Un tetraedro regular tiene 12 simetrías rotacionales (o que preservan la orientación ) y un orden de simetría de 24, incluidas transformaciones que combinan una reflexión y una rotación.
El grupo de todas las simetrías (que no necesariamente preservan la orientación) es isomorfo al grupo S 4 , el grupo simétrico de permutaciones de cuatro objetos, ya que existe exactamente una simetría para cada permutación de los vértices del tetraedro. El conjunto de simetrías que preservan la orientación forma un grupo denominado subgrupo alterno A 4 de S 4 .
Quiral y completo (o simetría tetraédrica aquiral y simetría piritoédrica ) son simetrías de puntos discretos (o equivalentemente, simetrías en la esfera ). Se encuentran entre los grupos de puntos cristalográficos del sistema cristalino cúbico .
Visto en proyección estereográfica, los bordes del hexaedro tetrakis forman 6 círculos (o líneas radiales centrales) en el plano. Cada uno de estos 6 círculos representa una línea especular en simetría tetraédrica. La intersección de estos círculos se encuentra en puntos de giro de orden 2 y 3.
T , 332 , [3,3] + , o 23 , de orden 12 – simetría tetraédrica quiral o. Hay tres ejes de rotación ortogonales de 2 pliegues, como la simetría diédrica quiral D 2 o 222, con además cuatro ejes de 3 pliegues, centrados entre las tres direcciones ortogonales. Este grupo es isomorfo a A 4 , el grupo alterno de 4 elementos; de hecho es el grupo de permutaciones pares de los cuatro ejes triples: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243) , (12)(34), (13)(24), (14)(23).
Las clases de conjugación de T son:
Las rotaciones de 180°, junto con la identidad, forman un subgrupo normal de tipo Dih 2 , con grupo cociente de tipo Z 3 . Los tres elementos de este último son la identidad, "rotación en el sentido de las agujas del reloj" y "rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj", correspondientes a permutaciones de los tres ejes dobles ortogonales, preservando la orientación.
A 4 es el grupo más pequeño, lo que demuestra que lo inverso del teorema de Lagrange no es cierto en general: dado un grupo finito G y un divisor d de | G |, no existe necesariamente un subgrupo de G con orden d : el grupo G = A 4 no tiene un subgrupo de orden 6. Aunque es una propiedad del grupo abstracto en general, se desprende claramente de la isometría del grupo de quiral simetría tetraédrica: debido a la quiralidad el subgrupo tendría que ser C 6 o D 3 , pero ninguno de los dos aplica.
T d , *332 , [3,3] o 4 3m, de orden 24 - simetría aquiral o tetraédrica completa , también conocido como grupo de triángulos (2,3,3) . Este grupo tiene los mismos ejes de rotación que T, pero con seis planos especulares, cada uno a través de dos ejes triples. Los ejes dobles ahora son S 4 ( 4 ) ejes. T d y O son isomorfos como grupos abstractos: ambos corresponden a S 4 , el grupo simétrico de 4 objetos. T d es la unión de T y el conjunto obtenido al combinar cada elemento de O\T con inversión. Véanse también las isometrías del tetraedro regular .
Las clases de conjugación de T d son:
T h , 3*2 , [4,3 + ] o m 3 , de orden 24 – simetría piritoédrica . [1] Este grupo tiene los mismos ejes de rotación que T, con planos especulares que pasan por dos de las direcciones ortogonales. Los ejes triples ahora son ejes S 6 ( 3 ) y hay una simetría de inversión central. T h es isomorfo a T × Z 2 : cada elemento de T h es un elemento de T o uno combinado con inversión. Aparte de estos dos subgrupos normales, también existe un subgrupo normal D 2h (el de un cuboide ), de tipo Dih 2 × Z 2 = Z 2 × Z 2 × Z 2 . Es el producto directo del subgrupo normal de T (ver arriba) con Ci . El grupo cociente es el mismo que el anterior: de tipo Z 3 . Los tres elementos de este último son la identidad, "rotación en el sentido de las agujas del reloj" y "rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj", correspondientes a permutaciones de los tres ejes dobles ortogonales, preservando la orientación.
Es la simetría de un cubo con en cada cara un segmento de línea que divide la cara en dos rectángulos iguales, de modo que los segmentos de línea de las caras adyacentes no se encuentran en el borde. Las simetrías corresponden a las permutaciones pares de las diagonales del cuerpo y las mismas combinadas con inversión. También es la simetría de un piritoedro , que es sumamente similar al cubo descrito, siendo cada rectángulo reemplazado por un pentágono con un eje de simetría y 4 lados iguales y 1 lado diferente (el correspondiente al segmento de recta que divide la cara del cubo). ; es decir, las caras del cubo sobresalen en la línea divisoria y allí se estrechan. Es un subgrupo del grupo de simetría icosaédrico completo (como grupo de isometría, no solo como grupo abstracto), con 4 de los 10 ejes triples.
Las clases de conjugación de T h incluyen las de T, con las dos clases de 4 combinadas y cada una con inversión:
El icosaedro coloreado como un tetraedro chato tiene simetría quiral.
Materiales de aprendizaje relacionados con el grupo simétrico S4 en Wikiversity