crean una ilusión de transparencia al mostrar reflejos de lados inesperados de la estructura. El matemático creador de la escultura comentó: [1]
Cuando vi la escultura real, me quedé en shock. Nunca imaginé el juego de luces en las superficies. Hay efectos ópticos sutiles que puedes sentir pero que no puedes identificar.
Los sólidos platónicos son formas tridimensionales con una simetría especial y elevada . Son el siguiente paso en dimensión respecto a los polígonos regulares bidimensionales (cuadrados, triángulos equiláteros, etc.). Los cinco sólidos platónicos son el tetraedro (4 caras), el cubo (6 caras), el octaedro (8 caras), el dodecaedro (12 caras) y el icosaedro (20 caras). Han sido conocidos desde la época de los antiguos griegos y valorados por su atractivo estético y su importancia filosófica, incluso mística. (Véase también el Timeo , un diálogo de Platón .)
En dimensiones superiores, las contrapartes de los sólidos platónicos son los politopos regulares . Estas formas fueron descritas por primera vez a mediados del siglo XIX por un matemático suizo, Ludwig Schläfli . En cuatro dimensiones, hay seis : el pentacoron ( 5 celdas ), el tesseract ( 8 celdas ), el hexadecachoron ( 16 celdas ), el octacubo ( 24 celdas ), el hecatonicosachoron ( 120 celdas ) y el hexacosicoron ( 600 celdas ).
Las 24 celdas se componen de 24 octaedros , unidos en un espacio de 4 dimensiones. La figura del vértice de las 24 celdas (la forma tridimensional que se forma cuando se corta una esquina 4D) es un cubo. A pesar de su sugerente nombre, el octacubo no es el análogo 4-D ni del octaedro ni del cubo. De hecho, es el único de los seis politopos regulares 4-D que carece de un sólido platónico correspondiente. [nota 1]
Ocneanu explica el desafío conceptual al trabajar en la cuarta dimensión: [1] "Aunque los matemáticos pueden trabajar con una cuarta dimensión de manera abstracta agregando una cuarta coordenada a las tres que usamos para describir un punto en el espacio, una cuarta dimensión espacial es difícil de encontrar". visualizar."
Aunque es imposible ver o crear objetos de 4 dimensiones, es posible mapearlos en dimensiones inferiores para obtener algunas impresiones de ellos. Una analogía para convertir las 24 celdas 4-D en su escultura 3-D es la proyección cartográfica , donde la superficie de la Tierra 3-D (o un globo) se reduce a un plano 2-D (un mapa portátil). Esto se hace con la luz "proyectando una sombra" desde el globo sobre el mapa o con alguna transformación matemática. Existen muchos tipos diferentes de proyección cartográfica: la familiar Mercator rectangular (utilizada para la navegación), la gnomónica circular (primera proyección inventada) y varias otras. Todos ellos tienen limitaciones en el sentido de que muestran algunas características de manera distorsionada (“no se puede aplanar una cáscara de naranja sin dañarla”), pero son ayudas visuales útiles y referencias convenientes.
De la misma manera que el exterior de la Tierra es una piel bidimensional (doblada hacia la tercera dimensión), el exterior de una forma de cuatro dimensiones es un espacio tridimensional (pero doblado a través del hiperespacio, la cuarta dimensión). Sin embargo, así como la superficie del globo terrestre no puede mapearse en un plano sin algunas distorsiones, tampoco puede hacerlo la forma tridimensional exterior de la hiperforma 4-D de 24 celdas. En la imagen de la derecha se muestra una celda de 24 proyectada en el espacio como un objeto tridimensional (y luego la imagen es una representación bidimensional del mismo, con perspectiva para ayudar a la vista). Algunas de las distorsiones:
Para mapear las 24 celdas, Ocneanu utiliza una proyección relacionada a la que llama proyección estereográfica radial en ventana . Al igual que con la proyección estereográfica, se muestran líneas curvas en el espacio tridimensional. En lugar de utilizar superficies semitransparentes, se cortan "ventanas" en las caras de las celdas para que se pueda ver el interior de las mismas. Además, sólo 23 vértices están físicamente presentes. El vértice 24 "se encuentra en el infinito" debido a la proyección; lo que se ve son las 8 piernas y brazos de la escultura divergiendo hacia afuera desde el centro de la escultura tridimensional. [1]
La escultura Octacube tiene una simetría muy alta. La estructura de acero inoxidable tiene la misma simetría que un cubo o un octaedro. La obra de arte se puede visualizar en relación con un cubo: los brazos y las piernas de la estructura se extienden hasta las esquinas. Imaginar un octaedro es más difícil; implica pensar en las caras del cubo visualizado que forman las esquinas de un octaedro. El cubo y el octaedro tienen la misma cantidad y tipo de simetría: simetría octaédrica , llamada Oh ( orden 48) en notación matemática. Algunos, pero no todos, los elementos de simetría son
Usando los puntos del medio de la habitación, la escultura representa los sistemas de raíces de tipo D4, B4=C4 y F4, es decir, todos los 4d excepto A4. Puede visualizar la proyección de D4 a B3 y D4 a G2.
Muchas moléculas tienen la misma simetría que la escultura Octacube . La molécula orgánica cubana (C 8 H 8 ) es un ejemplo. Los brazos y las piernas de la escultura son similares a los átomos de hidrógeno que sobresalen hacia afuera. El hexafluoruro de azufre (o cualquier molécula con geometría molecular octaédrica exacta ) también comparte la misma simetría aunque el parecido no es tan similar.
El Octacube también muestra paralelismos con conceptos de la física teórica. El creador Ocneanu investiga aspectos matemáticos de la teoría cuántica de campos (QFT). El tema ha sido descrito por el ganador de la medalla Fields , Ed Witten , como el área más difícil de la física. [2] Parte del trabajo de Ocneanu es construir modelos teóricos, e incluso físicos, de las características de simetría en QFT. Ocneanu cita la relación entre las mitades interior y exterior de la estructura como análoga a la relación entre las partículas de espín 1/2 (por ejemplo, electrones ) y las partículas de espín 1 (por ejemplo, fotones ). [1]
Octacube fue encargado y financiado por Jill Anderson, una graduada de matemáticas de la PSU en 1965, en memoria de su esposo, Kermit, otro graduado de matemáticas de 1965, que murió en los ataques terroristas del 11 de septiembre . [1] Resumiendo el monumento, Anderson dijo: [1]
Espero que la escultura anime a estudiantes, profesores, administradores, exalumnos y amigos a reflexionar y apreciar el maravilloso mundo de las matemáticas. También espero que todos los que vean la escultura comiencen a comprender el hecho aleccionador de que todos somos vulnerables a que algo terrible les suceda y que todos debemos aprender a vivir un día a la vez, aprovechando lo mejor que se nos ha dado. a nosotros. Sería fantástico que todos los que vieran el Octacube se llevaran la sensación de que ser amable con los demás es una buena forma de vivir.
Anderson también financió una beca de matemáticas a nombre de Kermit, al mismo tiempo que avanzaba el proyecto de la escultura. [1]
Penn State ha puesto a disposición una explicación más completa de la escultura, incluido cómo se hizo, cómo se financió su construcción y su papel en las matemáticas y la física . [1] Además, Ocneanu ha proporcionado su propio comentario. [3]
Artistas:
Matemáticas:
Notas
Citas
40°47′51.5″N 77°51′43.7″O / 40.797639°N 77.862139°W / 40.797639; -77.862139
