En geometría , un cubo [a] es un objeto sólido tridimensional delimitado por seis caras, facetas o lados cuadrados , de los cuales tres se juntan en cada vértice . Visto desde una esquina, es un hexágono y su red suele representarse como una cruz . [1]
El cubo es el único hexaedro regular y es uno de los cinco sólidos platónicos . Tiene 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.
El cubo es también un paralelepípedo cuadrado , un cuboide equilátero , un romboedro recto y un 3 - zonoedro . Es un prisma cuadrado regular en tres orientaciones y un trapezoedro trigonal en cuatro orientaciones.
El cubo es dual al octaedro . Tiene simetría cúbica u octaédrica y es el único poliedro convexo cuyas caras son todas cuadradas . Su generalización para espacios de dimensiones superiores se denomina hipercubo .
El cubo tiene cuatro proyecciones ortogonales especiales , centradas, en un vértice, aristas, cara y figura normal a su vértice . El primero y el tercero corresponden a los planos Coxeter A 2 y B 2 .
El cubo también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse sobre el plano mediante una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando los ángulos pero no las áreas ni las longitudes. Las líneas rectas sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.
Para un cubo centrado en el origen, con aristas paralelas a los ejes y con una longitud de arista de 2, las coordenadas cartesianas de los vértices son
mientras que el interior consta de todos los puntos ( x 0 , x 1 , x 2 ) con −1 < x i < 1 para todo i .
Esta matriz de configuración representa el cubo. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas y caras. Los números diagonales dicen cuántos de cada elemento se encuentran en todo el cubo. Los números no diagonales dicen cuántos elementos de la columna ocurren en o en el elemento de la fila. [2] Por ejemplo, el 2 en la primera columna de la fila del medio indica que hay 2 vértices en (es decir, en los extremos de) cada borde; el 3 en la columna central de la primera fila indica que 3 aristas se encuentran en cada vértice.
En geometría analítica , la superficie de un cubo con centro ( x 0 , y 0 , z 0 ) y longitud de arista de 2a es el lugar geométrico de todos los puntos ( x , y , z ) tales que
Un cubo también puede considerarse el caso límite de un superelipsoide 3D cuando los tres exponentes se acercan al infinito.
Para un cubo de longitud de arista :
Como el volumen de un cubo es la tercera potencia de sus lados , a las terceras potencias se les llama cubos , por analogía con los cuadrados y las segundas potencias.
Un cubo tiene el mayor volumen entre los cuboides (cajas rectangulares) con un área de superficie determinada . Además, un cubo tiene el mayor volumen entre los cuboides con el mismo tamaño lineal total (largo+ancho+alto).
Para un cubo cuya esfera circunscrita tiene radio R , y para un punto dado en su espacio tridimensional con distancias d i de los ocho vértices del cubo, tenemos: [3]
Duplicar el cubo , o problema de Delos , era el problema planteado por los antiguos matemáticos griegos de usar sólo un compás y una regla para comenzar con la longitud de la arista de un cubo dado y construir la longitud de la arista de un cubo con el doble de la longitud de la arista de un cubo. volumen del cubo original. No pudieron resolver este problema, que en 1837 Pierre Wantzel demostró que era imposible porque la raíz cúbica de 2 no es un número construible .
El cubo tiene tres colores uniformes, nombrados por los colores únicos de las caras cuadradas alrededor de cada vértice: 111, 112, 123.
El cubo tiene cuatro clases de simetría, que se pueden representar mediante coloración transitiva de vértices de las caras. La simetría octaédrica más alta Oh h tiene todas las caras del mismo color. La simetría diédrica D 4h proviene de que el cubo es un sólido y sus seis lados son de diferentes colores. Los subconjuntos prismáticos D 2d tienen la misma coloración que el anterior y D 2h tiene colores alternos para sus lados para un total de tres colores, emparejados por lados opuestos. Cada forma de simetría tiene un símbolo de Wythoff diferente .
Un cubo tiene once redes : es decir, hay once maneras de aplanar un cubo hueco cortando siete aristas. [4] Para colorear el cubo de modo que no haya dos caras adyacentes del mismo color, se necesitarían al menos tres colores.
El cubo es la celda del único mosaico regular del espacio euclidiano tridimensional . También es único entre los sólidos platónicos por tener caras con un número par de lados y, en consecuencia, es el único miembro de ese grupo que es un zonoedro (cada cara tiene simetría puntual).
El cubo se puede cortar en seis pirámides cuadradas idénticas . Si luego se unen estas pirámides cuadradas a las caras de un segundo cubo, se obtiene un dodecaedro rómbico (con pares de triángulos coplanares combinados en caras rómbicas).
Los cubos aparecen en las religiones abrahámicas . La Kaaba (que en árabe significa "cubo") en La Meca es un ejemplo. Los cubos también aparecen en el judaísmo como tefilín , y la Nueva Jerusalén se describe en el Nuevo Testamento como un cubo. [5]
El análogo de un cubo en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones tiene un nombre especial: teseracto o hipercubo . Más propiamente, un hipercubo (o n -cubo dimensional o simplemente n -cubo) es el análogo del cubo en el espacio euclidiano n -dimensional y un teseracto es el hipercubo de orden 4. Un hipercubo también se llama politopo de medida .
También hay análogos del cubo en dimensiones inferiores: un punto en la dimensión 0, un segmento de línea en una dimensión y un cuadrado en dos dimensiones.
El cociente del cubo por el mapa antípoda produce un poliedro proyectivo , el hemicubo .
Si el cubo original tiene una longitud de arista 1, su poliedro dual (un octaedro ) tiene una longitud de arista .
El cubo es un caso especial en varias clases de poliedros generales:
Los vértices de un cubo se pueden agrupar en dos grupos de cuatro, formando cada uno de ellos un tetraedro regular ; En términos más generales, esto se conoce como demicubo . Estos dos juntos forman un compuesto regular , la stella octangula . La intersección de los dos forma un octaedro regular. Las simetrías de un tetraedro regular corresponden a las de un cubo que asigna cada tetraedro a sí mismo; las otras simetrías del cubo los relacionan entre sí.
Uno de esos tetraedros regulares tiene un volumen de1/3del del cubo. El espacio restante consta de cuatro tetraedros irregulares iguales con un volumen de1/6del del cubo, cada uno.
El cubo rectificado es el cuboctaedro . Si se cortan las esquinas más pequeñas obtenemos un poliedro con seis caras octogonales y ocho triangulares. En concreto podemos conseguir octágonos regulares ( cubo truncado ). El rombicuboctaedro se obtiene cortando tanto las esquinas como los bordes en la cantidad correcta.
Un cubo se puede inscribir en un dodecaedro de modo que cada vértice del cubo sea un vértice del dodecaedro y cada arista sea una diagonal de una de las caras del dodecaedro; tomar todos esos cubos da lugar al compuesto regular de cinco cubos.
Si dos esquinas opuestas de un cubo se truncan en la profundidad de los tres vértices directamente conectados a ellas, se obtiene un octaedro irregular. Se pueden unir ocho de estos octaedros irregulares a las caras triangulares de un octaedro regular para obtener el cuboctaedro.
El cubo está topológicamente relacionado con una serie de poliedros esféricos y mosaicos con figuras de vértices de orden 3 .
El cuboctaedro pertenece a una familia de poliedros uniformes relacionados con el cubo y el octaedro regular.
El cubo está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de mosaicos regulares, que se extienden hacia el plano hiperbólico : {4,p}, p=3,4,5...
Con simetría diédrica , Dih 4 , el cubo está relacionado topológicamente en una serie de mosaicos poliédricos uniformes 4.2n.2n, que se extienden hacia el plano hiperbólico:
Todas estas figuras tienen simetría octaédrica .
El cubo es parte de una secuencia de poliedros rómbicos y mosaicos con simetría de grupo Coxeter [ n ,3] . El cubo puede verse como un hexaedro rómbico donde los rombos son cuadrados.
El cubo es un prisma cuadrado :
Como trapezoedro trigonal , el cubo está relacionado con la familia de simetría diédrica hexagonal.
Es un elemento de 9 de 28 panales uniformes convexos :
También es un elemento de cinco policoras uniformes de cuatro dimensiones :
El esqueleto del cubo (los vértices y las aristas) forma un gráfico con 8 vértices y 12 aristas, llamado gráfico del cubo . Es un caso especial del gráfico de hipercubo . [6] Es uno de los 5 gráficos platónicos , cada uno de los cuales es un esqueleto de su sólido platónico .
Una extensión es el gráfico tridimensional k -ARY de Hamming , que para k = 2 es el gráfico cúbico. Gráficos de este tipo aparecen en la teoría del procesamiento paralelo en las computadoras.
